第一章 三角形的证明 知识归纳与题型突破（二十三类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 三角形的证明 知识归纳与题型突破（二十三类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、等腰三角形 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形是轴对称图形. ②.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称 “三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴. ③.等腰三角形的两个底角相等. 3.等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简述为：等角对等边. 4.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 5.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 2、 直角三角形 1.从角的角度研究直角三角形的性质和判定 定理： 直角三角形的两个锐角互余. 逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 2.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的； 4.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）. 三、线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 要点：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 四、角平分线 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 要点：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 03 题型归纳 题型一　根据等腰三角形的定义求角度 例题 1．一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 3．如果等腰三角形的一个角是，则它的顶角度数是（   ） A． B．或 C．或 D． 题型二　根据等腰三角形的定义求边长 例题 4．若一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则第三边的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．4或8 巩固训练 5．等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（     ） A． B． C．或 D．或 6．已知等腰中，其中一边长为，周长为，则其底边长为（   ） A． B． C．或 D．不存在 题型三 等边对等角 例题 7．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 8．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，是边上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型四　等腰三角形的“三线合一” 例题 11．如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 巩固训练 12．下列说法中，正确的是（） A．等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B．顶角为的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形不是轴对称图形 13．如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 14．如图，中，于点D，于点E，于点F，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五　等腰三角形的格点问题 例题 15．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 巩固训练 16．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 题型六　等角对等边；等腰三角形的判定 例题 17．在△ABC中，∠B=∠C，AB=5．则AC=（       ） A．12 B．9 C．5 D．2 巩固训练 18．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，已知，，不正确的等式是（    ）    A． B． C． D． 20．如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 21．如图，中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，已知，，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 题型七　等腰三角形的尺规作图 例题 22．如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 巩固训练 23．如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   24．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 题型八　等边三角形的性质 例题 25．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 巩固训练 26．如图，已知等边三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．等边三角形的一边与这边上的高的比是（    ） A．：2 B．：1 C．2： D．1： 28．已知直线，将等边三角形按如图方式放置，点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 30．如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 题型九　等边三角形的判定 例题 31．在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 巩固训练 32．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 33．如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型十　等边三角形的性质与判定综合 例题 34．如图，中，，，D是边上一点，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 35．如图，是等边三角形，点D为边上一点，以为边作等边，连接．若，，则（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 题型十一 直角三角形的两个锐角互余及其逆定理 例题 36．如图，在中，，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 37．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 38．在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（  ） A． B． C． D． 题型十二 “HL” 例题 39．如图，，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 40．如图，在中，，E是上一点，且，过点E作交于点D，连接，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 41．如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 42．如图，在等腰中 ，，点 D 为边的中点，点E在边上，．若点P是等腰的腰上的一点，当为等腰三角形时，则的度数是（      ） A． B． C． D．或 题型十三 直角三角形的30°角的性质 例题 43．如图，在中，，是高，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 巩固训练 44．如图，在中，，是高，，．则 长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．12 题型十四 勾股定理及其逆定理 例题 46．一直角三角形斜边长为，一直角边长为，则另一直角边长为 ． 巩固训练 47．如图，在中，，垂足为是边上的中线，，则的长是 ． 48．如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母A所代表的正方形的面积为 ． 49．一块钢板形状如图所示，若，，，，，则这块钢板的面积为 ． 50．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ． 51．如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长 ． ． 题型十五 互逆命题与互逆定理 例题 52．下列说法中，正确的是（   ） A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 巩固训练 53．命题“直角三角形两个锐角互余”．这个命题的逆命题是： ．这个逆命题是—命题 ．（填“真”或“假”） 54．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 题型十六 线段的垂直平分线的性质 例题 55．如图，中，垂直平分交于点E，，则 ． 巩固训练 56．如图，中，垂直平分，若，则的周长是 ． 57．如图，中，，，是边上的垂直平分线，的周长为，则的长度是 ． 题型十七 线段的垂直平分线的判定 例题 58．如图，在 中，，，， ． 巩固训练 59．如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．    题型十八 线段的垂直平分线的尺规作图 例题 60．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，连接．若，则 ． 巩固训练 61．如图，在中，，，，按下列步骤作图： 步骤1：分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M， N两点： 步骤2：作直线交于点D，交于点E，则的长为 ． 题型十九 角平分线的性质 例题 62．如图，在中，，平分交于点，若，，则点到的距离为 ． 巩固训练 63．如图，在中，平分则的面积为 ．    64．如图，射线是的平分线，是射线上一点，且于点，，．点是射线上一动点，当时,的长度是 ． 65．如图，的三边的长分别为，其三条角平分线将分成三个三角形，则 ． 题型二十 角平分线的判定 例题 66．如图，于点B，于点D，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D．1 巩固训练 67．如图，是内部一条射线，为射线上一点，于点于点．下面不能判定是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 题型二十一 角平分线的尺规作图 例题 68．如图，中， ，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 巩固训练 69．如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确的作出的平分线， 第一步：在射线上分别截取，使； 第二步：分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径做圆弧，在内，两弧交于点； 第三步：作射线． 射线就是所要求作的的平分线． 用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 70．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 题型二十二 其他问题 例题 71．到三角形三边距离相等的点是三角形的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 巩固训练 72．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 73．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 题型二十三 解答题 例题 74．如图，在中，，．求证：． 巩固训练 75．如图，，，E是上的一点，且，．求证：．      76．中，，的高与角平分线交于点． (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 77．如图，在和中，，点在上，且，过点作于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 78．如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 79．如图，在中，的角平分线交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与分别交于点E，点F，点H．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：． 80．如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的周长． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 81．【综合运用】如图，在中，，点在内，连接，，是等边三角形，点在外，，． (1)求的度数； (2)证明：． (3)连接，若，，求的长． 82．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，的长为___________； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 83．已知，在中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ (3)如图，，，，，则的长度？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明 知识归纳与题型突破（二十三类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、等腰三角形 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形是轴对称图形. ②.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称 “三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴. ③.等腰三角形的两个底角相等. 3.等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简述为：等角对等边. 4.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 5.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 2、 直角三角形 1.从角的角度研究直角三角形的性质和判定 定理： 直角三角形的两个锐角互余. 逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 2.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的； 4.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）. 三、线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 要点：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 四、角平分线 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 要点：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 03 题型归纳 题型一　根据等腰三角形的定义求角度 例题 1．一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得两底角相等，进而根据三角形内角和定理求解即可 【解析】解：一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为 故选C． 巩固训练 2．已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据角是钝角只能做顶角求解即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴角是顶角， 故选：B． 3．如果等腰三角形的一个角是，则它的顶角度数是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是熟练掌握相关内容．分两种情况讨论：①当角为底角时；②当的角为顶角时，结合三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：①当底角为时，顶角， ②当顶角为时，顶角度数， 综上：顶角度数为或； 故选：B． 题型二　根据等腰三角形的定义求边长 例题 4．若一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则第三边的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．4或8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系的应用．分8是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【解析】解：①8是腰长时，三角形的三边分别为8、8、4， ，能组成三角形， 所以，第三边为8； ②8是底边时，三角形的三边分别为8、4、4， ， 不能组成三角形， 综上所述，第三边为8． 故选：C． 巩固训练 5．等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用，关键是要结合三角形任意两边之和大于第三边对等腰三角形的边长分情况进行讨论．题中没有指明哪个是底哪个是腰，则要分情况结合三角形三边关系进行分析． 【解析】根据题意，①当腰长为时，三边长为：，可以构成三角形，此时周长为：； ②当腰长为时，，可以构成三角形，此时周长为：． ∴周长为:或． 故选：D． 6．已知等腰中，其中一边长为，周长为，则其底边长为（   ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，当为三角形的腰时，则三角形的三边长分别为、、，根据三角形三边关系可知此时不能组成三角形，当为三角形底边时，则另两条边的长均为，根据三角形三边关系可知此时能组成三角形，所以等腰三角形的底边为． 【解析】解：是等腰三角形， 中有两条边相等， 当为三角形的腰时，则三角形的三边长分别为、、， ， 不能组成三角形； 当为三角形底边时，则另两条边的长均为， ， 能组成三角形， 等腰的底边长为． 故选：A． 题型三 等边对等角 例题 7．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的两个底角相等解答即可． 【解析】解：， ， ， ， 故选：B． 巩固训练 8．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质：等边对等角． 根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9．如图，中，是边上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，也考查了三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴，． 设， ∴． ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 10．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【解析】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， ， 在中，． 故选：C ． 题型四　等腰三角形的“三线合一” 例题 11．如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据三线合一性质直接能得到点D是线段的中点，即可求解． 【解析】解∶∵，，， ∴， 故选：B． 巩固训练 12．下列说法中，正确的是（） A．等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B．顶角为的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形不是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念，熟知相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念逐一判断即可． 【解析】解：A、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，不符合题意； B、顶角为的等腰三角形是等边三角形，符合题意； C、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 13．如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟知三线合一定理和等边对等角是解题的关键. 【解析】解：∵，点D为的中点， ∴． ∴, 故B、C、D正确，A错误． 故选：A． 14．如图，中，于点D，于点E，于点F，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到，从而得到，即可求解． 【解析】解：∵， ∴CD=BD， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴DE=4． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 题型五　等腰三角形的格点问题 例题 15．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定， 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【解析】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 一共有8个点. 故选：C． 巩固训练 16．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，根据是以为腰的等腰直角三角形，进行作图，即可作答． 【解析】解：∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： 综上：满足是以为腰的等腰直角三角形的点P有个， 故选：A 题型六　等角对等边；等腰三角形的判定 例题 17．在△ABC中，∠B=∠C，AB=5．则AC=（       ） A．12 B．9 C．5 D．2 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理，等角对等边即可求解． 【解析】解：∵∠B=∠C， ∴AC=AB=5． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，等角对等边，理解定理是关键． 巩固训练 18．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义和判定，三角形三边关系，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的定义和等角对等边的判定定理是解题关键．由等腰三角形的定义可直接判断A；由三角形三边关系可判断B；根据三角形内角和定理可求出，再根据等角对等边，可判断C；直接由等角对等边可判断D． 【解析】解：A．∵， ∴，即是等腰三角形，故该选项能判定，不符合题意； B．∵， ∴可设，则，， ∴，即此时以为边不能组成三角形， ∴不能判定是等腰三角形，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴能判定是等腰三角形，故该选项不符合题意； D．∵， ∴可设， ∴能判定是等腰三角形，故该选项不符合题意． 故选：B． 19．如图，已知，，不正确的等式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故B选项、C选项正确，D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 20．如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，先根据等腰直角三角形的性质得，再证明，然后根据“角边角”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【解析】∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 21．如图，中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，已知，，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换可得：的周长，从而进行计算即可解答． 【解析】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：B． 题型七　等腰三角形的尺规作图 例题 22．如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 【解析】解：∵AB=AC， ∴． 由作图痕迹可知BC=BD， ∴． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键． A． B． C． D． 巩固训练 23．如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【解析】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行， 故选：C． 24．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”； 图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”； 图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”． 故选：． 【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键． 题型八　等边三角形的性质 例题 25．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质以及轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线翻折与原图形能够完全重合的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【解析】解：等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有3条， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的定义以及等边三角形的性质，题目比较简单． 巩固训练 26．如图，已知等边三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，平行线的性质，先证明，再利用平行线的性质可得答案． 【解析】解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选C 27．等边三角形的一边与这边上的高的比是（    ） A．：2 B．：1 C．2： D．1： 【答案】C 【解析】略 28．已知直线，将等边三角形按如图方式放置，点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据平行线的性质结合已知条件，求得，根据等边三角的性质，根据即可求解． 【解析】解：如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 29．如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据题意可得，进而根据，即可求解． 【解析】解：∵在等边三角形中，是边上的高， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 30．如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，三角形的外角的性质；由等边三角形的性质求出，由得，进而可得，再根据三角形外角性质求出的度数即可． 【解析】解：是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， ， 故选：B． 题型九　等边三角形的判定 例题 31．在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法即可求解． 【解析】解：添加（答案不唯一）． ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 巩固训练 32．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【解析】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 33．如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）进行判断，解答即可．本题考查了等腰三角形的判定与等边三角形的判定． 【解析】解：A、，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； B、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，该选项符合题意； D、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 题型十　等边三角形的性质与判定综合 例题 34．如图，中，，，D是边上一点，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中等角对等边，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，证明，是解答本题的关键．证明，再证明是等边三角形，即有，问题得解． 【解析】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 巩固训练 35．如图，是等边三角形，点D为边上一点，以为边作等边，连接．若，，则（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，取上一点，使得，根据等边三角形的性质得，再利用证得，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【解析】解：取上一点，使得，如图：    是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故选B． 题型十一 直角三角形的两个锐角互余及其逆定理 例题 36．如图，在中，，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同角的余角相等，垂线的定义，根据题意得出是解题关键．根据同角的余角相等结合题意可得出． 【解析】解：∵，， ∴， ∴． 故选B． 巩固训练 37．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 38．在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和，直角三角形的定义，掌握这三个知识点是解题的关键．根据勾股定理，直角三角形定义进行判定即可． 【解析】解：A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、最大角，故不是直角三角形，符合题意； D、由，，得，即，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 题型十二 “HL” 例题 39．如图，，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∵在和中 ， ∴. 故选：C. 巩固训练 40．如图，在中，，E是上一点，且，过点E作交于点D，连接，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．利用证明，利用全等三角形对应边相等得到，根据，等量代换即可确定出的长． 【解析】解∶ ， 在和中 ， 故选∶B． 41．如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，如等．结合已知条件，根据“”判定三角形全等即可． 【解析】解：∵，， ∴， ①当时，在和中， ， ∴； ②当时，在和中， ， ∴． 综上所述，当与全等时，的长度为6或12． 故选：B． 42．如图，在等腰中 ，，点 D 为边的中点，点E在边上，．若点P是等腰的腰上的一点，当为等腰三角形时，则的度数是（      ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，过D作，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案． 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得 ∴， ∴， 综上，的度数是或， 故选：D． 题型十三 直角三角形的30°角的性质 例题 43．如图，在中，，是高，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质．首先在中根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知，在中再次利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半得到． 【解析】解：是高， ， 又， ， ， ， 在中，， 在中，． 故选：C ． 巩固训练 44．如图，在中，，是高，，．则 长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解此题的关键．利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【解析】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 的长为1． 故选：A 45．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点A作于点D，易得出，，从而可求出，即得出，再结合勾股定理求解即可． 【解析】解：过点A作于点D， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 题型十四 勾股定理及其逆定理 例题 46．一直角三角形斜边长为，一直角边长为，则另一直角边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接利用勾股定理计算即可． 【解析】解：由勾股定理得：另一直角边长， 故答案为：． 巩固训练 47．如图，在中，，垂足为是边上的中线，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意得，根据即可求解． 【解析】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 48．如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母A所代表的正方形的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查勾股定理，正方形的面积，利用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理可直接求得正方形字母A所代表的正方形的边长． 【解析】解：如图， ∵其中两个正方形的面积分别为和， ∴，． ∵为直角三角形， ∴， ∴正方形字母A所代表的正方形的面积为64． 故答案为：64． 49．一块钢板形状如图所示，若，，，，，则这块钢板的面积为 ． 【答案】36 【分析】四边形是不规则图形无法直接计算，连接，将四边形分割成两个直角三角形进行计算．先算出，再运用勾股逆定理得出，故这块钢板的面积，即可作答．本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解析】如解图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴钢板的面积． 故答案为：36 50．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解． 【解析】解：依题意，， ， ∴边上的高为， 故答案为：． 51．如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长 ． ． 【答案】/ 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠，得到，，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【解析】解：∵折叠长方形一边，使D落在边的点F处， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：， ∴； 故答案为： 题型十五 互逆命题与互逆定理 例题 52．下列说法中，正确的是（   ） A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理的区别，（1）判断正确的命题叫定理；（2）任何一个命题都有逆命题，但不一定是真命题；不是任何一个定理都有逆定理． 根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可． 【解析】解：A、每个命题都有逆命题，故本选项说法错误，不符合题意； B、每个定理都有逆命题，不一定有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 巩固训练 53．命题“直角三角形两个锐角互余”．这个命题的逆命题是： ．这个逆命题是—命题 ．（填“真”或“假”） 【答案】 如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真 【分析】 本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，先把原命题的条件和结论互换写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 【解析】 解：命题“直角三角形两个锐角互余”．这个命题的逆命题是：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，这是一个真命题， 故答案为：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真． 54．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 【分析】本题考查了把命题改成“如果…，那么…”形式及逆命题的定义，关键是要找到什么是条件什么是结论．本命题是判断一个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边三角形”这一结论 【解析】解：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形， 则逆命题是：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等． 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 题型十六 线段的垂直平分线的性质 例题 55．如图，中，垂直平分交于点E，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，根据中垂直平分，可求出，再根据等腰三角形的性质求出，再由，，根据三角形内角和定理可求的度数，即可解答． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 56．如图，中，垂直平分，若，则的周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 故答案为：18． 57．如图，中，，，是边上的垂直平分线，的周长为，则的长度是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可求出． 【解析】解：∵是边上的垂直平分线， ∴， 的周长为， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 题型十七 线段的垂直平分线的判定 例题 58．如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【解析】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 巩固训练 59．如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．    【答案】5 【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，推出，由此求出，由此求出． 【解析】解：∵周长为16cm，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：5． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 题型十八 线段的垂直平分线的尺规作图 例题 60．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，连接．若，则 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的性质，先根据尺规作图的步骤可知是的垂直平分线，可得，进而得出，再直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据含直角三角形的性质得，即可得出答案． 【解析】根据题意可知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：18． 巩固训练 61．如图，在中，，，，按下列步骤作图： 步骤1：分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M， N两点： 步骤2：作直线交于点D，交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、勾股定理，连接，先判断垂直平分得到，然后在中利用勾股定理求解即可． 【解析】解：连接， 由作图步骤得：垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， 在中，由得， 解得， 故答案为：3． 题型十九 角平分线的性质 例题 62．如图，在中，，平分交于点，若，，则点到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，如图，过D点作交于点，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离＝点D到的距离，熟练掌握角平分线的性质是解决此题的关键． 【解析】解：如图，过D点作交于点， ∵， , ∵平分交于点，，，， ， 故答案为：3． 巩固训练 63．如图，在中，平分则的面积为 ．    【答案】34 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据在中，平分且，得出，再结合三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【解析】解：如图：过点D作，    ∵在中，平分且， ∴， ∴的面积， 故答案为：34． 64．如图，射线是的平分线，是射线上一点，且于点，，．点是射线上一动点，当时,的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理及勾股定理，过点作于点，根据角平分线的性质定理得出，勾股定理求得，进而分类讨论，即可求解． 【解析】解：如图，过点作于点，   射线是的平分线，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∵点是射线上一动点， ∴或 故答案为：． 65．如图，的三边的长分别为，其三条角平分线将分成三个三角形，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，找到三个三角形的高相等是解此题的关键． 根据角平分线的性质，可以知道点O到三边的距离相等，即是三个小三角形的高相等，面积就是底的比值即可求解． 【解析】解：过O点分别做， 的垂线， ∵， ，是三角形的三条角平分线 ∴， ∴， 故答案为： 题型二十 角平分线的判定 例题 66．如图，于点B，于点D，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，根据，，可得是的角平分线，从而求解． 【解析】∵，， ∴是的角平分线 ∵ ∴ 故选：C． 巩固训练 67．如图，是内部一条射线，为射线上一点，于点于点．下面不能判定是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义，角平分线的判定定理，三角形全等的判定和性质逐项进行判断即可． 【解析】解：A．由，根据角平分线的定义可以得出是的平分线，故A不符合题意； B．∵，，， ∴是的平分线，故B不符合题意； C．∵，， ∴和都是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线，故C不符合题意； D．根据无法判断是的平分线，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． 题型二十一 角平分线的尺规作图 例题 68．如图，中， ，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质．由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【解析】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 巩固训练 69．如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确的作出的平分线， 第一步：在射线上分别截取，使； 第二步：分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径做圆弧，在内，两弧交于点； 第三步：作射线． 射线就是所要求作的的平分线． 用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．连接，根据作图的过程证明三角形全等即可． 【解析】解：如图所示，连接 由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴射线就是所要求作的的平分线． 故选：C． 70．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【解析】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 题型二十二 其他问题 例题 71．到三角形三边距离相等的点是三角形的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 根据，，，得出在的平分线上，同理得出也在、的平分线上，即可得出是三条角平分线的交点． 【解析】解：如图， ，，， 在的平分线上， 同理在的平分线上，在的平分线上， 即：是三条角平分线的交点， 故选：． 巩固训练 72．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【解析】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 73．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解决本题的关键．分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【解析】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为， 故选C． 题型二十三 解答题 例题 74．如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质证明即可． 【解析】证明：，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ． 巩固训练 75．如图，，，E是上的一点，且，．求证：．      【答案】见解析 【分析】先根据平行线的性质可得，从而可得和都是直角三角形，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据直角三角形全等的判定定理即可得证． 【解析】， ， 和都是直角三角形， ， ， 在和中，， ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． 76．中，，的高与角平分线交于点． (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线，理解相关知识是解答关键． （1）由，的高，利用同角的余角相等来求解； （2）由（1）得：，利用角平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定来求解． 【解析】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得：， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 77．如图，在和中，，点在上，且，过点作于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理． （1）先证得，再由得，即可得出结论； （2）设，由（1）可得，再由得，即可得，再由三角形内角和定理即可得解． 【解析】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，由（1）可得， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 78．如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （1）作于，根据角平分线的性质证明结论； （2）根据角平分线的判定定理证明即可． 【解析】（1）证明：如图所示，作于， 、分别为的两个外角平分线，，，， ，， ； （2）证明：由（1）， ∵，， 点在的平分线上． 79．如图，在中，的角平分线交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与分别交于点E，点F，点H．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查基本作图，垂直平分线的性质，等角对等边，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据题意作图即可； （2）根据垂直平分线的性质、角平分线的定义及等角对等边得到，，再根据为的垂直平分线得到，即可得． 【解析】（1）解：作的垂直平分线分别与分别交于点E，点F，点H， 如图， （2）证明：如图， 为的垂直平分线 ∴ ∴     ∵平分 ∴     ∵     ∴     ∴ 为的垂直平分线     ∴ ∴ 80．如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的周长． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)2 (3)，理由见详解． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）延长到，使，连接，求出，根据证，推出，，求出，根据证明，推出，即可得出答案； （2）由（1）得的周长等于，即可解答； （3）根据（1）中的即可解答． 【解析】（1）证明：延长到，使，连接， 是等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （2）解：是边长为1的等边三角形， ， ， 的周长为：； （3）解：， 理由如下：由（1）知：， ． 81．【综合运用】如图，在中，，点在内，连接，，是等边三角形，点在外，，． (1)求的度数； (2)证明：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得出，，利用证明，得出，结合周角为，计算角度即可； （2）根据等边三角形的性质，得出，，结合，推出，利用证明即可； （3）根据等边三角形的性质，得出，计算得出是直角，，根据“度角所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，根据（2）得，则，即可得出答案． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，由（1）得， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）得， ∴． 82．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，的长为___________； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）直接利用直线求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）由折叠的性质可得到，利用可得的坐标，然后依据勾股定理即可求解； （3）分三种情况：①若 ；②若 ； ③若 ；分别利用全等三角形的判定及性质求解即可. 【解析】（1）解：令得 ∴； ， 令得 解得 ∴， ， 在中，， 故答案为： ； （2）解：由折叠的性质可知 ， 设则 在中，，则， 解得： ， ； （3）解：存在，理由如下： ①若 ， 如图，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∴此时点的坐标为； ②若， 如图，过点作 交点， 同理可得，此时点的坐标为； ③若， 如图，过点作 交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 解得：， ∴此时点的坐标为； 综上所述， 点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解答时求三角形全等是解题的关键． 83．已知，在中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ (3)如图，，，，，则的长度？ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】由，得出，由证得，即可得出结论； 连接，先证是等边三角形，再由垂直平分，得出，由，得出，，得出，，由勾股定理即可得出结果； 将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于，则，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 由可知：， ，， ， ， ； （3）解：将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于， 则， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $$