精品解析：内蒙古自治区包头市青山区第二中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024－2025年度第一学期12月教学质量监测卷 初二年级数学试卷 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 在下列各数：、、、，、中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，立方根，掌握无理数的概念，求一个数的立方根的计算是解题的关键． 根据无理数的概念“无限不循环小数”及常见无理数的形式“含的式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如相邻两个2之间1的个数逐渐增加”，立方根求值得到实数，进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴无理数有，共2个， 故选：B ． 2. 点满足二元一次方程组的解，则点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，点关于原点对称的性质，掌握加减消元法的计算，关于原点对称的性质解题的关键． 运用加减消元法可得的值，得到点的坐标，根据关于原点对称的点，横纵坐标均变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】解：， ①②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴， ∴点关于原点对称点的坐标为， 故选：B ． 3. 如图，点O为凸透镜的光心，点 F 为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点 F的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴.现发光点 S发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，根据两直线平行、内错角相等，可得，再根据三角形内角和为180度即可求解． 【详解】解：由题意知， ， 又，即， ， 故选A． 4. 由以下线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A ，， B. ，， C. 6，8，10 D. 13，14，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可判断． 【详解】解：A、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； B、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； C、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； D、∵，∴组成的三角形不是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 5. 数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ） A. 95分， B. 96分， C. 95分，10 D. 96分，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：平均数为：（分）； 方差为：； 故选D． 6. 估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，估算无理数．先化简二次根式，计算乘法，再估算结果得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴式子的值在数轴上最可能表示的点是D， 故选：D． 7. 图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，先根据图形列出关于的二元一次方程组，解方程组求出，再求阴影部分面积即可． 【详解】由题意得， 解得， ∴阴影部分面积是， 故选：B． 8. 下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同位角相等；③点一定在第四象限；④若点与都在一次函数上，则．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断．根据平行公理、平行线的性质、坐标与图形以及一次函数的性质判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题； ②两直线平行，同位角相等，故本小题说法假命题； ③当时，点在轴上，不在第四象限，故本小题说法是假命题； ④由于，则一次函数的值随的增大而减少， 因为，所以，本小题说法是真命题； 综上，只有1个真命题； 故选：A． 9. 已知一次函数和（且），这两个函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象与比例系数的关系是解题的关键． 根据一次函数中，图象经过第一、二、三象限；图形经过第一、三、四象限；图形经过第一、二、四象限；图形经过第二、三、四象限；由此即可求解． 【详解】解：当时，的图象经过第一、二、三象限，D选项符合题意； 当时，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，A，B，C选项不符合题意； 当时，图象经过第二、三、四象限，A，B，C选项不符合题意； 当时，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，A，B，C选项不符合题意； 故选：D ． 10. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．以下叙述正确的有（ ） ①轿车行驶的速度为； ②货车行驶的速度为； ③线段所在直线的函数表达式为； ④两车出发2小时或4小时后相距． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键． 根据图形可得轿车行驶千米，用路程除以时间可得轿车的速度计可以判断①， 根据图形可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②； 设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可判断③； 待定系数法求得解析式，根据Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④． 【详解】解：由图象可得，轿车行驶千米，轿车的速度为：，故①正确； 由图象可得，货车行驶的速度为：，故②错误； 由题意可得所在直线为关于x的正比例函数， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得， ∴； 则时，， ∴点的坐标为， ∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需． ∴点坐标为：． 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入得： ， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为， 故③正确； 设段的函数解析式为， 将代入得： ， 解得， ∴． Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，有， ， 解得； Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，有， ， 解得． 即两车出发小时或小时后相距． 故④错误． 正确说法有两个， 故答案为：B． 二、填空题：每小题3分，共18分． 11. 一个正数的平方根分别是和，则这个正数是________________． 【答案】36 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于的方程，解之可得． 【详解】解：根据题意知， 解得：， ， ∴这个正数是36， 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 12. 如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用表示A点，表示B点，那么C点的位置可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．解题的关键是确定原点及x，y轴的位置和方向． 根据已知两点坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标． 【详解】解：用表示A点，表示B点，可建立坐标系，如图所示： 点C的坐标为， 故答案为． 13. 有一个一次函数，两位同学说出了它的一些特点：小军说它的图象经过；小梅说在这个函数中，随的增大而减小．请你写出满足上述全部特点的一个一次函数______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意即可直接写出满足上述全部特点的一个一次函数（答案不唯一）． 【详解】解：根据题意，写出满足上述全部特点的一个一次函数为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 小明爸爸骑车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到里程碑上的数时，发现它是一个两位数，且它的两个数字之和为7．刚好过了一个小时，他发现路边里程碑上的数恰好是第一次看到的数的个位和十位上的数字颠倒后得到的数．又过了一个小时，他发现里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多一个0，你知道小明第一次看到的两位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意设小明第一次注意到里程碑上的两位数十位数为，则个位数为，继而表示第二次和第三次观察到的数是，列出关于的方程求出即可． 【详解】解：∵第一次注意到里程碑上的数时，两个数字之和为7， ∴设小明第一次注意到里程碑上的两位数十位数为，则个位数为， ∴第一次见到这个两位数是：， ∵刚好过了一个小时，里程碑上的数恰好是第一次看到的数的个位和十位上的数字颠倒后得到的数， ∴第二次观察到的数是：， ∵又过了一个小时，里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多一个0， ∴第三次观察到的数是：， ∵小明在公路上匀速行驶， ∴第一小时到第二小时的路程差等于第二小时到第三小时的路程差， ∴， 解得：， ∴小明第一次看到的两位数是：． 故答案为：． 15. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走________的路程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 16. 如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作于点P，由角平分线的性质可得，再证，推出，设点M的坐标为，则，用勾股定理解求出m，再将直线和直线的解析式联立，即可求出点N的坐标． 【详解】解：， ，，， ． 如图，过点M作于点P， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设点M的坐标为，则， ，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 点M的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，角平分线的性质，勾股定理，求两条直线的交点坐标，全等三角形的判定和性质等，通过作辅助线构造直角三角形，从而求出点M的坐标是解题的关键． 三、解答题：本大题共7小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出来． 17. 计算下列各式： （1） （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和利用乘法公式是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式计算乘法，计算除法，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法． （1）采用加减消元法进行求解即可； （2）先化简原方程组，再利用加减消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 原方程组化简为：， 得：， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 19. 近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题，国内互联网公司也推出了自己的聊天机器人：百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”天机器人（以下简称B款）有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，89，87，88，86； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 87 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由； （3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析（答案不唯一） （3）69人 【解析】 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 小问1详解】 解：由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， 众数； 故答案为：15，，98； 【小问2详解】 解：款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为比款的中位数87高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有69人． 【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 20. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】（1）9.5m （2）能成功． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1所示，过点作于点， 则，，， 在中， ， ． 【小问2详解】 解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接， 则， ． 在中， ． ，余线仅剩9m， ∴， ∴能上升12m，即能成功． 21. “一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． （1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ （2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 （2）购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可． 【小问1详解】 解：设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元． 根据题意，得， 解得， 甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元． 【小问2详解】 解：设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个． 根据题意，得， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，，此时（个， 购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元． 22. 已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． （1）若，． ①如图1，当点F与点A重合时，______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； （2）设，，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x，y的式子表示） 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，三角形外角和的性质，直角三角形的性质等知识的综合，掌握与角平分线有关的内角和的计算，外角和的性质是解题的关键． （1）①根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得，由即可求解； ②类比上述证明方法可得，，由三角形的外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）类比上述证明方法可得，根据角平分线的定义可得，由三角形外角和的性质可得，再根据三角形内角和定理可得． 【小问1详解】 解：①在中，，， ∴， ∵点F与点A重合， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴， 故答案为：； ②在中，，， ， ， 平分， ， 是的外角，且， ， ， 于点D， 在中，，， ； 【小问2详解】 解：，且，， ， 平分， ， ， 于点D， 在中，，， ． 23. 如图1，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴正半轴上且，直线过A，C两点． （1）求直线的解析式； （2）直线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标，若不存在说明理由； （3）如图2，点D是x轴正半轴上一点且，点N是y轴上的一点，使得直线与直线所成的夹角等于与的和，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1）：； （2）存在，M的坐标为或； （3）N的坐标或． 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，平行线的性质，等腰三角形的性质，图象的平移，两点间的距离公式，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）根据直线与轴，轴分别交于两点，可求出两点坐标，再根据，可求出坐标，利用待定系数法即可求解直线的解析式； （2）若直线上存在点，设，根据点坐标可以求出面积，由可求出面积，利用面积公式即可求出点坐标． （3）本题需考虑2种不同的情况，情况一：利用直线，当时满足条件，根据直线解析式，设直线解析式为，再根据点在直线上，即可求出；情况二：直线与直线所成的夹角与相等，结合，可得到为等腰三角形，，设直线解析式为，联立直线解析式：，求出点坐标，利用两点间的距离公式即可解出． 【小问1详解】 与轴，轴分别交于两点， ， ， ， 直线过A，C两点 ，解得，， 直线的解析式为：． 【小问2详解】 ， ． 设， ，即， ， 点的坐标为或． 【小问3详解】 情况一：如图所示，，为直线与直线所成的夹角， ， 点坐标为，又点， 设直线解析式为， 则，解得，， 直线解析式为，而直线的解析式为：，两者的一次项系数相同， ， ， ， ， 直线， 直线解析式为：， 直线可以看作是直线往右平移形成，故设直线解析式为：， 点坐标为，且点在直线上， ，解得，即直线解析式为：， 点坐标为． 情况二：如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，，为直线与直线所成的夹角， ， ， 又， ，即为等腰三角形， ， 设直线解析式为， 点坐标为，且点在直线上， ，解得， 直线解析式为， 设点坐标为，联立直线解析式：和直线解析式：，得 ，解得（）， 点坐标为，点，， ， ， 即 整理化简得，，即， ， ，解得， 直线解析式为：， 点坐标为：． 综上所述，所有符合条件点N的坐标为和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025年度第一学期12月教学质量监测卷 初二年级数学试卷 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 在下列各数：、、、，、中无理数的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 点满足二元一次方程组的解，则点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点O为凸透镜光心，点 F 为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点 F的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴.现发光点 S发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 由以下线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. 6，8，10 D. 13，14，15 5. 数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ） A. 95分， B. 96分， C. 95分，10 D. 96分，10 6. 估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A. B. C. D. 7. 图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 16 8. 下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同位角相等；③点一定第四象限；④若点与都在一次函数上，则．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知一次函数和（且），这两个函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．以下叙述正确的有（ ） ①轿车行驶的速度为； ②货车行驶的速度为； ③线段所在直线的函数表达式为； ④两车出发2小时或4小时后相距． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：每小题3分，共18分． 11. 一个正数的平方根分别是和，则这个正数是________________． 12. 如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用表示A点，表示B点，那么C点的位置可表示为______． 13. 有一个一次函数，两位同学说出了它的一些特点：小军说它的图象经过；小梅说在这个函数中，随的增大而减小．请你写出满足上述全部特点的一个一次函数______（写出一个即可）． 14. 小明爸爸骑车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到里程碑上的数时，发现它是一个两位数，且它的两个数字之和为7．刚好过了一个小时，他发现路边里程碑上的数恰好是第一次看到的数的个位和十位上的数字颠倒后得到的数．又过了一个小时，他发现里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多一个0，你知道小明第一次看到的两位数是______． 15. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走________的路程． 16. 如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是______． 三、解答题：本大题共7小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出来． 17. 计算下列各式： （1） （2）． 18. 解方程组： （1） （2） 19. 近来，由于智能聊天机器人横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题，国内互联网公司也推出了自己的聊天机器人：百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”天机器人（以下简称B款）有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，89，87，88，86； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 87 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由； （3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩9m情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 21. “一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． （1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ （2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 22. 已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． （1）若，． ①如图1，当点F与点A重合时，______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； （2）设，，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x，y的式子表示） 23. 如图1，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴正半轴上且，直线过A，C两点． （1）求直线的解析式； （2）直线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标，若不存在说明理由； （3）如图2，点D是x轴正半轴上一点且，点N是y轴上的一点，使得直线与直线所成的夹角等于与的和，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$