第05讲 一次函数的几何应用(二类知识点+九大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第05讲 一次函数的几何应用（九大题型） 学习目标 1、 根据几何问题求一次函数解析式； 2、 会结合一次函数图像与几何图形解决问题； 3、 掌握分类讨论思想、构造几何模型思想等； 一、一次函数的几何应用 此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。 二、两点解题思路 1.能将几何问题转化为代数问题； 2.将线段转化为点坐标，利用一次函数求解难点：找全等或构造全等、等腰、直角三角形等几何模型。 【即学即练1】一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，坐标原点为，则的面积为 ． 【即学即练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线上有一动点，当时，点的坐标是 ．    【即学即练3】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是第一象限内的一点．若为等腰直角三角形，则点P的坐标为 ． 题型1：根据几何问题写出一次函数的解析式 【典例1】．已知等腰三角形的周长是，那么腰长与底边长的函数解析式及定义域是 ． 【典例2】．如图，李爷爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为．边的长为 （），则y与x之间的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【典例3】．在直角三角形中，，，，，于，在上取一点（不与、重合），设三角形的面积是，的长为，求和的函数关系式，并写出函数的定义域． 题型2：求一次函数与坐标轴围成的面积，长度等问题 【典例4】．如图， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求 A， B两点的坐标； (2)求 的面积． 【典例5】．如图，直线与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线上的一个点，求的面积． 【典例6】．如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【典例7】．如图，已知函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的横坐标为2，在轴上有一点（其中，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、． (1)求点A的坐标； (2)若，求a的值． 题型3：全等问题 【典例8】．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【典例9】．如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 题型4：简单的分类讨论 【典例10】．如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 【典例11】．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 【典例12】．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点是一次函数图象上一点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标； (3)当的面积为5时，求点的坐标． 【典例13】．已知，直线：与直线平行，并与y轴交于点A，与x轴交于点B如图所示． (1)求直线的表达式； (2)请直接写出：A点坐标（______），B点坐标（______）； (3)在直线上，是否存在点P使得的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【典例14】．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点．      (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上求一点，使． 【典例15】．如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【典例16】．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例17】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点． (1)填空：______，______ (2)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标； (3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【典例18】．直线与坐标轴交于、两点，点在坐标轴上，如果为等腰三角形，则满足条件的点最多有（    ）个． A． B． C． D． 题型5：交点、公共点问题 【典例19】．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，当直线与有交点时，k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例20】．已知点， 直线经过点．当该直线与线段有交点时，k的取值范围是（     ） A．或 B．且 C．或 D．或 【典例21】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例22】．如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 【典例23】．如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 题型6：一次函数几何应用的综合辨析 【典例24】．如图，在平面直角坐标系中，已知、、过、两点作直线，连接，下列结论正确的有（   ） A．直线解析式： B．点在直线上 C．线段长为 D． 【典例25】．如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 题型7：最值问题 【典例26】．如图，已知是平面直角坐标系中的三点． (1)请画出关于轴对称的； (2)若中有一点坐标为，请直接写出经过以上变换后中点的对应点的坐标为__________． (3)在轴上，且最小，直接写出点的坐标为__________； 【典例27】．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．    (1)作关于轴对称的图形，、、的对应点分别为、、； (2)在轴上存在一点，使的值最小，请在图中画出点，并求出点的坐标． 【典例28】．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 【典例29】．如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 题型8：角度问题 【典例30】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，直线于点，． (1)求点、点的坐标，并用含的代数式表示，，的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)是轴上的一点，连结，，若，且，求的值． 【典例31】．如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 题型9：动态问题（旋转、折叠等） 【典例32】．如图，直线分别交轴、轴于、两点，在轴的负半轴上有一点，若将沿直线折叠得到，点在轴上，则点的坐标为 ． 【典例33】．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点顺时针旋转后得到，则过点的反比例函数中的值等于（   ） A． B．8 C． D．4 【典例34】．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例35】．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例36】．如图，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针旋转至线段，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例37】．如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标； (3)把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标． 一、单选题 1．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么与之间的函数关系式及定义域是（    ） A． B． C． D． 2．在函数中，给取不同的值，就可以得到不同的直线，那么这些直线必定（ ） A．交于同一个点 B．交于无数个点 C．互相平行 D．没有确定的关系 3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线分别与轴、直线交于点、，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 4．已知等腰三角形周长为40，则腰长y关于底边长x的函数图象是　　 A．B．C．D． 5．如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 7．直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方做等腰直角三角形，其中，将沿着x轴方向向右平移，当点B落在直线上时，则平移的距离是（    ） A．2 B． C．6 D．10 8．如图，在中，，已知点，现将向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（   ）      A．12 B．6 C．20 D．24 9．如图，一次函数与x轴交于点B，一次函数与x轴交于点A，一次函数与图像交于点C．在y轴负半轴上找一点P使得的面积等于．则满足条件的点P是（　　）    A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（　　　）． A． B． C．4 D． 二、填空题 11．直线，与轴所围成的图形的面积是 ． 12．在平面直角坐标系中，直线与相交于点A，直线与y轴相交于点B．若的面积为12，则 ． 13．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，C是线段上一点，，则点C的坐标为 ． 14．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为 ．    15．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，直线经过的顶点B，且将的面积分为的两部分，则直线的表达式为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴上的C点，则点C的坐标为 ． 17．已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是第一象限内的一点．若为等腰直角三角形，则点P的坐标为 ． 18．已知：如图所示，直线交轴于点，交轴于点．若点从点出发，沿射线作匀速运动，点从点出发，沿射线作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当为直角三角形时，则点的坐标为 ． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于直线． (1)若这条直线经过点，求的值； (2)求由直线、直线与轴围成的三角形的面积． 20．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，且，点C的坐标为，点P在线段上． (1)求直线l的函数表达式； (2)连接和，当点P的横坐标为4时，求的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中(O为坐标原点)，已知直线y=kx+b与x轴y轴分别交于点A (2，0)、点B(0，1)， 点C的坐标是(-1，0)． (1)    求直线AB的表达式 (2)设点D为直线AB上一点，且CD =AD．求点D的坐标． 22．直线和x轴、y轴分别相交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，如果在第一象限内有一点P（）且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值． 23．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且．    (1)求k的值； (2)若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标． 24．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式； (3)求当t为何值时，并求此时M点的坐标． 25．已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一次函数的几何应用（九大题型） 学习目标 1、 根据几何问题求一次函数解析式； 2、 会结合一次函数图像与几何图形解决问题； 3、 掌握分类讨论思想、构造几何模型思想等； 一、一次函数的几何应用 此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。 二、两点解题思路 1.能将几何问题转化为代数问题； 2.将线段转化为点坐标，利用一次函数求解难点：找全等或构造全等、等腰、直角三角形等几何模型。 【即学即练1】一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，坐标原点为，则的面积为 ． 【答案】//1.5 【分析】先求出A、B的坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【解析】解：令，则，令，则， ∴、， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像与坐标轴的交点，熟练掌握求函数图像与坐标轴交点坐标的方法是关键． 【即学即练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线上有一动点，当时，点的坐标是 ．    【答案】 【分析】由题意可得点P的横坐标为1，代入解析式可求点P的坐标． 【解析】∵点A（0，4），B（2，4）， ∴AB∥x轴， ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， ∴点P的横坐标为1， ∵点P在直线上， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练利用线段的垂直平分线的性质是解决问题的关键． 【即学即练3】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是第一象限内的一点．若为等腰直角三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．先根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出点P的坐标． 【解析】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴A、B两点坐标分别为， ∵点P是第一象限内的点且为等腰直角三角形， 当时，轴，且，此时P点坐标为； 当时，轴，且，此时P点坐标为； 当时，P点坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或 题型1：根据几何问题写出一次函数的解析式 【典例1】．已知等腰三角形的周长是，那么腰长与底边长的函数解析式及定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据题意列出解析式，求出范围，即可求解；能根据等腰三角形的定义列出解析式，会由构成三角形的条件求出自变量取值范围是解题的关键． 【解析】解：由题意得 ， ， 解得：， 故答案：． 【典例2】．如图，李爷爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为．边的长为 （），则y与x之间的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出，即，再确定自变量得取值范围即可得出结论． 【解析】由题意可得，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确分析已知条件列出函数表达式，并结合实际确定自变量的取值范围是解题的关键． 【典例3】．在直角三角形中，，，，，于，在上取一点（不与、重合），设三角形的面积是，的长为，求和的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】 【分析】根据图形求面积的函数关系式． 【解析】由直角三角形的面积，可得：， 所以． 【点睛】本题考查了根据图形求面积的函数关系式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 题型2：求一次函数与坐标轴围成的面积，长度等问题 【典例4】．如图， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求 A， B两点的坐标； (2)求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形， （1）令，，即可求出答案； （2）先求出，可求出答案． 【解析】（1）当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）由（1）可知， ∴． 【典例5】．如图，直线与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线上的一个点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形等知识． （1）把代入得到，，即可求出答案； （2）根据（1）得到，求出，利用三角形面积公式并结合点的坐标即可求出答案． 【解析】（1）解：把代入得到， ， 解得； （2）由（1）得到， 把点代入得到， ， ∴ ∵点A的坐标为． ∴ ∴的面积为． 【典例6】．如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，进而求出，则，进一步得到，据此求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）设，则，可得，据此可得答案． 【解析】（1）解：∵点A的坐标为，轴 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴． 【典例7】．如图，已知函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的横坐标为2，在轴上有一点（其中，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、． (1)求点A的坐标； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点在直线上，且横坐标为2，，把代入得，可得一次函数表达式为，从而可求出的坐标； （2）求出点的坐标，根据可求出，由题意可知：，，所以，从而可求出的值． 本题考查一次函数的解析式，涉及待定系数法求解析，根据解析式求出坐标，解方程等知识，综合程度较高，本题属于中等题型． 【解析】（1）解：点在直线上，且横坐标为2， 把代入得 一次函数表达式为 把代入得 点的坐标为 （2）解：把代入得 ， ， 轴， ，， ， 题型3：全等问题 【典例8】．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【解析】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 此时点P的坐标为或； ②当时，如图4和图5， ∴，即点P、点Q纵坐标为或， 由， 解得：， 由， 解得：， 此时点P的坐标为或， 综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或共4个． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 【典例9】．如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】D 【分析】由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键． 【解析】解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 题型4：简单的分类讨论 【典例10】．如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解m和n的值； （2）设，利用求解即可； 【解析】（1）将点代入得： ， 解得：， 又直线：过点，得 ， 解得：， （2）设，则，， 即 ， 解得：或 故点P的坐标为或 【典例11】．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 【答案】(1)， (2)的面积为4或12 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标． （2）由点A、B的坐标得出的长，结合可得出P点坐标，进而求出的长，再利用三角形的面积公式求出面积． 【解析】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴P点坐标为或， ∴或6， ∴或， ∴的面积为4或12． 【典例12】．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点是一次函数图象上一点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标； (3)当的面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，或 【分析】本题考查一次函数的图象和几何变换，坐标与图形面积，熟练利用数形结合的方法解题是关键． （1）由平移的性质可得到，再将点代入解析式求解； （2）根据一次函数与坐标轴相交的特点去求解； （3），结合点，利用当的面积为5时，解立方程求解． 【解析】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， 一次函数为， 一次函数经过点， ， ， 一次函数为． （2）解：由题意得 当时，， 当时，， ， 图象与轴、轴的交点的坐标分别为，． （3）解：设   ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ，或． 【典例13】．已知，直线：与直线平行，并与y轴交于点A，与x轴交于点B如图所示． (1)求直线的表达式； (2)请直接写出：A点坐标（______），B点坐标（______）； (3)在直线上，是否存在点P使得的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，求一次函数与坐标轴的交点坐标： （1）根据两平行直线解析式中的一次项系数相同即可得到答案； （2）分别求出自变量和函数值为0的函数值和自变量的值即可得到答案； （3）根据三角形面积计算公式可得，据此求出P的横坐标，进而求出P的纵坐标即可得到答案． 【解析】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：在中，当时，；当时，， ∴； 故答案为：；； （3）解：∵， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，；当时，； ∴点P的坐标为或． 【典例14】．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点．      (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上求一点，使． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，根据图形面积之间的关系求出，进而求出点P的纵坐标，最后求出点P的坐标即可． 【解析】（1）解：（1）设直线的表达式为， 把代入，得，解得， 所以直线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为；   如图所示，当点P在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为；   综上所述，点P的坐标为或． 【典例15】．如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键． （1）解析式联立，解方程组即可求得； （2）根据题意求得的长，从而求得的坐标； （3）根据题意得到，求得的值，即可求得的坐标． 【解析】（1）解：由， 解得， ∴点的坐标为； （2）∵直线与坐标轴分别交于两点， ∵点在轴上，且， ∴的坐标为或； （3）∵点在直线上，点横坐标为，且， ， ∴点的坐标为． 【典例16】．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，点的坐标是或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的表达式为：，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． （3）设直线的表达式为，把代入，求出直线的表达式为，因为三角形的面积是三角形的面积的，得出点的横坐标为1或，再进行分类讨论，即可作答． 【解析】（1）解：设直线的表达式为：， ∵过点的直线与直线相交于点， ∴把和分别代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， （2）解：∵，， ∴， ∴， （3）解：存在，过程如下： 设直线的表达式为，把代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵三角形的面积是三角形的面积的， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为1或， 当点的横坐标为1时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 在中，当时，， 则点的坐标为， 当点的横坐标为时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 综上，点的坐标是或或． 【典例17】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点． (1)填空：______，______ (2)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标； (3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为或； (3)或2或1 【分析】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，再求出m的值即可． （2）由（1）得一次函数：，先求出的面积，进而求出的面积，最后求出符合条件的点M的坐标； （3）根据题意，当或时，，，不能围成三角形，一次函数的图象过点，进而即可求得三种k的值． 【解析】（1）解：将点代入得：， 然后将代入得：， 解得：． （2）由（1）得：一次函数：， ∵点M在直线， 把代入，得， ∴C点坐标为， ∴， ∵A点坐标， ∴， 把代入，得， ∴B点坐标为， ∴， ∴， 解得：边上的高为：， 当时，，当时， ∴点M的坐标为或； （3）当或时，，，不能围成三角形，即或， 当过点时，将点A坐标代入并解得：； 故当的表达式为：或或． 故或2或1． 【典例18】．直线与坐标轴交于、两点，点在坐标轴上，如果为等腰三角形，则满足条件的点最多有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用分类讨论的数学思想，分为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断，即可解决问题． 【解析】解：如图， 若以点B为圆心，以的长为半径画弧，则与x轴有两个交点，与y轴有一个交点（点A除外）； 若以点A为圆心，以的长为半径画弧，则与x轴有一个交点（点B除外），与y轴有两个交点； ∴以为腰的等腰有6个； 若以为底，作的垂直平分线，与坐标轴交于原点O， ∴为等腰三角形，则满足条件的点C最多有7个． 故选：C． 【点睛】该题主要考查了等腰三角形的判定问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，分为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求． 题型5：交点、公共点问题 【典例19】．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，当直线与有交点时，k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键．将的坐标分别代入直线中求得k的值，即可得到k的取值范围． 【解析】解：直线当时，， 直线经过点A时，将代入直线中，可得，解得； 直线经过点C时，将代入直线中，可得，解得； 故k的取值范围是．    故选：B． 【典例20】．已知点， 直线经过点．当该直线与线段有交点时，k的取值范围是（     ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．先求解，的解析式，再结合图象可得答案． 【解析】解：如图， 当为直线时， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴此时该直线与线段有交点时，则， 当为直线时， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴此时该直线与线段有交点时，则， ∴或． 故选：D． 【典例21】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，点A的坐标为，若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一次函数的几何应用，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出直线与x轴的交点坐标是解答本题的关键根据题意画出图形，求出点B的坐标，再求出过点A和点B且与直线平行的直线解析式，分别求出与x轴的交点坐标即可解决问题． 【解析】解：过点A作轴于点E，过点B作于点F，如图， ， 根据勾股定理得，， 又 对于，当时，， ， ∴直线与轴的交点坐标为； 设过点A且与直线平行的直线解析式为， 把代入，得：， ， ， 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为 设过点B且与直线平行的直线解析式为 把代入得：， 当时，， ， 与轴的交点坐标为 ∴直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点，则m的取值范围是，即， 故选：A． 【典例22】．如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点的坐标分别代入到，即可求得的取值范围； （2）将点的坐标分别代入到，即可求得的取值范围； 【解析】（1）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则． 直线与线段有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． （2）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 直线与有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． 【典例23】．如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）把，代入求得k的值，结合图象即可求得． 【解析】解：（1）由题意可知点，代入得，， ； 故答案为：； （2）由题意可知，， 把代入得， ，解得； 把代入得， ，解得； 由图象知与矩形的边有两个公共点， 或． 故答案为：或． 题型6：一次函数几何应用的综合辨析 【典例24】．如图，在平面直角坐标系中，已知、、过、两点作直线，连接，下列结论正确的有（   ） A．直线解析式： B．点在直线上 C．线段长为 D． 【答案】B 【分析】根据待定系数法，求得直线解析式，即可判断A，把代入直线解析式，即可判断B，利用两点间的距离公式，即可求解BC的长，进而判断C，求出AC：BC=1:2，进而判断D． 【解析】设直线解析式：y=kx+b， 把、代入得，解得：， ∴直线解析式：，故A错误； ∵当x=1，y=-2×1+6=4， ∴在直线上，故B正确； ∵=，故C错误； ∵AB=, ∴AC= AB-=， ∴AC：BC=1:2， ∴，故D错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数的待定系数法，两点间的距离公式，直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质，是解题的关键． 【典例25】．如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【解析】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于，   ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键． 题型7：最值问题 【典例26】．如图，已知是平面直角坐标系中的三点． (1)请画出关于轴对称的； (2)若中有一点坐标为，请直接写出经过以上变换后中点的对应点的坐标为__________． (3)在轴上，且最小，直接写出点的坐标为__________； 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查作图的轴对称和一次函数的应用. （1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点，，分别连接各点即可； （2）由关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标不变，从而可得结论． （3）连接交x轴于点P，则点P即为所求点，设解析式为，利用待定系数法求出的解析式，然后另，求出x的值，则得出点P的坐标． 【解析】（1）解：∵， ∴关于轴对称的点为，，， ∴如图所示， （2）由关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标不变， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． （3）连接交x轴于点P，则点P即为所求点，如图， 设解析式为 把代入，得， 解得：， ∴解析式为：， 另，则 则点． 故答案为：． 【典例27】．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．    (1)作关于轴对称的图形，、、的对应点分别为、、； (2)在轴上存在一点，使的值最小，请在图中画出点，并求出点的坐标． 【答案】(1)即为所求 (2) 【分析】本题考查轴对称的知识，解题的关键是掌握点关于轴对称的点的性质，轴对称最短路径，即可． （1）点关于轴对称的点的性质：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可； （2）根据轴对称最短路径确定点的位置，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入解析式中，求出，；再根据点在直线上，即可． 【解析】（1）∵点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ∴关于轴对称的图形中，，，， ∴连接点、、， ∴即为所求．    （2）∵点关于轴对称的点为， 连接交轴于点， ∴有最小值， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴点． 【典例28】．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值； （2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式； （3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值． 【解析】（1）解：直线过点， ， ； （2）解：∵点的坐标为， ∴， 点在直线上， 点， ， ， 点在线段上的一个动点， ； （3）解：点是线段上的一个动点，，且， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键． 【典例29】．如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，一次函数与几何图形， 对于（1），将点A的坐标代入关系式，再令，，即可求出点B，C的坐标； 对于（2），作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，根据两点之间线段最短得出最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可得出答案； 对于（3），根据两个三角形的面积差计算即可． 【解析】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点，根据两点之间线段最短得出最小． ∴点． 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：如图所示． ． 题型8：角度问题 【典例30】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，直线于点，． (1)求点、点的坐标，并用含的代数式表示，，的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)是轴上的一点，连结，，若，且，求的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）利用勾股定理求出，根据，即可求得的值； （3）过点作轴于，设，则可证明，即可得出，，分情况讨论的值，求解即可． 【解析】（1）解：直线分别交轴，轴于点，， 令，则， 故点的坐标为， 令，则， 故点的坐标为， 直线分别交轴，直线于点，， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 直线与直线交于点， ， 解得， 故点的坐标为； 综上，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为； （2）连接， 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ，， ， ， 解得：； （3）过点作轴于， 设， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 解得或，重合舍去）， 故， 当时，， 解得或（舍， 故， 综上，或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． 【典例31】．如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可得，根据即可求的坐标； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标，用待定系数法求出直线的解析式为；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得H的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式． 【解析】（1）解：设直线的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 将代入得： ， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ， 解得：， ∵， ∴点的坐标为或； （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，   ， ， 过作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， ， ∵，， ，， 即点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， ②当点在射线上时， 过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ，， ∵，， ，， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ， 综上：直线的解析式为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 题型9：动态问题（旋转、折叠等） 【典例32】．如图，直线分别交轴、轴于、两点，在轴的负半轴上有一点，若将沿直线折叠得到，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质、勾股定理；先求得点、的坐标，进而求得，由题意得：，故点，设点的坐标为：，根据，即可得到的值． 【解析】解：直线分别交轴、轴于、两点， ，，则 ， 由题意得：， ， 故点， 设点的坐标为：， ， 解得：， 故点． 故答案为：． 【典例33】．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点顺时针旋转后得到，则过点的反比例函数中的值等于（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数与几何旋转结合，熟练掌握一次函数的性质、旋转的性质，反比例函数的解析式求法是解题的关键．先求出、坐标，再利用旋转性质得出，，轴，轴，即可求出点的坐标，即可求解． 【解析】解：令，得， ∴点坐标为 令，得， 解得：， ∴点坐标为， ∴，， ∵把绕点顺时针旋转后得到， ∴，，轴，轴， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 故选：C． 【典例34】．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及折叠的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，设点，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【解析】解：由折叠可知：， 令时，则，解得：，令时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则有， 在中，由勾股定理可得， 解得：； 故选B． 【典例35】．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【解析】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． 【典例36】．如图，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针旋转至线段，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【解析】解： 解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，， ∴，， ∴， ， ，， 在和中， ， ，， ， ∴设，， ， ，则，，即． ∵直线， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，则的坐标是， 设直线的解析式是，把代入得：， 即直线的解析式是， 即方程组得：，即的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数得解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力. 【典例37】．如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标； (3)把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）作点C关于x轴的对称点H，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故点M即为直线与x轴的交点，求出直线的解析式为，在中，当，据此可得答案； （3）分把线段绕点顺时针旋转得到线段和把线段绕点逆时针旋转得到线段，通过一线三垂直模型构造全等三角形求出点E的坐标，进而求出直线解析式，再联立直线解析式和直线解析式求出点D的坐标即可． 【解析】（1）解：在中，当时，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入中得：， 解得， 直线的表达式为； （2）解：如图所示，作点C关于x轴的对称点H，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴点M即为直线与x轴的交点， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：当把线段绕点逆时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作y轴的垂线，垂足分别为H、G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴ 当把线段绕点顺时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、G， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 一、单选题 1．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么与之间的函数关系式及定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义和三角形的周长公式，即可求出与之间的函数关系式，然后根据实际意义和三角形三边关系即可求出的取值范围. 【解析】解：∵等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为， ∴ ∴与之间的函数关系式为： 由题意可得： 即： 解得： 故选D. 【点睛】此题考查的是函数的实际应用及求自变量的取值范围，掌握等腰三角形的定义、三角形的周长公式和三角形三边关系是解决此题的关键. 2．在函数中，给取不同的值，就可以得到不同的直线，那么这些直线必定（ ） A．交于同一个点 B．交于无数个点 C．互相平行 D．没有确定的关系 【答案】C 【分析】根据题意k为定值，根据两直线平行的问题即可得到这些直线平行． 【解析】对于直线y=kx- b（k≠0），当b取不同的值，而k不变，则这些直线必定平行． 故选C． 【点睛】考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k的值相等． 3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线分别与轴、直线交于点、，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数交点的计算，一次函数图象与坐标轴围成图形面积的计算方法，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意先求出点A的坐标，再联立方程组解二元一次方程组求出点B的坐标，图形结合分析即可求解． 【解析】解：已知直线， 令，则；令，则； ∴， 直线与直线交于点， ∴， 解得，， ∴， 作图如下， ∴， 故选：A． 4．已知等腰三角形周长为40，则腰长y关于底边长x的函数图象是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形和三角形的周长公式可写出y与x的函数关系式，结合x和y的取值范围，即可得出答案． 【解析】解：等腰三角形的周长为40，其中腰长为y，底边长为x， ∵ x+2y=40， ∴ y= ， ∵ 20<2y<40， ∴ 自变量x的取值范围是0<x<20，y的取值范围是10<y<20． 故选D． 【点睛】本题考查函数图象、一次函数关系式，解题的关键是掌握等腰三角形的周长公式． 5．如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作轴，证是解题关键． 【解析】解：作轴，如图所示： 令，则；令，则； ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点的坐标是 故选：D 6．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①点在轴正半轴；②点在轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【解析】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， ， ，． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点在轴正半轴上时，， ； ②当点在轴负半轴上时，， ．    故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 7．直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方做等腰直角三角形，其中，将沿着x轴方向向右平移，当点B落在直线上时，则平移的距离是（    ） A．2 B． C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，根据等腰直角三角形的性质求得点的长度，即点B的纵坐标，表示出的坐标，代入函数解析式，即可求出平移的距离． 【解析】解：在，当时，， 解得：， ∴，即， 过作于， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，即点的坐标是， 设平移的距离为， 则点的对称点的坐标为， 代入得：， 解得：，即平移的距离是6， 故选：C． 8．如图，在中，，已知点，现将向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（   ）      A．12 B．6 C．20 D．24 【答案】A 【分析】根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线上时的横坐标即可． 【解析】解：∵， ∴ ∵将向左平移，点落在直线上, ∴，解得， ∴， ∵， ∴． 即线段扫过的面积为12． 故选：A．    【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积． 9．如图，一次函数与x轴交于点B，一次函数与x轴交于点A，一次函数与图像交于点C．在y轴负半轴上找一点P使得的面积等于．则满足条件的点P是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出A、B的坐标，进而求出的长，再联立两直线解析式求出C点坐标，进一步求出，设，直线交y轴于D，则，根据建立方程求解即可． 【解析】解：在中，当时，， ∴， 同理， ∴， 联立，解得， ∴， ∴， ∴， 设，直线交y轴于D，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选D．    【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出的面积是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（　　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数的解析式可得，设点P的坐标为，从而可得，再根据三角形的周长公式可得周长为，然后根据垂线段最短可得当时，OP取得最小值，最后利用等腰直角三角形的判定与性质求出OP的最小值即可得． 【解析】对于一次函数， 当时，，解得，即，， 当时，，即，， 由题意，设点P的坐标为， 则， 因此，周长为， 要使周长最小，则只需OP取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，OP取得最小值， 又， 是等腰直角三角形，， 此时， 周长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，正确找出周长最小时，点P的位置是解题关键． 二、填空题 11．直线，与轴所围成的图形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线相交求与坐标轴围成的图形面积的问题．解题的关键是联立两直线解析式，解方程组求交点坐标．本题先求出两直线与轴的交点坐标，再联立两直线解析式求出交点坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解析】解：令，则，所以，直线与轴的交点坐标为， 令，则，所以，直线与轴的交点坐标为， 联立方程组， 解得：， ∴两直线的交点坐标是， ∴两直线与轴所围成的图形的面积为：． 故答案为：2 12．在平面直角坐标系中，直线与相交于点A，直线与y轴相交于点B．若的面积为12，则 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了求正比例函数的解析式，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积求点的坐标是解题关键． 先求出的长，再根据三角形的面积公式求的长，确定点的坐标，代入正比例函数的解析式，求解即可． 【解析】解：∵直线与y轴相交于点B， ∴，， ∵直线与相交于点A， ∴轴，且点A的纵坐标为6， ∵的面积为12， ∴，即， 解得：， ∴或， 即或， 解得：或， 故答案为：或． 13．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，C是线段上一点，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，熟练掌握一线三垂直证明全等是解答本题的关键． 首先得，，作，交直线于点，作，垂足为点，利用证明得到，，设，则，，将点代入直线解析式解出值即可． 【解析】解：如图，作，交直线于点，作，垂足为点， ， ， ， ， ，， 直线解析式为直线， ，， 设则，， 点在直线的图象上， 解得： ，． 故答案为：． 14．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【解析】解：当时，， 解得， 则， ∵的面积被y轴平分， ∴点P与点A的横坐标互为相反数， ∴点P的横坐标为， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，直线经过的顶点B，且将的面积分为的两部分，则直线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点坐标，根据直线经过的顶点B，且将的面积分为的两部分，分两种情况进行讨论求解即可． 【解析】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 设直线与轴交于点，的表达式为， ∵直线将的面积分为的两部分， ①当时，则：， ∴， ∴，解得：， ∴； ②当，则：， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：或． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴上的C点，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了一次函数于坐标轴的交点，图形的折叠变换及其性质，准确地求出一次函数于坐标轴的交点，熟练掌握图形的折叠变换及其性质是解决问题的关键．首先求出点，，再由勾股定理求出，然后根据折叠的性质得进而可求出，据此可得点C的坐标． 【解析】解：对于直线，当时，，当时，， ∴，， ∴ 由勾股定理得： ∵将沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴上的C点， ∴有以下两种情况： ①当经过点A的直线经过的内部时，如图1所示： 由折叠的性质得：， ∴ ∴点C的坐标为． ②当经过点A的直线经过的外部时，如图2所示： 由折叠的性质得：， ∴， ∴点C的坐标为． 综上所述：点C的坐标为或． 故答案为：或 17．已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是第一象限内的一点．若为等腰直角三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．先根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出点P的坐标． 【解析】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴A、B两点坐标分别为， ∵点P是第一象限内的点且为等腰直角三角形， 当时，轴，且，此时P点坐标为； 当时，轴，且，此时P点坐标为； 当时，P点坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或 18．已知：如图所示，直线交轴于点，交轴于点．若点从点出发，沿射线作匀速运动，点从点出发，沿射线作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当为直角三角形时，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出的三边长， 分 ，，三种情况，根据勾股定理计算即可求出点的坐标，灵活运用分情况讨论思想、掌握两点间的距离公式是解题的关键． 【解析】由直线得： 当时，即， 解得， 当时，， ∴，， 由勾股定理得， 设，运动的速度为，时间为，则，， 则点的坐标为：，点的坐标为：， ∴ 当时，有，即， 解得，， 当，点与重合，舍去 ∴点的坐标为， 当 时，，即， 解得（舍去），，则点的坐标为， 当时，，即 解得，，点与重合，不符合题意， 综上所示，点的坐标为 或 故答案为：或 ． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于直线． (1)若这条直线经过点，求的值； (2)求由直线、直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)三角形的面积为 【分析】（1）根据直线平行，可得，把点代入可求解解析式，再把代入即可求解； （2）图形结合，作轴，根据直线与坐标轴的交点算出点的坐标，再根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【解析】（1）解：∵直线平行于， ∴， ∵直线经过点， ∴， ∴直线解析式为：， ∵直线经过点， ∴，解得，， ∴的坐标为． （2）解：如图所示，作轴，    ∵， ∴， ∵点是与轴的交点，令，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴三角形的面积为． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握待定系数法求解析式，图像与坐标轴交点的计算方法，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 20．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，且，点C的坐标为，点P在线段上． (1)求直线l的函数表达式； (2)连接和，当点P的横坐标为4时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）根据可得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据直线的解析式求出点的纵坐标，从而可得的边上的高，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【解析】（1）解：， ， 将点代入得：， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：是直线上一点，点的横坐标为4， ∴点的纵坐标为， ， ， ∴的面积为． 21．如图，在平面直角坐标系中(O为坐标原点)，已知直线y=kx+b与x轴y轴分别交于点A (2，0)、点B(0，1)， 点C的坐标是(-1，0)． (1)    求直线AB的表达式 (2)设点D为直线AB上一点，且CD =AD．求点D的坐标． 【答案】（1）；（2）D（，）． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可知点D在线段AC的垂直平分线上，求出点D的横坐标即可解决问题． 【解析】解：（1）将点A (2，0)、点B(0，1)代入y=kx+b得：， 解得：， 故直线AB的表达式为：； （2）∵CD =AD， ∴点D在线段AC的垂直平分线上， ∵A (2，0)、C(-1，0)， ∴点D的横坐标为：， 当时，， ∴D（，）． 【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 22．直线和x轴、y轴分别相交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，如果在第一象限内有一点P（）且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值． 【答案】 【分析】对于直线，令x=0求出y=1，可得出B坐标为（0，1），令y=0，得出x= ，确定点A的坐标，进而确定出OB，OA的长，在直角三角形AOB中，根据勾股定理求出AB的长，根据等边三角形的性质求出的面积，过点P作PE⊥x轴于点E，根据求出的面积，由△ABP的面积与△ABC的面积相等列式求解即可求出m的值． 【解析】解：对于直线，令x=0，得y=1， ∴B（0，1） 令y=0，得，解得，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵是等边三角形， ∴, 过点C作CF⊥AB于点F，如图， ∴ ∴ ∴， 过点P作PE⊥x轴于点E，则四边形PEOB是梯形，如图， ∵P（m，）， ∴ ∴ ∴ = = = ∵△ABP的面积与△ABC的面积相等， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，等边三角形的性质，待定系数法确定一次函数解析式等知识，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 23．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且．    (1)求k的值； (2)若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为，或 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值； （2）根据，可以求出的长，即可求得C的坐标； （3）分两种情况，分别求解即可． 【解析】（1）解：把代入中， 得， 解得； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ∵， ∴， 即． ， ， ， 点的坐标为． （3）解：∵点的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵是轴上任意一点， ∴设点P的坐标为， 则，， ①当时，即， 解得（舍去），，此时点的坐标为． ②， 即， 解得或， 此时点的坐标为或， 综上：点的坐标为，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查的是待定系数法求函数解析式，勾股定理、三角形的面积，等腰三角形的性质等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 24．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式； (3)求当t为何值时，并求此时M点的坐标． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， (3)秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是． 【分析】（1）由直线l的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标； （2）分情况求出OM，由面积公式S＝×OM×OC求出S与t之间的函数关系式； （3）若△COM≌△AOB，则OM＝OB，分情况求出AM，可算出t值，并得到M点坐标． 【解析】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A，B两点的坐标分别为，； （2）∵，， ∴， 当时，， ∴； 当t＝2时，无法组成三角形； 当时，， ∴； （3）解：分为两种情况： ①当M在OA上时， ∵， ∴， ∴， ∴t＝2÷2＝1秒，； ②当M在AO的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴t＝6÷2＝3秒，； 即秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键． 25．已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【解析】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 78 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$