16.2 二次根式的运算（第5课时 二次根式的混合运算）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

16.2 二次根式的运算 主讲： 沪科版八年级数学下册 第16章 二次根式 第5课时 二次根式的混合运算 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 了解实数的运算性质和法则在根式中同样适用； 2. 能进行二次根式的简单四则混合运算； 3. 鼓励学生积极探究，获得发现新知识与技能的乐趣，提高学习数学的兴趣. 问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 整式的乘法公式就是多项式×多项式 前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟 情景导入 例题讲解 课本例5：计算： 解:（1） （2） 计算： 先用乘法交换律，再用乘法公式化简. 变式练习 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb (ma+mb+mc)÷m=a+b+c 新知探究 分配律 单×多 转化 前面两个问题的思路是： 思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单×单 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 新知探究 例题讲解 课本例6 计算: 解： 计算： 解： 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 变式练习 补充例题：甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？ 例题讲解 解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为： 答：这段路基的土石方为 例题讲解 计算： 变式练习 在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如: 思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？ 根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？ 新知探究 例4 计算: 解: 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号. 归纳 已知 ,求 . 解:∵ 解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可. 归纳 变式练习 课堂练习 1. 化简： 分层练习 1星题 基础练 知识点1 乘法公式在二次根式混合运算中的应用 1.(1)计算 的结果为___. (2)计算 的结果为_________. 1 2.计算： (1) ； 解：原式 . (2) ; 解：原式 . (3) . 解：原式 . 知识点2 二次根式的混合运算 3.[2024·威海中考] 计算： _______. 4.[2024·安庆月考] 下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 5.[2024·重庆中考B卷] 估计 的值应在( ) C A.8和9之间 B.9和10之间 C.10和11之间 D.11和12之间 6.计算： (1) ； 解：原式 . (2) ； 解：原式 ． (3) . 解：原式 ． 7.[2024·上饶期末] 小明计算 时，想起分配律， 于是他按分配律解答，过程如下： 解：原式 . 他的解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解 答过程. 解：不正确． 理由：因为除法没有分配律，本题应先算括号内的减法，再算除法. 正确的解答过程如下： 原式 . 8. [2024·吕梁模拟] 陈老师在黑板上写了一个式子： ，“ ”中的运算符号没有给出， 如果要求运算结果是有理数，那么“ ”中的运算符号可能是 ( ) A A.或× B.×或 C.或- D.-或 9.[2024·亳州期中] 已知, ，则 的值为( ) C A. B.4 C. D. 10.如图，在一个长方形中无重叠地放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ( ) C A. B. C. D. 11. 规定新运算：☆, ★,其中 ， 是实数，则(3☆5)(3★5)的值是( ) A A. B.8 C. D. 12.计算： _________. 2 13.计算： (1) ； 解：原式 . (2) . 解：原式 . 14.[2024·蚌埠月考] 已知， . (1)若的整数部分是，求 的值； 解：因为，，的整数部分是 ， 所以，所以 . (2)求 的值. 因为， ， 所以 ， ， 所以 . 15.［类比思想］［运算能力］观察： . 反之， ， 所以 . (1)化简 ； 解：原式 . (2)化简 ； 原式 . (3)若，则，与， 之间的关系是 什么？并说明理由. ， . 理由：因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以， . 习题 1．化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1）原式 = 99． （2）原式 = 18． （3）原式 = 9． （4）原式 = 35． 2．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1）原式 = 54 ．（2）原式 = 2． （3）原式 = 3． （4）原式 = – 28． 3．计算： （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）原式 = 7 ． （2）原式 = ． （3）原式 = ． 4．计算： （1） ； （2） . 解：（1）原式 = 6 + 10 ． （2）原式 = ． 5．已知 ≈ 1.414， ≈ 1.732，求 的近似值． （精确到 0.01） 解：原式 = ≈ ≈ 0.707 + 0.577 ≈ 1.28． 6．根据下列条件，求代数式 的值： （1）a = 1，b = 8，c = – 4； （2）a = 3，b = – 6，c = 2． 解：（1）原式 = = – 4 + 2 ． （2）原式 = = 1 + ． 7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1）原式 = – 51． （2）原式 = 5． （3）原式 = 58 – 12 .（4）原式 = 2 – 4. 课堂小结 二次根式混合运算 乘法公式 化简求值 分母有理化 化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$