第5章 一次函数（单元测试B卷）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第5章 《一次函数》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（　　） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 2．（3分）下列各关系式中，y不是x的函数的是（　　） A．|y|＝x B． C．y＝3x+1 D． 3．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x≤2 C．x＜2且x≠﹣1 D．x≤2且x≠﹣1 4．（3分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（　　） A．y＝﹣2x B．y＝2x C． D． 5．（3分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．（3分）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣3x+3的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（　　） A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3 C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3 8．（3分）已知y﹣m与x﹣1成正比例，且当x＝﹣2时，y＝3．若y关于x的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图1，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB＝2，直线MN：y＝x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示，则下列判断正确的个数有（　　） ①点A的坐标为（1，0）；②矩形ABCD的面积是8； ③a的值为； ④b的值为10． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3），下列判断正确的是（　　） ①关于x的方程﹣kx+b＝﹣mx+m的解是x＝2 ②当b＞3时，关于x的不等式kx+b＞mx+m的解集是x＞﹣2 ③设直线y3＝y1+y2，则直线y3一定经过定点（﹣2，6） ④当原点到直线y1的距离最大时，则b＝4． A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　． 12．（3分）将直线y＝5x向左平移2个单位所得的直线的解析式是 　 　． 13．（3分）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，弹簧的总长度y cm与所挂物体的质量x kg的函数表达式是 　 　． 14．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 　． 15．（3分）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　 　分钟． 16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知y﹣2与3x﹣4成正比例关系，且当x＝2时，y＝3． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当﹣2≤x≤3时，直接写出y的取值范围． 18．（6分）已知一次函数y＝2x+4． （1）将下列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象． x … 0 1 … y＝2x+4 … 0 … （2）当函数值y为10时，自变量x的值为 　 　． 19．（8分）如图，一次函数y＝3x+b的图象与y轴交于点A（0，2）． （1）请你写出这个一次函数的表达式； （2）判断点（2，9）是否在该函数图象上． 20．（8分）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买门票，门票单价为10元/人，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为y1元，按乙方案所需总费用为y2元． （1）当采摘量超过10千克时，分别求出y1、y2关于x的函数表达式； （2）若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 21．（10分）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）甲的速度是 　 　米/分钟，乙比甲提前 　 　分钟先到达终点； （2）求乙所跑路程y与时间x之间的函数表达式； （3）请直接写出甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（12分）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）﹣n（cx+d）（ma≠nc）为函数y1、y2的“星辰函数”． （1）已知函数y＝﹣x+3为函数y1＝x+1、y2＝3x﹣1的“星辰函数”，求m，n的值； （2）在平面直角坐标系中，函数y1＝x+2与y2＝﹣x+2t的图象相交于点P．过点P作x轴的垂线l，交函数y1、y2的“星辰函数”的图象于点Q． ①若t≠﹣1，函数y1、y2的“星辰函数”图象经过点P，求m﹣n的值； ②若m＞n+1，点P在点Q的上方，求t的取值范围． 24．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B，A．直线BC交y轴于点C（0，﹣4）． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为坐标轴上一点，当△BDE是以BD为底边的等腰三角形时，求OE的长； （3）如图2，点P是A点下方y轴上的一点，且满足∠ODB＝∠PDA，求点P坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 《一次函数》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（　　） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 【分析】根据变量和常量的定义解答即可． 【解答】解：∵长方形的面积始终不变为常量，长和宽的数值发生变化为变量， ∴常量为6，变量为x，y． 故选：D． 2．（3分）下列各关系式中，y不是x的函数的是（　　） A．|y|＝x B． C．y＝3x+1 D． 【分析】根据函数的定义判断即可． 【解答】解：A．当x≠0时，对于每一个x的值，y都有2个值与之相对应，它们互为相反数，不符合函数的定义， ∴A符合题意； BCD．对于每一个x的值，y都有唯一一个值与之相对应，符合函数的定义， ∴BCD不符合题意． 故选：A． 3．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x≤2 C．x＜2且x≠﹣1 D．x≤2且x≠﹣1 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：2﹣x＞0， 解得：x＜2， 故选：A． 4．（3分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（　　） A．y＝﹣2x B．y＝2x C． D． 【分析】设该正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把点（2，﹣1）代入求出k的值即可． 【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）， ∵正比例函数的图象经过点（2，﹣1）， ∴﹣1＝2k，解得k＝﹣， ∴这个正比例函数的表达式是y＝﹣x． 故选：C． 5．（3分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】依据输入x的值是2，则输出y的值是1，即可得到b的值，进而得出当输入x的值是7时，输出y的值． 【解答】解：若输入x的值是2，则输出y的值是1， ∴1＝﹣2×2+b， 解得b＝5， ∴当x＝7时，y＝＝﹣1， 故选：B． 6．（3分）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论． 【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴﹣k＞0， ∴选项B中图象符合题意． 故选：B． 7．（3分）已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣3x+3的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（　　） A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3 C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3 【分析】根据题意将A，B两点代入一次函数解析式化简得到a，b的关系式即可得解． 【解答】解：将点A（x1，a），B（x1+1，b）代入y＝﹣3x+3得： a＝﹣3x1+3，b＝﹣3（x1+1）+3， 解得：， 则，即a﹣b＝3， 故选：A． 8．（3分）已知y﹣m与x﹣1成正比例，且当x＝﹣2时，y＝3．若y关于x的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据y﹣m与x﹣1成正比例，可得y﹣m＝k（x﹣1），代入x＝﹣2时，y＝3得到m和k的关系，进而利用函数图象经过二、三、四象限确定m的范围即可． 【解答】解：∵y﹣m与x﹣1成正比例， ∴y﹣m＝k（x﹣1）（k≠0）， ∴y＝kx﹣k+m， 当x＝﹣2时，y＝3， ∴﹣2k﹣k+m＝3， ∴k＝m﹣1， ∵函数图象经过二、三、四象限， ∴， 即， 解得m＜﹣． 故选：C． 9．（3分）如图1，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB＝2，直线MN：y＝x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示，则下列判断正确的个数有（　　） ①点A的坐标为（1，0）；②矩形ABCD的面积是8； ③a的值为； ④b的值为10． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标； 由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积； 如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值； 如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值． 【解答】解：令直线y＝x﹣4的y＝0得：x﹣4＝0，解得：x＝4， ∴点M的坐标为（4，0）． 由函数图象可知：当t＝3时，直线MN经过点A， ∴点A的坐标为（1，0）， 沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A， ∵y＝x﹣4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y＝x+3﹣4＝x﹣1， ∴点A的坐标为 （1，0），故①正确； 由函数图象可知：当t＝7时，直线MN经过点D， ∴点D的坐标为（﹣3，0）． ∴AD＝4． ∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝4×2＝8，故②正确． 如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E． ∵点A的坐标为（1，0）， ∴点B的坐标为（1，2） 设直线MN的解析式为y＝x+c， 将点B的坐标代入得；1+c＝2． ∴c＝1． ∴直线MN的解析式为y＝x+1． 将y＝0代入得：x+1＝0，解得x＝﹣1， ∴点E的坐标为（﹣1，0）． ∴BE＝＝＝2． ∴a＝2，故③正确； 如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F． ∵点D的坐标为（﹣3，0）， ∴点C的坐标为（﹣3，2）． 设MN的解析式为y＝x+d，将（﹣3，2）代入得：﹣3+d＝2，解得d＝5． ∴直线MN的解析式为y＝x+5． 将y＝0代入得x+5＝0，解得x＝﹣5． ∴点F的坐标为（﹣5，0）． ∴b＝4﹣（﹣5）＝9，故④错误． 故选：C． 10．（3分）直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3），下列判断正确的是（　　） ①关于x的方程﹣kx+b＝﹣mx+m的解是x＝2 ②当b＞3时，关于x的不等式kx+b＞mx+m的解集是x＞﹣2 ③设直线y3＝y1+y2，则直线y3一定经过定点（﹣2，6） ④当原点到直线y1的距离最大时，则b＝4． A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【分析】根据一次函数图象得出a＞0，b＞0，k＜0，即可判断①，根据只有当k＝﹣1时，∠ABO＝45°，即可判断②，根据函数图象以及交点的横坐标即可判断③④，即可求解． 【解答】解：∵直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3）， ∴直线y＝﹣kx+b与y＝﹣mx+m的图象交于点（2，3）， ∴关于x的方程﹣kx+b＝﹣mx+m的解是x＝﹣2， 故①正确； ∵直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3）， ∴当b＞3时，则直线y1＝kx+b过第一、二、三象限，y随x的增大而增大， ∴关于x的不等式kx+b＞mx+m的解集是x＞﹣2； 故②正确； ∵直线y1＝kx+b与y2＝mx+m的图象交于点A（﹣2，3）， ∴3＝﹣2k+b，3＝﹣2m+m， ∴k＝，m＝﹣3， ∵y1＝x+b，y2＝﹣3x﹣3， ∴y3＝x+b﹣3， 当x＝﹣2时，y3＝﹣b+9+b﹣3＝6， ∴直线y3一定经过定点（﹣2，6）， 故③正确； ∵点O（0，0），点A（﹣2，3）， ∴直线OA的解析式为y＝﹣x， ∴当直线OA与直线y1＝x+b垂直时， ∴×（﹣）＝﹣1， ∴b＝，故④错误， 故选：A． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　﹣1　． 【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．（3分）将直线y＝5x向左平移2个单位所得的直线的解析式是 　y＝5（x+2）　． 【分析】根据平移的性质“左加右减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解． 【解答】解：把直线y＝5x向左平移2个单位，得到的直线解析式是y＝5（x+2）． 故答案为：y＝5（x+2）． 13．（3分）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，弹簧的总长度y cm与所挂物体的质量x kg的函数表达式是 　y＝12+2x　． 【分析】弹簧总长＝弹簧原来的长度+挂上x kg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【解答】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm， ∴挂上x kg的物体后，弹簧伸长2x cm， ∴弹簧总长y＝12+2x． 即弹簧的总长度y cm与所挂物体的质量x kg的函数表达式是y＝12+2x， 故答案为：y＝12+2x． 14．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　　． 【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可． 【解答】解：∵y＝x+2的图象经过P（m，4）， ∴4＝m+2， ∴m＝2， ∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（2，4）， ∴方程组的解是， 故答案为． 15．（3分）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　4.5　分钟． 【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解． 【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80米/分， 设乙的速度为x米/分， 由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3）， 解得x＝100， ∴乙的速度为100米/分， ∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5分钟， 乙达到终点的时间为3000÷100＝30分钟， ∵甲先出发3分钟， ∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5分钟， 故答案为：4.5． 16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为 　　． 【分析】判断出OP⊥AB时，OP最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：由得， ∴A（2，3）， 由一次函数，令y＝0，解得x＝﹣2， ∴B（﹣2，0）， ∴S△AOB＝OB•|yA|＝＝3，AB＝＝5， ∵当OP⊥AB时，OP最小， ∴此时S△AOB＝AB•OP， ∴×5OP＝3， ∴OP最小为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知y﹣2与3x﹣4成正比例关系，且当x＝2时，y＝3． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当﹣2≤x≤3时，直接写出y的取值范围． 【分析】（1）根据正比例函数的定义，设出y﹣2与3x﹣4之间的关系式，再将x＝2，y＝3代入即可解决问题． （2）根据一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 设y﹣2＝k（3x﹣4）， 当x＝2时，y＝3， 所以3﹣2＝k×（3×2﹣4）， 解得k＝， 所以y﹣2＝， 则y与x之间的函数解析式为y＝． （2）由（1）知， 因为y＝，且＞0， 所以y随x的增大而增大． 又因为当x＝﹣2时，y＝﹣3； 当x＝3时，y＝， 所以当﹣2≤x≤3时，y的取值范围为． 18．（6分）已知一次函数y＝2x+4． （1）将下列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象． x … 0 1 … y＝2x+4 … 0 … （2）当函数值y为10时，自变量x的值为 　3　． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，补充完整表格，描点、连线，画出函数图象； （2）代入y＝10，求出x的值即可． 【解答】解：（1）当y＝0时，2x+4＝0， 解得：x＝﹣2； 当x＝0时，y＝2×0+4＝4； 当x＝1时，y＝2×1+4＝6． 补充表格如下， x … ﹣2 0 1 … y＝2x+4 … 0 4 6 … 描点、连线，画出函数图象，如图所示； （2）当y＝10时，2x+4＝10， 解得：x＝3， ∴当函数值y为10时，自变量x的值为3． 故答案为：3． 19．（8分）如图，一次函数y＝3x+b的图象与y轴交于点A（0，2）． （1）请你写出这个一次函数的表达式； （2）判断点（2，9）是否在该函数图象上． 【分析】（1）根据题意直接写出b＝2，得到一次函数解析式即可； （2）将x＝2代入（1）中解析式求出y值判定是否在直线上即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝3x+b的图象与y轴交于点A（0，2）． ∴b＝2， ∴y＝3x+2； （2）将x＝2代入（1）中解析式得： y＝3×2+2＝8， ∴点（2，9）不在该函数图象上． 20．（8分）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买门票，门票单价为10元/人，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为y1元，按乙方案所需总费用为y2元． （1）当采摘量超过10千克时，分别求出y1、y2关于x的函数表达式； （2）若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【分析】（1）利用按甲方案所需总费用＝购买门票的费用+杨梅的原价×0.6×采摘量，可求出y1关于x的函数表达式；利用按乙方案当采摘量x＞10千克时，所需总费用＝杨梅的原价×10+杨梅的原价×0.5×超过10千克的部分，可求出y2关于x的函数表达式； （2）代入x＝30，求出y1、y2的值，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）y1＝10×3+40×0.6x， 即y1＝24x+30（x＞0）； y2＝40×10+40×0.5（x﹣10）， 即y2＝20x+200（x＞10）； （2）选择甲方案， 当x＝30时，甲方案：y1＝24×30+30＝750， 乙方案：y2＝20x+200＝20×30+200＝800． ∵750＜800， ∴选择甲方案更划算． 21．（10分）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）甲的速度是 　250　米/分钟，乙比甲提前 　8　分钟先到达终点； （2）求乙所跑路程y与时间x之间的函数表达式； （3）请直接写出甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间． 【分析】（1）依据函数图象可得到总路程和两人跑完全程所用的时间，依据速度＝路程÷时间可求得甲的速度，并能够判断到达终点的时间差； （2）利用待定系数法分段求解函数解析式即可； （3）求出前20分钟乙的速度，20到32分钟时乙的速度和甲的速度，然后分：①当前20分钟甲、乙两人相距500米时，②20分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距500米时，③甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距500米时，分别列出方程解答即可． 【解答】解：（1）由函数图象可知甲跑完全程需要40分钟，乙跑完全程需要32分钟， ∴甲的速度＝米/分钟；40﹣32＝8， ∴乙比甲提前8分钟先到达终点， 故答案为：250，8； （2）设当0≤x≤20时，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为y＝kx，把（20，4000）代入y＝kx中，则有20k＝4000， 解得k＝200， ∴此时乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为y＝200x； 设当20≤x≤32时，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为y＝mx+n，把（20，4000）、（32，10000）代入y＝mx+n中，得： ， 解得m＝500，n＝﹣6000， ∴此时乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为y＝500x﹣6000， 综上，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为：； （3）由图函数图象可知： 前20分钟乙的速度为：4000÷20＝200（米/分钟）；20到32分钟时乙的速度为：（10000﹣4000）÷（32﹣20）＝500（米/分钟）； ∵甲的速度是250米/分钟， 设乙所跑的时间为t分钟， ①前20分钟甲、乙两人相距500米时，由题意得： 250t﹣200t＝500， 解得：t＝10； ②20分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距500米时，由题意得： 250t﹣[4000+（t﹣20）×500]＝500， 解得：t＝11； ③甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距500米时，由题意得： [4000+（t﹣20）×500]﹣250t＝500， 解得：t＝26； 答：甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间为10分钟或11分钟或26分钟． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）对于y＝x+4，当x＝0时，y＝4，令y＝x+4＝0，则x＝﹣3，即可求解； （2）由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD，即可求解； （3）由则S△PAB＝8＝|yB﹣yP|＝|8﹣yP|，即可求解． 【解答】解：（1）对于y＝x+4，当x＝0时，y＝4， 令y＝x+4＝0，则x＝﹣3， 即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4）， 由点A、B的坐标得，AB＝5； （2）存在，理由： 设点D（0，m）， 由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD， 则点C（﹣8，0）， 由CD＝BD得：（4﹣m）2＝82+m2， 解得：m＝﹣6， 即点D（0，﹣6）； （3）∵S△COD＝CO•OD＝＝24， 则S△PAB＝8＝|yB﹣yP|＝|8﹣yP|， 解得：yP＝或﹣， 综上，点P的坐标为：（0，）或（0，﹣）． 23．（12分）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）﹣n（cx+d）（ma≠nc）为函数y1、y2的“星辰函数”． （1）已知函数y＝﹣x+3为函数y1＝x+1、y2＝3x﹣1的“星辰函数”，求m，n的值； （2）在平面直角坐标系中，函数y1＝x+2与y2＝﹣x+2t的图象相交于点P．过点P作x轴的垂线l，交函数y1、y2的“星辰函数”的图象于点Q． ①若t≠﹣1，函数y1、y2的“星辰函数”图象经过点P，求m﹣n的值； ②若m＞n+1，点P在点Q的上方，求t的取值范围． 【分析】（1）根据定义，构造“星辰函数”，利用恒等式性质，构造方程组求解即可． （2）①先利用解析式联立构成方程组，求得交点坐标，确定星辰函数，把坐标代入星辰函数，解答即可． ②根据交点的坐标为（t﹣1，t+1），确定星辰函数为y＝（m+n）x+2m﹣2nt，当x＝t﹣1时，函数值为（m﹣n）（t﹣1）+2m﹣2nt，结合点P在函数y1、y2的“星辰函数”图象的上方，得到t+1＞（m﹣n）（t+1），解答即可． 【解答】解：（1）由题意可知：m（x+1）﹣n（3x﹣1）＝﹣x+3， 整理得：（m﹣3n）x+m+n＝﹣x+3， ∴， 解得：， 故：m＝2，n＝1． （2）①解方程组：， 解得：， ∵函数y1、y2的“星辰函数”图象经过点P， ∴P点坐标为（t﹣1，t+1）， ∵函数y1，y2的“星辰函数”为：y＝m（x+2）﹣n（﹣x+2t）， 化简得：y＝（m+n）x+2m﹣2nt， ①∵点P在函数y1，y2的“星辰函数”图象上， 将点P坐标代入“星辰函数”得：t+1＝（m+n）（t﹣1）+2m﹣2nt， 整理得：t+1＝（m﹣n）（t+1）， ∵t≠﹣1， ∴m﹣n＝1． ②∵星辰函数为y＝（m+n）x+2m﹣2nt， ∴当x＝t﹣1时，函数值为（m﹣n）（t﹣1）+2m﹣2nt， ∵点P在函数y1、y2的“星辰函数”图象的上方， ∴t+1＞（m﹣n）（t﹣1）+2m﹣2nt， 整理得：t+1＞（m﹣n）（t+1）， ∵m＞n+1， ∴m﹣n＞1， ∴t+1＜0即t＜﹣1， ∴t的取值范围是t＜﹣1． 24．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B，A．直线BC交y轴于点C（0，﹣4）． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为坐标轴上一点，当△BDE是以BD为底边的等腰三角形时，求OE的长； （3）如图2，点P是A点下方y轴上的一点，且满足∠ODB＝∠PDA，求点P坐标． 【分析】（1）在y＝2x+4中，令x＝0，y＝4，令y＝0，x＝﹣2，求得B（﹣2，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，解方程组得到直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4； （2）求出D点的坐标是（﹣4，4），设点E的坐标为（t，0），根据题意可得BE＝DE，据此利用勾股定理建立方程求解即可； （3）当点P在点A的下方，由∠ODB＝∠PDA，∠ADO＝45°得到∠PDB＝45°，过点B作BN⊥BD交直线DP于点N，过点N作NQ⊥OB于点Q，过点E作DH⊥OB于点H，证明△DHB≌△BQN（AAS），进一步求出N（2，2），求出直线DN的解析式，即可得到结论． 【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令x＝0，y＝4，令y＝0，x＝﹣2， ∴B（﹣2，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4； （2）联立， 解得， ∴D点的坐标是（﹣4，4）， 设点E的坐标为（t，0），则BE2＝（﹣2﹣t）2，DE2＝（﹣4﹣t）2+（4﹣0）2， ∵△BDE是以BD为底边的等腰三角形， ∴BE＝DE， ∴BE2＝DE2， ∴（﹣2﹣t）2＝（﹣4﹣t）2+（4﹣0）2， 解得t＝﹣， ∴E（﹣，0）， ∴OE＝； （3）如图，当点P在点A的下方， ∵A（0，4），D（﹣4，4）， ∴AD＝OA，AD⊥y轴， ∴∠ADO＝∠ADP+∠PDO＝45°， ∵∠ODB＝∠PDA， ∴∠PDB＝∠ODB+∠PDO＝45°； 过点B作BN⊥BD交直线DP于点N，过点N作NQ⊥OB于点Q，过点D作DH⊥OB于点H， ∴△DBN为等腰直角三角形， ∴DB＝BN， ∵∠BDH+∠DBH＝90°，∠DBH+∠NBQ＝90°， ∴∠BDH＝∠NBQ， 在△DHB和△BQN中， ， ∴△DHB≌△BQN（AAS）， ∴NQ＝BH＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BQ＝DH＝4， ∴OQ＝BQ﹣BO＝2， ∴N（2，2）， 设直线DN的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线DN的解析式为y＝﹣x+， 当x＝0时，y＝， ∴P（0，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$