第06讲 一次函数解答压轴题(五类知识点+十大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第06讲 一次函数解答压轴题（十大题型） 学习目标 1、 了解一次函数压轴题的常见题型； 2、 会用坐标法解决有关平面直角坐标系中的几何问题； 3、 掌握在平面直角坐标系中构造常用的几何模型. 一、面积问题 一次函数求面积的常用方法： （1）直接法 （公式法） 适用于规则图形 ，三角形中至少有一边与坐标轴重合或平行时 ， 常用直接法求面积； （2）割补法 （分割求和、补形作差） 适用于不规则四边形 ，将四边形分割成两个三角形 ，分别计算两个三角形的面积再求和。或者将四 边形放在一个规则图形中（需要时做辅助线） ，此时四边形的面积可以看作一个规则图形面积减去补充的 规则图形面积； （3） 铅锤法 （底相同 ，高运算） 适用于三边均不与坐标轴平行的三角形（不规则三角形）； （4）平行线面积转化 适用于存在平行线的情况下 ，利用平行线的性质 ，平行线间的距离处处相等做高； 二、最值问题 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A、B 位于直线m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短. 变式二： 已知点 A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短. 2. 具体题型： （1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值； （3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。 3. 口诀：“和小异 ，差大同” 三、等腰三角形存在性问题 1、找点方法： （1）以点 A 为圆心 ，AB 为半径作圆 ，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 AB =AC； （2）以点 B 为圆心 ，AB 为半径作圆 ，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 BA =BC； （3）作 AB 的垂直平分线 ，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 CA =CB . 2、找点方法： （1）几何法： （1）两圆一线作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长， 由线段长得点坐标 . （2）代数法： （1）表示出三个点坐标 A、 B、C； （2） 由点坐标表示出三条线段：AB² 、AC² 、 BC² ; （3）分类讨论： ①以 A 为顶点：AB² =AC² ②以 B 为顶点： BA² =BC² ③以 C 为顶点：AC² =BC² （4）列出方程求解 . 四、直角三角形存在性问题 知识点：直线与斜率的关系 在平面直角坐标系中，若两直线垂直，k1 . k2 = —1（ k1 . k2 ≠ 0 ） （一）找点方法：“两线一圆 ”几何法 已知线段 AB，在平面内找一点 C，使△ABC 为直角三角形。 ①∠A 为直角：过点 A 作线段 AB 的垂线，除点 A 外， 垂线上任意一点都可以与 A、B 两点组成直角三角形； ②∠B 为直角：过点B 作线段 AB 的垂线，除点 B 外， 垂线上任意一点都可以与 A、B 两点组成直角三角形； ③∠C 为直角：以线段 AB 为直径作圆，除 AB 的中点（圆心）外， 圆上任意一点都可以与 A、B 两点组成直角三角形. （二）求点方法： 1、代数法解题思路： （1）列出 A、B、C 的坐标，动点用参数表示； （2）列出线段 AB、AC、BC 长度的平方； （3）分类列方程： ①∠A 为直角：AB2 AC2 =BC2 ， ②∠B 为直角：AB2 BC2 =AC2 ， ③∠C 为直角：AC2 + BC2= AB2 ； （4）解方程 （5）检验。 2、斜率法解题思路：利用k1 . k2 = —1求出直角边所在直线 k值，结合已知点求出解析式，再出求交点（第三顶点）坐标； 考点五、等腰直角三角形存在性问题 1、三垂直模型 在△ABC 中 ，∠ACB＝90° , AC＝BC 直线MN经过点 C ，且 AD⊥MN 于 D， BE⊥MN 于 E ，则有以 下结论成立： 2、找点方法： ①以已知点做顶点：先过已知点做垂线 ，后截取等线段形成等腰， 连接另外两端点形成等腰直角三角形； ②以未知点做顶点 ：以已知线段为直径画圆 ，与线段的垂直平分线， 其交点则为第三个顶点； 3、求点方法： 在坐标系中去构造三垂直模型时 ，其直角边必须保证平行于坐标轴。 思路： （1）表示出需要点的坐标； （2）用横坐标或纵坐标之差表示出直角边长； （3）再利用全等三角形对应直角边相等建立等量关系求 【即学即练1】（2023八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，， (1)求直线的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 题型1：长度问题 【典例1】．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 题型2：角度问题 【典例2】．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【典例3】．（20-21八年级下·上海浦东新·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数）的图象交于点和．    (1)求一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)若点E是x轴上一动点，且，请直接写出点E的坐标． 【典例4】．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)求出a，k的值； (2)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求的值； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理． 题型3：面积问题 【典例5】．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【典例6】．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标系中，为原点，在轴的正半轴上，，把绕着点逆时针旋转后，点与点A重合．    (1)求点的坐标； (2)作的平分线交轴于点，求直线的解析式； (3)在直线上是否存在一个点，使得的面积等于面积的5倍？如果存在，请求出点的坐标． 【典例7】．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型4：全等问题 【典例8】．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5：等腰三角形问题 【典例9】．（20-21八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．    (1)求点的坐标和的度数． (2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标． (3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【典例10】．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且它们都经过点． (1)求点、点坐标； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在一动点，使是等腰三角形？若存在，请直线写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【典例11】．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 题型6：直角三角形问题 【典例12】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图1，在直角坐标平面内，直线交轴于点，交轴于点，线段的中点记作点．    (1)求点、点、点的坐标； (2)如图2，过点的直线的截距为5，交轴于点，点是直线上的动点（点在点上方，点在点下方），且总满足，当是直角三角形时，求点的坐标． 题型7：旋转折叠问题 【典例13】．（20-21八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求的长和点的坐标； (2)若点在直线上，且的面积等于5，求点坐标； (3)求直线的解析式． 【典例14】．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上． (1)求k的值； (2)如果将绕的中点旋转得到． ①请直接写出点P的坐标； ②请判断点P是否在双曲线上，并说明理由． 题型8：列函数解析式（并写出定义域） 【典例15】．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点，点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），过点B作，垂足为F，联结， (1)点B的坐标为___________． (2)当直线的表达式为时，求此时的面积． (3)设，，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【典例16】．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 题型9：最值问题 【典例17】．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点． (1)请直接写出点B、C的坐标：B______，C______； (2)如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是所在直线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 【典例18】．（2025八年级下·上海·专题练习）平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 题型10：定值问题 【典例19】．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线：交于点C． (1)若直线解析式为，求：点C的坐标； (2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当是等腰三角形时P点的坐标． (3)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足分别为M，N，试问的值是否变化，若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 一、解答题 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线交x轴负半轴于点D (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______； (2)横坐标为m的点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为y（），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 3．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 4．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点． (1)当时，求点A坐标及直线l的解析式； (2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长． (3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 5．（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______． （2）求（1）中点的坐标． （3）类比探究 如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 6．如图①所示，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点． (1)当时，点坐标为_______；点坐标为_______；直线的解析式是_______； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设为延长线上一点，连接，过、两点分别作于，于，若，求点的坐标； (3)当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴上运动时，试猜想的面积是否改变，若不变，请求出其值；若改变，请说明理由． (4)当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边在第二象限作等腰直角，则动点在直线_______上运动．（直接写出直线的表达式） 7．已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线与y轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为________；（直接写出结果） (2)在x轴上求一点P使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． (3)若点Q为线段上的一个动点，连接．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 9．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______； ②若射线平分，求点P的坐标； (3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案） 10．如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点． (1)求点D的坐标； (2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点． ①若，求的长； ②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式． 11．如图1，已知直线与坐标轴分别交于点A、B两点，与直线交于点， 点在直线上运动，过M作直线垂直于x轴，垂足为D，该直线与直线交于点N． (1)求t、b的值； (2)若点在内部，直接写出q的取值范围_________； (3)若点在线段CB上运动． ①若，求四边形的面积； ②若点M是线段的三等分点，求m的值． (4)如图2，点在直线上，过A点作直线，垂足为H，将沿直线翻折得，当点M从点B运动到点E的过程中，点也随之运动，请直接写出点运动的路径长为___________． 12．对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图． 【知识理解】 (1)已知点A的坐标为(0，0)，点P关于点A的“顺转点”为点Q． ①若点P的坐标为(1，0)，则点Q的坐标为　　； ②当点P的坐标为　　时，点Q的坐标为(2，-1)； ③△PAQ是　　 三角形； 【知识运用】 (2)如图2，已知直线与x轴交于点A． ①点B的坐标为(1，0)，点C在直线上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标是　　； ②点E在直线上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为　　； 【知识迁移】 (3)如图3，已知直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为　　； (4)点A是平面直角坐标系内一点，点P(2，0)关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y=-x上，当线段AP最短时，点A的坐标为　　． 13．函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．    (1)关于1的对称函数与直线交于点C； ①A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）． ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出A、E、F组成直角三角形且A为直角顶点时m的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一次函数解答压轴题（十大题型） 学习目标 1、 了解一次函数压轴题的常见题型； 2、 会用坐标法解决有关平面直角坐标系中的几何问题； 3、 掌握在平面直角坐标系中构造常用的几何模型. 一、面积问题 一次函数求面积的常用方法： （1）直接法 （公式法） 适用于规则图形 ，三角形中至少有一边与坐标轴重合或平行时 ， 常用直接法求面积； （2）割补法 （分割求和、补形作差） 适用于不规则四边形 ，将四边形分割成两个三角形 ，分别计算两个三角形的面积再求和。或者将四 边形放在一个规则图形中（需要时做辅助线） ，此时四边形的面积可以看作一个规则图形面积减去补充的 规则图形面积； （3） 铅锤法 （底相同 ，高运算） 适用于三边均不与坐标轴平行的三角形（不规则三角形）； （4）平行线面积转化 适用于存在平行线的情况下 ，利用平行线的性质 ，平行线间的距离处处相等做高； 二、最值问题 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A、B 位于直线m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短. 变式二： 已知点 A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短. 2. 具体题型： （1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值； （3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。 3. 口诀：“和小异 ，差大同” 三、等腰三角形存在性问题 1、找点方法： （1）以点 A 为圆心 ，AB 为半径作圆 ，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 AB =AC； （2）以点 B 为圆心 ，AB 为半径作圆 ，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 BA =BC； （3）作 AB 的垂直平分线 ，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 CA =CB . 2、找点方法： （1）几何法： （1）两圆一线作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长， 由线段长得点坐标 . （2）代数法： （1）表示出三个点坐标 A、 B、C； （2） 由点坐标表示出三条线段：AB² 、AC² 、 BC² ; （3）分类讨论： ①以 A 为顶点：AB² =AC² ②以 B 为顶点： BA² =BC² ③以 C 为顶点：AC² =BC² （4）列出方程求解 . 四、直角三角形存在性问题 知识点：直线与斜率的关系 在平面直角坐标系中，若两直线垂直，k1 . k2 = —1（ k1 . k2 ≠ 0 ） （一）找点方法：“两线一圆 ”几何法 已知线段 AB，在平面内找一点 C，使△ABC 为直角三角形。 ①∠A 为直角：过点 A 作线段 AB 的垂线，除点 A 外， 垂线上任意一点都可以与 A、B 两点组成直角三角形； ②∠B 为直角：过点B 作线段 AB 的垂线，除点 B 外， 垂线上任意一点都可以与 A、B 两点组成直角三角形； ③∠C 为直角：以线段 AB 为直径作圆，除 AB 的中点（圆心）外， 圆上任意一点都可以与 A、B 两点组成直角三角形. （二）求点方法： 1、代数法解题思路： （1）列出 A、B、C 的坐标，动点用参数表示； （2）列出线段 AB、AC、BC 长度的平方； （3）分类列方程： ①∠A 为直角：AB2 AC2 =BC2 ， ②∠B 为直角：AB2 BC2 =AC2 ， ③∠C 为直角：AC2 + BC2= AB2 ； （4）解方程 （5）检验。 2、斜率法解题思路：利用k1 . k2 = —1求出直角边所在直线 k值，结合已知点求出解析式，再出求交点（第三顶点）坐标； 考点五、等腰直角三角形存在性问题 1、三垂直模型 在△ABC 中 ，∠ACB＝90° , AC＝BC 直线MN经过点 C ，且 AD⊥MN 于 D， BE⊥MN 于 E ，则有以 下结论成立： 2、找点方法： ①以已知点做顶点：先过已知点做垂线 ，后截取等线段形成等腰， 连接另外两端点形成等腰直角三角形； ②以未知点做顶点 ：以已知线段为直径画圆 ，与线段的垂直平分线， 其交点则为第三个顶点； 3、求点方法： 在坐标系中去构造三垂直模型时 ，其直角边必须保证平行于坐标轴。 思路： （1）表示出需要点的坐标； （2）用横坐标或纵坐标之差表示出直角边长； （3）再利用全等三角形对应直角边相等建立等量关系求 【即学即练1】1．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，， (1)求直线的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 或 或 或 【分析】（1）根据题意可得，再由，求出m的值，即可； （2）先求出，再由两点坐标公式分别求出的三边长，即可； （3）分若以点P为直角顶点时；若以点为直角顶点时；若以点为直角顶点时，即可求解． 【解析】（1）解：∵过点作平行于轴的直线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：对于直线：， 当时，，当时，， ∴， ∵点， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：设直线交x轴于点F，则点， ∴， 设平移后直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点， 如图，若以点P为直角顶点时，过点P作轴于点E，此时，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，若以点P为直角顶点时，过点P作轴于点E，此时，，，， 同理此时点P的坐标为； 如图，若以点为直角顶点时，过点P作轴于点G，则， 同理， ∴，， ∴或0（舍去）， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 如图，若以点为直角顶点时，过点作轴于点M，则，， 同理， ∴，， ∴（舍去）； 如图，若以点为直角顶点时， 同理， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，若以点为直角顶点时， 同理， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为 或 或 或 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 题型1：长度问题 【典例1】．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，求得，即可求解； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标：，，从而求得，，不规则设直线直线与直线相交于，根据 ，则，解得：， 把代入，得，则有，解之即可求得k值． （3）先根据平移性质求得直线l解析式为，过点A作于E，根据等腰三角形的性质求得，则点A的纵坐标为2，把代入，得，解得：，即可得出点A坐标． 【解析】（1）解：把代入，得， ∴直线经过定点． （2）解：令，则， ∴， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与直线相交于，如图， ∵直线将的面积平分， ∴ ∴， 解得：， 把代入，得， ∴， 解得：． （3）解：由（2）知：， 直线向上平移2个单位后得到直线l， 则直线l解析式为， 如图，过点A作于E， ∵，， ∴ ∴点A的纵坐标为2， 把代入，得， 解得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，直线与坐标围砀三角形面积，一次函数图象平移，等腰三角形的性质．熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． 题型2：角度问题 【典例2】．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【解析】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 【典例3】．（20-21八年级下·上海浦东新·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数）的图象交于点和．    (1)求一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)若点E是x轴上一动点，且，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)15 (3)点E的坐标为或 【分析】（1）设一次函数解析式为，先将代入，求得反比例函数解析式，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求得点A坐标，利用待定系数法即可求解； （2）求得点D的坐标，根据即可求解． （3）分两种情况讨论，①过点A作轴，则，即可得到，②作，交y轴于点F，过点A作轴，设，则，由勾股定理求得点F坐标，再求出直线的解析式，即可求解． 【解析】（1）解：设一次函数解析式为， 将代入，可得， ∴， 将代入， 可得， ∴， 将和代入， 可得，解得：， ∴； （2）当时，， 解得：， ∴， （3）解： 如图，过点A作轴，    则， ∴， ∵ ∴， 如图，作，交y轴于点F，过点A作轴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得， ∴，， 设直线的解析式为，代入，， 可解得， 当时，， ∴， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，以及勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． 【典例4】．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)求出a，k的值； (2)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求的值； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】将点代入，即可求出的值，从而得到，再将代入，即可求出的值； 根据一次函数解析式可求出，，结合为轴上的一动点，可求出最后根据，结合三角形面积公式，即可列出关于的等式，解出的值即可． 过作轴于，作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可． 【解析】（1）由题意可知点在一次函数的图象上， ， ， 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ， ； （2）对于，令，则， 解得：， ， 令，则， ， 为轴上的一动点， ， ， ， ，， ， 解得：． （3）过作轴于， 轴， ， 由（1）得， ， 把，代入， ， 作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 把代入， 解得：， ， 综上所述，的坐标为或．    【点睛】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 题型3：面积问题 【典例5】．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）对于，分别令和，求出y值和x值，即得出答案； （2）结合（1）可求出，由题意可知或．设，直线的解析式为，即得出．分类讨论：当时和当时，分别列方程求出t的值，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意结合（2）可知直线的解析式为．过点作x轴垂线，交直线于点C．设，则，即可求出，再根据三角形面积公式可求出，可求得，再分别求出即可． 【解析】（1）解：对于，令，则， ∴； 令，则， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． ∵过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分， ∴或． 设，直线的解析式为， ∴． 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为； 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为． 综上可知直线的表达式为或； （3）解：∵， ∴由（2）可知，即此时直线的解析式为． 如图，过点作x轴垂线，交直线于点C． 设，则， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， 解得：． 当时，，即； 当时，，即． 综上可知点P的坐标为或． 【典例6】．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标系中，为原点，在轴的正半轴上，，把绕着点逆时针旋转后，点与点A重合．    (1)求点的坐标； (2)作的平分线交轴于点，求直线的解析式； (3)在直线上是否存在一个点，使得的面积等于面积的5倍？如果存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）由题意得到是等边三角形，求得，过点A作于，求得，根据勾股定理得到，于是得到A点的坐标为； （2）根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，求得，，设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为； （3）设点的坐标为，根据已知条件得到，①当在的左侧时，如图1，过作于，②当在的右侧时，过作轴于，过A作轴于，根据题意列方程即可得到结论． 【解析】（1）解：由题意知，，， 是等边三角形， ， 过点作于， ， ， 在中，， 点的坐标为； （2）是的平分线， ， 在中，，，， ， 解得：，   ，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为； （3）设点的坐标为， ， ， ①当在的左侧时，如图1，过作于， ，   ， 解得：，， ； ②当在的右侧时，过作轴于，过A作轴于，   ， ， 解得：，， ； 综上所述：或， 在直线上存在一个点，使得的面积等于面积的5倍，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【典例7】．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 题型4：全等问题 【典例8】．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：；直线： (2)的坐标；，， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于，令交轴于，则，由角平分线的性质得出，由得出，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当时；当时，作轴于，连接交于；当时；分别画出图形，利用全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案． 【解析】（1）解：直线：与直线：相交于点， ，， 解得：，， 直线：；直线：； （2）解：①如图，作于，令交轴于，则， 点的坐标为， ，， ， 平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； ②如图，当时， 此时，， 轴， ， ； 如图，当时，作轴于，连接交于， ， ，， 垂直平分， 设，则，，， 将代入得：， 解得：， 由勾股定理得出， ， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 故； 如图，当时， 由（1）可得：， ， ， ， ，， 设，则， 解得：或（舍去）， 故； 综上所述：，，． 题型5：等腰三角形问题 【典例9】．（20-21八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．    (1)求点的坐标和的度数． (2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标． (3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3)当为等腰三角形时，点的坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点坐标的计算方法可求出点的坐标，根据直角三角形中勾股定理可求出，由此可求出的度数； （2）如图所示，过点作于点，设，在中，根据含角的直角三角形的特点可求出的，根据列式求解即可； （3）根据等腰三角形的判定和性质，动点的运动规律，分类讨论：①，为等腰三角形；②如图所示，，是等腰三角形；③如图所示，，是等腰三角形；根据等腰三角形的性质，含特殊角的直角三角形的性质，即可求解． 【解析】（1）解：一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点， ∴令时，；令时，； ∴，， ∵， ∴在，，即， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作于点，    ∵点在一次函数的图像上，设， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，，， ∴，， ∵，即是等腰三角形，且， ∴点是中点， ∴，则，且， ∴，则是等边三角形，即， ∵， ∴，整理得， ∴，， 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由（1）可知，，则， ∵点分别是射线上一动点，如图所示，    ①，为等腰三角形， 取的中点，则，过点作，交与点， ∴是的中位线， ∴是的中点，则，即是等腰三角形， ∵是中位线，且，，， ∴，则， ∴根据（2）中的证明过程可得，是等边三角形， ∴， ∴点与原点重合，即； ②如图所示，，是等腰三角形，    ∴， ∴， ∴； ③如图所示，，是等腰三角形，过点作轴于点，作轴于点，    ∴，， ∴，且， 在中，，， ∴，， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴四边形是矩形，则，且是等边三角形，即， 在中，， ∴，则， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握一次函数图像的性质，勾股定理，几何图形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 【典例10】．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且它们都经过点． (1)求点、点坐标； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在一动点，使是等腰三角形？若存在，请直线写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或或 或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，涉及一次函数与二元一次方程，一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的性质，掌握灵活运用这些知识是解题的关键． （1）根据点求出直线、的解析式，即可求解； （2）根据，可设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析，即可求出点的坐标； （3）分为三种情况讨论：①以为底时；②以为底时；③以为底时；根据等腰三角形的性质列出方程即可求解． 【解析】（1）解：直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， ， 直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ； （2）， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ； （3）①以为底时， ，， ， 设， ， ， 或； ②以为底时，则， 设，且， ， 解得：（舍去）或， ； ③以为底时，点在的中垂线上， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或或 或． 【典例11】．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是反比例函数、反比例函数与一次函数的交点的求法以及等腰三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、利用二元二次方程组求出反比例函数与一次函数的交点坐标是解题的关键； （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a的值，代入一次函数求出k; （2）根据坐标与图形的关系，证明得到答案; （2）分和两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可. 【解析】（1）解：把代入得， ， 解得， ， 将代入一次函数的图像得， ， 解得：； （2）解：直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D， ， 解得，， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， 如图，作轴，轴， ，点A的坐标为， ，， 点C的坐标为 ，， 在和中， ， ， ． （3）点B的坐标为，点C的坐标为， ， 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点在点的右侧，时，点的坐标为； 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点E的坐标为、、时，是以为腰的等腰三角形． 题型6：直角三角形问题 【典例12】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图1，在直角坐标平面内，直线交轴于点，交轴于点，线段的中点记作点．    (1)求点、点、点的坐标； (2)如图2，过点的直线的截距为5，交轴于点，点是直线上的动点（点在点上方，点在点下方），且总满足，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）分别令，即可得出的坐标，进而得出的坐标； （2）分，，分类讨论，即可求解． 【解析】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，，时， ∴，， ∵是的中点， ∴； （2）解：依题意，设的解析式为，将代入得， ，解得： ∴直线的解析式为 令，则， ∴， 依题意，设直线与轴交于点，则， ∴，则是等腰直角三角形， 当时，如图所示，过点点作轴于点，    ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴； 当，如图所示，过点点作轴于点，    设， ∵， ∴ ∴ 解得：或（舍去） 则， 综上所述，或 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型7：旋转折叠问题 【典例13】．（20-21八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求的长和点的坐标； (2)若点在直线上，且的面积等于5，求点坐标； (3)求直线的解析式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】 （1）先求出点A和点B的坐标，得出，，根据勾股定理即可求出，根据折叠的性质可知，求出，即可求出点C的坐标； （2）根据的面积等于5，和三角形的面积公式得出点P的纵坐标绝对值为2，则点P的纵坐标为2或，把点P纵坐标代入，即可求出点P的坐标； （3）设，则，根据列出方程，求出t的值，得出点D坐标，再设直线的解析式为，把，代入得，求出k和b的值即可． 【解析】（1）解：把代入得：， ∴，则， 把代入得：， 解得：， ∴，则， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的面积等于5， ∴， ∵， ∴，则或， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 综上：或； （3）解：设，则， ∵将沿直线折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点坐标，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求解一次函数解析式的方法，成轴对称的两个图形对应边相等，以及勾股定理的内容． 【典例14】．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上． (1)求k的值； (2)如果将绕的中点旋转得到． ①请直接写出点P的坐标； ②请判断点P是否在双曲线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)①P点坐标为，②点P在双曲线上，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数综合，轴对称的性质，旋转的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据翻折的性质得出，则，设，得出， ，联立求出x和y的值，再用待定系数法，即可求出k的值； （2）①设中点D，根据中点坐标公式得出 ，设P点坐标，根据中心对称的性质，列出方程组，求出a和b的值，即可得出点P的坐标；②求出当时，的函数值，即可判断． 【解析】（1）解：∵沿直线翻折得到， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ， 联立得： ， 解得 ， ∴， 把代入得：； （2）解：①设中点为D， ∵，， ∴点D坐标横坐标，点D纵坐标， ∴ ， 设P点坐标， ∵， ∴ ， 解得∶ ， ∴P点坐标为； ②由①可知，， ∴双曲线的表达式为， 当时，， ∴点P在双曲线上． 题型8：列函数解析式（并写出定义域） 【典例15】．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图已知一次函数的图像与坐标轴交于A、B点，点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），过点B作，垂足为F，联结， (1)点B的坐标为___________． (2)当直线的表达式为时，求此时的面积． (3)设，，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)8 (3)， 【分析】（1）求出时的值，即可得解； （2）先求出点的坐标，进而求出，的长，勾股定理求出的长，等积法，求出的长，勾股定理求出的长，过点作于点，再用等积法求出的长，然后利用面积公式求出的面积即可． （3）同法（2），利用等积法求出函数解析式即可，根据点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合），确定定义域即可． 【解析】（1）解：∵一次函数的图像与坐标轴交于A、B点， 当时，，解得：， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 过点作于点， 则：，即：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴； ∵点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合）， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出点的坐标，利用等积法和勾股定理求线段的长． 【典例16】．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【解析】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 题型9：最值问题 【典例17】．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点． (1)请直接写出点B、C的坐标：B______，C______； (2)如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是所在直线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别令进而求得直线与坐标轴的交点坐标； （2）过点作于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点，证明，可得，根据图形与坐标的关系，即可求得，设直线的直线解析式为，待定系数法求解析式即可，令，进而求得点的坐标； （3）如图，作直线，在直线上截取，过作轴于，连接，证明，，可得，可得在垂直于的直线上运动，当时，最短；证明，可得，，，再利用等面积法求解即可． 【解析】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 令，则，令，则， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 轴，平行于轴， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的直线解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线的直线解析式为， 令，则， 即； （3）解：如图，作直线，在直线上截取，过作轴于，连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴在垂直于的直线上运动， 当时，最短； ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ， 而， ∴， ∴， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，旋转的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，二次根式的运算，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 【典例18】．（2025八年级下·上海·专题练习）平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小为 (3) (4) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． （4）作点关于的对称点，则，进而得出，当重合时，取得最小，即的长，勾股定理，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）解：图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， 当在点的右侧时，则与关于对称 又， ∴当在点的右侧时， 综上所述， （4）解：如图所示， 作点关于的对称点，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，则 ∴是等腰直角三角形 ∵，，则， ∴， ∴， 依题意，， ∴ 当重合时，取得最小，即的长， 此时， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 题型10：定值问题 【典例19】．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线：交于点C． (1)若直线解析式为，求：点C的坐标； (2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当是等腰三角形时P点的坐标． (3)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足分别为M，N，试问的值是否变化，若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3) 【分析】（1）把两个解析式联立成方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标为根据，分类讨论，根据腰相等，利用勾股定理列方程即可求解； （3）证明，连接，作于H，利用等积法证明即可． 【解析】（1）解：根据题意，把、解析式联立得， ， 解得，， 点C的坐标为． （2）解：设点P的坐标为根据， 因为点C的坐标为， 所以，，，， 当时，，解得，，点P的坐标为或； 当时，，解得，，点P的坐标为； 当时，，解得，或（舍去），点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． （3）解：的值不变化； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，作于H， ，，， ∵， ∴， ∴， 设点C的坐标为， 则， 解得，，（舍去）， 即． 【点睛】本题考查了一次函数的性质和勾股定理、等腰三角形的性质与判定，解题关键是根据一次函数的有关性质，求函数图像交点，利用点的坐标列出相关方程． 一、解答题 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1)3； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【解析】（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， 解得， ∴，， 又，代入中， ∴，     解得， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3）或，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∴，， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， 联立得： 解得， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，同理可得 综上所述，或 2．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线交x轴负半轴于点D (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______； (2)横坐标为m的点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为y（），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、一次函数与特殊三角形问题，掌握待定系数法以及分类讨论的数学思想是解题关键． （1）设直线的解析式为，由A、D即可求解；由可得，设直线的解析式为：，将点A代入即可求解； （2）由（1）可求点，由题意设点P；根据题意可求得，即可求解； （3）分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【解析】（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵ ∴ ∴设直线的解析式为：， 将点A代入可得：， 解得： ∴直线的解析式为：， 故答案为：， （2）解：中可得： ∴点 由题意设点P ∵轴， ∴ ∵点E在上， ∴ 解得： ∴ （3）解：时， 则， 解得： ∴ 时， 则 解得： ∴ ∴ 时， 则 ∵轴， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 综上所述：或或 3．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小为 (3) (4) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． （4）作点关于的对称点，则，进而得出，当重合时，取得最小，即的长，勾股定理，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）解：图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， 当在点的右侧时，则与关于对称 又， ∴当在点的右侧时， 综上所述， （4）解：如图所示， 作点关于的对称点，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，则 ∴是等腰直角三角形 ∵，，则， ∴， ∴， 依题意，， ∴ 当重合时，取得最小，即的长， 此时， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 4．如图1所示，直线l：与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于两点． (1)当时，求点A坐标及直线l的解析式； (2)在（1）的条件下，如图2所示，设Q为延长线上的一点，作直线，过两点分别作于M，于N，若，求的长． (3)当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)的长度为定值，理由见详解 【分析】（1），令，则，所以，则，可求得，即可求得直线的解析式为； （2）由，得，即可证明，由，，，根据勾股定理求得，所以，则的长是6； （3）作轴于点，可证明，得，，再证明，得，则的长度为定值，它的值为5． 【解析】（1），当时，则， 解得， ， ，且点在轴正半轴上， ， 将代入，得， 解得， ，直线的解析式为． （2）如图2，于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 的长是 （3）的长度为定值， 如图3，作轴于点， 和都是等腰直角三角形，且点为直角顶点， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 的长度为定值，它的值为5． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 5．（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______． （2）求（1）中点的坐标． （3）类比探究 如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图像的性质，一次函数图像上的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是关键． （1）当时，；当时，；即可求出结论； （2）过点C作 ，交x轴于点D，后证明，求得线段的长度即可得出结论 （3）过点C作 ，交x轴于点H，后证明，则，设，则，表示出求出最小值即可． 【解析】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，； 当时，； （2）过点C作 ，交x轴于点D， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点C作 ，交x轴于点H， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， ， 设，则， 当点A在线段上时，如上图，， ， ， 最小值为8，即最小值为； 当点A在线段上时，如下图，， ,故此时长必大于当点A在线段上时长，舍去； 综上所述，最小值为； 6．如图①所示，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点． (1)当时，点坐标为_______；点坐标为_______；直线的解析式是_______； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设为延长线上一点，连接，过、两点分别作于，于，若，求点的坐标； (3)当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴上运动时，试猜想的面积是否改变，若不变，请求出其值；若改变，请说明理由． (4)当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边在第二象限作等腰直角，则动点在直线_______上运动．（直接写出直线的表达式） 【答案】(1)；； (2)点的坐标为 (3)的面积不变， (4) 【分析】（１）由直线的解析式可以得到，，根据，求出的值，即可求解； （２）由，，可得，推出，结合，可证明，得到，，过点作，根据等面积法可求出，再根据勾股定理求出，即可求解； （３）作轴于点，证明，得到，，再证明，得到，推出，即可求解； （４）由（３）可得，，则， 进而得到点，由此即可求解． 【解析】（1）解：直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点， ，， ， ，即， ，，直线的解析式为， 故答案为：；；； （2）由（１）知， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 过点作， 则， 即， 解得：， 由勾股定理得：， 点的坐标为； （3）的面积不变，理由如下： 如图，作轴于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （4）如图3，，， ，， ， 点， 动点在直线上运动， 故答案为：． 【点睛】本题属于一次函数的综合题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等面积法，一次函数与坐标轴的交点，灵活运用这些知识是解题的关键． 7．已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线与y轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为________；（直接写出结果） (2)在x轴上求一点P使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． (3)若点Q为线段上的一个动点，连接．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)满足条件的点P的坐标为或或或． (3)点Q的坐标为． 【分析】（1）根据一次函数求出点D的坐标，将点，点D，代入一次函数中求解，即可得到直线的函数表达式； （2）利用勾股定理算出，根据在x轴上求一点P使为等腰三角形，分以下三种情况讨论，①当时， ②当时，过点作轴于点，③当时，在的垂直平分线上，利用等腰三角形性质、勾股定理，对上述情况进行分析，即可解题． （3）记翻折后点D恰好落在y轴上的点为，设点Q的坐标为，由翻折的性质可得，，利用勾股定理算出，推出，再根据建立等式求解，即可解题． 【解析】（1）解：一次函数的图象过点D，且点D的横坐标为4， ， ， 一次函数的图象经过点，且与相交于点D， ，解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：． （2）解：当时，有，解得， ， ， 点P在x轴上， 为等腰三角形， 下面分情况讨论： ①当时，如图所示： ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ②当时，过点作轴于点，如图所示： 由（1）知，， ， ， 点的坐标为， ③当时，在的垂直平分线上， ，， 设的坐标为， ，解得， 点的坐标为， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或． （3）解：存在， 记翻折后点D恰好落在y轴上的点为，设点Q的坐标为， 由翻折的性质可知，，， 即， 点的坐标为， ， ， 解得， 点Q的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、坐标与图形、用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形性质、垂直平分线性质、勾股定理、翻折的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想对不同的情况进行分析． 8．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）①2，3；②；（2）的面积是定值，，理由见解析； （3）． 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【解析】解：（1）①若， 则直线为直线， 当时，， ， 当时，， ， ，， 故答案为：2，3； ②作于， ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）如图4，过点作，交于，过点作轴于， 当时，设直线l函数关系式为， 对于直线，由得 ， 由得， ，， 由（1）得， ， ， 设直线为，则， 解得 直线为 由得， ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______； ②若射线平分，求点P的坐标； (3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案） 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）作轴，证，得， ，由点B、C即可求解． （2）①过点P作轴，由点B、C、D可得，由得，即可求，从而得点P坐标．②作，证得，由，，得点P坐标． （3）分两种情况讨论，当点在x轴正半轴，当点在x轴负半轴，当延长至点H，由折叠的性质可知，，由得，进而得点P坐标．或根据两点间距离公式求解即可． 【解析】（1） 作轴， ∴， 在和中， ∵，     ∴， ∴， ∵， ∴， 将B、C分别代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式． （2）①过点P作轴， 由点B、C、D可知， ∵， ∴， 由点B、D可得， ∵， ∴， ∴． ②作， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）①当点在x轴正半轴， 延长至点H， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标值为， ∴， ∴ ∴． ②当点在x轴负半轴， 同①可得， 设， 由题意得，即， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用、三角形的全等证明、勾股定理、角平分线的性质，掌握相关知识，根据题意正确画出辅助线是解题的关键． 10．如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点． (1)求点D的坐标； (2)如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点． ①若，求的长； ②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2)①的长为2；② 【分析】（1）直线，令，求出，即可得点的坐标； （2）①过作轴于，证明，可得，，设，则，代入直线即可求解； ②在上截取，连接，证明，在中，利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：，轴，直线与交于点， 点的纵坐标为6， 直线，令得， 解得， 点的坐标为； （2）解：①过作轴于， ，， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ，， ， ， 代入得，解得， 的长为2； ②在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 由（1）中D的坐标可知， ∴， 即． ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，能够通过作垂线构造全等三角形是解题的关键． 11．如图1，已知直线与坐标轴分别交于点A、B两点，与直线交于点， 点在直线上运动，过M作直线垂直于x轴，垂足为D，该直线与直线交于点N． (1)求t、b的值； (2)若点在内部，直接写出q的取值范围_________； (3)若点在线段CB上运动． ①若，求四边形的面积； ②若点M是线段的三等分点，求m的值． (4)如图2，点在直线上，过A点作直线，垂足为H，将沿直线翻折得，当点M从点B运动到点E的过程中，点也随之运动，请直接写出点运动的路径长为___________． 【答案】(1)， (2) (3)①面积为7；②或 (4)5 【分析】（1）把点代入函数，即可求出t的值，把点代入函数，即可求出b的值； （2）内部的点应满足，根据点P是内部的点，由此可得关于q的不等式组，求解即可； （3）①根据题意得出，过点C作轴于点E，进而可得，，，根据，即可求解； ②分别表示出，分，两种情况，求得m的值； （4）分别过点B，E作y轴的平行线，与过点A垂直于y轴的直线分别交于点P，Q，则点M在线段上运动，点H的运动路径长为线段的长，根据对称性可得，点的运动路径长也为线段的长，从而解决问题． 【解析】（1）∵直线经过点， ∴， ∴点C的坐标为， ∵直线经过点， ∴， ∴； （2）∵点在内部， ∴， 解得：． 故答案为： （3）①∵ ∴直线， 当时，则，代入函数，得 ∴ ∴，则， 如图所示，过点C作轴于点E，    ∵ ∴， ∴， ∴ ； ②∵在上， ∴， ∵点N在上， ∴， 则，， 当时， ∴， 解得：， 当时， ∴， 解得：， 综上所述，点M是线段的三等分点，则或． （4）∵点在直线上， ∴，即， ∴ 把代入函数，得 ，解得， ∴ 分别过点B，E作y轴的平行线，与过点A垂直于y轴的直线分别交于点P，Q，    则点M在线段上运动，点H的运动路径为线段，根据对称性可得，点的运动路径长为线段的长． ∵，， ∴， ∴点的运动路径长为5． 故答案为：5 12．对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图． 【知识理解】 (1)已知点A的坐标为(0，0)，点P关于点A的“顺转点”为点Q． ①若点P的坐标为(1，0)，则点Q的坐标为　　； ②当点P的坐标为　　时，点Q的坐标为(2，-1)； ③△PAQ是　　 三角形； 【知识运用】 (2)如图2，已知直线与x轴交于点A． ①点B的坐标为(1，0)，点C在直线上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标是　　； ②点E在直线上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为　　； 【知识迁移】 (3)如图3，已知直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为　　； (4)点A是平面直角坐标系内一点，点P(2，0)关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y=-x上，当线段AP最短时，点A的坐标为　　． 【答案】(1)①；②；③等腰直角； (2)①或；②； (3)； (4)． 【分析】（1）①由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，则，，可求点坐标； ③由，，可判断三角形形状； （2）①设点关于点的“顺转点”为，当点在轴坐标轴时，轴，可求；当点在轴正半轴时，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，可得点纵坐标为，则可求； ②设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，先证明，可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为； （3）设与轴的交点为，过点作交于点，作轴于点N．先证明，推出， ，进而得到，利用待定系数法即可求解； （4）设点，，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，由，，求出，则，当最短时． 【解析】（1）解：①，，点关于点的“顺转点”为点， ，， ， 故答案为：； ②如图1，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ， 又∵，， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：； ③∵点P关于点A的“顺转点”为点Q， ∴，， ∴△PAQ是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角 （2）解：①设点关于点的“顺转点”为， 当点在轴坐标轴时，轴， ，点在直线上， 将代入得，， ； 如图2，当点在轴正半轴时， 过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ， 又∵，， ， ，， ， ， 点纵坐标为， 点在直线上， 将代入得，， ； 综上所述：点坐标为或； 故答案为：或； ②如图3，设， ∵直线与x轴交于点A， ∴． 过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 又∵，， ， ，， ， ，， ∴点F的纵坐标为：， 点F的横坐标为：， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 故答案为：； （3）解：∵直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A， 令，则， ， ， 如图4，设与轴的交点为，过点作交于点，作轴于点N． 将代入y=-2x+2得，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又∵，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 故答案为：； （4）解：设点，， 如图5，过点作轴，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 当时，最短， ， 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象及性质、三角形全等的判定及性质等，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 13．函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．    (1)关于1的对称函数与直线交于点C； ①A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）． ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出A、E、F组成直角三角形且A为直角顶点时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或 (2) (3) 【分析】（1）①把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先根据三角形面积公式求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围． （3）先求出点E、A的坐标，然后根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【解析】（1）解：①当时，令，即， 解得，此时满足题意， 故． 当时，令，即， 解得，此时满足题意， 故． 当时，，故． 故答案为：；2；2． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即，解得，此时与点C重合，故舍去． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 故点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得x=2， ∴x=2必须在的范围之内， ∴， ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴． ∴， ∵直线与关于m的对称函数有两个交点， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立可得， 解得， ∴直线与直线必有一交点， 对于直线与直线， 联立可得， 解得 ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点． ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是． （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，且A为直角顶点， ∴， ∵点F的坐标为， ∴， 解得：． ∵， ∴符合题意， 即当时，点A、E、F组成直角三角形，且A为直角顶点． 2 / 104 学科网（北京）股份有限公司 $$