专题01 实数及其运算（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题01 实数及其运算 课标要求 考点 考向 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 7．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 实 数 考向一 正负数与具有相反意义的量 考向二 实数的分类 考向三 数轴、相反数、倒数、绝对值 考向四 科学记数法 考向五 实数的大小比较 实数的运算 考向一 实数的运算 考点一 实数 ►考向一 正负数与具有相反意义的量 解题技巧 1、正数和负数 (1)大于0的数是正数，小于0的数是负数. (2)0既不是正数也不是负数． 2、正数、负数的意义：常用正数和负数表示一组具有相反意义的量．如收入(＋)与支出(－)，零上(＋)与零下(－)，向东(＋)与向西(－). 1．（2024•湖北）在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作+20元，那么支出10元记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．+20元 D．﹣20元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作+20元，则支出10元记作﹣10元． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．（2022•襄阳）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（　　） A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃ 【分析】根据上升与下降表示的是一对意义相反的量进行表示即可． 【解答】解：∵气温上升2℃记作+2℃， ∴气温下降3℃记作﹣3℃． 故选：C． 【点评】此题考查了利用正负数表示一对意义相反的量的能力，关键是能明确意义相反的量及正负数的定义． 3．（2024•武汉）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作 　 　℃． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作﹣2℃． 故答案为：﹣2 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． ►考向二 实数的分类 解题技巧 无理数的主要呈现形式： 1、根号型：含根号且开方开不尽的数，如，，； 2、三角函数型：一些三角函数的值，如sin 45°，cos 30°，tan 30°是无理数，但cos 60°， tan 45°是有理数； 3、含π型：π及化简后含π的数，如0.5π，π＋3； 4、构造型：有规律但不循环的无限小数，如1.010 010 001…(相邻两个1之间依次多一个0)． 4．（2023•荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（　　） A．﹣1 B． C． D．3.14 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是， 故选：B． 【点评】本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5．（2021•湖北）下列实数中是无理数的是（　　） A．3.14 B． C． D． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：A.3.14是分数，属于有理数，故本选项不合题意； B.3是整数，故本选项不合题意； C.是无理数，故本选项符合题意； D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，熟记实数的分类是解答本题的关键． 6．（2021•荆州）在实数﹣1，0，，中，无理数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【分析】根据有理数（包括整数和分数）和无理数（无限不循环的小数）的定义判断即可． 【解答】解：选项A、B：∵﹣1、0是整数，∴﹣1、0是有理数，∴选项A、B不符合题意； 选项C：∵是分数，∴是有理数，∴选项C不符合题意； 选项D：∵是无限不循环的小数，∴是无理数，∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数． ►考向三 数轴、相反数、倒数、绝对值 考查角度1：数轴 易错易混提醒 1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） 2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 7．（2023•恩施州）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A．9 B． C． D．﹣9 【分析】根据数轴得出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【解答】解：∵A点表示的数为9， ∴数轴上点A所表示的数的相反数是﹣9． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键． 8．（2022•荆州）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（　　） A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c 【分析】根据在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等判断即可． 【解答】解：∵c＜0，d＞0，|c|＝|d|， ∴c，d互为相反数， 故选：C． 【点评】本题考查了相反数，实数与数轴，掌握相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键． 9．（2023•黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 【分析】结合数轴表示确定实数a与b的符号和大小． 【解答】解：由题意得， a＜0＜b， ∴a＜b， 故选：C． 【点评】此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确运用该知识和数轴知识进行求解． 考查角度2：相反数 解题技巧 1、a的相反数为﹣a，特别地，0的相反数是0. 2、相反数的代数意义：若实数a，b互为相反数，则a＋b＝0， 3、相反数的几何意义：互为相反数的两个数表示的点分别位于数轴上原点的两侧，它们到原点的距离相等，即互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 10．（2023•湖北）﹣2的相反数为（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【分析】根据相反数的概念解答即可． 【解答】解：﹣2的相反数为2， 故选：B． 【点评】本题考查的是相反数的概念，只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 11．（2023•武汉）实数3的相反数是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：实数3的相反数是﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 12．（2022•武汉）实数2022的相反数是（　　） A．﹣2022 B． C． D．2022 【分析】根据相反数的定义直接求解． 【解答】解：实数2022的相反数是﹣2022， 故选：A． 【点评】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键． 考查角度3：倒数 解题技巧 1、非零实数 a 的倒数是; 2、0没有倒数； 3、倒数等于本身的数是±1； 4、乘积是1的两个数互为倒数.若a，b互为倒数，则ab＝1. 13．（2023•十堰）﹣3的倒数为（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案． 【解答】解：﹣3的倒数为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键． 14．（2022•随州）2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 【分析】根据倒数的定义即可得出答案． 【解答】解：2022的倒数是． 故选：C． 【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 15．（2022•宜昌）下列说法正确的个数是（　　） ①﹣2022的相反数是2022；②﹣2022的绝对值是2022；③的倒数是2022． A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据相反数的定义判断①；根据绝对值的性质判断②；根据倒数的定义判断③． 【解答】解：①﹣2022的相反数是2022，故①符合题意； ②﹣2022的绝对值是2022，故②符合题意； ③的倒数是2022，故③符合题意； 正确的个数是3个， 故选：A． 【点评】本题考查了相反数，绝对值，倒数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 考查角度4：绝对值 解题技巧 1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值. 2、绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即：字母 a 表示一个有理数，则 3、绝对值具有非负性，即|a|≥0 4、数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离； 离原点越远，绝对值越大;离原点越近，绝对值越小. 16．（2022•湖北）﹣5的绝对值是（　　） A． B．5 C．﹣5 D． 【分析】利用绝对值的定义求解即可． 【解答】解：﹣5的绝对值是5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义． 17．（2023•湖北）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据绝对值的性质即可求得答案． 【解答】解：||＝﹣（）， 故选：D． 【点评】本题考查绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 18．（2023•随州）﹣2023的绝对值是（　　） A．﹣2023 B． C． D．2023 【分析】一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此即可求得答案． 【解答】解：|﹣2023|＝2023， 故选：D． 【点评】本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 19．（2022•荆门）如果|x|＝2，那么x＝（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或 【分析】利用绝对值的意义，直接可得结论． 【解答】解：∵|±2|＝2， ∴x＝±2． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解决本题的关键． ►考向四 科学记数法 解题技巧 1、表示形式：a×10n (1≤|a|＜10，n为整数)． 2、a的确定：a的整数位只有一位． 3、n的确定： (1)|原数|≥10：n为原数整数位数减1. (2)当0<原数的绝对值<1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)或原数变为a时小数点向右移动的位数 ►考向一 科学记数法---表示较大的数 20．（2024•武汉）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（　　） A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×106 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：300000＝3×105， 故选：C． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 21．（2023•湖北）2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（　　） A．1.158×107 B．1.158×108 C．1.158×103 D．1158×104 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将11580000用科学记数法表示为1.158×107． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 22．（2023•宜昌）“五一”假期，宜昌旅游市场接待游客606.7万人次，实现旅游总收入41.5亿元．数据“41.5亿”用科学记数法表示为（　　） A．415×107 B．41.5×108 C．4.15×109 D．4.15×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将41.5亿＝4150000000用科学记数法表示为4.15×109． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． ►考向二 科学记数法---表示较小的数 23．（2022•荆门）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为（　　） A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣7 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9． 故选：B． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 24．（2022•湖北）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为 　 　米． 【分析】把某种病毒的直径表示成科学记数法即可． 【解答】解：0.000000103米＝1.03×10﹣7米． 故答案为：1.03×10﹣7． 【点评】此题考查了科学记数法﹣表示较小的数，弄清科学记数法的表示方法是解本题的关键． ►考向五 实数的大小比较 解题技巧 1、 数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的数比左边的数大. 2、正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 3、差值比较法：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＜b；a－b＜0⇔a＜b 4、商值比较法：对于两个正数a，b，＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 25．（2024•湖北）写出一个大于﹣1的数是 　 　． 【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数即可写出答案，答案不唯一． 【解答】解：比﹣1大的数如：0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数． 26．（2023•襄阳）下面四个有理数中，最小的是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】首先对负数、正数和零判断出负数最小，然后再对﹣2和﹣1进行判断，﹣2的绝对值大，所以它最小． 【解答】﹣2＜﹣1＜0＜1，故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，关键用绝对值的大小来判断负数之间的大小比较． 27．（2021•襄阳）下列各数中最大的是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1 【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的其值反而小，依此比较大小即可求解． 【解答】解：因为﹣3＜﹣2＜0＜1， 所以其中最大的数为1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较方法是解答本题的关键． 28．（2023•恩施州）下列实数：﹣1，0，，其中最小的是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答． 【解答】解：∵|﹣1|＝1，||， ∴1， ∴﹣1， 在﹣1，0，，这四个数中， ∵﹣10， ∴最小的数是﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键． 考点二 实数的运算 ►考向一 实数的运算 解题技巧 1、加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 2、减法：a－b＝a＋（﹣b）． 3、乘法：同号得正，异号得负，0与任何数相乘都得0． 4、除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数. 5、要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 29．（2022•宜昌）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的式子的值：﹣1﹣（﹣3）2＝　 ． 【分析】先算乘方，再算减法，即可解答． 【解答】解：﹣1﹣（﹣3）2 ＝﹣1﹣9 ＝﹣10， 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 30．（2022•随州）计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝　 　． 【分析】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可． 【解答】解：3×（﹣1）+|﹣3|＝﹣3+3＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 31．（2024•湖北）计算：（﹣1）×322﹣20240． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根、有理数的混合运算法则分别计算，进而得出答案． 【解答】解：原式＝﹣3+3+4﹣1 ＝3． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 32．（2023•十堰）计算：|1|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式1+4﹣1 2． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 1．（2024•襄州区模拟）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（　　） A．收入50元 B．收入30元 C．支出50元 D．支出30元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：根据题意，若收入80元记作+80元，则﹣50元表示支出50元． 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2．（2024•枣阳市模拟）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后比较大小即可． 【解答】解：由题意得各数的绝对值分别为3.8，2.3，1.1，1.5， ∵1.1＜1.5＜2.3＜3.8， ∴从质量的角度看，最接近标准质量的是1.1g， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键． 3．（2024•广水市一模）如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（　　） A．﹣2024 B． C． D．2024 【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案． 【解答】解：∵a与﹣2024互为相反数， ∴a+（﹣2024）＝0， ∴a＝2024． 故选：D． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024•孝南区模拟）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A．9 B． C． D．﹣9 【分析】根据数轴得出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【解答】解：∵A点表示的数为9， ∴数轴上点A所表示的数的相反数是﹣9． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键． 5．（2024•大冶市三模）在实数3.14159，，0，π，中，有理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据有理数的定义进行判断即可． 【解答】解：∵3.14159，0，是有理数， ∴有理数的个数为3个， 故选：C． 【点评】本题考查的是实数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键． 6．（2024•黄石模拟）在实数，0，，，中无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数判断即可． 【解答】解：，0，是有理数；无理数有，，共2个． 故选：C． 【点评】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 7．（2024•湖北三模）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：﹣2024的绝对值是2024． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握． 8．（2024•远安县模拟）某会议参会人数准确数为513人，新闻报道参会人数约为5百人，报道理由是（　　） A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位 C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位 【分析】根据某会议参会人数准确数为513人，新闻报道参会人数约为5百人，可知人数统计到百位． 【解答】解：由题意可得， 人数统计精确到百位， 故选：A． 【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的含义． 9．（2024•利川市校级模拟）据悉，一季度本是航空运输淡季，恩施机场航空运输生产却呈现良好发展态势．“得益于2015年12月春秋航空开通恩施至上海直飞旅游航线，恩施航空市场增长势头非常明显，航空旅游客源也迅速增加．”恩施机场市场部相关负责人说，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，与去年同期相比增长14%．请将数106679用科学记数法表示为（　　） A．1.06679×105 B．10.6679×105 C．0.106679×106 D．1.06679×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：106679＝1.06679×105． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．（2024•西陵区模拟）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（　　） A．1991.2×108 B．19.912×1010 C．1.9912×1011 D．1.9912×1012 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：1991.2亿＝199120000000＝1.9912×1011， 故选：C． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 11．（2024•建始县一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是﹣10℃，0℃，﹣20℃，2℃，其中最低气温是（　　） A．﹣10℃ B．0℃ C．﹣20℃ D．2℃ 【分析】根据正数和负数的实际意义比较大小即可． 【解答】解：﹣20＜﹣10＜0＜2， 则最低气温是﹣20℃， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键． 12．（2024•恩施市校级模拟）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（　　） A．2a B． C．a﹣1 D．a+2 【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，据此逐项判断即可． 【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1， ∵﹣2＜a＜﹣1， ∴﹣4＜2a＜﹣2，结果为负数， ∴选项A不符合题意； ∵﹣2＜a＜﹣1， ∴﹣1，结果为负数， ∴选项B不符合题意； ∵﹣2＜a＜﹣1， ∴﹣3＜a﹣1＜﹣2，结果为负数， ∴选项C不符合题意； ∵﹣2＜a＜﹣1， ∴0＜a+2＜1，结果为正数， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了实数加减乘除的运算方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 13．（2024•黄石港区模拟）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　） A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c 【分析】根据数轴可得：a＜b＜0＜c，|c|＜|b|＜|a|，然后对各个选项逐一判断即可． 【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|c|＜|b|＜|a|， ∴﹣c＞b，故选项A错误，不符合题意； a＜﹣c，故选项B错误，不符合题意； |a﹣b|＝b﹣a，故选项C正确，符合题意； |c﹣a|＝c﹣a，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14．（2024•湖北）计算：（﹣1）×322﹣20240． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根、有理数的混合运算法则分别计算，进而得出答案． 【解答】解：原式＝﹣3+3+4﹣1 ＝3． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 15．（2023•十堰）计算：|1|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式1+4﹣1 2． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 16．（2024•湖北模拟）计算：． 【分析】根据立方根定义，负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【解答】解： ＝2﹣（﹣8）﹣2﹣2 ＝2+8﹣2﹣2 ＝6． 【点评】本题主要考查了实数混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2024•恩施市校级一模）计算： （1）﹣2+6﹣|﹣4|； （2）﹣14﹣8÷[2﹣（﹣2）2]． 【分析】（1）先算绝对值，再算加减法； （2）先算乘方，再算除法，最后算减法；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解答】解：（1）﹣2+6﹣|﹣4| ＝﹣2+6﹣4 ＝0； （2）﹣14﹣8÷[2﹣（﹣2）2] ＝﹣1﹣8÷（2﹣4） ＝﹣1﹣8÷（﹣2） ＝﹣1+4 ＝3． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 18．（2024•湖北一模）计算： （1）（﹣3）﹣|﹣8|﹣2×（﹣4）； （2）﹣14． 【分析】（1）先去掉绝对值，再按照有理数的四则运算法则运算即可； （2）先算乘方，再计算括号内的数，再按照有理数的四则运算法则运算即可； 【解答】解：（1）原式＝﹣3﹣8﹣2×（﹣4） ＝﹣3﹣8﹣（﹣8） ＝﹣3﹣8+8 ＝﹣3； （2）原式＝﹣1（3﹣9） ＝﹣1（﹣6） ＝﹣1﹣（﹣3） ＝﹣1+3 ＝2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握正、负数的负整数指数幂是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数及其运算 课标要求 考点 考向 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 7．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 实 数 考向一 正负数与具有相反意义的量 考向二 实数的分类 考向三 数轴、相反数、倒数、绝对值 考向四 科学记数法 考向五 实数的大小比较 实数的运算 考向一 实数的运算 考点一 实数 ►考向一 正负数与具有相反意义的量 解题技巧 1、正数和负数 (1)大于0的数是正数，小于0的数是负数. (2)0既不是正数也不是负数． 2、正数、负数的意义：常用正数和负数表示一组具有相反意义的量．如收入(＋)与支出(－)，零上(＋)与零下(－)，向东(＋)与向西(－). 1．（2024•湖北）在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作+20元，那么支出10元记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．+20元 D．﹣20元 2．（2022•襄阳）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（　　） A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃ 3． （2024•武汉）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作 　 　℃． ►考向二 实数的分类 解题技巧 无理数的主要呈现形式： 1、根号型：含根号且开方开不尽的数，如，，； 2、三角函数型：一些三角函数的值，如sin 45°，cos 30°，tan 30°是无理数，但cos 60°， tan 45°是有理数； 3、含π型：π及化简后含π的数，如0.5π，π＋3； 4、构造型：有规律但不循环的无限小数，如1.010 010 001…(相邻两个1之间依次多一个0)． 4．（2023•荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（　　） A．﹣1 B． C． D．3.14 5．（2021•湖北）下列实数中是无理数的是（　　） A．3.14 B． C． D． 6．（2021•荆州）在实数﹣1，0，，中，无理数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． ►考向三 数轴、相反数、倒数、绝对值 考查角度1：数轴 易错易混提醒 1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） 2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 7．（2023•恩施州）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A．9 B． C． D．﹣9 8．（2022•荆州）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（　　） A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c 9．（2023•黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 考查角度2：相反数 解题技巧 1、a的相反数为﹣a，特别地，0的相反数是0. 2、相反数的代数意义：若实数a，b互为相反数，则a＋b＝0， 3、相反数的几何意义：互为相反数的两个数表示的点分别位于数轴上原点的两侧，它们到原点的距离相等，即互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 10．（2023•湖北）﹣2的相反数为（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 11．（2023•武汉）实数3的相反数是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 12．（2022•武汉）实数2022的相反数是（　　） A．﹣2022 B． C． D．2022 考查角度3：倒数 解题技巧 1、非零实数 a 的倒数是; 2、0没有倒数； 3、倒数等于本身的数是±1； 4、乘积是1的两个数互为倒数.若a，b互为倒数，则ab＝1. 13．（2023•十堰）﹣3的倒数为（　　） A．3 B． C． D．﹣3 14．（2022•随州）2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 15．（2022•宜昌）下列说法正确的个数是（　　） ①﹣2022的相反数是2022；②﹣2022的绝对值是2022；③的倒数是2022． A．3 B．2 C．1 D．0 考查角度4：绝对值 解题技巧 1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值. 2、绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即：字母 a 表示一个有理数，则 3、绝对值具有非负性，即|a|≥0 4、数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离； 离原点越远，绝对值越大;离原点越近，绝对值越小. 16．（2022•湖北）﹣5的绝对值是（　　） A． B．5 C．﹣5 D． 17．（2023•湖北）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 18．（2023•随州）﹣2023的绝对值是（　　） A．﹣2023 B． C． D．2023 19．（2022•荆门）如果|x|＝2，那么x＝（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或 ►考向四 科学记数法 解题技巧 1、表示形式：a×10n (1≤|a|＜10，n为整数)． 2、a的确定：a的整数位只有一位． 3、n的确定： (1)|原数|≥10：n为原数整数位数减1. (2)当0<原数的绝对值<1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)或原数变为a时小数点向右移动的位数 ►考向一 科学记数法---表示较大的数 20．（2024•武汉）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（　　） A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×106 21．（2023•湖北）2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（　　） A．1.158×107 B．1.158×108 C．1.158×103 D．1158×104 22．（2023•宜昌）“五一”假期，宜昌旅游市场接待游客606.7万人次，实现旅游总收入41.5亿元．数据“41.5亿”用科学记数法表示为（　　） A．415×107 B．41.5×108 C．4.15×109 D．4.15×1010 ►考向二 科学记数法---表示较小的数 23．（2022•荆门）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为（　　） A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣7 24．（2022•湖北）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为 　 　米． ►考向五 实数的大小比较 解题技巧 1、 数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的数比左边的数大. 2、正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 3、差值比较法：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＜b；a－b＜0⇔a＜b 4、商值比较法：对于两个正数a，b，＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 25．（2024•湖北）写出一个大于﹣1的数是 　 　． 26．（2023•襄阳）下面四个有理数中，最小的是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 27．（2021•襄阳）下列各数中最大的是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1 28．（2023•恩施州）下列实数：﹣1，0，，其中最小的是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 考点二 实数的运算 ►考向一 实数的运算 解题技巧 1、加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 2、减法：a－b＝a＋（﹣b）． 3、乘法：同号得正，异号得负，0与任何数相乘都得0． 4、除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数. 5、要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 29．（2022•宜昌）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的式子的值：﹣1﹣（﹣3）2＝　 ． 30．（2022•随州）计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝　 　． 31．（2024•湖北）计算：（﹣1）×322﹣20240． 32．（2023•十堰）计算：|1|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0． 1．（2024•襄州区模拟）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（　　） A．收入50元 B．收入30元 C．支出50元 D．支出30元 2．（2024•枣阳市模拟）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•广水市一模）如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（　　） A．﹣2024 B． C． D．2024 4．（2024•孝南区模拟）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A．9 B． C． D．﹣9 5．（2024•大冶市三模）在实数3.14159，，0，π，中，有理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024•黄石模拟）在实数，0，，，中无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2024•湖北三模）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 8．（2024•远安县模拟）某会议参会人数准确数为513人，新闻报道参会人数约为5百人，报道理由是（　　） A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位 C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位 9．（2024•利川市校级模拟）据悉，一季度本是航空运输淡季，恩施机场航空运输生产却呈现良好发展态势．“得益于2015年12月春秋航空开通恩施至上海直飞旅游航线，恩施航空市场增长势头非常明显，航空旅游客源也迅速增加．”恩施机场市场部相关负责人说，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，与去年同期相比增长14%．请将数106679用科学记数法表示为（　　） A．1.06679×105 B．10.6679×105 C．0.106679×106 D．1.06679×106 10．（2024•西陵区模拟）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（　　） A．1991.2×108 B．19.912×1010 C．1.9912×1011 D．1.9912×1012 11．（2024•建始县一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是﹣10℃，0℃，﹣20℃，2℃，其中最低气温是（　　） A．﹣10℃ B．0℃ C．﹣20℃ D．2℃ 12．（2024•恩施市校级模拟）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（　　） A．2a B． C．a﹣1 D．a+2 13．（2024•黄石港区模拟）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　） A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c 14．（2024•湖北）计算：（﹣1）×322﹣20240． 15．（2023•十堰）计算：|1|+（）﹣2﹣（π﹣2023）0． 16．（2024•湖北模拟）计算：． 17．（2024•恩施市校级一模）计算： （1）﹣2+6﹣|﹣4|； （2）﹣14﹣8÷[2﹣（﹣2）2]． 18．（2024•湖北一模）计算： （1）（﹣3）﹣|﹣8|﹣2×（﹣4）； （2）﹣14． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$