专题05 一次函数（7个知识回顾+18种重点题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

专题05 一次函数 （7个知识回顾+18种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 常量与变量】 【题型2 函数的基本概念】 【题型3 正比例函数的图象与性质】 【题型4 根据一次函数的定义求参数】 【题型5 待定系数法求一次函数解析式】 【题型6 一次函数的图象与性质】 【题型7 已知函数经过的象限求参数范围】 【题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【题型9 一次函数图象平移问题】 【题型10 一次函数的增减性问题】 【题型11 一次函数与方程的关系】 【题型12 一次函数与不等式的关系】 【题型13 求直线围成的图形面积】 【题型14 分配方案问题】 【题型15 最大利润问题】 【题型16 行程问题】 【题型17 其他问题】 【题型18 一次函数与几何综合】 知识点一：函数 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量。 2. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b�叫做当自变量的值为a时的函数值。 3. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 画函数图像的步骤： 第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值，通过函数关系式求出对应函数值列成表格。 第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。 第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。 知识点二：一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 知识点三：一次函数的图像与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 知识点四：待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 知识点五：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点六：一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点七：一次函数的平移 将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。 平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间 题型归纳 【题型1 常量与变量】 1．（24-25七年级上·贵州·期中）下面各题中，两种量成反比例关系的是（         ） A．全班人数一定，出勤人数与缺勤人数据库 B．已知，与 C．长方形的面积一定，它的长与宽 D．正方体的表面积与的一个面的面积 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如下表： t/分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 写出蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式 ． 4．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）判断下面各题中的两个变量成反比例关系的是 ． ①付琦老师把长为100米的绳子剪下m米后，还剩下n米； ②熊婷老师买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； ③马丽珠老师的家到学校的距离为480米，步行上班的平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟． 5．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． (1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______； (3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 【题型2 函数的基本概念】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知函数，则 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为 ，自变量x的取值范围是 ． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题： (1)洗衣机的进水时间是______分钟，清洗的时间______分钟，清洗时洗衣机中的水量是_______升． (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟14升，求排水时y与x之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）． 【题型3 正比例函数的图象与性质】 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 3．（23-24·云南·一模）已知正比例函数中，图象在二四象限，则k的取值范围是 ． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）若与成正比例，且当时，，则当时，的值是 ． 5．（23-24八年级下·陕西渭南·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点．求： (1)k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【题型4 根据一次函数的定义求参数】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2023八年级下·全国·专题练习）若是关于x的一次函数，则m的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若函数是一次函数，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知函数是一次函数，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【题型5 待定系数法求一次函数解析式】 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）某一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则该一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·期末）若直线是由直线沿y轴平移得到的，且直线过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）与直线平行，且经过点的一次函数的表达式是 ． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与轴的交点坐标为，此一次函数的表达式可以为 ． 5．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知直线经过点与点，且与x轴交于点C，点M是x轴上的一点． (1)求直线的表达式及点C的坐标； (2)若的面积为3，求点M的坐标． 【题型6 一次函数的图象与性质】 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，则下列结论一定正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知和是一次函数的图象上的两点，则与的大小关系是 ． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）已知点，是一次函数图像上的两点，如果，那么，的大小关系是 （填“”或“”或“”）． 5．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 【题型7 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）一次函数． （1）该函数的图象一定过定点 ； （2）若该函数图象不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 . 5．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； (3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，且经过第二象限，求m的取值范围； (4)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，且该函数图象与y轴的交点在负半轴上，求m的取值范围； (5)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知点都在直线上，正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象过二、三、四象限 C． D．与y轴交点为 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象 D．图象与y轴的交点是 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）直线与轴和轴的交点分别为和，则线段上（包括端点和）横坐标和纵坐标都是整数的点共有 个． 5．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）直线与直线平行，且在y轴上的截距是． (1)直线对应的函数表达式为_____； (2)若点P在直线上，且点P到x轴的距离为5，求点P的坐标． 【题型9 一次函数图象平移问题】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）要使直线向上平移后过点，那么直线应向上平移（ ）个单位 A．1 B．3 C．5 D．7 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）要得到直线，可把直线（    ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移2个单位长度 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）将直线向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为 ． 4．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，则直线的解析式是为 ． 5．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）已知：一次函数的图象与直线平行，且通过点． (1)求一次函数的解析式． (2)若点和在一次函数的图象上，求m，n的值． 【题型10 一次函数的增减性问题】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数，若函数值随增大而减小，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知正比例函数，若y随x的增大而增大，则点在第 象限． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）已知一次函数． (1)，为何值时，随的增大而增大？ (2)，为何值时，图象过第一、二、四象限？ 【题型11 一次函数与方程的关系】 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 4．（2024·浙江杭州·一模）已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是 ． 5．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知一次函数，，其中． (1)若，求，图象的交点坐标； (2)当时，设的最大值为m，的最小值为n，若，求k的值． 【题型12 一次函数与不等式的关系】 1．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，直线与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与轴的交点为，写出与的关系式 ，则关于的不等式的解集是 ． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）设一次函数，且函数y的图象过原点． (1)求的值． (2)点，点都在函数y的图象上，比较，的大小． (3)若函数值，求自变量x的取值范围． 【题型13 求直线围成的图形面积】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 2．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）一次函数的图像与两坐标轴所围三角形面积为8，则 ． 4．（2023·浙江·模拟预测）一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为 ． 5．（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若这个一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的值． 【题型14 分配方案问题】 1．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 (1)分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； (2)什么情况下到甲商场购买更优惠？ 2．（2023·陕西咸阳·一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 3．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 4．（2023·陕西西安·一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按八五折收费，超过人时，其中人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用（元）与（人）之间的函数关系式； (2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取总费用较少的一家． 5．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，西安市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共有师生255人，学校计划租8辆车前往，此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．现有甲、乙两种车型可供选择，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 35 30 租金（元／辆） 400 320 (1)请问有哪几种租车方案？ (2)学校租车总费用最少是多少元？ 【题型15 最大利润问题】 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·开学考试）红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 2．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 3．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30株和15株，共花费675元；第二次分别购进A，B两种花草12株和5株．共花费265元．两次购进花草的单价不变． (1)A，B两种花草每株的价格分别是多少元？ (2)若该校计划再购买A，B两种花草共30株，其中购买A种花草（，且为整数）株，购买花草的总费用为元，求出关于的函数解析式；并求出当为何值时，购买花草的总费用最少，最少费用为多少元？ 4．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和百合花两种花，康乃馨和百合花的进价、售价如表所示： 进价/（元/支） 售价/（元/支） 康乃馨 6 9 百合花 8 12 已知该商家计划购进康乃馨和百合花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于百合花的，设购买康乃馨x支，出售康乃馨和百合花的总利润为y元． (1)求y与x的函数解析式； (2)当x取何值时，商家获得最大利润？最大利润是多少元？ 5．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）非常时期，出门切记戴口罩．当下口罩市场出现热销，某超市老板用元购进甲、乙两种型号的口罩在超市销售，销售完后共获利元．进价和售价如下表： 型号价格 甲型口罩 乙型口罩 进价（元/袋） 2 3 售价（元/袋） 3 (1)该超市购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ (2)该超市第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，此次用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元．若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完．设此次购进甲种口罩袋，超市获利元，试求关于的函数关系式，并求出的取值范围． 【题型16 行程问题】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往城，乙车开往A城．由于墨迹覆盖，甲车与乙车距B城的距离（千米）与时间（小时）的函数关系部分图像如图所示． (1)甲车的速度为______千米/时，A、B两地相距______千米，两车出发______小时后相遇； (2)当两车相距60千米时，求t的值． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）某人从A地出发，前往外的B地，他离A地的距离与他行走所用时间(h)之间的函数关系如图所示，回答问题． (1)开始行走时，他距离A地 ； (2)小时后距离A地 ； (3)距离A地时，他行走了 h，他行走的速度是 ； (4)写出的取值范围是 ． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ 5．（23-24七年级上·山东烟台·期末）A，B两地相距30千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地出发，他们都保持匀速行驶，同向而行．甲、乙两人各自到A地的路程（千米）与行驶的时间（时）的关系分别用图中直线，在第一象限的部分表示．根据图像回答下列问题： (1)两人出发时乙在甲前多少千米？ (2)甲、乙两人骑车的速度分别是多少？ (3)若设的表达式为，则与的实际意义是什么？ (4)当他们行驶时时，甲能否追上乙？说明理由． 【题型17 其他问题】 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）某电信公司规定的手机收费标准有甲、乙两类，甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按元/计；乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按元/计． (1)甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ；乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ． (2)若该电信公司的某位手机用户每月平均通话时间为，则该手机用户应选择哪类收费标准比较划算？ (3)当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等？ 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某机场经济舱的某次航班托运行李的费用与行李质量之间的关系如图所示，在缴费时，若行李质量是千克，需要缴费元，若行李质量是千克，需要缴费元． (1)求托运行李的费用（元）与行李质量之间的函数关系式； (2)问最多可以免费托运行李质量是多少千克？ 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重（）之间满足一次函数关系，若挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂物重． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗？如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度，右边的刻度是华氏温度，设摄氏温度为，华氏温度为，则是的一次函数． (1)仔细观察图中数据，当摄氏温度是时，华氏温度是________；当摄氏温度是________时，华氏温度是； (2)求出与之间的函数表达式； (3)当华氏温度为，求摄氏温度为多少？ 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【题型18 一次函数与几何综合】 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知，直线：与直线平行，并与y轴交于点A，与x轴交于点B如图所示． (1)求直线的表达式； (2)请直接写出：A点坐标（______），B点坐标（______）； (3)在直线上，是否存在点P使得的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 3．（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 5．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 过关检测 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车； ②乙车行驶的速度是； ③两地相距；其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与轴，轴分别交于点，点．若的面积是，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车 ．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数（为常数，） （1）（为常数，）的图像恒经过一个定点，这个定点坐标是 ； （2）平面直角坐标系中有三个点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）天气转凉，某商店欲购进，两种型号的暖手宝，已知型暖手宝的进价是每个20元，型暖手宝的进价是每个40元．该商店决定用不超过3500元钱购进这两种暖手宝共100件，且型号暖手宝不超过30件． (1)该商店有几种进货方案？请你写出解答过程． (2)若，两种暖手宝的售价每件分别为40元、70元，哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 12．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，交直线于点P． (1)若点P为的中点，求k的值； (2)在（1）的条件下，C是线段上一点，过点C作x轴的垂线，与x轴交于点E，与直线 交于点D，若，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，M是y轴上一点，当时，求点M的坐标． 13．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，直线分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，且满足，． (1)求直线的表达式； (2)在x轴上是否存在点D，使以点B，C，D为顶点的三角形的面积是面积的一半？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，点C为x轴上一动点，点A的坐标，点E的坐标，作轴，连接、． (1)设，试用含x的代数式表示______；______ (2)试求当的长度最小时点的坐标； (3)根据前面的启发，请构图求出代数式的最小值． 15．（23-24八年级上·山东济南·期末）综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式与点的坐标； (2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数 （7个知识回顾+18种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 常量与变量】 【题型2 函数的基本概念】 【题型3 正比例函数的图象与性质】 【题型4 根据一次函数的定义求参数】 【题型5 待定系数法求一次函数解析式】 【题型6 一次函数的图象与性质】 【题型7 已知函数经过的象限求参数范围】 【题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【题型9 一次函数图象平移问题】 【题型10 一次函数的增减性问题】 【题型11 一次函数与方程的关系】 【题型12 一次函数与不等式的关系】 【题型13 求直线围成的图形面积】 【题型14 分配方案问题】 【题型15 最大利润问题】 【题型16 行程问题】 【题型17 其他问题】 【题型18 一次函数与几何综合】 知识点一：函数 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量。 2. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b�叫做当自变量的值为a时的函数值。 3. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 画函数图像的步骤： 第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值，通过函数关系式求出对应函数值列成表格。 第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。 第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。 知识点二：一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 知识点三：一次函数的图像与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 知识点四：待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 知识点五：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点六：一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点七：一次函数的平移 将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。 平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间 题型归纳 【题型1 常量与变量】 1．（24-25七年级上·贵州·期中）下面各题中，两种量成反比例关系的是（         ） A．全班人数一定，出勤人数与缺勤人数据库 B．已知，与 C．长方形的面积一定，它的长与宽 D．正方体的表面积与的一个面的面积 【答案】C 【分析】本题考查了变量之间的关系，根据两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，即可分析得出答案． 【详解】解：A．全班人数出勤人数+缺勤人数，全班人数一定，出勤人数与缺勤人数不成比例，故A符合题意； B．，则与的商一定，与成正比例，故B不符合题意； C．因为长×宽面积，所以长方形的面积一定，它的长与宽成反比例，故C符合题意； D．因为正方体的表面积一个面的面积，所以正方体的表面积与的一个面的面积成正比例，故D不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【详解】解：A．与都是变量，且是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意； B．所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意； C．弹簧不挂重物时的长度为，本选项错误，符合题意； D．物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如下表： t/分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 写出蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，根据表格可以发现时间每增加2分钟，高度减少1厘米，据此求解即可． 【详解】解：由表格可得：时间每增加2分钟，高度减少1厘米，即每分钟高度减少0.5厘米，当时，，即蜡烛初始长度30厘米， ∴蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）判断下面各题中的两个变量成反比例关系的是 ． ①付琦老师把长为100米的绳子剪下m米后，还剩下n米； ②熊婷老师买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； ③马丽珠老师的家到学校的距离为480米，步行上班的平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了变量之间的关系，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． 分别根据题意列出对应的函数关系式，再根据变量之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：①长为的绳子剪下m米后，还剩下n米，则，这不是反比例关系，不符合题意； ②买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元，则，这是正比例关系，不符合题意； ③家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟，则，这是反比例关系，符合题意． 故答案为：③． 5．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． (1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______； (3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 【答案】(1)正 (2)香蕉 (3)4x， 【分析】此题考查了正比例和反比例的判断，并从图中获取数据，进行计算． （1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量．它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例． （2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价． （3）单价数量总价，总价单价数量，代入即可． 【详解】（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例； （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉； （3）从图象上看，买1千克苹果要用4元，买1千克香蕉要用8元， 买x千克苹果要用元，y元可以买千克香蕉； 故答案为：，． 【题型2 函数的基本概念】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键．根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数关系式，根据油箱内余油量等于原有的油量减去t小时消耗的油量，可列出函数关系式，再求出自变量t的取值范围，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∵t应满足，解得， ∴油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为． 故选：C 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】计算时，函数的值即可． 本题考查了求函数的值，熟练掌握计算函数的值基本方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数自变量的取值范围，三角形三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形周长的定义，构建关系式即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x， ， ， 由，解得． 故答案为：，． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题： (1)洗衣机的进水时间是______分钟，清洗的时间______分钟，清洗时洗衣机中的水量是_______升． (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟14升，求排水时y与x之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）． 【答案】(1)4；12；30 (2) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式： （1）根据函数图象可知，前4分钟为进水过程，第4分钟到第16分钟为清洗过程，据此可得答案； （2）用清洗过程中的水量减去每分钟的排水量乘以排水时间即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，洗衣机的进水时间是分钟，清洗时间为分钟，清洗时洗衣机中的水量是30升， 故答案为：4；12；30； （2）解：由题意得，． 【题型3 正比例函数的图象与性质】 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，首先根据图象是经过原点的直线可得此函数是正比例函数，故设解析式为，把图象所经过的点代入设出的函数解析式，计算出k的值，进而得到函数解析式． 【详解】解：设函数解析式为， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴这个函数的关系式为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 3．（23-24·云南·一模）已知正比例函数中，图象在二四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正比例函数的性质，当时，正比例函数图象在二、四象限，当时，正比例函数图象在一、三象限，据此得到，即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数中，图象在二四象限， ∴， ∴ 故答案为： 4．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）若与成正比例，且当时，，则当时，的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，设该正比例函数的解析式为，把代入，求出k的值，得出该正比例函数的解析式，再把代入，即可求出x的值． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该正比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·陕西渭南·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点．求： (1)k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个函数图象上 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式以及图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）将代入函数解析式，求出函数值即可判断． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：当时，， 点不在函数图象上． 【题型4 根据一次函数的定义求参数】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）若是关于x的一次函数，则m的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义可得，，进一步求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若函数是一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数，由此即可得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数是一次函数， 且， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键． 由一次函数的定义得出且，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是关于的一次函数； (2)当，时，该函数是关于的正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， 即当时，该函数是关于的一次函数； （2）解：由（1）知，， 由题意知：，所以， 即当，时，该函数是关于的正比例函数． 【题型5 待定系数法求一次函数解析式】 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）某一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则该一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质，根据两直线平行时k的值相等，设所求解析式，把已知的点坐标代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设直线解析式为， 把代入得， 解得， 则直线解析式为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·期末）若直线是由直线沿y轴平移得到的，且直线过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，待定系数法求一次函数解析式，由平移的性质可得出，由待定系数法求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵直线是由直线沿y轴平移得到的， ∴， ∵直线过点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）与直线平行，且经过点的一次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．设一次函数的表达式是，利用函数与直线平行得出，再代入点得出b的值，即可解答． 【详解】解：设一次函数的表达式是， 一次函数与直线平行， ， 一次函数经过点， ， 一次函数的表达式是． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与轴的交点坐标为，此一次函数的表达式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象的性质及与坐标轴的交点问题，根据题意确定出即可求解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数图象要经过第一、三、四象限， ∴，， 又∵与轴的交点坐标为， ∴， ∴写出的一次函数表达式满足、即可， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知直线经过点与点，且与x轴交于点C，点M是x轴上的一点． (1)求直线的表达式及点C的坐标； (2)若的面积为3，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可得出答案； （2）根据三角形的面积为3，可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将，分别代入上式，得：， 解得：， ∴设直线的表达式为：， 当时，， ∴点C的坐标为； （2）， ∴， ∴点M的坐标为或． 【题型6 一次函数的图象与性质】 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，则下列结论一定正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．解题的关键在于掌握一次函数图象与系数的关系． 由图可知，，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过第一、二、四象限 ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中， ， 即， 解得：， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知和是一次函数的图象上的两点，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，可得出． 【详解】解：∵一次函数中， 随的增大而增大， 又，是一次函数的图象上的两个点，且， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）已知点，是一次函数图像上的两点，如果，那么，的大小关系是 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．根据，可得出随的增大而增大，结合，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数中， 随的增大而增大 又点，是一次函数的图像上，且 故答案为：． 5．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 【答案】(1)， (2)的面积为4或12 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标． （2）由点A、B的坐标得出的长，结合可得出P点坐标，进而求出的长，再利用三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴P点坐标为或， ∴或6， ∴或， ∴的面积为4或12． 【题型7 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据一次函数的图象经过第二象限，可以得到，从而可以得到a的取值范围，然后即可得到一次函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二象限， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键．将，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得； 直线经过点C时，将代入直线中，可得，解得； 故b的取值范围是．    故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）一次函数． （1）该函数的图象一定过定点 ； （2）若该函数图象不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，以及函数图象与系数的关系，对于与y轴交于，若函数图象不经过第四象限，则，，根据相关性质求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，， 该函数的图象一定过定点； （2）该函数图象不经过第四象限， ， ， 故答案为：；． 4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图形不经过第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； (3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，且经过第二象限，求m的取值范围； (4)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，且该函数图象与y轴的交点在负半轴上，求m的取值范围； (5)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式组，解一元一次方程， （1）根据题意得，，进行计算即可得； （2）根据题意得，，进行计算即可得； （3）根据题意得，，进行计算即可得； （4）根据题意得，，进行计算即可得； （5）分布情况考虑：①当函数图象经过第一、三、四象限时，得，进行计算得不等式组的解集为：；②当函数图象经过第一、三象限时，得，进行计算得，即可得； 掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，； （2）解：根据题意得，， 解得，； （3）解：根据题意得，， 解得，； （4）解：根据题意得，， 解得，； （5）解：分布情况考虑： ①当函数图象经过第一、三、四象限时，得 ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：； ②当函数图象经过第一、三象限时，得 ， 解不等式①，得， 解等式②，得， 解得，， 综上，m的取值范围为：． 【题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知点都在直线上，正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象过二、三、四象限 C． D．与y轴交点为 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，图象与坐标轴的交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】∵中，， ∴y随x的增大而减小，故A错误； ∵， ∴图象过二、一、四象限，故B错误； 当时，， 当时，， ∴，故C正确； 当时，， ∴与y轴交点为，故D错误． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象 D．图象与y轴的交点是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点进行分析判断． 【详解】解：A、由于一次函数中的，，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A错误，不符合题意； B、由于一次函数中的，所以y随x的增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象，故C错误，不符合题意； D、直线，令可得，函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先求出A，B的坐标，根据勾股定理求出的值，从而得到的值，再计算出的长度，即可得到答案． 【详解】解：当时，，当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）直线与轴和轴的交点分别为和，则线段上（包括端点和）横坐标和纵坐标都是整数的点共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．根据题意可先求出点的坐标，再列举求出符合题意的点即可． 【详解】解：由可得直线与轴，轴的交点分别为 由列举法可得线段上（包括端点和）横坐标和纵坐标都是整数的点有以下5个： ． 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）直线与直线平行，且在y轴上的截距是． (1)直线对应的函数表达式为_____； (2)若点P在直线上，且点P到x轴的距离为5，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数图象的位置关系：平行，此时两函数解析式的一次项系数相等，求函数解析式，直线与坐标轴的坐标，直线上点的坐标特征； （1）由两直线平行得；令得，由截距即可求得b的值，从而求得函数解析式； （2）由点P到x轴的距离为5，得，代入直线解析式中，求得x的值，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴； 上式中，令得； ∵直线在y轴上的截距是， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵由点P到x轴的距离为5， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点P坐标为或． 【题型9 一次函数图象平移问题】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）要使直线向上平移后过点，那么直线应向上平移（ ）个单位 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了直线平移变换的规律：对直线而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．设直线向上平移个单位，其图象经过点，根据平移规律得出，再将点代入，得2，解方程即可求出的值、 【详解】解：设直线向上平移个单位后经过点， 则函数解析式为，将点代入， 得， 解得． 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）要得到直线，可把直线（    ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移2个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题关键． 将直线向上平移3个单位可得，由此可得出答案． 【详解】解：直线向上平移3个单位可得， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）将直线向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的平移，由一次函数的平移规律即可得出答案． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，则直线的解析式是为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可． 【详解】解：由直线向上平移后得到直线，故设直线的解析式是：， ∵直线经过点， ∴， ∴． ∴直线的解析式是． 故答案是：． 5．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）已知：一次函数的图象与直线平行，且通过点． (1)求一次函数的解析式． (2)若点和在一次函数的图象上，求m，n的值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）两直线平行时，其函数解析式的一次项系数相等，设所求一次函数解析式为，将点代入求即可； （2）将点和分别代入（1）中的函数解析式，可求，的值． 本题考查了用待定系数法求一次函数解析式的方法，一次函数平移的性质，点的坐标与一次函数解析式的关系的问题． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， 设所求一次函数解析式为：， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为：； （2）解：将点和代入中， 得：；， 故，． 【题型10 一次函数的增减性问题】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数，若函数值随增大而减小，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据一次函数的增减性来确定的符号． 【详解】解：一次函数的函数值随着的值增大而减小， ， ； 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据其增减性和与轴的交点位置确定其比例系数的符号， 从而得到有关的不等式组， 解不等式组即可求解 ． 【详解】解： 根据题意得， 解得：． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知正比例函数，若y随x的增大而增大，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，象限的坐标特征等知识点，据正比例函数图象的增减性可求出m的取值范围，继而由各象限内点的坐标的符号特点可得答案，熟知正比例函数中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小是解答此题的关键． 【详解】∵正比例函数中y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的性质，分两种情况进行分析：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴， 解得,， ∴； 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）已知一次函数． (1)，为何值时，随的增大而增大？ (2)，为何值时，图象过第一、二、四象限？ 【答案】(1)，为任意实数 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由一次函数，随的增大而增大，可得，为任意实数，求解作答即可； （2）由图象过第一、二、四象限，可得，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数，随的增大而增大， ∴，为任意实数， ∴，为任意实数； （2）解：∵图象过第一、二、四象限， ∴， 解得，． 【题型11 一次函数与方程的关系】 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：C． 3．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 首先求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解∶ 直线与交点的横坐标为1，， 纵坐标为． 两直线交点坐标， 关于x，y的方程组的解为 故答案为∶ 4．（2024·浙江杭州·一模）已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数与，是常数）的图象的交点横坐标是， ， 一次函数与，是常数）的图象的交点坐标是， 方程组的解． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知一次函数，，其中． (1)若，求，图象的交点坐标； (2)当时，设的最大值为m，的最小值为n，若，求k的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查一次函数的性质及交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意联立两个一次函数求解即可； （2）根据一次函数的性质得出随x的增大而增大，随x的增大而减小，分别确定其最值，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 解得， ∴，图象的交点坐标为； （2）解：在中，． ∴随x的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值， 在中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，的最小值为， ∵， ∴， 解得． 【题型12 一次函数与不等式的关系】 1．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据图象解答即可． 【详解】解：∵直线交坐标轴于， ∴不等式的解集为． 故选D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在轴上方时，进而得到关于的不等式的解集是． 【详解】由题意可得：一次函数中，时，图象在轴上方，， 则关于的不等式的解集是， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，直线与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点问题，根据直线与x轴交于点并结合图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴由图象可得，关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与轴的交点为，写出与的关系式 ，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用图象获取正确信息是解题关键．直接把代入函数关系式，进而求出答案，再利用函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：直线与轴的交点为， ， ； 直线与轴交于， 关于的不等式的解集是， 故答案为：；． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）设一次函数，且函数y的图象过原点． (1)求的值． (2)点，点都在函数y的图象上，比较，的大小． (3)若函数值，求自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，求自变量的取值范围； （1）将代入解析式，即可求解； （2）根据，所以y随x的增大而减小，而，即可得出 （3）根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：∵ ∴ ∵点，点都在函数上 因为，所以y随x的增大而减小， 因为，所以． （3）由题意，得， 解得． 【题型13 求直线围成的图形面积】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，可先根据点的坐标用待定系数法求出，的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与轴的交点，即，的坐标．那么三角形中，底边的长应该是，纵坐标差的绝对值，高就应该是点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：把点代入， 得：， 点． 把点代入， 得：， 点． ， ． 答：的面积为， 故选：C． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】先求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得、的坐标是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）一次函数的图像与两坐标轴所围三角形面积为8，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积计算，正确计算交点，学会把坐标转换成线段长度是解题的关键，求解交点坐标，利用面积建立方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数 当，则， 当，则， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点坐标为， ∵一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形面积为8， 故， ∴， 解得，经检验符合题意． 故答案为：． 4．（2023·浙江·模拟预测）一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积问题，关键点在于一次函数与坐标轴交点的求解． 先求出与坐标轴交点，继而得到直角三角形的底和高，然后列出含有k的绝对值方程，再求解即可． 【详解】解：当时，与x轴交点为 ， 当时，与x轴交点为， ∴， 解得：． 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若这个一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）利用一次函数图像上点的坐标特征求出该函数图像与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意得过点和， 代入得：， 解得， 故一次函数表达式为． （2）解：令，则， ∴B点坐标为：， 令，则， 解得：， ∴A点坐标为：， ． 【题型14 分配方案问题】 1．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 (1)分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； (2)什么情况下到甲商场购买更优惠？ 【答案】(1)， (2)当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是理解题意，根据题意，利用函数的思想解决问题，即可． （1）根据题意，列出相应的函数关系式，即可； （2）根据（1）中的函数关系式，列出相应的不等式，即可． 【详解】（1）甲商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：； 乙商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：． （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 2．（2023·陕西咸阳·一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)， (2)选择方案②更为优惠，见解析 【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可； （2）将代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； （2）当时，； ， 选择方案②更为优惠． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键． 3．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用10辆 (2)（且为整数） (3)8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择． （1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据运输228吨物资，列方程求解． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可； （3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据题意得 ， 解得， ∴． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆， ， ∴（且为整数）． （3）∵运往甲地的大货车不多于6辆 ∴ ∵，， ∴w随a的增大而增大， ∵ ∴当时，w最小，最小值为． 答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 4．（2023·陕西西安·一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按八五折收费，超过人时，其中人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用（元）与（人）之间的函数关系式； (2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社：；乙旅行社： (2)甲旅行社 【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式； （2）将分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 甲旅行社：； 当时，， 当时，， 故乙旅行社： （2）解：依题意，把代入， 则甲旅行社：； 因为 所以把代入中， 则乙旅行社：； 因为， 所以选择甲旅行社． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． 5．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，西安市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共有师生255人，学校计划租8辆车前往，此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．现有甲、乙两种车型可供选择，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 35 30 租金（元／辆） 400 320 (1)请问有哪几种租车方案？ (2)学校租车总费用最少是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)2800元 【分析】（1）设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据不等关系列出一元一次不等式组并解不等式组，利用为整数讨论即可． （2）设学校租车总费用是w元，根据等量关系列出关系式，由（1）中m的值讨论即可． 【详解】（1）解：（1）设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆， 根据题意得， 解得， 为整数， 可取3、4、5， 一共有3种租车方案： 方案1：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆； 方案2：租甲型客车4辆，租乙型客车4辆； 方案3：租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． （2）设学校租车总费用是w元， ， ， 随m的增大而增大， 由（1）可得m取3，4，5， 时，w取最小值，最小值为（元）， 答：学校租车总费用最少是2800元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，理清题意，根据不等关系及等量关系列出一元一次不等式组及一次函数的表达式是解题的关键． 【题型15 最大利润问题】 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·开学考试）红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； (2)有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元 【分析】对于（1），设A种树苗的单价，可表示B种树苗的单价，再根据总价等于4000，求出解； 对于（2），先列出不等式组，求出解集，可得方案，然后列出一次函数表示总费用，再根据一次函数的性质得出最低费用即可． 【详解】（1）解：设A种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，根据题意得：， 解得：， ， 答：A种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； （2）解：设购买A种树苗棵，则购买种树苗棵，其中为正整数，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 取20，21，22，23，24，25， 有6种购买方案， 设总费用为元， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为475， 此时， 答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质等，确定等量关系和不等关系是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 (2)再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设分别购进款纪念币、款纪念币枚，由题意得：，据此即可求解； （2）设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为，；结合即可求解； 【详解】（1）解：设分别购进款纪念币、款纪念币枚， 由题意得： 解得： ∴购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 （2）解：设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为， 则 ∵ 解得： 又∵随的增大而减小 ∴当时，取最大值，且 此时： 故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 3．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30株和15株，共花费675元；第二次分别购进A，B两种花草12株和5株．共花费265元．两次购进花草的单价不变． (1)A，B两种花草每株的价格分别是多少元？ (2)若该校计划再购买A，B两种花草共30株，其中购买A种花草（，且为整数）株，购买花草的总费用为元，求出关于的函数解析式；并求出当为何值时，购买花草的总费用最少，最少费用为多少元？ 【答案】(1)种花草每株的价格是20元，种花草每株的价格是5元； (2)当为8时，购买花草的总费用最少，最少费用为270元． 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据题意，正确列出一次函数表达式． （1）设种花草每株的价格元，种花草每株的价格元，根据第一次分别购进，两种花草30株和15株，共花费675元；第二次分别购进，两种花草12株和5株，共花费265元；两次购进花草的单价不变，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买种花草的数量为株，则购买种花草的数量为株，结合（1）结论，列出一次函数表达式，再根据的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：设种花草每株的价格元，种花草每株的价格元， 由题意得：， 解得：， 答：种花草每株的价格是20元，种花草每株的价格是5元； （2）解：设购买种花草的数量为株，则购买种花草的数量为株， 由题意得：， ，且为整数， 随的增加而增加， 当时，取得最小值，此时， 当为8时，购买花草的总费用最少，最少费用为270元． 4．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和百合花两种花，康乃馨和百合花的进价、售价如表所示： 进价/（元/支） 售价/（元/支） 康乃馨 6 9 百合花 8 12 已知该商家计划购进康乃馨和百合花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于百合花的，设购买康乃馨x支，出售康乃馨和百合花的总利润为y元． (1)求y与x的函数解析式； (2)当x取何值时，商家获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． （1）根据总利润每支康乃馨的利润康乃馨数量每支百合的利润百合的数量列出函数解析式； （2）根据购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的，求出的取值范围，再根据函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：根据题意得：， 与的函数表达式为； （2）解：购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的， ， 解得， ， 当时，最大，最大值为（元）， 答：当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）非常时期，出门切记戴口罩．当下口罩市场出现热销，某超市老板用元购进甲、乙两种型号的口罩在超市销售，销售完后共获利元．进价和售价如下表： 型号价格 甲型口罩 乙型口罩 进价（元/袋） 2 3 售价（元/袋） 3 (1)该超市购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ (2)该超市第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，此次用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元．若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完．设此次购进甲种口罩袋，超市获利元，试求关于的函数关系式，并求出的取值范围． 【答案】(1)甲型号口罩有袋，乙型号口罩有袋 (2)， 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的综合，理解题目中的数量关系列方程，掌握二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题的关键. （1）根据表格中的数据，设甲型口罩有袋，乙型号口罩有袋，用元购进，获利元，由此列方程组即可求解； （2）以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，甲种口罩袋，则乙型口罩为袋，用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元，由此可列不等式解. 【详解】（1）解：设甲型号口罩有袋，乙型号口罩有袋，根据题意得： ， 解这个方程组得，， 甲型号口罩有袋，乙型号口罩有袋. （2）解：以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，甲种口罩袋， 乙型口罩为袋， 用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元， ， 解不等式得，， 获利元， ， 整理得，， 与的函数关系式为：（）. 【题型16 行程问题】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往城，乙车开往A城．由于墨迹覆盖，甲车与乙车距B城的距离（千米）与时间（小时）的函数关系部分图像如图所示． (1)甲车的速度为______千米/时，A、B两地相距______千米，两车出发______小时后相遇； (2)当两车相距60千米时，求t的值． 【答案】(1)180；600；2 (2)小时或小时 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用；得到两个函数的关系式是解决问题的突破口；用数形结合的方法判断出所求值与得到函数关系式的关系是解决本题的难点． （1）根据图象可计算出甲车的速度，再根据图象求出与行驶时间t的函数表达式，当时求出函数的值，即为A、B两地的相距，再求出与行驶时间t的函数表达式，根据建立方程即可求出相遇的时间； （2）让甲的函数关系式减去乙的函数关系式为60或乙的函数关系式减去甲的函数关系式为60即可求得所求的时间． 【详解】（1）解：由题意可得，甲两小时行驶了千米， ∴甲的行驶速度为：千米/时， 设与行驶时间t的函数关系为：， 则：， 解方程组得：， ∴， 当时，千米， ∴A、B两地相距600千米， 设与行驶时间t的函数关系为：， 则：， ∴， 当时，， 解得：小时， ∴两车出发2小时后相遇， 故答案为：180；600；2； （2）解：当相遇前两车相距60千米时：， 解得：小时， 当相遇后两车相距60千米时：， 解得：小时， 故t的值为：小时或小时． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 【答案】(1)解析式为；解析式为 (2)小时或小时后，甲乙两人相距 【分析】本题考查的是一次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设解析式为，根据题意经过点， ∴ 解得： ∴解析式为 设解析式为，根据题意经过点 ∴ 解得： ∴解析式为 （2）解：依题意，或 解得：或 ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）某人从A地出发，前往外的B地，他离A地的距离与他行走所用时间(h)之间的函数关系如图所示，回答问题． (1)开始行走时，他距离A地 ； (2)小时后距离A地 ； (3)距离A地时，他行走了 h，他行走的速度是 ； (4)写出的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)；； (4)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获得相关信息； （1）根据函数图象回答即可． （2）根据函数图象回答即可． （3）根据函数图象可得出距离A地时，他行走了，然后用总的路程除以总的时间即可得出答案． （4）根据函数图象回答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴开始行走时，他距离A地， 故答案为：10． （2）当时，， ∴小时后距离A地， 故答案为：30． （3）当时，， ∴距离A地时，他行走了， 他行走的速度是： 故答案为：；； （4）从函数图像可知：的取值范围是． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ 【答案】(1)直线的表达式为； (2)小张从家到机场需要30分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法即可求得； （2）把代入函数关系式求出的值，然后根据网约车的速度可得答案． 【详解】（1）解：设直线为， 把，代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 把代入得，， 解得， （分钟）． 故小张从家到机场需要30分钟． 5．（23-24七年级上·山东烟台·期末）A，B两地相距30千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地出发，他们都保持匀速行驶，同向而行．甲、乙两人各自到A地的路程（千米）与行驶的时间（时）的关系分别用图中直线，在第一象限的部分表示．根据图像回答下列问题： (1)两人出发时乙在甲前多少千米？ (2)甲、乙两人骑车的速度分别是多少？ (3)若设的表达式为，则与的实际意义是什么？ (4)当他们行驶时时，甲能否追上乙？说明理由． 【答案】(1)30 (2)甲的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； (3)表示出发时乙与A地的距离；k表示乙运动的速度 (4)他们行驶时时，甲能追上乙；理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象中获得信息，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的特点． （1）根据图象进行解答即可； （2）根据图象，结合速度的计算公式进行求解即可； （3）根据题意，结合函数图象和函数解析式进行解答即可； （4）分别求出他们行驶时时，距离A的路程，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据图象可知：两人出发时乙在甲前30千米处； （2）解：根据函数图象可知：甲的速度为：（千米/时）； 乙的速度为：（千米/时）； （3）解：设的表达式为，则表示出发时乙与A地的距离；k表示乙运动的速度． （4）解：他们行驶时时，甲能追上乙；理由如下： 行驶时，甲距离A地的路程为： （千米）， 乙距离A地的路程为： （千米）， ∵， ∴他们行驶时时，甲能追上乙． 【题型17 其他问题】 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）某电信公司规定的手机收费标准有甲、乙两类，甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按元/计；乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按元/计． (1)甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ；乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ． (2)若该电信公司的某位手机用户每月平均通话时间为，则该手机用户应选择哪类收费标准比较划算？ (3)当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等？ 【答案】(1)， (2)该手机用户应选择甲类收费标准比较划算 (3)当每月平均通话时间为时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据题意，可以写出甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式和乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式； （2）将x=300分别代入和中，求出相应的函数值，然后比较大小，即可解答本题． （3）根据（1）中的函数关系式，令和的函数值相等，即可得到每月通话多长时间，按甲、乙两类收费标准缴费，所缴话费相等； 【详解】（1）解：由题意可得，， （2）当时，， ∵ ∴该手机用户应选择甲类收费标准比较划算 （3）解：依题意， 解得： ∴当每月平均通话时间为时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某机场经济舱的某次航班托运行李的费用与行李质量之间的关系如图所示，在缴费时，若行李质量是千克，需要缴费元，若行李质量是千克，需要缴费元． (1)求托运行李的费用（元）与行李质量之间的函数关系式； (2)问最多可以免费托运行李质量是多少千克？ 【答案】(1)； (2)最多可以免费托运行李质量为千克． 【分析】（）由待定系数法求解即可； （）由题意得免费托运行李就是运费为元，由，当时，求出的值即可； 本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设开始收费后，托运行李的费用与行李重量之间的关系式为， 则， ∴， ∴开始收费后，托运行李的费用与行李重量之间的关系式为， 当时，， 解得， ∴托运行李的费用与行李重量之间的关系式为； （2）解：由（）可知，由，当时，， ∴最多可以免费托运行李质量为千克． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重（）之间满足一次函数关系，若挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂物重． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据时的函数值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为． 根据题意得，点满足此关系式． 所以， 解得； 所以与之间的函数关系式为； （2）当时，， 解得， 所以当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗？如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度，右边的刻度是华氏温度，设摄氏温度为，华氏温度为，则是的一次函数． (1)仔细观察图中数据，当摄氏温度是时，华氏温度是________；当摄氏温度是________时，华氏温度是； (2)求出与之间的函数表达式； (3)当华氏温度为，求摄氏温度为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当华氏温度为，摄氏温度为 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质． （1）观察示意图即可求解； （2）与之间的函数表达式为，将点，代入求出、，即可求解； （3）将代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，当摄氏温度是时，华氏温度是，当摄氏温度是时，华氏温度是， 故答案为：，； （2）与之间的函数表达式为，将点，代入得： ， 解得：， 与之间的函数表达式为； （3）当华氏温度为时，即，代入， 可得：， 解得：， 当华氏温度为，摄氏温度为． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【答案】(1)图象见解析，一次 (2)； (3)这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求出一次函数解析式是关键． （1）根据表格数据，画出函数图象，从图象观察符合一次函数图象特征即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先计算出一天的漏水量，再计算出一月的漏水量，最后与1600作除法运算即可． 【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示： 从所画图象看，符合一次函数的特征． 故答案为：一次； （2）解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； （3）解：一天， 一天的盛水量， 一月的盛水量， 可供一人饮用（天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 【题型18 一次函数与几何综合】 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知，直线：与直线平行，并与y轴交于点A，与x轴交于点B如图所示． (1)求直线的表达式； (2)请直接写出：A点坐标（______），B点坐标（______）； (3)在直线上，是否存在点P使得的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，求一次函数与坐标轴的交点坐标： （1）根据两平行直线解析式中的一次项系数相同即可得到答案； （2）分别求出自变量和函数值为0的函数值和自变量的值即可得到答案； （3）根据三角形面积计算公式可得，据此求出P的横坐标，进而求出P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：在中，当时，；当时，， ∴； 故答案为：；； （3）解：∵， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，；当时，； ∴点P的坐标为或． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解m和n的值； （2）设，利用求解即可； 【详解】（1）将点代入得： ， 解得：， 又直线：过点，得 ， 解得：， （2）设，则，， 即 ， 解得：或 故点P的坐标为或 3．（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，点的坐标是或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的表达式为：，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． （3）设直线的表达式为，把代入，求出直线的表达式为，因为三角形的面积是三角形的面积的，得出点的横坐标为1或，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， ∵过点的直线与直线相交于点， ∴把和分别代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， （2）解：∵，， ∴， ∴， （3）解：存在，过程如下： 设直线的表达式为，把代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵三角形的面积是三角形的面积的， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为1或， 当点的横坐标为1时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 在中，当时，， 则点的坐标为， 当点的横坐标为时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 综上，点的坐标是或或． 4．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，一次函数与几何图形， 对于（1），将点A的坐标代入关系式，再令，，即可求出点B，C的坐标； 对于（2），作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，根据两点之间线段最短得出最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可得出答案； 对于（3），根据两个三角形的面积差计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点，根据两点之间线段最短得出最小． ∴点． 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：如图所示． ． 5．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)的解析式为 (2)为等腰三角形，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法、一次函数的平移、一次函数与等腰直角三角形、等腰三角形的判定等知识点，掌握函数的相关性质是解题关键． （1）令可得；设直线的解析式为：，将代入即可求解； （2）求出，分别计算即可判断； （3）由题意得直线的解析式为：、；可推出点与点重合，设，根据即可求解； 【详解】（1）解：令，解得：； ∴ ∵直线与y轴相交于点 设直线的解析式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：为等腰三角形，理由如下： 令，可得：； ∴ 则，， ∴ 故为等腰三角形 （3）解：如图所示： ∵，D是的中点， ∴ ∵向上平移得到直线． ∴ ∴点与点重合 通过平移可知：直线的解析式为：； 设， ∵ ∴， 解得：或； ∴或 故点N的坐标为或 过关检测 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的图象．根据函数的图象经过的象限得到m，n，的取值范围，逐一判断即得． 【详解】图中的图象过原点，另一条直线是的图象， A．由函数的图象可得，由函数的图象可得，A正确； B．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，B错误； C．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，C错误； D．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，D错误． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线与直线相交于点即可判断选项A；由图象可得的解集为，由图象可得的解集为，即可判断选项B；求出的解集是，当时，，即可判断选项C；由图象可得方程组的解为，即可判断选项D． 【详解】解：A．由图象可得直线与直线相交于点， ∴方程的解是， 故选项错误，不符合题意； B．由图象可得的解集为， 由图象可得的解集为， ∴不等式和不等式的解集不相同， 故选项错误，不符合题意； C．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 由图象可知，的解集是， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴当时，， ∴不等式组的解集是， 故选项正确，符合题意； D．∵直线与直线相交于点P， ∴方程组的解为， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车； ②乙车行驶的速度是； ③两地相距；其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车小时行驶的路程为，由此即可判断①；根据在乙出发后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发小时后到达 地，求出两地的距离即可判断③，据此即可求解，正确读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：∵甲车的速度为， ∴根据函数图象可知，甲车先出发， ∵根据函数图象可知，甲出发后，乙追上甲， ∴甲车提前出发，乙车出发后追上甲车，故①正确； ∴ 乙车的速度为，故②正确； 根据图可知，乙出发后到达点， ∴两地相距，故③正确； ∴正确的说法有个， 故选：． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求交点的坐标是解题的关键．分别求出直线，直线或与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：直线过点， 则，解得， ∴， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 由题意得， 解得或， ∵直线过点， ∴或， ∴直线或， 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为4，最小值为1， ∴m的最大值与最小值之差为； 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为1，最小值为， ∴m的最大值与最小值之差为； 综上，m的最大值与最小值之差为3， 故选：A． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题． 【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与轴，轴分别交于点，点．若的面积是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，当时，，得，求出，当时，，得，求出，再根据三角形的面积公式列式求解即可．解题的关键是掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的确定方法． 【详解】解：∵一次函数与轴，轴分别交于点，点， 当时，得：；当时，得：， ∴， ∴，， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车 ．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为 ． 【答案】 相遇 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，结合图象确定各分段代表的意义是解题关键． （1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即可求解； （2）段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶，段为两车相向行驶，即可确定慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时，慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时，然后确定快车行驶的时间即可点C的横坐标，再求两车之间的距离即可． 【详解】解：（1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即两车相遇； 故答案为：相遇； （2）由图象得：段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶， ∴慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时， ∵段为两车相向行驶， ∴快车的速度为：千米/小时， ∴快车行驶的时间为：小时， ∴点C的横坐标为6， 此时两车之间的距离为：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数（为常数，） （1）（为常数，）的图像恒经过一个定点，这个定点坐标是 ； （2）平面直角坐标系中有三个点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）将该一次函数解析式整理为，易得当时，，即可获得答案； （2）根据直线将分成左右面积之比为的两部分，可知，确定点坐标，然后代入函数解析式并求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴直线恒过点； （2）设直线与轴交于点，如下图， ∵直线将分成左右面积之比为的两部分， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 可得，解得． 故答案为：（1）；（2）3． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征， （1）将代入即可得出k的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，根据题意以及一次函数的性质当时，的值最小，代入求得即可． 【详解】解：（1）∵直线与直线交于点， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）知直线的表达式为， ∵点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为． 10．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论． 【详解】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）天气转凉，某商店欲购进，两种型号的暖手宝，已知型暖手宝的进价是每个20元，型暖手宝的进价是每个40元．该商店决定用不超过3500元钱购进这两种暖手宝共100件，且型号暖手宝不超过30件． (1)该商店有几种进货方案？请你写出解答过程． (2)若，两种暖手宝的售价每件分别为40元、70元，哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)该商店有6种进货方案，解答过程见详解 (2)第一种进货方案，有最大值，即为2750元 【分析】（1）设购进型暖手宝个，则购进型暖手宝个，根据不超过3500元钱购进这两种暖手宝共100件，列出不等式解答即可； （2）设利润为元，根据利润售价进价建立解析式，运用一次函数性质就可以求出结论． 此题考查了列一次函数的实际运用，不等式的实际运用，求出利润的解析式，运用一次函数的性质求最值是本题的难点． 【详解】（1）解：设购进型暖手宝个，则购进型暖手宝个，由题意得 解得：， 又∵， 则且为整数， 即，26，27，28，29，30， 第一种进货方案：购进型暖手宝25个，则购进型暖手宝75个， 第二种进货方案：购进型暖手宝26个，则购进型暖手宝74个， 第三种进货方案：购进型暖手宝27个，则购进型暖手宝73个， 第四种进货方案：购进型暖手宝28个，则购进型暖手宝72个， 第五种进货方案：购进型暖手宝29个，则购进型暖手宝71个， 第五种进货方案：购进型暖手宝30个，则购进型暖手宝70个， 综上：该商店有6种进货方案． （2）解：设利润为元，由题意得 ， ， 随着的增大而减小， 当时，有最大值2750． 即第一种进货方案，有最大值，即为2750元 12．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，交直线于点P． (1)若点P为的中点，求k的值； (2)在（1）的条件下，C是线段上一点，过点C作x轴的垂线，与x轴交于点E，与直线 交于点D，若，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，M是y轴上一点，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）分别把，代入解析式求出点A，点B的坐标，再根据线段中点P的坐标，再用待定系数法即可得出k的值． （2）设C点坐标为，则点D坐标为，点E坐标为，可得，，从而可得，再求解即可； （4）由，，求得，再由可得，求得，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴B点坐标为， 令，则， ∴A点坐标为； ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为，纵坐标为：， ∴． ∵点P在直线上， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，所在直线的解析式为：． ∵C是直线上一点， ∴设C点坐标为， 则点D坐标为，点E坐标为， ，， ， ， 解得， 点坐标为； （3）解：∵B点坐标为，A点坐标为， ，， ， ， ， ， ， ， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，一次函数与坐标轴的交点问题、解一元一次方程、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相关知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． 13．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，直线分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，且满足，． (1)求直线的表达式； (2)在x轴上是否存在点D，使以点B，C，D为顶点的三角形的面积是面积的一半？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，D的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，解题的关键是根据三角形面积公式列出方程． （1）用待定系数法即可求出直线的解析式即可； （2）先求得的面积，然后根据得到关于x的方程，解方程求得x的值，即可求得D的坐标 【详解】（1）解：∵，， ∴A的坐标为，B的坐标为， 设的解析式为， 将A坐标代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：存在， 设D的坐标为， ∵A的坐标为，点， ∴， ∴， 当时， 则， ， 解得：或， ∴点D的坐标为或． 故在x轴上是存在点D，使以点B，C，D为顶点的三角形的面积是面积的一半，点D的坐标为或． 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，点C为x轴上一动点，点A的坐标，点E的坐标，作轴，连接、． (1)设，试用含x的代数式表示______；______ (2)试求当的长度最小时点的坐标； (3)根据前面的启发，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与勾股定理的几何综合题，熟练掌握待定系数法求解析式和勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求得答案； （2）连接，交轴于点，此时三点共线，的长度最小，求得直线的解析式，令即可得到点的坐标； （3）根据画出图形，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴由勾股定理可得：，； （2）解：连接，交轴于点，如图所示： 当三点共线，的长度最小， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， 令，， ∴； （3）解：设，，，根据题意构图得： 由图可得：，， 当三点共线，有最小值，即的长， 延长作于点， ∴由勾股定理可得：， ∴代数式的最小值为． 15．（23-24八年级上·山东济南·期末）综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式与点的坐标； (2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 (3)存在，M点的坐标为或或或 【分析】（1）分别求出，，再确定函数解析式即可； （2）设，则，则，再求，由题意可得，即可求点坐标； （3）分三种情况：①当以为等腰三角形的顶点时，；②当以为等腰三角形的顶点时，，则点与点关于轴对称；③当以为等腰三角形的顶点时，，设，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数图象分别交轴、轴于点、， 当时，则，得：， 当时，得：， ∴，， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，则，得：， ∴点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ①当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点的坐标为或； ②当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； ③当以为等腰三角形的顶点时， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识点，运用了方程的思想，难度较大．熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$