16.1 二次根式 （同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

16.1 二次根式 主讲： 沪科版八年级数学下册 第16章 二次根式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解二次根式的概念.（重点） 2. 掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3. 会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 4. 经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点） 5. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点） 情景导入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 新知探究 在七年级我们学习数的开方时，遇到过，这样的式子． 知道符号叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 因为在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零.也就是说，当时， 是有意义的，它表示 a 的算术平方根.我们把形式如的式子叫做二次根式。 为了进行二次根式的运算，先来研究它的基本性质． 观察 1. 由于 是2的算术平方根，根据平方根的意义， 应有 . 类似地，计算： 5 0 一般地，有 性质 1 ，类似地，计算： 0.5 0 又如 ， 再计算： 0.5 6 一般地，有性质 2 例题讲解 解：(1)要使有意义，必须x+3≥0. 解这个不等式，得 x≥–3. 即当x≥–3时， 在实数范围内有意义. (2)因为x为任何实数时都有x2≥0. 所以当x为一切实数时， 在实数范围内都有意义. 例1 x 为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ (1) ； (2) . 例2 计算： (1) ； (2) . 例3 先化简再求值： ，其中 x4. 课堂练习 1. 求下列各式的值： 解： (1) 原式= (3) 原式=0.8 (2) 原式= (4) 原式=-1.3 2. 求下列各式的值： 解： (1) 原式= 0.2 (3) 原式= -2 (2) 原式= (4) 原式=-2 3. 先化简，再求值： ，其中 x  –2. 分层练习 1.一般地，我们把形如____ 的式子叫做二次根式. 2.由二次根式的概念可知，的取值范围是 ，即当 时，有意义，是二次根式；当_______时， 无意 义，不是二次根式. 3.(1)___ . (2) 核心必知 知识点1 二次根式的概念及有意义的条件 1. 下列式子一定是二次根式的是( ) C A. B. C. D. 2. [2024·黄山模拟改编] 若有意义，则 的值可能是 ( ) D A. B.0 C.2 D.3 基础练 3. [2024·滁州月考] 若 ，则下列式子一定有意义的是 ( ) C A. B. C. D. 4. 当 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； 解：由题意， 知 ， 所以 . (2) ； 解：由题意， 知 且 ， 所以 . (3) . 解：任意实数. 知识点2 性质1： 5.［知识初练］计算： ___. 5 6. 已知,则 的取值范围为_______. 7. 计算： (1) _____； (2) __； (3) ____. 8. 把下列正数写成一个数的平方的形式. (1)7； 解：原式 . (2)16； 原式 . (3)0.49； 原式 . (4) . 原式 . 知识点3 性质2： 9.［知识初练］ 等于( ) C A. B. C.4 D. 【变式题】 已知二次根式的值为4，那么 的值是( ) D A.4 B.16 C. D. 10.下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 11.易错题 计算： ________. 运用时，忽略 . 【变式题】 化简： ___. 1 易错警示 12. 求下列各式的值： (1) ； 解：原式 . (2) ； 原式 . (3) . 原式 . 中档练 13.[2024·运城期末] 当__时，式子 取最小值. 这个最小值为___. 2 易因考虑不全导致答案不完整而致错. 易错点睛 15.［数形结合思想］实数和 在数轴上对应点的位置如图 所示，化简 的结果是( ) D A. B. C. D. 16. [2024·淮北期中] 直线,( 为常数) 如图所示，则 等于( ) D A. B.5 C. D. 17.［运算能力］阅读材料： 当为何值时， 有意义？ 解：由题意得 ， 则或 解得或 . 提升练 即当或时， 有意义. 请你仿照上述解题思路解答问题：当为何值时， 有意义？ 解：由题意得,则或 解得或 . 即当或时， 有意义. 题型一：利用中的 求值 1.若,则 的值为___. 7 由题意得，所以,所以 ,所以 , 所以,解得 . 即时练透 点拨： 题型二：利用 求值 2.若，均为实数，且满足,则 的值 为( ) C A.2 B.0 C. D.以上都不对 3.已知实数，满足 ,求 的值. 解：因为 ,所以 ,即 , 所以,,解得, ,所以 . 题型三：利用与都有意义求值(因为 ， ,所以 ) 4.若实数，满足,则 的平方 根为______. 由题意得所以所以.把 代 入，得 , 所以,所以的平方根为 . 点拨： 5.若，均为实数，且，则 的值为 ___. 4 习题 1．求值： （1）面积是 9π 的圆，它的半径 r = _____； （2）正方形的面积是 3，它的周长 C = _____. 解析：（1）由题意得 πr2 = 9π， ∴ r2 = 9．∴ r = 3． （2）由题意得 ( )2 = 3， ∴ = ．∴ C = ． 2．x 为何值时，下列式子在实数范围内有意义： （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）x≥2． （2）x＜1． （3）x = 0． 3．求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1）原式 = 0.01．（2）原式 = 12． （3）原式 = ． （4）原式 = –7． 4．（1）如果 = – a，a 应取何值？ （2）a 取何值时， 在实数范围内有意义？ （3）a 取何值时， 在实数范围内有意义？ 解：（1）a≤0． （2）a≤0． （3）a≥0． 5．（1）计算： ； （2）如果 a = ，求 的值. 解：（1）原式 = 3 – 3×3 = 3 – 9 = – 6． （2）如果 a = ，那么 a + 1＜0，a – 1＜0. ∴ 原式 = |a + 1| – |a – 1| = – a – 1 + a – 1 = – 2． 6．把下列正数写成一个数的平方形式： （1）9；（2）0.25；（3）3；（4）2.5. 解：（1）9 = 32，或 9 = (– 3)2． （2）0.25 = 0.52，或 0.25 = (– 0.5)2． （3）3 = ( )2，或 3 = (– )2． （4）2.5 = ( )2，或 2.5 = (– )2． 7．先化简再求值： ，其中 y = 2 . 解： = = |2y – 5|． 当 y = 2 时，原式 = |4 – 5| = 4 – 5． 课堂小结 注意： 二次根式的概念： 二次根式的概念 被开方数≥0. 我们把形如 的式子叫做二次根式.符号 叫做二次根号，a叫做被开方数.　 二次根式有意义的条件： 若分母中有字母，保证分母不等于0. 课堂小结 性质1： 二次根式的性质 性质2： 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$