精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 下列采取的调查方式，正确的是（ ） A. 重庆市某中学组织初三各班学生检查视力情况，采用全面调查的方式 B. 重庆市某中学初一年级的文学社团创办校刊，在审核文稿中的错别字时，采用抽样调查的方式 C. 重庆市某中学课外兴趣小组，为了解重庆市中学生的睡眠时长，采用全面调查的方式 D. 重庆市某中学面向应届毕业大学生招聘，面试应聘人员时，采用抽样调查的方式 5. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，蜡烛高为，则像的长为（ ） A. B. C. D. 6. 估计()的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 5到6之间 7. 如图，将等腰直角三角形绕锐角顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中国结是中国传统文化中极具代表性的装饰品，它由一根绳子巧妙的编制而成，象征着天地万物的和谐统一．中国结中间是由多个小正方形组成，可从中抽象出如下规律：第1个图中有14个小正方形；第2个图中有19个小正方形；第3个图中有24个小正方形；…；则第16个图中小正方形的个数是（ ） A. 80 B. 84 C. 89 D. 94 9. 如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于n个多项式，，，…，，我们将任意（且均为整数）个多项式进行求和，计算出结果，称为“k项求和操作”．比如：当时，在中任意选取2项求和，得到，，．下列说法正确的个数是（ ） ①若，进行“2项求和操作”的结果有5种；②若对这n个多项式进行“4项求和操作”的结果恰好有种，则；③若对这个多项式进行“3项求和操作”，存在三项，使这一方程有实数根，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝__________． 12. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形是___________边形． 13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）小巴同学分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则他所选金属能置换出氢气的概率是___________． 14. 重庆市某中学九年级5班的同学在第一学月体育测试时有25名同学获得满分，经过两个学月的专项体能训练，在第三学月体育测试时满分同学增加到了36人，则该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为________． 15. 如图，在矩形中，，点在线段上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在线段上的点处，则的长为____________． 16. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为________． 17. 如图，是正方形的外接圆，的直径为2．与相切于点B，交的延长线于点F，则_______________；连接交于点E，连接，则___________． 18. 我们规定：若一个六位正整数，其前三位数与后三位数之和为999，则称M为“团圆数”，记；若一个四位正整数，其前两位数与后两位数之和为99，则称为“欢喜数”，记．请按以上规定，写出_____________；若是某个自然数的平方，且是10的整数倍，则满足条件的正整数M的最大值为_____________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题 （1）； （2）． 20. 重庆市某中学的学生德智体美劳全面发展．为了解学生体育素养情况，进行了体育检测，现从八年级和九年级的学生中各随机抽取20名学生的体育成绩（单位：分），进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．35分及以下），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的体育成绩是：42，26，38，32，39，42，39，46，45，45，47，44，38，40，43，50，41，45，48，50． 九年级20名学生的体育成绩在B组中的数据是：43，44，44，41，44，45，45 九年级抽取学生的体育成绩统计图 八、九年级所抽取的学生的体育成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 42 42.5 a 九年级 42 b 44 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________，_______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的体育成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校八年级有800人，九年级有780人，估计该校八、九年级体育成绩优秀的学生共有多少人？ 21. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接． （1）用直尺和圆规，在左侧以C为顶点作，使，与线段的延长线交于点D，连接； （2）试研究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵， ∴①_________， ∴， ∵点F是的中点， ∴②_______且， ∴， ∴③_________． ∵， ∴④________； （3）若，则在点E的运动过程中，当⑤________时，四边形DBEC是矩形． 22. 每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务． （1）求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？ （2）“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？ 23. 如图，在中，于点D，动点P从点D出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，的面积为，面积与点P运动路程之比． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 24. 某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） （1）求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） （2）若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，且，点G为线段的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点E、F是线段上两动点（点E在F的右侧），且，连接、．当取最大值时，求出此时点P的坐标及的最小值； （3）如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线，点Q为新抛物线上的一个动点，直线与线段交于点N，与y轴交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 26. 在等腰中，，D为线段上一点，连接，点E为线段中点，过点B作交的延长线于点F． （1）如图1，若，求线段的长度； （2）如图2，过点C作于点M，交于点N，过点E作交于点G，求证：； （3）如图3，O为上一点，且始终满足，连接，当取得最小值时，P为直线上一点，满足，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，故C符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； A.，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； B. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； C. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列采取的调查方式，正确的是（ ） A. 重庆市某中学组织初三各班学生检查视力情况，采用全面调查的方式 B. 重庆市某中学初一年级的文学社团创办校刊，在审核文稿中的错别字时，采用抽样调查的方式 C. 重庆市某中学课外兴趣小组，为了解重庆市中学生的睡眠时长，采用全面调查的方式 D. 重庆市某中学面向应届毕业大学生招聘，面试应聘人员时，采用抽样调查的方式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全面调查与抽样调查，全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．根据全面调查与抽样调查的特点判断即可． 【详解】解：A、重庆市某中学组织初三各班学生检查视力情况，采用全面调查的方式，调查方式正确，符合题意； B、重庆市某中学初一年级的文学社团创办校刊，在审核文稿中的错别字时，应采用全面调查的方式，故本选项调查方式不正确，不符合题意； C、重庆市某中学课外兴趣小组，为了解重庆市中学生的睡眠时长，应采用抽样调查的方式，故本选项调查方式不正确，不符合题意； D、重庆市某中学面向应届毕业大学生招聘，面试应聘人员时，应采用全面调查的方式，故本选项调查方式不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，蜡烛高为，则像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 通过证明，得出，即可解答． 【详解】解∶根据题意可得∶， ， ． ． ， 故选：C． 6. 估计()的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，先进行二次根式的混合运算，然后再估算出无理数的值即可解答． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， ∴估计的值在2和3之间， 故选：B． 7. 如图，将等腰直角三角形绕锐角顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形、旋转的性质，掌握扇形面积的计算公式、等腰直角三角形和旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，得到阴影部分的面积=扇形的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积，再利用扇形的面积公式计算即可； 【详解】解：为等腰直角三角形， ， ， ， 三角形绕锐角顶点顺时针旋转后得到， ，， ； 故选：D 8. 如图，中国结是中国传统文化中极具代表性的装饰品，它由一根绳子巧妙的编制而成，象征着天地万物的和谐统一．中国结中间是由多个小正方形组成，可从中抽象出如下规律：第1个图中有14个小正方形；第2个图中有19个小正方形；第3个图中有24个小正方形；…；则第16个图中小正方形的个数是（ ） A. 80 B. 84 C. 89 D. 94 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，不难看出，后一个图比前一个图多了5个小正方形，据此可求解． 【详解】解：∵第1个图中小正方形的个数为：， 第2个图中小正方形的个数为：， 第3个图中小正方形的个数为：， …， ∴第16个图中小正方形的个数为：个． 故选：C． 9. 如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，过E作于H，交于G，证明，可得，，即可知是等腰直角三角形，得，由，设，则，可得，再求出，再代入计算可得答案． 【详解】解：过E作于H，交于G，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵O为中点， ∴， 由，设，则， ∴， ∴, ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 对于n个多项式，，，…，，我们将任意（且均为整数）个多项式进行求和，计算出结果，称为“k项求和操作”．比如：当时，在中任意选取2项求和，得到，，．下列说法正确的个数是（ ） ①若，进行“2项求和操作”的结果有5种；②若对这n个多项式进行“4项求和操作”的结果恰好有种，则；③若对这个多项式进行“3项求和操作”，存在三项，使这一方程有实数根，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 对比题中k项求和操作计算可得①②，对③进行3项求和操作，根据根的判别式化简可得，进而根据为正整数，且，可得，故即可判断③，从而选出正确答案． 【详解】解：①当时，，，，， ∴进行2项求和操作的结果有，，，，，，共5种， 故①正确； ②对这个多项式进行4项求和操作的结果有种， 解得， 故②正确； ③对这个多项式进行3项求和操作，结果为， 令， 则， ， ， 当时，方程有实数根，此时， 又∵为正整数，且， ∴， 此时， 故③错误． 综上所述，正确的个数是2个． 故选B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根和零指数幂，分别运用相关法则化简各数即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 12. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形是___________边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线，根据多边形的对角线求得其边数即可． 【详解】解：∵一个多边形从一个顶点可引对角线3条， ∴这个多边形的边数为（条）， ∴这个多边形是六边形． 故答案为：六． 13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）小巴同学分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则他所选金属能置换出氢气的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式计算概率，根据、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气可知一共4中金属，能置换出氢气的有3种，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：∵、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气． ∴他所选金属能置换出氢气的概率是， 故答案为：． 14. 重庆市某中学九年级5班的同学在第一学月体育测试时有25名同学获得满分，经过两个学月的专项体能训练，在第三学月体育测试时满分同学增加到了36人，则该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为x，根据题意得， ， 解得， 所以，该班同学体育测试满分人数的月平均增长率为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点在线段上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在线段上的点处，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，设，则，根据轴对称的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，即，于是可得，，根据轴对称的性质可得，则根据即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设，则， 将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处， 根据轴对称的性质可得：，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即：， ，， 将矩形沿折叠，点恰好落在线段上的点处， 根据轴对称的性质可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，矩形的性质，线段的和与差，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组．首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得出a为整数，为正整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程去分母，得， ∴， ∵分式方程的解为正整数， ∴a为整数，且， ∵， ∴，，，1， ∴所有满足条件的整数a的值的和为： ． 故答案为：． 17. 如图，是正方形的外接圆，的直径为2．与相切于点B，交的延长线于点F，则_______________；连接交于点E，连接，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，根据圆内接正方形的性质得，则是等腰直角三角形，进而得，继而可分别求出，，证明和相似，再利用相似三角形的性质求出BE即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形内接于，的直径为2， ∴， ∴ 在等腰中，由勾股定理得：， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形和圆，正方形的性质，切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 18. 我们规定：若一个六位正整数，其前三位数与后三位数之和为999，则称M为“团圆数”，记；若一个四位正整数，其前两位数与后两位数之和为99，则称为“欢喜数”，记．请按以上规定，写出_____________；若是某个自然数的平方，且是10的整数倍，则满足条件的正整数M的最大值为_____________． 【答案】 ①. 106 ②. 809190 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解以及完全平方数的性质，根据题干的定义进行计算即可；化简以及，根据与的比值求出c的值，然后根据是完全平方数求出M的最大值即可． 【详解】解： ； 根据定义可知，， ∵一位数一位数， ∴上面两个加法每个数位都没有进位， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∵是完全平方数， ∴是完全平方数， ∴是完全平方数的10倍， ∵后三位以及后两位存在， ∴， ∴m最大取8， ∴最大可以为， 此时，， ∴， ∴． 故答案为：106，809190． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减乘除混合运算，整式四则混合运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握分式和整式的运算法则是解题的关键． （1）先将括号内的第一项的分子分母进行因式分解，约分后再与第二项相减，得出结果后再将除法运算转化为乘法运算，约分后即可得出答案； （2）按照整式的四则混合运算法则进行计算即可——先计算乘除，再计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 重庆市某中学的学生德智体美劳全面发展．为了解学生体育素养情况，进行了体育检测，现从八年级和九年级的学生中各随机抽取20名学生的体育成绩（单位：分），进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．35分及以下），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的体育成绩是：42，26，38，32，39，42，39，46，45，45，47，44，38，40，43，50，41，45，48，50． 九年级20名学生的体育成绩在B组中的数据是：43，44，44，41，44，45，45 九年级抽取学生的体育成绩统计图 八、九年级所抽取的学生的体育成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 42 42.5 a 九年级 42 b 44 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________，_______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的体育成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校八年级有800人，九年级有780人，估计该校八、九年级体育成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）45、42、54 （2） 解：八年级的体育成绩较好， 由表格知，九年级成绩的中位数小于八年级， 所以八年级成绩高分人数多于九年级， 所以八年级的体育成绩较好； （3）356人 【解析】 【分析】本题考查平均数、众数、中位数的意义和求法，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：八年级20名学生的体育成绩出现次数最多的是45，所以其众数， 九年级组的人数为人， ∴、两组共人， ∴九年级成绩的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为41、43， 所以其成绩的中位数， 九年级成绩在B组人数所占比例为， 所以D组人数所占比例为， 则， 故答案为：45、42、54； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八、九年级体育成绩优秀的学生共有356人． 21. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接． （1）用直尺和圆规，在左侧以C为顶点作，使，与线段的延长线交于点D，连接； （2）试研究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵， ∴①_________， ∴， ∵点F是的中点， ∴②_______且， ∴， ∴③_________． ∵， ∴④________； （3）若，则在点E的运动过程中，当⑤________时，四边形DBEC是矩形． 【答案】（1） 如图：即为所作： （2）是平行四边形 （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查作一个角等于已知角，平行四边形的判定以及矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质等： （1）根据基本作图：作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判断即可； （3）根据矩形的性质可得出，再根据直角三角形的性质得出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：，,，四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：如图， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ 即当时，四边形是矩形． 故答案为：2． 22. 每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务． （1）求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？ （2）“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？ 【答案】（1）甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件 （2）更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，根据生产的总数量为2000件，列方程求解即可； （2）设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，根据结果比原计划提前4天完成任务，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，依题意，得： ， 解得：． 答：甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件． 【小问2详解】 解：设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，依题意，得： ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件． 23. 如图，在中，于点D，动点P从点D出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，的面积为，面积与点P运动路程之比． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1） （2） 解：画的图象： 列表： x ⋯ 1 3 ⋯ y ⋯ 2 6 ⋯ 描点连线得：如图， 画的图象： 列表： x ⋯ 3 8 ⋯ y ⋯ 6 0 ⋯ 描点连线得：如图，不包含和这两点 画的图象： 列表： x ⋯ 1 2 3 6 ⋯ y ⋯ 6 3 2 1 ⋯ 描点连线得：如图， 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得；当点P在上时，过点D作于E，根据等面积法求出，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， 由勾股定理得，， 如图，当点P在上时， ∴ 即 如图，点P在上时，过点D作于E， ， ∴， ∵ ∴， 综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象得，当时，或． 24. 某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） （1）求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） （2）若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【答案】（1） （2）张老师所带队伍先到山顶 【解析】 【分析】（1）设过点的水平线交于点，过点作于点，易证得四边形为矩形，故可设米，则米，在中，可求得米，米，进而可得米，米，米，由，可得，进而可得，由等角对等边可得，即，解方程即可求得的长，然后根据即可求出山顶离水平地面的高度； （2）由（1）可知米，进而可得米，米，米，再列式求出路线一所需时间和路线二所需时间，比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米）， 答：山顶离水平地面的高度约为米； 【小问2详解】 解：由（1）可知：米， 米， （米）， （米）， 路线一所需时间（分钟）， 路线二所需时间（分钟）， ， 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用（坡度坡比问题），解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，且，点G为线段的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点E、F是线段上两动点（点E在F的右侧），且，连接、．当取最大值时，求出此时点P的坐标及的最小值； （3）如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线，点Q为新抛物线上的一个动点，直线与线段交于点N，与y轴交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为，的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点作直线，分析可知当取最大值时，此时直线与抛物线恰好只有唯一公共点，联立直线与抛物线的解析式，利用求出直线的解析式和此时点P的坐标；在直线上截取（在左侧），连接、，可推出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质将的最小值转化为的最小值，利用两点之间线段最短性质可得的最小值为的长，即可解答； （3）先求出B的坐标，再利用二次函数的平移得到新抛物线的解析式，设，，得出直线的解析式，结合是以为腰的等腰三角形，分两种情况①；②，利用勾股定理和一元二次方程求出、的值，再联立直线和抛物线的解析式求出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：， ，， 代入，得，， 解得：， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 过点作直线，设直线的解析式为， ，， 是直线与直线的距离， 当取最大值时，此时直线与抛物线恰好只有唯一公共点， 联立， 消去整理得：， 直线与抛物线恰好只有唯一公共点， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：，即直线的解析式为， 此时方程为，解得， 代入，则， ； 在直线上截取（在左侧），连接、， ，， 四边形是平行四边形， ， 设， 则， 解得：，（舍去）， ， 点G为线段的中点， ， ， ， ，， ， 的最小值为； 综上所述，此时点P的坐标为，的最小值为． 【小问3详解】 解：对于，令，则， 解得：，， ， ， ， 又将抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线， 点通过平移恰好落在点上， 抛物线向上平移4个单位，向右平移3个单位可以得到新抛物线， ， ； 由（2）中的结论得，直线的解析式为， 设，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 在直线上， ， 整理得：， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若，则， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， 此时直线的解析式为， 令，解得，， ； ②若，则， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， 此时直线的解析式为， 令，解得，， ； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、最短路径问题、等腰三角形的性质、一元二次方程、二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会利用点的坐标表示线段长度是解题的关键，本题属于二次函数综合题，同时涉及较大的运算量，需要较强的数形结合和运算能力，适合有能力解决难题的学生． 26. 在等腰中，，D为线段上一点，连接，点E为线段中点，过点B作交的延长线于点F． （1）如图1，若，求线段的长度； （2）如图2，过点C作于点M，交于点N，过点E作交于点G，求证：； （3）如图3，O为上一点，且始终满足，连接，当取得最小值时，P为直线上一点，满足，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过D作于点K，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（1）知， ∴， ∵分别是和斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）1或 【解析】 【分析】（1）由易得，由平行线的性质结合中点的定义易得，进而知道，设，则，再利用建立方程求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质，证明线段和差，联想全等三角形，D作于点K，连接，构造等腰直角三角形，从而得到，所以证即可，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，易得，导角易证，进而得证； （3）由可知逆等线模型，所以构造全等转移线段，作，使，易证，得到，所以，当且仅当C、O、T三点共线时取等，此时有最小值．由可以将转化到，然后分类讨论，点P在O的左侧或者右侧，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在下方，作，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当C、O、T三点共线时取等，此时有最小值． 过C作于点V， ①当点P在点O左侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的值为1； ②当点P在点O右侧时，如图所示， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 综上，的值为1或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $