（趣味奥数）第六讲 抽屉原理（一）-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

抽屉原理（一） 粗心的鸽子饲养员 有一位鸽子饲养员，他养了很多鸽子。他有 5 个鸽子笼，每天他都会把鸽子放出去飞翔，然后晚上再让它们回笼子休息。 有一天，他的朋友来拜访他，看到那些鸽子笼，就问他：“你这里一共有多少只鸽子呢？” 饲养员挠挠头说：“我没具体数过，但是我知道，不管怎么飞，当鸽子们回笼子的时候，至少有一个笼子里会有 2 只或 2 只以上的鸽子。” 朋友很奇怪，问他为什么这么肯定。饲养员笑着解释道：“这其实是一个很简单的数学原理。假如每个笼子里最多只有 1 只鸽子，那么 5 个笼子最多只能装 5 只鸽子。但实际上我知道鸽子的数量肯定比 5 只多，所以必然会有至少一个笼子里有 2 只或更多的鸽子，这就是抽屉原理。就好像把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会放有两个或更多的物体。在我的鸽子和笼子这个情况里，笼子就是‘抽屉’，鸽子就是‘物体’。” 朋友听后恍然大悟，原来生活中还隐藏着这样有趣的数学原理。 从那以后，朋友也对数学中的抽屉原理产生了浓厚的兴趣，并且在生活中不断发现类似的现象，比如把 7 支笔放进 3 个笔筒，至少有一个笔筒里会有 3 支或 3 支以上的笔等等，他也深切感受到数学在生活中的无处不在和奇妙之处。 如果把n+1个物体放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉里会放有两个或更多的物体。 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 1：一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出多少个球，才能保证有5个颜色相同的球？ 【思路点拨】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析，继而解答得出结论。最坏的结果是每种球都摸出4个，那么摸了4＋4＝8（个），再摸一个，就能得到5个颜色相同的球，从而得出问题的答案。 【规范解答】4＋4＋1＝9（个） 答：一次最少摸出9个球，才能保证有5个颜色相同的球。 1.一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 2. 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 3．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 2： 7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？ 【思路点拨】根据题意可知，有6种不同的借书方式，用7除以6可知商为1，余数也为1，用1＋1即可知道至少有2名学生所借书的种类完全相同。 【规范解答】7÷6＝1（组）……1（名） 1＋1＝2（名） 答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。 4．张叔叔参加了某宝到店付款赢奖励的活动，共获得12次抽奖机会，他不放弃每次抽奖机会，至少有2次的抽奖结果是相同的，你知道为什么吗？ 6.66元 66元 神秘任务包 小惊喜 开始 抽奖 16.66元 5.66元 48元 谢谢参与 5．“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？ 晴 多云 阴 小雨 多云转晴 晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨 6．5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？ 3：小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？ 【思路点拨】这是一道典型的抽屉原理的题目。一副扑克牌一共有54张，去掉大小王就是52张，扑克牌除了大小王以外有4种花色， 也就是将这4种花色看成4个抽屉，9个人每人取1张牌就是9张，将这9张牌放入这4个抽屉中，尽量平均分，多出的1张总要放进其中的一个抽屉里。 【规范解答】据【思路点拨】 9÷4＝2（张）……1（张） 2＋1＝3（张） 答：每个花色已经有2张了，多出的1张牌肯定是4种花色的任意一种，则9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。 7．给1个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？ 8．向东小学六年级共有367名学生，其中六（2）班有37名学生。 他说得对吗？为什么？ 9． 4：数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？ 【思路点拨】假设填空题对的是x道，问答题对的是y道，总分应为4x＋7y，0≤x≤8，0≤y≤6，且x，y为整数，y＝0，1，2，3，总分分别有9种不同情况，y＝4，5，6，总分有7种情况（要与之前不同，即x≠0，1），即共有4×9＋3×7＝57种情况，所以一共有57种分值，即57个抽屉，据此解答即可。 【规范解答】400÷57＝7（人）……1（人） 7＋1＝8（人） 答：至少有8人的总分相同。 10.有49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁，在参加体操表演的学生中至少有几名学生是同年同月出生？ 11.全班50名同学，至少有几人的生日在同一个月？ 12.某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，不用去查看学生的出生日期，这380名学生中至少有几名学生是同年同月同日出生的？ 走进“抽屉原理” “抽屉原理”在生活中应用很广泛,比如:桌上有10个苹果,要把这10个; 苹果放到9个抽屉里,无论怎样放,我们会发现肯定会有一个抽屉里面至少放两个苹果。如果把4封信投到3个信箱中,那么肯定有一个信箱中至少有两封信。如果把3本书分给两名同学,那么肯定其中有一名同学至少分到两本 书……这些实例中都蕴含着数学中的“抽屉原理”。 抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理, 最先是由德国数学家狄利克雷(1805-1859)明确提出来的, 因此,也称为狄利克雷原理。 原理1:如果把x+k(k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么 至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。 原理2:如果把m×x+k(xk≥1)个元素放到x个抽屉里, 那么至少有一个抽屉里含有(m+1)个或(m+1)个以上的元素。 1：一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出多少个球，才能保证有5个颜色相同的球？ 【思路点拨】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析，继而解答得出结论。最坏的结果是每种球都摸出4个，那么摸了4＋4＝8（个），再摸一个，就能得到5个颜色相同的球，从而得出问题的答案。 【规范解答】4＋4＋1＝9（个） 答：一次最少摸出9个球，才能保证有5个颜色相同的球。 1.一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 【思路点拨】“一定”是关键词，考虑运气最差的情况，54张牌中有四种花色的A到K，每种花色有13张，在运气最差的情况下，先将一种花色的牌全部摸完，再将一种花色的牌全部抽完，只有2张牌的点数是相同的，继续运气差，又摸了13张剩下的花色，又3张牌的点数是一样的，最后无论在剩下的花色种随意抽一张牌，正好可以保证4张牌的点数是相同的。 【规范解答】13＋13＋13＋1＝40（张） 答：至少抽40张，一定会有4张牌点数相同。 2. 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【思路点拨】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型： 买一本的：有语文、数学、外语3种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的：有语文、数学和外语1种。 把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。 【规范解答】抽屉：3＋3＋1＝7（个） 学生：7＋1＝8（名） 答：至少要去8名学生。 3．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【思路点拨】把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。 【规范解答】（4－1）×12＋1 ＝3×12＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。 2： 7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？ 【思路点拨】根据题意可知，有6种不同的借书方式，用7除以6可知商为1，余数也为1，用1＋1即可知道至少有2名学生所借书的种类完全相同。 【规范解答】7÷6＝1（组）……1（名） 1＋1＝2（名） 答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。 4．张叔叔参加了某宝到店付款赢奖励的活动，共获得12次抽奖机会，他不放弃每次抽奖机会，至少有2次的抽奖结果是相同的，你知道为什么吗？ 6.66元 66元 神秘任务包 小惊喜 开始 抽奖 16.66元 5.66元 48元 谢谢参与 【思路点拨】根据题意可知，假设抽了8次，每一次结果都不同，剩下4次机会，无论怎么抽，至少有2次的抽奖结果是相同的。 【规范解答】根据题意，抽奖的结果共8种，张叔叔共抽奖12次，假设先抽8次，分别抽中8种不同的结果，剩下4次无论抽中什么结果，总能保证至少有2次抽奖结果是相同的。 5．“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？ 晴 多云 阴 小雨 多云转晴 晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨 【思路点拨】根据题意可知，七月份有31天，一共出现了10种不同的天气，用31除以10，商为3，余数为1，所以再用3加上1，即可求出答案。 【规范解答】31÷10＝3（天）……1（天） 3＋1＝4（天） 答：该市至少有4天是同一种天气。 6．5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？ 【思路点拨】5只鸽子飞进了3个鸽笼，可以通过把5分解成3个数来说明理由。 【规范解答】分解法： 把5分解成3个数，共有4种情况，在任何一种情况中，总有一个数大于等于2，所以5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 3：小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？ 【思路点拨】这是一道典型的抽屉原理的题目。一副扑克牌一共有54张，去掉大小王就是52张，扑克牌除了大小王以外有4种花色， 也就是将这4种花色看成4个抽屉，9个人每人取1张牌就是9张，将这9张牌放入这4个抽屉中，尽量平均分，多出的1张总要放进其中的一个抽屉里。 【规范解答】据【思路点拨】 9÷4＝2（张）……1（张） 2＋1＝3（张） 答：每个花色已经有2张了，多出的1张牌肯定是4种花色的任意一种，则9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。 7．给1个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？ 【思路点拨】将6个面看作6个物体，蓝、黄两种颜色看作2个抽屉，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体 【规范解答】6÷2＝3（个） 答：不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。 8．向东小学六年级共有367名学生，其中六（2）班有37名学生。 他说得对吗？为什么？ 【思路点拨】把六年级的总人数看作被分放物体，一年（闰年366天）的最多天数看作抽屉数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1； 把六（2）班人数看作被分放物体，一年的总月份看作抽屉数，被分放的物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【规范解答】1年最多有366天。 367÷366＝1（人）……1（人） 1＋1＝2（人） 六年级至少有2人在同一天过生日，他说得对； 一年有12个月。 37÷12＝3（人）……1（人） 3＋1＝4（人） 六（2）班至少有4人在同一天过生日，他说的对。 答：他说的对。 9． 4：数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？ 答案：8人 【思路点拨】假设填空题对的是x道，问答题对的是y道，总分应为4x＋7y，0≤x≤8，0≤y≤6，且x，y为整数，y＝0，1，2，3，总分分别有9种不同情况，y＝4，5，6，总分有7种情况（要与之前不同，即x≠0，1），即共有4×9＋3×7＝57种情况，所以一共有57种分值，即57个抽屉，据此解答即可。 【规范解答】400÷57＝7（人）……1（人） 7＋1＝8（人） 答：至少有8人的总分相同。 10.有49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁，在参加体操表演的学生中至少有几名学生是同年同月出生？ 答案：2名 【思路点拨】抽屉问题的解题思路为：至少数等于物体数除以抽屉数的商，如果有余数，则结果再加1；根据抽屉原理可知，当每个月出生的人数相等时，同一个月出生的人数最少，先求出8岁到11岁共有多少个月份，即抽屉的个数，再分析是否一定有两个人在同一月出生。 【规范解答】从8岁到11岁，出生的月份共有： （11－8＋1）×12＝4×12＝48（个） 假设每个月出生的人数相同，则： 49÷48＝1……1（个） 1＋1＝2（人） 所以至少有两个人在同一月份出生。 答：一定有两个同学是同年同月生。 11.全班50名同学，至少有几人的生日在同一个月？ 【思路点拨】一年有12个月，根据抽屉原理，把一年12个月看作12个抽屉，把50人看作50个元素，那么每个抽屉需要放50÷12＝4（个）元素，还剩余2个，余下的2个无论怎么放，总有一个抽屉至少放5个元素，因此至少有5名同学同一个月出生，据此解答即可。 【规范解答】50÷12＝4（人）……2（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5人的生日在同一个月。 12.某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，不用去查看学生的出生日期，这380名学生中至少有几名学生是同年同月同日出生的？ 【思路点拨】平年有365天，闰年有366天，由于求至少有多少同年同月同日生，可按天数多的闰年计算，把366天看作“抽屉”，把380人看作“物体个数”，380÷366＝1（名）……14（名），即平均每天有一个学生出生的话，还余1名学生，根据抽屉原理可知，至少有1＋1＝2名学生的生日是同一天。 【规范解答】380÷366＝1（名）……14（名） 1＋1＝2（名） 答：这380名学生中至少有2名学生是同年同月同日出生的。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$