20.2.2 数据的离散程度（第2课时 用样本方差估计总体方差）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

主讲： 沪科版八年级数学下册 第20章 数据的初步分析 20.2.2 数据的离散程度 第2课时 用样本方差估计总体方差 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解方差的意义. 2.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.（重点、难点） 方差 方差的定义：设一组数据是x1， x2，…， xn，它们的平均数是，我 们用s2=［ ( x1－ ) 2+ ( x2－ ) 2+…+ ( xn－ ) 2］来衡量这组数据的 离散程度，并把它叫做这组数据的方差 .. 情景导入 特别提醒 1. 方差是用来描述一组数据中每一个数据与这组数据的平均数的偏离程度的量，在实际生活中，经常用方差的大小来判断数据的稳定性； 2. 方差的大小与数据本身的大小无关，可能一组数据比较小，但方差较大，也可能一组数据比较大，但方差较小 . 求方差的步骤 第一步： 求原始数据的平均数； 第二步： 求原始数据中各数据与平均数的差； 第三步： 求所得各个差的平方； 第四步： 求所得各平方数的平均数 . 情景导入 用计算器求一组数据的方差注意事项 1. 计算器一般不具有求方差的功能，所以要利用标准差与方差的关系来求出方差 . 2. 不同计算器按键顺序不一样，要参照计算器使用说明书灵活使用. 例 为了比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t） 1 2 3 4 5 甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9 乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2 (1)哪个品种平均每公顷的产量较高？ (2)哪个品种的产量较稳定？ 例题讲解 解：甲、乙两个新品种在试验田中的产量各组成一个样本 说明甲、乙两个新品种平均每公顷的产量一样高 例题讲解 下面我们来考虑甲、乙两个新品种的稳定性： 得出 。可知，甲品种每公顷的产量波动比乙品种每公顷的产量波动要小，由此估计甲品种的稳定性好 运用方差解决实际问题的一般步骤： 　　1.先计算样本数据平均数； 当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况（否则不可以直接用方差来比较离散程度）； 2.在平均数相同或接近时，比较方差； 方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度越大 知识归纳 课堂练习 1.在对某玉米品种进行考察时,农科所从一块试验田里随机抽取了 15 株玉米,称得各株玉米的产量如下(单位:kg): 0.25,0.16,0.16,0.15,0.20,0.13,0.10,0.18. 0.14，0.12，0.13，0.13，0.18，0.15，0.10. 由此估计这块试验田每株玉米产量的方差是多少? 2.从甲、乙两名工人生产的同一种零件中,各随机抽出4个,量得它们的直径(单位:mm)如下: 甲生产零件:9.98，10.00，10.02，10.00: 乙生产零件:10.00，9.97，10.03，10.00. 求它们的方差，并说明谁做的零件直径差异较小. 因为所以甲生产的零件直径 差异较小 用样本方差估计总体方差的应用 1.样本方差的作用是( ) B A.估计总体的平均水平 B.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小 C.表示总体的波动大小 D.表示样本的平均水平 分层练习 基础题 12 2.在一次统考中，从甲、乙两所中学八年级学生中各随机抽取50名学 生进行成绩分析，甲校的平均分和方差分别是85分和245，乙校的平 均分和方差分别是85分和190，可以粗略估计成绩较为整齐的学校是 ( ) B A.甲校 B.乙校 C.两校一样整齐 D.无法估计哪校更整齐 13 3.农科院为某地选择甲、乙两种甜玉米种子时，甜玉米的产量和产量 的稳定性是农科院所关心的问题.他们各用10块自然条件相同的试验田 进行试验，如图是试验后得到的各试验田两种甜玉米种子每公顷的产 量(单位： )，已知甲、乙两种甜玉米种子的平均产量相差不大，那么 由样本估计总体，推测这个地区比较适合种植____(填“甲”或“乙”)种 甜玉米，理由是__________________________. 甲 甲种甜玉米的产量比较稳定 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 14 4.[2023·亳州期末] 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄 树中各采摘了10棵葡萄树，每棵葡萄树产量的平均数(单位：)及方 差 如下表所示： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 21 24 25 25 方差 1.8 1.9 1.8 2 综合应用题 今年准备从四个品种中选一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应 选的品种是____. 丙 15 5. 港珠澳大桥是目前桥梁设计中广泛采用的斜拉桥，它用粗 大的钢索将桥面拉住，为检测钢索的抗拉强度，桥梁建设方从甲、乙 两家生产钢索的厂方各随机选取5根钢索进行抗拉强度的检测，数据统 计如下. 钢索 1 2 3 4 5 甲厂/百吨 10 11 9 10 12 乙厂/百吨 10 8 12 7 13 平均数/百吨 中位数/百吨 方差 甲厂 10.4 10 1.04 乙厂 a b c (1)____,____, _____； 10 10 16 (2)桥梁建设方决定根据样本中抗拉强度的总体水平和稳定性来推测， 请说明哪一家的钢索质量更优？ 解：甲厂的钢索质量更优，从平均数来看，甲厂钢索抗拉强度的平均 数是10.4百吨，而乙厂钢索抗拉强度的平均数是10百吨，所以甲厂高 于乙厂；从中位数来看，甲厂和乙厂一样；从方差来看，甲厂钢索抗 拉强度的方差是 ，而乙厂钢索抗拉强度的方差是 ，所以甲厂 钢索抗拉强度更稳定，综上，从总体来看，甲厂的钢索质量更优. 17 6.种子被称为农业的“芯片”，粮安天下，种子为基.农科院计划为某地区选择合适 的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每 公顷的产量（单位： ），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下 面给出了部分信息： 创新拓展题 .20块试验田每公顷产量的频数分布表如下： 每公顷产量/（用 表示每公顷产量） 频数 3 2 6 5 18 .试验田每公顷产量在 这一组的数据（单位：）：，， ，，， . .20块试验田每公顷产量的折线统计图，如图. （1） ___； 4 （2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的 中位数为______； （3）下列推断合理的是____（填序号）； 块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于 的试验田数量占试验田 总数的 ； 号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名. ① 19 （4） 号试验田使用的是甲种种子， 号试验田使用的是乙 种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为和 ，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小， 则认为该种种子的产量越稳定.据此推断：甲、乙两种种子中，这个地 区比较适合种植的是____种种子（填“甲”或“乙”）. 乙 20 1．某次中学生田径运动会上参加男子跳高的 10 名运动员的成绩如下表： 求这些运动员的平均成绩． 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.75 1.80 运动员人数 2 3 2 2 1 解： (1.50×2 + 1.60×3 + 1.65×2 + 1.75×2 + 1.8×1) = 1.64（m）． 答：这些运动员的平均成绩是 1.64 m． 习题 2．青年歌手大奖赛中，某民族唱法选手的歌唱得分如下： 8.1，8.6，8.6，8.4，8.8，8.2， 9.2，8.7，8.7，8.8，8.9，8.1． 去掉一个最高分和一个最低分，再计算平均分，则该选手的最后得分是多少？ 解：(8.1 + 8.6 + 8.6 + 8.4 + 8.8 + 8.2 + 8.7 + 8.7 + 8.8 + 8.9)÷10 = 8.58（分）． 答：该选手的最后得分是 8.58 分． 3．某单位男职工数与女职工数之比为 5∶3，男、女职工的平均年龄分别为 40 岁和 30 岁，求该单位职工的平均年龄． 解： = 36.25（岁）． 答：该单位职工的平均年龄是 36.25 岁． 4．已知一组数据：5，15，75，45，25，75，45，35，45，35，那么 40 是这一组数据的（　　） （A）平均数但不是中位数 （B）平均数也是中位数 （C）众数 （D）中位数但不是平均数 B 5．在体育课上，老师对九年级 100 名男生引体向上这一项目进行了一次测试，成绩如下表： （1）求这些男生引体向上成绩的平均数、中位数和众数（精确到 0.1）； 成绩/次 10 9 8 7 6 5 4 3 男生人数 30 20 15 15 12 5 2 1 解：平均数为 (10×30 + 9×20 + 8×15 + 7×15 + 6×12 + 5×5 + 4×2 + 3) ≈ 8.1（次）， 中位数是 = 8.5（次），众数是 10 次． （2）若规定 8 次以上（含 8 次）为优秀，求这 100 名男生该项目成绩的优秀率． 解：(30 + 20 + 15)÷100 = 65%． 答：这 100 名男生该项目成绩的优秀率为 65%． 6．十一黄金周时期，某旅游区的游客如下表： （1）求这 7 天假期中，游客量的平均数、中位数和众数； （2）选用平均数、中位数和众数中的哪个数作代表，更能反映黄金周 7 天游客量的一般情况？ 人数/万人 0.6 1.2 2 2.5 天数 2 1 3 1 解：（1）平均数为 (0.6×2 + 1.2 + 2×3 + 2.5) ≈ 1.56， 中位数和众数都是 2． （2）选用中位数或众数． 7．某商店销售 5 种领口大小分别为 38，39，40，41，42（单位：cm）的衬衫，一个月内的销量如下表： 你认为商店最感兴趣的是这组数据的平均数、中位数还是众数？为什么？ 领口大小/cm 38 39 40 41 42 销量/件 65 195 170 125 45 解：商店最感兴趣的是这组数据的众数．因为众数反映的是其中出现次数最多的数据，即销量最大的衬衫型号，为使供应足量，更应加以关注. 8．在人才市场上招聘 A 种技工的单位有 25 家，提供的月薪平均为 1200 元；招聘 B 种技工的单位有 30 家，提供的月薪平均为 1500 元．能由此认为用人单位给 B 种技工的月薪普遍高于 A 种技工吗？ 解：不能．因为 1200 和 1500 分别代表的是月薪的平均水平，而不是全部水平，所以不能认为用人单位给 B 种技工的月薪普遍高于 A 种技工． 9．已知两个样本数据如下： 甲：9.8，9.9，10.3，10，10.1，10.4，9.7，9.8； 乙：10.5，9.6，10.1，9.8，9.5，10.2，10，10.3． 分别计算两个样本的方差，并比较哪一个样本数据较稳定． 解：计算得甲乙两组数据的平均数都是 10． = [(9.8 – 10)2 + (9.9 – 10)2 + ··· + (9.8 – 10)2] = 0.055， = [(10.5 – 10)2 +(9.6 – 10)2 + ··· + (10.3 – 10)2] = 0.105， ∵ 0.055＜0.105，∴ 甲数据样本较稳定． 10．某校从甲、乙两名优秀选手中选 1 名选手参加全市中学生田径百米比赛．该校预先对这两名选手测试了 8 次，测试成绩如下表： 根据测试成绩，请你运用所学知识作出判断，派哪位选手参加比赛更好？为什么？ 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5 次数 成绩/s 选手 解： = (12.1 + 12.2 + 13 + 12.5 + 13.1 + 12.5 + 12.4 + 12.2) = 12.5， = (12 + 12.4 + 12.8 + 13 + 12.2 + 12.8 + 12.3 + 12.5) = 12.5．而 = [(12.1 – 12.5)2 + (12.2 – 12.5)2 + ··· + (12.2 – 12.5)2] = 0.12， = [(12 – 12.5)2 + (12.4 – 12.5)2 + ··· +(12.5 – 12.5)2] = 0.1025，∴ ＞ . ∴ 乙选手的成绩更稳定．故派乙选手参加比赛更好． 根据方差做决策方差 方差的作用：比较数据的稳定性 利用样本方差估计总体方差 课堂小结 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$