24.8 综合与实践——进球线路与最佳射门角 （教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.8 综合与实践 ——进球线路与最佳射门角 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解射门点与射门角的概念，掌握不同情境下的最佳射门点； 2.结合具体情境综合应用已学知识设计解决实际问题的方案，发展应用意识； 3.通过探究学习，获取用圆中的知识解决实际问题的能力，体验用运动的观点来研究图形的思想方法； 4.在探究中体验成功的乐趣，提高学习数学的兴趣. 足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动.在比赛的过程中，你知道运动员是怎样来提高进球可能性的吗？ 冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好！ 这节课我们一起来研究进球线路与最佳射门角. 情景导入 一级标题：黑体， 4 A B C 球门 射门点 射门角 足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角.如图， ∠ACB就是射门角 在不考虑其他因素的情况下： 一般地，射门角越大，射门进球的可能性就越大. 下图是运动员带球跑动的三种常见线路（用直线 l 表示），了解跑动线路中射门角的变化，把握最佳射门点，无疑是有助于提高运动员进球成功率的． A B C 球门 射门角 l （1）横向跑动 A B C 球门 l （2）直向跑动 A B C 球门 l （3）斜向跑动 A B C 球门 C0 l 如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上由左边逐渐向球门的中心靠近时∠ACB逐渐增大. 下面对运动员横向跑动时的情况进行研究. 根据对称性可知，当点C在直线 l 上移动到离球门中心最近的位置，即线段 AB 的垂直平分线与直线 l 的交点 C0 时，∠AC0B 最大. 现在，我们来证明点C 在直线 l 上移动时，∠ACB的最大值为∠AC0B. A B C 球门 C0 l A B C0 l O 如图，过A，B，C0三点作⊙O，由于AB // l，AC0=BC0，易知⊙O与直线 l 相切与点C0，在直线 l 上另取点C1（不同与点C0），连接AC1和BC1，BC1与⊙O交于点D，则 ∠ADB = ∠AC0B. C1 D ∵ ∠ADB > ∠AC1B, ∴ ∠ AC0B > ∠ AC1B. 即点C在直线 l 上移动时， ∠ACB的最大值为∠AC0B. 由此可见，当运动员沿直线 l 横向跑动时，他的位置离球门的中心越近，射门角越大，离球门的中心最近（点C0）时，射门角最大，我们把点C0称为直线 l 上的最佳射门点，∠AC0B 称为直线 l 上的最佳射门角. A B C0 l O 如图，当直线 l 向上平移到直线 l′ 时，C0→C2，∠AC0B→ ∠AC2B，且有∠AC2B > ∠AC0B. C1 D C2 l′ 最佳射门角的大小与直线 l 到 AB 的距离有关，当直线 l 与 AB 的距离越近，最佳射门角就越大，射门进球的可能性也就越大. A B C 球门 l 简单地说，在弦的同侧，同弦所对的圆外角 α、圆周角 β 和圆内角 θ 的大小关系为 α < β < θ A B α β θ 事实上，在上面的证明过程中，我们还可得到如下的结论： 如果⊙O过A，B，而直线AB同侧的三点C1，C0，C2分别在⊙O外， ⊙O上和⊙O内，则有 ∠AC1B < ∠AC0B < ∠AC2B. A B C 球门 D l 问题1 如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线 l 垂直，点C是运动员的位置. A B C 球门 D l （1）作出过 A，B，C 三点的圆，猜想当点 C 在直线 l 上移动时，直线 l 与圆的位置关系； 相切、相交 A B C 球门 D l （2）当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线 l 上的最佳射门角； 相切 A B C 球门 D O l （3）已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长； E CD=mn+n2 （4）向左平移直线 l 到直线 l′，观察直线 l 上的最佳射门角与直线 l′ 上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论. A B C D l l′ 问题2 如图，当运动员直向跑动时，直线 l 垂直穿过球门 AB ，点 C 是运动员的位置. （1）∠ACB 的大小是怎样变化的？ （2）直线 l 上还有没有最佳射门点？说明你的理由. A B C l 问题3 对运动员斜向跑动时进行相关探究，或自选一个问题进行探究. 问题4 与同学合作，将探究的结果写成小论文，并检验你得到的结论是否与足球运动的实际相符合. 分层练习-基础 项目主题 研究进球线路与最佳射门角，体会圆周角在体育运动中的应用. 研究目标 1. 学习和查阅相关资料，了解在体育运动中进球线路与最佳射门角． 2．理解进球线路与最佳射门角与圆周角的关系． 3．通过角度构造圆解决进球线路与最佳射门角. 项目探究 进球线路与最佳射门角的相关知识 射门点与球门边框(不考虑球门高度)两端点的夹角就是射门角．如果用点 A，B 表示球门边框的两端点，点 C 表示射门点，连接 AC，BC，则∠ACB 就是射门角． 运动员带球跑动常见的线路有横向跑动、直向跑动和斜向跑动． 当运动员横向跑动时，根据对称性可知，当点 C 在直线上移动到离球门中心最近位置，即线段 AB 的垂直平分线与直线的交点 C0 时，∠AC0B 最大．也就是说，点 C0 为横向跑动时直线上的最佳射门点，∠AC0B 为该直线的最佳射门角，并且直线与 AB 的距离越近，最佳射门角越大，射门进球的可能性也就越大． 当运动员直向跑动时，球门 AB 与直线垂直，点 C 是运动员的位置．此时当直线与过 A，B 的圆相切时，切点是最佳射门点．不过，当运动员跑动路线垂直穿过球门 AB 时，∠ACB 越来越大，直线上没有最佳射门点． 而对于运动员斜向跑动的情况，可以进行类似的研究来确定最佳射门点和射门角. 项目探究 最佳射门角度的选择 1.如图，足球运动员在球门AB前横向带球准备射门，下列说法正确的是( 　　) A．在C处射门进球的可能性大 B．在D处射门进球的可能性大 C．在C，D两处射门进球的可能性一样大 D．无法判断C，D两处哪处进球的可能性大 B 项目探究 进球线路与最佳射门角的个例分析 2.【提出问题】如图①，直线l是足球场底线，AB是球门，点P是射门点，连接AP，BP，则∠APB叫做射门角．如图②，在足球比赛场上，甲、乙两名球员互相配合向对方球门AB进攻， 当甲带球冲到点Q时，乙跟随冲到点P，仅从射门角度大小考虑(射门角越大，足球越容易被踢进)，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 分层练习-巩固 项目探究 【经验感知】如图③，若球员在直线MN上跑动，随时准备射门，是否存在某一点S，使得射门角∠ASB最大．人们发现：当且仅当经过A，B两点的圆与直线MN相切于点S时，∠ASB最大，并称此时的∠ASB为最大射门角． 如图④，AB为球门，直线l是足球场的底线，直线m⊥l，垂足为C，若AB＝2a，BC＝a，球员丙带球沿直线m向底线l方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是∠ASB. (1)尺规作图：作经过A，B两点并且与直线m相切于点S的⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； 【解】如图②，⊙O即为所求. (1)尺规作图：作经过A，B两点并且与直线m相切于点S的⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； 【解】如图②，⊙O即为所求. (2)求出最大射门角∠ASB的度数． 分层练习-拓展 【理解应用】 (1)如图⑤，在正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，AB为球门，球员丁带球沿CD方向进攻，最好的射门点在(　　) A．点C　　　　　　　　　　　　　　　 B．点D或点E C．线段DE(异于端点)上一点 D．线段CD(异于端点)上一点 C (2)如图⑥，矩形CDEF是足球场的示意图，其中宽CD＝66 m，球门AB＝8 m，且AC＝BD.点P，Q分别是DE，CF上的点，DP＝7 m，∠DPQ＝135°，一位 左前锋球员戊从点P处带球，沿PQ方向跑 动，球员戊在PQ上何处才能使射门角 (∠ASB)最大，直接写出此时PS的长度． 射门角的概念： 进球线路与最佳射门角 注意： 射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角. 影响进球可能性大小的因素有进球线路、射门角大小等.若不考虑其他因素，一般最佳射门角越大，射门进球的可能性就越大. 课堂小结 一级标题：黑体， 41 【解】甲自己射门好．理由如下： 如图①，记AP与过AB两点的圆的交点为C，连接BC. ∵＝， ∴∠AQB＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠APB＋∠PBC， ∴∠AQB＞∠APB. ∴甲自己射门好. 【解】如图②，连接OA，OB，OS，设OD⊥AB于D. ∵S是⊙O的切点，∴OS⊥m. ∵m⊥l，OD⊥AB， ∴四边形CDOS是矩形. ∴OS＝CD.易知AD＝BD.∴BD＝AB＝a. ∴OS＝CD＝BD＋BC＝2a. ∴OA＝OB＝OS＝2a＝AB. ∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°. ∵∠ASB＝∠AOB，∴∠ASB＝30°. 即最大射门角∠ASB的度数为30°. 球员戊在PQ的点S处时才能使射门角(∠ASB)最大．PS的长度为(12－7) m. 【点拨】∵CD＝66 m，AB＝8 m，AC＝BD， ∴AC＝BD＝＝29(m). 如图，过点A，B作⊙O与PQ相切， 切点为S, 线段AB的垂直平分线交AB， PQ于点N，K，过点K作KM⊥DE于点M， QP，CD的延长线交点为G，则∠ASB是最大的射门角， ∠KNG＝90°，DN＝CD＝33 m，BN＝AB＝4 m， DP∥KN，OS⊥PQ.∴∠PDG＝∠KNG＝90°. 易知四边形KNDM为矩形，∴∠NKM＝90°.∵∠DPQ＝135°，∴∠NKG＝∠DPG＝180°－∠DPQ＝45°. ∴∠G＝45°.∴∠G＝∠DPG，∠G＝∠NKG. ∴DG＝DP＝7 m，KN＝NG＝DN＋DG＝40 m. 易知∠KOS＝180°－∠NKG－∠OSK＝45°， ∠PKM＝90°－∠NKG＝45°＝∠KPM， ∴△OKS，△KPM均为等腰直角三角形. ∴KS＝OS，MP＝KM＝ND＝33 m，PK＝＝33 m. 设⊙O的半径为r m，则KS＝OS＝OB＝r m，OK＝＝ m，∴ON＝KN－OK＝(40－r) m. 在Rt△OBN中，由勾股定理，得BN2＝OB2－ON2，即42＝r2－2， 解得r＝40－12或r＝40＋12(不合题意，舍去)， ∴SP＝KP－KS＝33－＝(12－7) m. ∴要使射门角(∠ASB)最大，此时PS的长度为(12－7)m. $$