专题12 分式的运算 讲义 -2024-2025学年人教版数学八年级上学期期末满分冲刺

专题12 分式的运算 知识点1．科学记数法一表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点3．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点4．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点5．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 知识点6．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 知识点7．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 题型一．科学记数法—表示较小的数（共8小题） 1．（2024秋•沧州期中）光在水中的传播速度是，下列关于的说法正确的是　　 A． B． C．是一个8位数 D．是一个9位数 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，， 、，选项错误，不符合题意； 、，选项错误，不符合题意； 、是一个9位数，选项错误，不符合题意； 、是一个9位数，选项正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了科学记数法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键． 2．（2024春•兴庆区校级期末）全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是每个公民的责任．其中数字0.00003用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3．（2024春•振兴区校级期中）华为一部分手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5纳米工艺制式的芯片，已知5纳米为0.000000005米，数据0.000000005用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4．（2024秋•灌阳县期中）各种不同的物质，它们的分子直径不同，较小的氢分子直径为0.000000023厘米，用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 5．（2023秋•隆阳区期末）水是生命之源，水以多种形态存在，固态的水即我们熟知的冰，气态的水即我们所说的水蒸气，水分子的半径约是0.0000000002米．将数据0.0000000002用科学记数法表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6．（2024春•大观区校级期中）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 7．（2024秋•青秀区校级月考）今年9月1日华为手机的发布，宣告美国对我国高端芯片技术封锁的失败．据测速网监测，用手机下载一个的文件大约只需要0.000048秒，数据0.000048用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 8．（2024•洪山区校级二模）芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示　　． A． B． C． D． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 题型二．分式的乘除法（共5小题） 9．（2024秋•岳阳期中）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设被遮挡的式子为，则根据分式的除法法则可求出结果为，则中一定含有的单项式，即可选择． 【解答】解：设被遮挡的式子为， 则， 原式的运算结果为整式， 中一定含有的单项式， 只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查分式的除法，整式，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键． 10．（2023秋•汾阳市期末）化简的结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2024秋•遵化市期中）的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】原式变形后，约分即可得到结果． 【解答】解：原式 ． 故选：． 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2024秋•济宁期中）计算 　　． 【答案】． 【分析】根据分式的乘法运算即可求解． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法的运算法则是关键． 13．（2024秋•辽阳期中）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2）． 【分析】（1）根据实数的运算方法，特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，实数的运算，分式的加减乘除混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． 题型三．分式的加减法（共8小题） 14．（2024•南开区一模）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键． 15．（2024春•衡阳县期末）已知：，则的值等于　　 A．6 B． C． D． 【答案】 【分析】根据条件得到，然后整体代入到代数式中求值即可． 【解答】解：， ， ， 原式 ． 故选：． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握整体代入到代数式中求值是关键． 16．（2024•化州市一模）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式， 故选：． 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（2023秋•承德期末）下列各式中，计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别根据多项式除以单项式、多项式乘以多项式、分式的加减运算法则及平方差公式逐一计算可得． 【解答】解：、，此选项计算错误； 、，此选项计算错误； 、，此选项计算错误； 、，此选项计算正确； 故选：． 【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握多项式除以单项式、多项式乘以多项式、分式的加减运算法则及平方差公式． 18．（2024秋•海安市月考）已知：，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将进行变形，然后利用整体思想代入求值即可． 【解答】解： 两边同乘：，得：， 则：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则，利用整体思想代入求值是关键． 19．（2024秋•覃塘区期中）计算： 　　． 【答案】． 【分析】利用分式的加减法则计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（2024秋•灌阳县期中）计算 　　． 【答案】． 【分析】先通分，化为同分母分数，再计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 21．（2024秋•栖霞市期中）若，互为倒数，且，则分式的值为　　． 【答案】． 【分析】根据倒数的定义得到，再根据分式的减法计算法则把所求式子先化简，再代值计算即可得到答案． 【解答】解：，互为倒数， ， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 题型四．分式的混合运算（共8小题） 22．（2024•苍南县校级自主招生）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】借助因式分解，换元，逆用幂的乘方，用作差法比较大小即可． 【解答】解：设，则，， 则，， 故，，， 故 ， 故， 故选：． 【点评】本题考查了作差法的应用、因式分解的应用，换元，逆用幂的乘方，作差法是是比较代数式大小常用的方法，要求学生掌握． 23．（2024秋•凉州区期中）已知，则的值为　　 A． B． C．3 D．不能确定 【答案】． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 24．（2023秋•商州区期末）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意残损部分的式子为，再计算即可． 【解答】解：残损部分的式子为 ， 故选：． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 25．（2023秋•濮阳期末）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为，再计算即可． 【解答】解：撕坏的一角中“■”为 ， 故选：． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 26．（2023秋•白河县期末）下列分式化简正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式化简的性质进行判断即可． 【解答】解：、、中无法化简，错误，故不符合要求； 正确，故符合要求； 故选：． 【点评】本题考查了分式化简．解题的关键在于熟练掌握分式化简时，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 27．（2023秋•单县期末）下列各式从左到右变形正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用分式的加法的法则，乘法的法则，分简的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 28．（2024秋•灌阳县期中）若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与， 因为， 所以是的“友好分式”． 则的“友好分式”是 　　． 【答案】． 【分析】根据“友好分式”的定义列出式子并求解． 【解答】解：分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”， 设分式为分式，它的“友好分式”是， ， ， ， ， ， 分式的“友好分式”为． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，新定义，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 29．（2024秋•环翠区期中）对于任意两个非零的有理数，，定义新运算“”如，例：，若，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据新运算法则可得，即，代入原式化简即可求解． 【解答】解：由题意得：，即，则：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的化简求值，理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关键． 题型五．分式的化简求值（共8小题） 30．（2024秋•沙坪坝区校级月考）多项式，多项式（其中，，，，均为常数），下列说法中正确的个数是　　 ①若多项式与的乘积中不含项，则； ②； ③若，则当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】①计算，再根据多项式与的乘积中不含项得，由此可对①进行判断； ②对于，当时，，当时，，由此可对②进行判断； ③根据若，则当时得，显然，将等式的两边同时除以，得，进而得，再根据可对③进行判断． 【解答】解：① ， ， 多项式与的乘积中不含项， ， ， 故①正确； ②， 当时，， ， 当时，， ， 故②正确； ③若，则当时， ， 显然，此时， 将等式^的两边同时除以，得：， ， ， ， ， ， 故③正确． 综上所述：正确的说法是①②③，共3个． 故选：． 【点评】此题主要考查了分式的求值，多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 31．（2024秋•定陶区期中）若，则的值是　　 A．1 B． C． D． 【答案】 【分析】把变形得，然后代入计算即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解答本题的关键． 32．（2024•苍南县校级自主招生）如果，，，是正数，且满足，，那么的值为　　 A．1 B． C．0 D．4 【答案】 【分析】根据，，将所求式子变形，即可求得所求式子的值，本题得以解决． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 33．（2024秋•新邵县期中）已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是　　 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数． A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】 【分析】首先将分式化简即可判定甲，然后将代入求解即可判断乙，然后根据的范围即可判定的正负， 【解答】解： ，故甲对； 当时，，故分式无意义，故乙错； 当时， ， ，故丙错． 故选：． 【点评】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则． 34．（2024秋•湖北期中）如果，那么代数式的值为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 35．（2024秋•昆明期中）已知，则的值为　　 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式“”是解题关键． 36．（2023秋•巩义市期末）如图，若为正整数，则表示的值的点落在　　 A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】 【分析】先计算出原式，再取特殊值代入计算即可得出答案． 【解答】解：， 取，则， 表示的值的点落在段②， 故选：． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 37．（2024秋•定陶区期中）已知，，，则　　． 【答案】． 【分析】把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【解答】解：当，，时， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 题型六．负整数指数幂（共5小题） 38．（2024秋•南康区校级期末）若有意义，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．且 【答案】 【分析】根据零指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【解答】解：有意义， ， 解得且． 故选：． 【点评】本题考查的是负整数指数幂，熟知非0数的负整数指数幂等于该数正整数指数幂的倒数是解答此题的关键． 39．（2024秋•武冈市期中）若，，，，则它们的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案． 【解答】解：；，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1是解题关键． 40．（2024•西宁）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方的定义以及负整数指数幂的定义计算可得答案． 【解答】解：，，，． 计算正确的是选项． 故选：． 【点评】本题考查了负整数指数幂，有理数的除法以及有理数的乘方，掌握相关定义是解答本题的关键． 41．（2023秋•东莞市校级期末）下列数字与相等的是　　 A． B．3 C． D． 【答案】 【分析】负整数指数幂：，为正整数），据此即可求得答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查负整数指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 42．（2024秋•灌阳县期中）已知，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】根据负整数指数幂的逆运算，可分别求出和的值，再根据负整数指数幂的运算法则将和代入求解即可． 【解答】解：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了负整数指数幂及其逆运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型七．列代数式（分式）（共3小题） 43．（2024秋•和平区校级期末）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为元升，第二次加油汽油单价是元升，妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？　　 A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】 【分析】妈妈两次加油共需付款及爸爸两次加油升数，进而表示出两人的平均单价，列出关系式，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，确定出差的正负即可作出判断． 【解答】解：根据题意得：妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油， 若爸爸两次加油的平均单价为元升，妈妈两次加油的平均单价为元升，则，， ， 爸爸的加油方式更合算， 故选：． 【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 44．（2024秋•潍坊月考）太阳能热水器安装有一个进水管（冷水管）和一个出水管（热水管）．单独打开进水管， 可以将空的热水器注满水；单独打开出水管， 可以把注满水的热水器中的水放尽．如果把进水管与出水管同时打开，那么注满一台空热水器需要的时间是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将该太阳能热水器的容量看作“1”，将进水速度和出水速度分别表示出来，再根据“注满一台空热水器需要的时间（进水速度出水速度）”计算即可． 【解答】解：将该太阳能热水器的容量看作“1”，则进水速度为，出水速度为， 注满一台空热水器需要的时间是． 故选：． 【点评】本题考查列代数式，将该太阳能热水器的容量看作“1”，将进水速度和出水速度分别表示出来是解题的关键． 45．（2024秋•金湖县期中）某校组织了师生共人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先计算出租用的观光车坐满的人数，即可列出代数式． 【解答】解：由题意可知，租用的观光车坐满的人数为人，租用的每辆观光车可乘坐人， 故租用的观光车的辆数为． 故选：． 【点评】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 分式的运算 知识点1．科学记数法一表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点3．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点4．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点5．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 知识点6．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 知识点7．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 题型一．科学记数法—表示较小的数（共8小题） 1．（2024秋•沧州期中）光在水中的传播速度是，下列关于的说法正确的是　　 A． B． C．是一个8位数 D．是一个9位数 2．（2024春•兴庆区校级期末）全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是每个公民的责任．其中数字0.00003用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•振兴区校级期中）华为一部分手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5纳米工艺制式的芯片，已知5纳米为0.000000005米，数据0.000000005用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•灌阳县期中）各种不同的物质，它们的分子直径不同，较小的氢分子直径为0.000000023厘米，用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•隆阳区期末）水是生命之源，水以多种形态存在，固态的水即我们熟知的冰，气态的水即我们所说的水蒸气，水分子的半径约是0.0000000002米．将数据0.0000000002用科学记数法表示正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•大观区校级期中）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•青秀区校级月考）今年9月1日华为手机的发布，宣告美国对我国高端芯片技术封锁的失败．据测速网监测，用手机下载一个的文件大约只需要0.000048秒，数据0.000048用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 8．（2024•洪山区校级二模）芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示　　． A． B． C． D． 题型二．分式的乘除法（共5小题） 9．（2024秋•岳阳期中）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•汾阳市期末）化简的结果为　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•遵化市期中）的结果是　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•济宁期中）计算 　　． 13．（2024秋•辽阳期中）（1）计算：； （2）化简：． 题型三．分式的加减法（共8小题） 14．（2024•南开区一模）计算的结果是　　 A． B． C． D． 15．（2024春•衡阳县期末）已知：，则的值等于　　 A．6 B． C． D． 16．（2024•化州市一模）化简的结果是　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•承德期末）下列各式中，计算正确的是　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•海安市月考）已知：，则的值是　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•覃塘区期中）计算： 　　． 20．（2024秋•灌阳县期中）计算 　　． 21．（2024秋•栖霞市期中）若，互为倒数，且，则分式的值为　　． 题型四．分式的混合运算（共8小题） 22．（2024•苍南县校级自主招生）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 23．（2024秋•凉州区期中）已知，则的值为　　 A． B． C．3 D．不能确定 24．（2023秋•商州区期末）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•濮阳期末）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•白河县期末）下列分式化简正确的是　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•单县期末）下列各式从左到右变形正确的是　　 A． B． C． D． 28．（2024秋•灌阳县期中）若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与， 因为， 所以是的“友好分式”． 则的“友好分式”是 　　． 29．（2024秋•环翠区期中）对于任意两个非零的有理数，，定义新运算“”如，例：，若，则的值为 　　． 题型五．分式的化简求值（共8小题） 30．（2024秋•沙坪坝区校级月考）多项式，多项式（其中，，，，均为常数），下列说法中正确的个数是　　 ①若多项式与的乘积中不含项，则； ②； ③若，则当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 31．（2024秋•定陶区期中）若，则的值是　　 A．1 B． C． D． 32．（2024•苍南县校级自主招生）如果，，，是正数，且满足，，那么的值为　　 A．1 B． C．0 D．4 33．（2024秋•新邵县期中）已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是　　 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数． A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 34．（2024秋•湖北期中）如果，那么代数式的值为　　 A． B． C． D． 35．（2024秋•昆明期中）已知，则的值为　　 A．16 B．14 C．12 D．10 36．（2023秋•巩义市期末）如图，若为正整数，则表示的值的点落在　　 A．段① B．段② C．段③ D．段④ 37．（2024秋•定陶区期中）已知，，，则　　． 题型六．负整数指数幂（共5小题） 38．（2024秋•南康区校级期末）若有意义，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．且 39．（2024秋•武冈市期中）若，，，，则它们的大小关系是　　 A． B． C． D． 40．（2024•西宁）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•东莞市校级期末）下列数字与相等的是　　 A． B．3 C． D． 42．（2024秋•灌阳县期中）已知，则的值是 　　． 题型七．列代数式（分式）（共3小题） 43．（2024秋•和平区校级期末）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为元升，第二次加油汽油单价是元升，妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？　　 A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 44．（2024秋•潍坊月考）太阳能热水器安装有一个进水管（冷水管）和一个出水管（热水管）．单独打开进水管， 可以将空的热水器注满水；单独打开出水管， 可以把注满水的热水器中的水放尽．如果把进水管与出水管同时打开，那么注满一台空热水器需要的时间是　　 A． B． C． D． 45．（2024秋•金湖县期中）某校组织了师生共人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为　　 A． B． C． D． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$