（趣味奥数）第八讲 比较大小-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

比较大小 数字王国的较量 在一个神秘的数字王国里，住着许多数字居民，它们每天都过着忙碌而有序的生活。 有一天，数字 “9” 和数字 “5” 在路上相遇了，“9” 仗着自己身形高大，便骄傲地对 “5” 说：“你看看你，长得这么矮小，怎么能和我相提并论呢？我是数字王国里最大的！” “5” 听了很不服气，它反驳道：“虽然你比我大，但也不能这么小瞧我，在很多情况下，我可不一定比你差。” 正当它们争论不休的时候，数字 “0” 路过这里，听到了它们的争吵，便笑着说：“你们两个别争了，要比较大小，得看在什么情境下。比如说，如果是单独比较个位数，那肯定是 9 大于 5，但是如果把我加在你们后面，情况可就不一样了。” 说着，“0” 站到了 “5” 的后面，组成了 “50”，然后又站到了 “9” 的后面，组成了 “90”。这下，“9” 傻眼了，它发现原本比自己小的 “5”，加上 “0” 之后变得比自己大了。 “这还不算完呢，” 数字 “1” 也走了过来，“如果把我放在你们前面，那结果又会不同。” 只见 “1” 站在了 “9” 的前面，组成了 “19”，而站在 “5” 前面组成了 “15”，此时 “19” 大于 “15”，但 “15” 和 “19” 都比原来单独的 “9” 和 “5” 在数位上更靠前了。 通过这次小小的较量，数字 “9” 明白了，数字的大小比较并不是绝对的，还会受到数位和数字组合等多种因素的影响，不能仅仅凭借自己原本的大小就轻视其他数字。从此，数字王国里的居民们更加注重相互之间的协作，共同发挥出更大的价值，而不再单纯地争论谁大谁小了。 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如：a＞b＞0，那么a的平方＞b的平方；如果a＞b＞0，那么＜；如果＞1，b＞0，那么a＞b等等。 比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。 1：在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 ( ) 【思路点拨】从简单的算式来观察起，；；，找到规律后即可判断这道题的大小。 【规范解答】； ； ， 由此规律可知：＞ 1.若、b＝、c＝则有( )＜( )＜( )。 2. 比较大小。 ( )。 3．找规律，先填括号，再括号填“＞”“＜”或“＝”。 ＜( )        ( ) ( )           如果，那么( )。 2： 试比较与的大小。 【思路点拨】常见的比较分数大小，一种是化分母为相同的（即“通分母”），一种是化分子为相同的（即“通分子”），对于这两个分数都不太方便，这时可以先讨论它们的倒数，倒数越大原分数反而越小。 【规范解答】的倒数为， 的倒数为， 两个分数的倒数都是整数部分为10，分子为1，则分母越大，分数越小，所以＞。又因为倒数越大，原分数越小，所以＜。 4．比较下面三个分数的大小。                        5．比较，与的大小。 6．比较和的大小。 3：比较大小。 和   和   和 【思路点拨】求出两个数的倒数，然后再比较这两个倒数的大小，根据“倒数大的分数比较小”的规律来比较这两个分数的大小；真分数的分子和分母加上同一个非零自然数，所得的新分数大于原分数；据此解答。 【规范解答】因为＞＝10，所以＜； 因为＝3＜＝3，所以＞； 因为＜＝，所以＜ 7．比较分数大小。 和            和 8．比较、、、的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下与哪个更大。 9．有8个数，，,,,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 4：与的大小． 【思路点拨】本题如果以常规方法来计算，会显得相当麻烦，观察前一个数的分子和分母，依次由自然数1，2，…，15，16组成，因此可以引入另一个数后，再来与比较． 【规范解答】解：设， 则有 由于a有8项，b有7项，且a的前7项都对应小于b 的前7项，并且a的第8项所以a<b．由与a×a<a×b，可知 即 10.(1) 如果那么A＝，B＝，那么A与B中较大得数是哪一个？ (2) 请把，，，这4个数从大到小排列． 11.已知A=+，B=+．试比较A、B的大小． 12.比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 分数运算的起源 在我国古代第一部数学专著《九章算术》中就有了系统的分数运算方法。在这本数学经典的方田》章中,提出了完整的分数运算法则,里面讲到约分、合分、减分、乘分、除分的法则,与我们现在的分数运算法则完全相同。另外,还记载了课分、平分等关于分数的知识,是世界上最早的系统叙述分数的著作,这比欧洲大约早1400年。 在欧洲,一直以来人们谈分数色变。在很长的段时间里,欧洲数学家在编写算术课本时,不得不把分数的运算法则单独叙述,因为许多学生遇到分数后,就会心灰意懒,不愿意继续学习数学了。分数运算,大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为,这种算法起源于印度。 印度在七世纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则,这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年(263),所以,即使与刘徽的时代相比,我们也要比印度早400年左右。 1：在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 ( ) 【思路点拨】从简单的算式来观察起，；；，找到规律后即可判断这道题的大小。 【规范解答】； ； ， 由此规律可知：＞ 1.若、b＝、c＝则有( )＜( )＜( )。 【思路点拨】利用“作商法”比较大小，若A÷B＞1，则A＞B；若A÷B＜1，A＜B。 【规范解答】a÷b＝ 因为 ， b÷c＝ 因为 则， 综上所述： 2. 比较大小。 ( )。 【思路点拨】先将化成，将化成，只需要比较两个算式中减数的大小（减数大的，差反而小，减数小的差反而大）。 由于两个数的分母比大，通分会导致计算量大，可以将分子变得相同，即根据分数的基本性质，将分子乘1.5，则分母也要乘1.5，最后只需要比较分母，分母大的反而小。反小的反而大。 【规范解答】 由于88888889×1.5＞99999994，则 所以＞。 3．找规律，先填括号，再括号填“＞”“＜”或“＝”。 ＜( )        ( ) ( )           如果，那么( )。 【思路点拨】观察分数发现，分数都是分子和分母，都相差1的真分数，且分数值与1接近，则都与1作差，得出规律：分子分母相差1的真分数，分母越大，分数值越大，根据这样的规律填空即可。 【规范解答】先观察规律，分子是从1开始连续的自然数，即最后一个是5，分母也是则最后一个是6，得出规律：分子分母相差1的真分数，分母越大，分数值越大。 ＜； 15＜16 则＜； 2024＞2023 则＞； 如果，则，即a＞b 那么＜。 2： 试比较与的大小。 【思路点拨】常见的比较分数大小，一种是化分母为相同的（即“通分母”），一种是化分子为相同的（即“通分子”），对于这两个分数都不太方便，这时可以先讨论它们的倒数，倒数越大原分数反而越小。 【规范解答】的倒数为， 的倒数为， 两个分数的倒数都是整数部分为10，分子为1，则分母越大，分数越小，所以＞。又因为倒数越大，原分数越小，所以＜。 4．比较下面三个分数的大小。                        【思路点拨】常见的比较分数大小，一种是化分母为相同的（即“通分母”），一种是化分子为相同的（即“通分子”），对于这三个分数都不太方便，这时可以先讨论它们的倒数，倒数越大原分数反而越小。 【规范解答】的倒数为＝， 的倒数为＝， 的倒数为＝， 三个分数的倒数都是整数部分为1，分子为1111，则分母越大，分数越小，所以＞＞。又因为倒数越大，原分数越小，所以＜＜。 5．比较，与的大小。 【思路点拨】常见的比较分数大小，一种是化分母为相同的（即“通分母”），一种是化分子为相同的（即“通分子”），对于这三个分数都不太方便，这时可以先讨论它们的倒数，倒数越大原分数反而越小。 【规范解答】的倒数为＝， 的倒数为＝， 的倒数为＝， 三个分数的倒数都是整数部分为1，分子为1111，则分母越大，分数越小，所以＞＞。又因为倒数越大，原分数越小，所以＜＜。 6．比较和的大小。 【思路点拨】和都是真分数，可通过比较这两个分数与1的差的大小来比较和的大小。 【规范解答】1－ ＝－ ＝ 1－ ＝－ ＝ ＞，所以＜ 3：比较大小。 和   和   和 【思路点拨】求出两个数的倒数，然后再比较这两个倒数的大小，根据“倒数大的分数比较小”的规律来比较这两个分数的大小；真分数的分子和分母加上同一个非零自然数，所得的新分数大于原分数；据此解答。 【规范解答】因为＞＝10，所以＜； 因为＝3＜＝3，所以＞； 因为＜＝，所以＜ 7．比较分数大小。 和            和 【思路点拨】（1）两个数的分母都是分子的3倍加一个个位数，那么利用它们的倒数进行比较，倒数越大的，分数越小； （2）根据两个分数的共同特点，分母都比分子大2，可以用“比差法”解答，即“1－分数”的形式比较大小，差大的减数小，差小的减数大；据此解答。 【规范解答】（1）设A＝，B＝ ＝3＝3 ＝3＝3 所以＞； （2）， 因为＞，所以＜ 8．比较、、、的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下与哪个更大。 【思路点拨】观察这几个分数是真分数，且他们分子和分母，都相差1，且分数值与1接近，则都与1作差，即、、、，然后比较、、、的大小，同分子分数，分母越大分数反而越小，最后找出规律即可。 【规范解答】 因为 所以 规律：分子分母相差1的真分数，分母越大，分数值越大； 因为121＜345，则，即更大。 9．有8个数，，,,,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 【规范解答】,,, 显然有即，8个数从小到大排列第4个是，所以有．(“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是． 4：与的大小． 【思路点拨】本题如果以常规方法来计算，会显得相当麻烦，观察前一个数的分子和分母，依次由自然数1，2，…，15，16组成，因此可以引入另一个数后，再来与比较． 【规范解答】解：设， 则有 由于a有8项，b有7项，且a的前7项都对应小于b 的前7项，并且a的第8项所以a<b．由与a×a<a×b，可知 即 10.(1) 如果那么A＝，B＝，那么A与B中较大得数是哪一个？ (2) 请把，，，这4个数从大到小排列． 【规范解答】(1) －A＝－＝， －B＝－＝，有＞， 即－A＞－B，所以A＜B． 即A与B中较大得数是B． (2) 将1与这四个分数依次做差，得、、、，显然有＜＜＜，被减数相同，差小的数反而大，所以＞＞＞． 11.已知A=+，B=+．试比较A、B的大小． 【规范解答】试题【思路点拨】两个分数分母进行通分数字太大，不利于比较；那么通过观察发现，A=+可以变形为2+，B=+可以变形为2+，所以只要比较和的大小即可，分子相同时分母越大，这个分数越小，显然2007×2008大于2005×2006，所以小于，所以A小于B，据此可解． 解：因为A=+ =1++1﹣ =2+（﹣） =2+， B=+ =1++1﹣ =2+（﹣） =2+， 因为＜， 所以2+＜2+， 即A＜B． 答：A＜B． 12.比较下列分数的大小： （1）与； （2）与． 【规范解答】试题【思路点拨】（1）用减去，根据值的正、负情况，判断出它们的大小关系即可； （2）=，=，然后比较出的大小，进而比较出与的大小即可． 解：（1）因为﹣ = = = =﹣＜0， 所以＜； （2）=， =， 因为=﹣＜0， 所以，1﹣， 即＞． 点评：此题主要考查了分数大小比较的方法的应用，要熟练掌握． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$