精品解析：河南省商丘市虞城县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中考试卷九年级数学 一、选择题（正确答案唯一，将其标号在答题卡对应位置用2B铅笔涂黑．每小题3分，共30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A. a＝±2 B. a＝﹣2 C. a＝2 D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　） A. B. C. D. 4. 关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为（﹣3，2） B. 对称轴为直线y=3 C. 当x≥3时，y随x增大而增大 D. 当x≥3时，y随x增大而减小 5. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ） A. 或3 B. 或2 C. 或或3 D. 或或2 6. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可知常数的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，将绕点顺时针方向旋转后得到，此时点在斜边上，斜边交于点．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，，分别是与的图象上的点，且，关于原点成中心对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的半径，弦，是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 二、填空题（将最简结果填入答题卡指定位置，每小题3分，共15分） 11. 方程整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是____． 13. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则___________． 14. 如图，直径，，则_______． 15. 如图，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则这两个正方形的面积之和是______． 三、解答题（在答题卡上指定位置写出详细解答或论证过程，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 列方程解应用题： 某制衣厂一月份生产衬衣5000件，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产衬衣15918件，问二、三月份平均每月的增长率是多少？ 18. 已知二次函数， （1）求函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）把这个函数的图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的图像对应的函数关系式是什么？ 19. 圆的半径为13，、是圆的两条弦，，则与之间的距离为___________． 20. 已知抛物线，其中是常数． （1）求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线． ①求该抛物线的函数解析式； ②抛物线顶点记为，抛物线与轴交点记为，求直线与两坐标轴围成三角形的面积． 21. 某企业安排55名工人生产甲、乙两种产品，每人每天只生产一种产品，每人每天能生产2件甲或1件乙．甲产品每件可获利150元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利200元，每增加l件，当天平均每件利润减少10元． （1）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多12000元，且确保生产乙产品不亏损，求每件乙产品可获得的利润． （2）该企业在不增加工人的情况下，每人每天只能生产一种产品，现增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利270元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值． 22. 四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求点到的距离． 23. 如图所示，与关于点成中心对称，点，在线段上，且． （1）求证：； （2）若，，点是的中点，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试卷九年级数学 一、选择题（正确答案唯一，将其标号在答题卡对应位置用2B铅笔涂黑．每小题3分，共30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A. a＝±2 B. a＝﹣2 C. a＝2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】根据题意得，解得a＝2． 故选C． 【点睛】要特别注意二次项系数不等于0这一条件，当二次项系数是0时，上面的方程就不是一元二次方程了． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， 故选：C． 3. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2， 所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850， 故答案为：D. 4. 关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为（﹣3，2） B. 对称轴为直线y=3 C. 当x≥3时，y随x增大而增大 D. 当x≥3时，y随x增大而减小 【答案】C 【解析】 【详解】∵ y=2（x﹣3）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x=3， ∴当时，y随x的增大而增大． ∴选项A、B、D中的说法都是错误的，只有选项C中的说法是正确的． 故选：C． 5. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ） A. 或3 B. 或2 C. 或或3 D. 或或2 【答案】D 【解析】 【分析】当时，是一次函数，图象与轴有且只有一个交点，当时，的判别式，解答即可． 本题考查了一次函数与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线与x轴有且只有一个交点的条件是解题的关键． 【详解】解：当时即时，变形为，是一次函数，图象与轴有且只有一个交点，符合题意； 当时，的判别式， 解得或， 综上所述，或或． 故选：D． 6. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可知常数的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式， 将三组数据分别代入关系式得出方程组，再求出解即可． 【详解】解：∵点在抛物线的图象上， ∴， 解得． 故选：A． 7. 如图，在中，，，，将绕点顺时针方向旋转后得到，此时点在斜边上，斜边交于点．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质， 先根据旋转的性质可得，，再证明是直角三角形，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：由旋转可得，， ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，，分别是与的图象上的点，且，关于原点成中心对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，求一次函数的函数值， 设点P的坐标，再根据中心对称表示点Q的坐标，然后代入关系式求出答案即可． 【详解】解：设点， ∵点P，Q关于原点对称， ∴点． ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴点． 故选：C． 9. 如图，是的半径，弦，是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理，证明，圆周角定理，证明，计算即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（将最简结果填入答题卡指定位置，每小题3分，共15分） 11. 方程整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴二次项系数为3，一次项系数为， 二次项系数与一次项系数的比值是． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值． 【详解】根据题意知，x=0是关于x的一元二次方程的根， ∴a2-4=0， 解得， ∵， ∴． ∴． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解使方程的左右两边相等． 13. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；熟记旋转的性质是解题的关键． 14. 如图，直径，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的性质，等边三角形的判断及性质，熟悉掌握同弧所对的圆周角与圆心的关系是解题的关键． 连接，，即可得到，证出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵ ∴ ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则这两个正方形的面积之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线与轴正半轴交于点，确定即，，计算当时，，确定点D的坐标，计算的长，解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴即， ∴； ∵以为边在轴上方作正方形， ∴， ∴当时，， 解方程，得或（舍去）， ∴点D的坐标， ∴的长， ∴这两个正方形的面积之和是． 故答案为：． 三、解答题（在答题卡上指定位置写出详细解答或论证过程，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，是解题的关键． （1）选择公式法求解即可； （2）运用完全平方公式将原式变形后，选择开平方法，即可解得答案； （3）提取公因式，方程转化为两个一元一次方程，然后解方程即可； （4）选择开平方法，方程转化为两个一元一次方程，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴根判别式为：， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴左边化成完全平方，得， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴提公因式分解因式，得， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：∵， ∴两边开平方，得， ∴，， ∴． 17. 列方程解应用题： 某制衣厂一月份生产衬衣5000件，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产衬衣15918件，问二、三月份平均每月的增长率是多少？ 【答案】二、三月份平均每月的增长率是 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题．基本数量关系：若基数为a，末数为b，增长率为x，时间间隔为n，则有关系式． 题目中增长率设为x，二月份的基数为一月份生产的衬衣件数5000，时间间隔为1；三月份的基数为一月份生产的衬衣件数5000，时间间隔为2．等量关系是；第一季度共生产的衬衣件数等于一月份、二月份、三月份生产的衬衣件数之和． 【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率是x， 根据题意，二月份生产衬衣件， 三月份生产衬衣件， 第一季度共生产的衬衣件数为一月份、二月份、三月份生产的衬衣件数之和， 得， 解得（舍去）， ∴． 故二、三月份平均每月的增长率是． 18. 已知二次函数， （1）求函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）把这个函数的图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的图像对应的函数关系式是什么？ 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式求对称轴，顶点坐标，抛物线的平移，熟练掌握顶点式，平移规律是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式，求函数图像的对称轴和顶点坐标即可； （2）根据左加下减的平移原理解答即可． 【小问1详解】 解：， 故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵，且图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位， ∴， ∴． 19. 圆的半径为13，、是圆的两条弦，，则与之间的距离为___________． 【答案】7或17##17或7 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，分在圆心O的同侧和在圆心O的异侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当在圆心O的同侧，过点O作，交于点E，交于点F，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴； 如图所示，当在圆心O的异侧，过点O作，交于点E，作，交于点F，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点E，O，F三点共线． 在中，， 在中，， ∴． 所以与之间的距离是7或17． 故答案为：7或17． 20. 已知抛物线，其中是常数． （1）求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线． ①求该抛物线的函数解析式； ②抛物线顶点记为，抛物线与轴交点记为，求直线与两坐标轴围成三角形的面积． 【答案】（1） 抛物线， 当时，即， 可知， ∴该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）；② 【解析】 【分析】（1）将二次函数的关系式整式为一般式，再根据一元二次方程根的情况解答即可； （2）根据对称轴求出关系式，再求出点M，N的坐标，进而求出直线的关系式，然后求出与坐标轴的交点坐标，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵抛物线的对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； ②当时，， ∴． ∵抛物线的关系式， ∴点． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线． 当时，， 直线与x轴交点坐标为， ∴直线与坐标轴围成三角形的面积． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，求二次函数关系式，求一次函数关系式，掌握待定系数法求函数关系式的步骤是解题的关键． 21. 某企业安排55名工人生产甲、乙两种产品，每人每天只生产一种产品，每人每天能生产2件甲或1件乙．甲产品每件可获利150元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利200元，每增加l件，当天平均每件利润减少10元． （1）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多12000元，且确保生产乙产品不亏损，求每件乙产品可获得的利润． （2）该企业在不增加工人的情况下，每人每天只能生产一种产品，现增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利270元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值． 【答案】（1）150 （2）14700 【解析】 【分析】对于（1），设每天生产x件乙产品，可知生产甲，乙两种产品的人数，再表示出乙产品单件利润，然后根据甲，乙两种产品的利润之间的关系得出方程，求出解即可； 对于（2），设m名工人生产甲种产品，则名工人生产丙产品，则有名工人生产乙产品，再得出各自的总利润，然后得出总利润的二次函数，再讨论极值即可． 【小问1详解】 解：设每天生产x件乙产品，则有x名工人生产乙产品，有名工人生产甲产品，根据题意，得， 解得或， 当时，， 此时生产乙产品亏损，不合题意. 当时，， 所以每件乙产品可获得利润是150元； 【小问2详解】 解：设m名工人生产甲种产品，则名工人生产丙产品，则有名工人生产乙产品，根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数有最大值． ∵， 解得， 当时，函数有最大值，即， ∴总利润的最大值时14700元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数图像的性质，二次函数的极值，弄清题目中的数量关系是解题的关键． 22. 四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求点到的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 而F是的延长线上的点， ∴， 在和中 ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）过点A作于点G，用勾股定理求出，，证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作于点G，如图所示： ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质和全等三角形的证明方法是解题的关键． 23. 如图所示，与关于点成中心对称，点，在线段上，且． （1）求证：； （2）若，，点是的中点，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的判定及性质，三角形中线定理及三角形面积公式，三角函数解直角三角形等知识点，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证出即可求解； （2）连接，，过作于点，利用三角形中线的定理证出，利用三角函数比值关系求出的长，再根据三角形面积公式运算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，过作于点，如图所示： ∵， ∴为的中线，为的中线， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， 由（1）可得：， ∴为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $