精品解析：江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024－2025学年上学期11月期中 九年级数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（24分，每小题3分） 1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 2. 已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（　　） A. 平均数是4 B. 众数是3 C. 中位数是5 D. 方差是3.2 3. 已知的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 4. 某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ） A 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 用半径为60，圆心角为120°扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 6. P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，点A，B，C在⊙O上，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∠B＝30°，OP＝3，则AP的长为(　　)       A. 3 B. C. D. 8. 如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为8,则GE+FH的最大值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 二、填空题（30分，每小题3分） 9. 若方（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程，则m值等于___． 10. 一组数据：，这组数据的方差是______． 11. 已知圆的一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________． 12. 如果m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，那么6m﹣2m2的值是_____． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是________． 14. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，∠B＝135°，则弦AC的长为_______． 15. 如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____． 16. △ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的内切圆的半径长为_________． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，满足，则的值为________． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A的对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为______． 三．解答题（共9小题） 19. 解方程： （1）； （2）（用配方法）； （3）； （4）． 20. 如图，AB是⊙O直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E． （1）求证：AC∥OD； （2）若OE＝4，求AC的长． 21. 已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 22. 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 23. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC． （1）求证：∠A＝∠BCD； （2），∠B＝60°，求阴影部分的面积． 24. 某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件． 设销售单价定为x元.据此规律，请回答： (1)商店日销售量减少___________件，每件商品盈利___________元(用含x的代数式表示)； (2)针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 25. 在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． （1）问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________； （2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） （3）迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围． 26. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O． （1）试说明：点C也一定在⊙O上． （2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由． （3）求线段EF的取值范围，并说明理由． 27. 如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示． （1）AB＝　 　cm，点Q的运动速度为　 　cm/s； （2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止． ①当点O在QD上时，求t的值； ②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024－2025学年上学期11月期中 九年级数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（24分，每小题3分） 1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得x2+4x=5， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+4x+4=5+4， 配方得（x+2）2=9． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1. 2. 已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（　　） A. 平均数是4 B. 众数是3 C. 中位数是5 D. 方差是3.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可． 【详解】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2． 故选：C． 【点睛】本题考查了对中位数、平均数、众数、方差的知识点应用． 3. 已知的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，首先根据点的坐标，利用勾股定理得到的长，进而根据点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上即可判断求解，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆心的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴点在上， 故选：． 4. 某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断． 【详解】要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩， 即中位数． 故选B. 5. 用半径为60，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得 2πr＝， 解得r＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长. 6. P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得． 【详解】解：在过点P的所有⊙O的弦中， 如图，当弦与OP垂直时，弦最短， 此时， 得其半弦长为4，则弦长是8， 故选：C． 【点睛】此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算． 7. 如图，点A，B，C在⊙O上，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∠B＝30°，OP＝3，则AP的长为(　　)       A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可． 【详解】连接OA， ∵∠B＝30°， ∴∠AOC＝2∠B＝60°， ∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P， ∴∠OAP＝90°， ∵OP＝3， ∴AP＝OPsin60°＝3×＝， 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径． 8. 如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为8,则GE+FH的最大值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为8，可得AB=OA=OB=8，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可． 【详解】如图所示，连接OA、OB， ∵∠ACB=30°， ∴∠AOB=2∠ACB=60°， ∵OA=OB， ∴△AOB为等边三角形， ∵O的半径为8， ∴AB=OA=OB=8， ∵点E，F分别是AC、BC的中点， ∴EF=AB=4， ∵GE+EF+FH=GH，EF为定值， ∴当GH最大时，GE+FH最大 ∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2=16， ∴GE+FH的最大值为：16−4=12. 故选B. 【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的性质，判断出当弦GH是圆的直径时GE+FH取得最大值是关键. 二、填空题（30分，每小题3分） 9. 若方（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值等于___． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m的方程和不等式，即可求解． 【详解】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程， ∴|m﹣2|=2且m-4≠0， ∴m=0， 故答案是：0． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不等于0，是解题的关键． 10. 一组数据：，这组数据的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数据的方差，先求出数据的平均数，再根据方差公式计算即可求解，掌握方差计算公式是解题的关键． 【详解】解：数据的平均数， ∴， 故答案：． 11. 已知圆的一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成两部分，求得的度数，又由圆周角定理，求得的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，继而可求得答案．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【详解】解：如图， 弦把分成两部分， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 这条弦所对的圆周角的度数是：或． 故答案为：或． 12. 如果m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，那么6m﹣2m2的值是_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣3m＝2，再把6m﹣2m2变形为﹣2（m2﹣3m），然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m为一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根． ∴m2﹣3m﹣2＝0， 即m2﹣3m＝2， ∴6m﹣2m2＝﹣2（m2﹣3m）＝﹣2×2＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算，先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是：， 则圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 14. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，∠B＝135°，则弦AC的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出答案即可． 【详解】 如图所示，连接、、， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 的半径为5， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，掌握圆内接四边形对角互补与同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系是解题的关键. 15. 如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，根据AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边得到∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，从而得到∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，然后求得BC的长即可． 【详解】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D， ∵AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边， ∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°， ∵OC＝OB， ∴∠OCD＝∠OBC＝30°， ∵OC＝6， ∴CD＝＝3， ∴BC＝2CD＝6， 故答案为：6． 【点睛】 考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得∠BOC的度数． 16. △ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的内切圆的半径长为_________． 【答案】3 【解析】 【详解】AB=10,BC=12,由勾股定理知，AE=, 圆内切三角形，所以,BD= BE,AD=10-6=4. 设圆的半径是x,在直角三角形ADO中， +, +, 解得x=3. 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形求值，先根据根与系数的关系得到，进而根据完全平方公式的变形得到，再由，得到，解得或，再由判别式大于0推出，则． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】连接CP，由勾股定理求出AB=10，由旋转的性质得出A'B'=AB=10，∠A'CB'=∠ACB=90°，由直角三角形的性质求出CP=A'B'=5，由题意得出点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，则可求出答案． 【详解】解：连接CP， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C， ∴A'B'＝AB＝10，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∵P为A'B′的中点， ∴CPA'B'＝5， ∴在旋转的过程中，点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当B，C，P三点共线时，BP有最大值， ∴BP的最大值为6+5＝11． 故答案为11． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的性质，由直角三角形的性质求出CP的长是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 19. 解方程： （1）； （2）（用配方法）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）整理后，用因式分解法解一元二次方程； （2）用配方法解一元二次方程； （3）整理后，用直接开平方法解一元二次方程； （4）整理后，用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：， 配方得，即， 开方得， 解得，； 【小问3详解】 解：整理得， 开方得， ∴，， 解得，； 【小问4详解】 解：， 整理得，即， ∴， 解得． 20. 如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E． （1）求证：AC∥OD； （2）若OE＝4，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2）AC＝8 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠OAC＝2∠OAD，由圆周角定理可得出∠BOD＝2∠BAD，进而可得出∠BOD＝∠OAC，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出AC∥OD； （2）作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得出AF＝AC，由AC∥OD可得出∠DOE＝∠OAF，结合∠DEO＝∠OFA、DO＝OA即可证出△DOE≌△OAF（AAS），再根据全等三角形性质可得出OE＝AF＝AC，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵AD平分∠CAB， ∴∠OAC＝2∠OAD． ∵∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BOD＝∠OAC， ∴AC∥OD． （2）解：作OF⊥AC于点F，如图所示： 则AF＝AC， ∵AC∥OD， ∴∠DOE＝∠OAF． 在△DOE和△OAF中， ∴△DOE≌△OAF（AAS）， ∴OE＝AF＝AC， ∴AC＝2OE＝8． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定及性质，垂径定理，掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键. 21. 已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 【答案】（1）见详解；（2）4＋或4＋. 【解析】 【分析】（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论. （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算. 详解】解：（1）证明：∵△=[-（m＋2）] 2－4（2m－1）=（m－2）2＋4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0. ∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根. （2）∵此方程的一个根是1， ∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0， 解得，m=2， 则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3. ①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋. ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋. 22. 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（）求出八年级组学生竞赛成绩的占比，再结合扇形统计图可求出，根据中位数和众数的定义可求出； （）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好； （）利用样本估计总体思想求解即可， 本题考查了扇形统计图，中位数和众数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级组学生竞赛成绩占比为， ∴， ∴， ∵八年级名学生的竞赛成绩的中位数是第和第个数据的平均数， ∴， ∵在七年级名学生的竞赛成绩中出现的次数最多， ∴； 【小问2详解】 解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下： 七、八年级的平均分均为分，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级学生掌握防溺水安全知识较好． 【小问3详解】 解：， 答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是人． 23. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC． （1）求证：∠A＝∠BCD； （2），∠B＝60°，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可推出，再根据圆周角的性质即可证明； （2）首先在中求出的长度，然后确定是等边三角形，即可得到，从而利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）∵直径， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的垂径定理，扇形的面积计算，以及利用正弦函数求边长等，理解垂径定理，掌握基本的三角函数和扇形的面积公式是解题关键． 24. 某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件． 设销售单价定为x元.据此规律，请回答： (1)商店日销售量减少___________件，每件商品盈利___________元(用含x的代数式表示)； (2)针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)20(x－10)；(2)(x－8)；(2) 销售单价应定为元. 【解析】 【分析】定价为元，与元相比，销售单价就上涨了元，销售单价每涨元，每天的销售量就减少件，可得出销量减少了每件的盈利为元. 根据总利润=单件利润×销量，列方程进行求解即可. 【详解】商店日销售量减少20(x-10)件，每件商品盈利(x-8)元， 故答案为： ； 由题意可得， ， 解得：，  因为要让顾客得到实惠，， 答：销售单价应定为元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 25. 在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． （1）问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________； （2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） （3）迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案； （2）作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求； （3）作的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：连接、， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图中，点P为所求． 【小问3详解】 解：如图，作的外接圆， ∵，， 当时，为最长弦，即直径， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，是等边三角形， ∴， ∵， ∴的取值范围为：． 【点睛】此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 26. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O． （1）试说明：点C也一定在⊙O上． （2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由． （3）求线段EF的取值范围，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）∠PEF的度数不变，是45°（3）E≤ 【解析】 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得EF是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点C在圆上即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得PE=PF，得到△PEF是等腰直角三角形； （3）根据E点的移动，可知当E与C重合时，EF最长，而当EF为△ABC的中位线时，EF最短，求出即可. 【详解】解：（1）∵FP⊥PE， ∴∠FPE=90°， ∴EF为直径， ∴OP=OE=OF， ∵∠C=90°， ∴OC=OE=OF， ∴点C在⊙O上， （2）连接PC ∵AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵点P是AB的中点， ∴CP平分∠ACB， ∴∠ACP=45°， ∵， ∴∠ACP=∠PEF=45°， 由于∠ACP的度数不变， ∴∠PEF的度数不会发生变化． （3）当E与C重合时，EF最长，此时EF=AC=8； 当EF为△ABC的中位线时，EF最短，根据勾股定理可得AB=8， 根据三角形的中位线可得EF=4， 所以≤EF≤8． 27. 如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示． （1）AB＝　 　cm，点Q的运动速度为　 　cm/s； （2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止． ①当点O在QD上时，求t的值； ②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围． 【答案】（1）30，6；（2）①；②≤t≤． 【解析】 【分析】（1）设点Q运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长； （2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由OF＝QC可求出t的值； ②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围． 【详解】（1）设点Q的运动速度为a， 则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处， ∵AP＝6t， ∴S△PDQ＝(60﹣6×5)×5a＝450， ∴a＝6， ∴AB＝5a＝30， 故答案为：30，6； （2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时， QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t， ∵OF∥QC且点F是DC的中点， ∴OF＝QC， 即4t＝ (90﹣6t)， 解得，t＝； ②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H， 如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时， ∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH， ∴HP＝QH＝AB＝30， ∴△QHP是等腰直角三角形， ∵CG＝DN＝OF＝4t， ∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t， ∴QP＝QM+MP＝150﹣20t， ∵QP＝QH， ∴150﹣20t＝30， ∴t＝； 如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时， ∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH， ∴HP＝QH＝AB＝30， ∴△QHP是等腰直角三角形， ∵CG＝DN＝OF＝4t， ∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90， PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60， ∴QP＝QM+MP＝20t﹣150， ∵QP＝QH， ∴20t﹣150＝30， ∴t＝， 综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤． 【点睛】本题考查了圆和一元一次方程的综合问题，掌握圆切线的性质、解一元一次方程的方法、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$