特训09 一次函数 解答压轴题（十三大题型，浙江精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训09 一次函数 解答压轴题（十三大题型，浙江精选） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：分面积成比例问题 题型3：最值问题 题型4：取值范围问题 题型5：动点问题 题型6：平移问题 题型7：翻折问题 题型8：旋转问题 题型9：动态几何综合 题型10：新定义题 题型11：几何问题在坐标系中求函数表达式 题型12：分段函数 题型13：图表素材题 题型1：存在性问题 1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当点到达点时，点也停止运动．连接线段，设点运动的时间为秒． (1)经过时，写出此时点的坐标______，点的坐标______． (2)当线段时，求此时点运动的时间． (3)点为线段中点，在点、运动过程中，以点、、三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的的值． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 题型2：分面积成比例问题 3．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 题型3：最值问题 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图（1），点为平面直角坐标系中两点，过点作交于，交轴于点．且． (1)求直线解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②当面积最小时，求点的坐标和面积． 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 题型4：取值范围问题 6．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线l的函数表达式为（b为常数），点，点，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连结，将沿直线l翻折，得，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)求点C的坐标． (2)当点F在y轴上时，求b的值． (3)当与y轴有交点时，求b的取值范围． 题型5：动点问题 7．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF． (1)求点C的坐标及直线BC的表达式； (2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标； (3)设点E的坐标为（0，）； ①用表示点F的坐标； ②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围． 题型6：平移问题 8．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）已知，一次函数y=x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为（－2，0）． (1)求点A，点B的坐标； (2)过点C作直线CD，与AB交于点D，且，求点D的坐标； (3)连接BC，将△OBC沿x轴向左平移得到△O′B′C′，再将以A，B，B′，C′为顶点的四边形沿O′B′剪开得到两个图形．若用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，求△OBC平移的距离． 题型7：翻折问题 9．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D． (1)求点C的坐标和b的值； (2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到． ①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标； ②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积． 10．（18-19八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E．    (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8：旋转问题 11．（21-22八年级下·浙江金华·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴的垂线，将直线绕点按逆时针方向旋转，旋转角为． (1)若直线经过点，①求线段的长；②直接写出旋转角的度数； (2)若直线在旋转过程中与轴交于点，当、、均为等腰三角形时，求出符合条件的旋转角的度数． (3)若直线在旋转过程中与直线交于点，连，以为边作等边（点、、按逆时针方向排列），连BF．请你探究线段BE，OB与BF之间的数量关系？并说明理由． 题型9：动态几何综合 12．（20-21八年级上·浙江湖州·期末）如图1，已知一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是24，是线段上一动点. （1）求一次函数解析式； （2）如图1，将沿翻折得到，当点正好落在直线上时， ①求点的坐标； ②将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的表达式； （3）如图2，上题②中的直线与线段相交于点，将沿着射线向上平移，平移后对应的三角形为，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标. 题型10：新定义题 13．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l．如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”． (1)已知线段AB，其中点A（1，0），点B（3，0）； ①已知直线l：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴所夹的锐角为_____，点A到直线l的距离为______，点B到直线l的距离为______； ②若线段AB与直线l：y＝﹣x﹣1“k关联”，则k的值不能是______． A.3　　　B.　　　C. 　　　　D.1 ③已知直线．若线段AB与该直线“关联”，求b的取值范围； (2)如图2，已知边长为2的等边△PMN的顶点P（a，0）在x轴上运动，且MN⊥x轴，若该等边三角形与直线y＝x+1“2关联”，求点P横坐标a的取值范围． 题型11：几何问题在坐标系中求函数表达式 14．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图1，直线AB与坐标轴分别交于A（0，－3），B（－5，0）两点，点C为线段AB的中点，点P是y轴上一点，连接CP，过点C作CP的垂线交线段BO于点Q． (1)求直线AB的函数解析式； (2)如图2，当点Q与点B重合时，连接PQ．求PO的长； (3)如图1，设，．请求m关于n的函数表达式． 题型12：分段函数 15．（21-22八年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行于x轴的直线与分段函数相交于点A，B两点（点B在点A的右边），点C在AB的延长线上，当点B的纵坐标为3． (1)求AB的长． (2)过点B，C的分段函数图象相交于点M． ①若，求a和k的值． ②如图2，若改为，其它条件不变，经过点B的直线与OA，ME分别交于点D，E，当DB＝BE时，求n的值． 题型13：图表素材题 16．（23-24八年级上·浙江金华·期末）浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题． 项目 内容 材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．    材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：    套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元  套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． 任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数． 任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 一次函数 解答压轴题（十三大题型，浙江精选） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：分面积成比例问题 题型3：最值问题 题型4：取值范围问题 题型5：动点问题 题型6：平移问题 题型7：翻折问题 题型8：旋转问题 题型9：动态几何综合 题型10：新定义题 题型11：几何问题在坐标系中求函数表达式 题型12：分段函数 题型13：图表素材题 题型1：存在性问题 1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当点到达点时，点也停止运动．连接线段，设点运动的时间为秒． (1)经过时，写出此时点的坐标______，点的坐标______． (2)当线段时，求此时点运动的时间． (3)点为线段中点，在点、运动过程中，以点、、三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的分类标准，勾股定理，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）根据题意，，当时，，直线与坐标轴交于两点，得到，继而得解． （2）根据题意，，得到，，，利用 得到方程，再解方程即可即可． （3）根据点为线段中点，得到，再由得到，，，再分当时，当时，当时三种情况列方程求解即可． 【解析】（1）解：根据题意，，当时，， ∵直线与坐标轴交于两点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据题意，， ∵直线与坐标轴交于两点， ∴， ∴， ∴，， ∵线段，， ∴，即； 解得， ∴ （3）∵，点为线段中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ， 当时，则， 故， 整理得， 解得(舍去)； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 综上所述：或或或或． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． （1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【解析】（1）解方程组，得． ∴点A的坐标为． 把代入得， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设，则． ∴． ∵轴． ∴． ∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）或． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作与AM的延长线交于点N． ∵，轴， ∴，， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点N作轴于点F，过点A作轴于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∵，． ∴，． ∴． ∴． 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令，得． ∴点M的坐标为． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知． 综上所述：或． 题型2：分面积成比例问题 3．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标和线段长度的关系、三角形的面积公式，还考查了分类讨论的思想，解题的关键是根据题意找出线段长度，代入公式求解． （1）由坐标可知线段的长度，再根据三角形的面积公式即可求出坐标； （2）分情况讨论，用表示出两种情况下的长度，再根据面积公式即可求出结果； （3）分别表示出和的面积，然后利用面积比求出值即可． 【解析】（1）解：设点坐标为， 由题意可知：， ， 解得， 点在轴的负半轴上， ， 点坐标为． （2）当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 综上所述，． （3）当点在上运动时， 由题意可知，，， 当时，即， 解得，， 当时，即， 解得，， 当点在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分， 综上所述，或． 题型3：最值问题 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图（1），点为平面直角坐标系中两点，过点作交于，交轴于点．且． (1)求直线解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②当面积最小时，求点的坐标和面积． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①线段与数量关系是保持不变，证明见解析；②点，面积是 【分析】（1）根据求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①先证明，根据全等三角形的判定和性质得出；②根据三角形的面积公式可得面积=，从而得到当最小时，的面积最小，则当时，最小，此时的面积最小，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴． 设解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴解析式为； （2）解：①线段与数量关系不变，，证明如下： ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②由①得：， ∵， ∴的面积， ∴当最小时，的面积最小， ∴当时，最小，此时的面积最小， ∵， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 联立得：，解得， ∴； ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键． 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)①；②或8 (3)存在最小值，最小值 【分析】（1）联立方程组：，即可求解； （2）①点Q的横坐标为m，由，得点Q，M，N三点横坐标都为m，即可求解； ②先表示出Q，M，N三点坐标，分两种情况，第一种情形：点N是QM的中点时，第二种情形：点M是QN的中点时，根据中点坐标公式即可求解； （3）在CA上取G，使得，连接，先证，当最小，即B、F、G三点共线时，最小，即可求解. 【解析】（1）解：∵直线与直线交于点P， ∴联立方程组：，解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：①点Q的横坐标为m， ∵， ∴点Q，M，N三点横坐标都为m， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴； ②当时， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴，， 由①知， 第一种情形：点N是QM的中点时，， ， 解得：或16（舍去）； 第二种情形：点M是QN的中点时，， ， 解得：或﹣8（舍去）； 综上，或8； （3）解：存在最小值， 在CA上取点G，使得，连接FG ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于B点，点C为直线与轴的交点， ∴ ， ，， ∵点P的坐标为， ∴点H坐标为， ∴PH垂直平分BD， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ 当最小，即B、F、G三点共线时，最小， 此时最小值． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把的值转化为的值. 题型4：取值范围问题 6．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线l的函数表达式为（b为常数），点，点，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连结，将沿直线l翻折，得，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)求点C的坐标． (2)当点F在y轴上时，求b的值． (3)当与y轴有交点时，求b的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）本题考查旋转的性质与全等三角形的判定与性质，过B作，过C作，根据旋转得到，证明即可得到答案； （2）本题考查轴对称的性质，设点根据轴对称的性质对称轴垂直平分对应点的连线，得到中点在直线上，用表示出，结合折叠相等列式求解即可得到答案； （3）本题考查轴对称的性质，不等式组的应用，及一次函数的应用，分别表示出，的坐标，结合有交点列不等式组求解即可得到答案； 【解析】（1）解：过B作，过C作， ∵绕点A顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵点F在y轴上， ∴设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， 当时，， ∴， ∴ 解得：； （3）解：∵与y轴有交点， ， ∴当点在y轴上时，设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 当点D在y轴上时，设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴． 题型5：动点问题 7．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF． (1)求点C的坐标及直线BC的表达式； (2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标； (3)设点E的坐标为（0，）； ①用表示点F的坐标； ②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】(1)（8，0）；y=-x+8 (2)（0，5）或（0，-3） (3)①（m-4，m-3）；②3≤m≤ 【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可； （2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可； （3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可； ②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围． 【解析】（1）令x=0，则y=8， ∴B（0，8）， 令y=0，则x=-6， ∴A（-6，0）， ∵点D为线段AB的中点， ∴D（-3，4）， ∵△ABC的面积为56， ∴×8×AC=56， ∴AC=14， ∴C（8，0）， 设直线BC的表达式为y=kx+b， ∴， ∴， ∴y=-x+8； （2）设E（0，y）， ∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF， ∴DE=EF，∠DEF=90°， ∵△DEF的面积为5， ∴DE2=5， ∴DE=， ∴， ∴y=3或y=5， ∴E（0，3）或E（0，5）； （3）①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H， ∵∠GED+∠HEF=90°，∠GED+∠GDE=90°， ∴∠GDE=∠HEF， ∵DE=EF， ∴△GDE≌△HEF（AAS）， ∴GE=HF，GD=EH， ∴HF=3，DG=m-4=EH， ∴F点纵坐标m-3，横纵标m-4，   ∴F（m-4，m-3）； ②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴， 此时m-3=0， ∴m=3； 当F在直线BC上时， 此时m-3=-（m-4）+8， ∴m=； ∴3≤m≤时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键． 题型6：平移问题 8．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）已知，一次函数y=x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为（－2，0）． (1)求点A，点B的坐标； (2)过点C作直线CD，与AB交于点D，且，求点D的坐标； (3)连接BC，将△OBC沿x轴向左平移得到△O′B′C′，再将以A，B，B′，C′为顶点的四边形沿O′B′剪开得到两个图形．若用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，求△OBC平移的距离． 【答案】(1)点A的坐标为（－8，0），点B的坐标为（0，4）； (2)（－，）或(，)； (3)2或8或12． 【分析】（1）分别令y=0求x，令x=0求y，可以得到点A，点B的坐标； （2）利用，点A，点B的坐标得到，设点D的横坐标为a，AC边上的高线长为h，则h=|a＋4|=，解出a，从而得到点D的坐标； （3）分三种情况讨论，然后根据剪下的部分和要拼补的部分全等来求平移距离即可． 【解析】（1）解：将y=0代入表达式得：0=x+4， 解得：， 将x=0代入表达式，得：y=4， ∴点A的坐标为（－8，0），点B的坐标为（0，4）． （2）∵点C的坐标为（－2，0）， ∴， ∵， ∴=××8×4=8， 设点D的横坐标为a，AC边上的高线长为h，则h=|a＋4| ∵ ∴h=， ∴=|a＋4|，解得：a=－或－， 当a=－时，a＋4= 当a=－时，a＋4=， ∴点D的坐标为（－，）或(，)． （3）①如图1， ∵要拼成无缝不重叠的三角形， ∴△O'C'B'≌△O'EA， ∴O'A＝O'B'＝OB＝4， ∴OO'＝4＋8＝12， ∴平移的距离为12． ②如图2， ∵要拼成无缝不重叠的三角形，则A与O'重合， ∴OO'=OA=8， ∴平移的距离为8． ③如图3， ∵要拼成无缝不重叠的三角形， ∴△B'BE≌△O'C'E， ∴B'B=O'C'=OC=2， ∴平移的距离为2． 综上所述:平移的距离为2或8或12． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，三角形面积公式，利用全等三角形的性质求长度等知识，掌握分类讨论的技巧，画出辅助线，以及灵活运用数形结合思想是解题的关键． 题型7：翻折问题 9．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D． (1)求点C的坐标和b的值； (2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到． ①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标； ②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积． 【答案】(1)C点坐标为，， (2)①； ②右侧， ；左侧， 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入，即可求出b的值； （2）①先证明，得出P为的中点，再分别求出点B和点D的坐标，根据中点坐标公式，即可得出答案； ②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H，求出，，分两种情况进行讨论，E在H右侧时和E在H右侧时，分别求出点E的坐标和的面积即可． 【解析】（1）解：令，则， ∴C点坐标为， 把代入得：，解得：； （2）解：①由轴对称性质可知：， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴P为的中点， 对于，令，则， ∴， 对于，令，则， ∴， ∴，即 ； ②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H， ∵，， ∴在中，由勾股定理得， 故， ∵， ∴，， ∴根据勾股定理可得：； (Ⅰ)当E在H右侧时，，如图所示： 设，则， 在中，由勾股定理得，，   解得：，     ∴； (Ⅱ) 当E在H左侧时，，此时点P在原点O，如图所示： ∴． 综上， ，或，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，数形结合，并注意分类讨论． 10．（18-19八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E．    (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，或 【分析】（1）先求出点D坐标，再利用待定系数法求解； （2）①当时，，当时，，结合点D和点E的坐标，即可求解；②分“点D落在x正半轴上”和“点D落在y轴的负半轴上”两种情况，根据轴对称的性质分别求解即可． 【解析】（1）解：点D的横坐标为4，点D在一次函数的图象上， 将代入，得， ， 将，代入， 得：， 解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：①将代入，得， ， 将的面积分为两部分时，有两种情况： 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ； 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ， 综上可知，点Q的坐标为或； ②存在，点Q的坐标为或．求解过程如下： 一次函数与y轴的交点坐标为，即， 当点D落在x正半轴上(记为点)时，如图，作轴于点H，连接，   ，， ，， ， 由轴对称的性质得，， 在和中，， ， ， ， ， 轴， 点Q的纵坐标为3， 将代入，得，解得， 点Q的坐标为； 当点D落在y轴的负半轴上（记作)时，如图，过点Q作于M，于N，    由轴对称的性质得，， 平分， ， ，，， ，，， ， ， 解得， ∴点Q的横坐标为． 将代入，得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 题型8：旋转问题 11．（21-22八年级下·浙江金华·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴的垂线，将直线绕点按逆时针方向旋转，旋转角为． (1)若直线经过点，①求线段的长；②直接写出旋转角的度数； (2)若直线在旋转过程中与轴交于点，当、、均为等腰三角形时，求出符合条件的旋转角的度数． (3)若直线在旋转过程中与直线交于点，连，以为边作等边（点、、按逆时针方向排列），连BF．请你探究线段BE，OB与BF之间的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①AC=2；②旋转角的度数为30°； (2)当α=15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形； (3)BE+BF=2OB，理由见解析 【分析】（1）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长； ②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE=∠OAC，由直角三角形的性质，推出∠OAC=30°，由此即可解决问题； （2）由图2、图3、图4、图5可知，当α=15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形； （3）连接AC，证明△ABC为等边三角形，再证明△ACE≌△BCF，利用全等三角形的性质即可求解． 【解析】（1）解：①对于直线y=x+令x=0得y=，令y=0得x=-1， ∴A（0，），B（-1，0）， ∵C（1，0）， ∴AC==2； ②如图1中， ∵CE∥OA， ∴∠ACE=∠ACO， ∵AC=2CO， ∴∠CAO=30°， ∴∠ACE=30°， ∴α=30°； （2）解：由图2、图3、图4、图5可知，当α=15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形． ①如图2中，当α=15°时， ∵CE∥OD， ∴∠ODC=15°， ∵∠OAC=30°， ∴∠ACD=∠ADC=15°， ∴AD=AC=AB， ∴△ADB，△ADC是等腰三角形， ∵OD垂直平分BC， ∴DB=DC， ∴△DBC是等腰三角形； ②当α=60°时，易知∠DAC=∠DCA=30°， ∴DA=DC=DB， ∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形； ③当α=105°时，易知∠ABD=∠ADB=∠ADC=∠ACD=75°，∠DBC=∠DCB=15°， ∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形； ④当α=150°时，易知△BDC是等边三角形， ∴AB=BD=DC=AC， ∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形； （3）解：BE+BF=2OB，理由如下： 连接AC， ∵A（0，），B（-1，0），C（1，0），∠CAO=30°， ∴∠ACO=60°， ∴△ABC为等边三角形， 又△CEF也为等边三角形， ∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=CF，AB=BC=2OB， ∴∠ACE=∠BCF， ∴△ACE≌△BCF， ∴AE=BF， ∴AB=BE+AE=BE+BF=2OB． ， 【点睛】本题考查了坐标与图形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 题型9：动态几何综合 12．（20-21八年级上·浙江湖州·期末）如图1，已知一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是24，是线段上一动点. （1）求一次函数解析式； （2）如图1，将沿翻折得到，当点正好落在直线上时， ①求点的坐标； ②将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的表达式； （3）如图2，上题②中的直线与线段相交于点，将沿着射线向上平移，平移后对应的三角形为，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标. 【答案】（1）；（2）①，②；（3）或 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）①设点坐标为，根据勾股定理，列出关于a的方程，即可求解； ②过点作交于点，过点作轴于点，易证，可得点的坐标是，进而即可求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，分两种情况：①当时，②当时，利用勾股定理，分别列出方程，即可求解． 【解析】（1）令x=0，代入，得y=6， ∴A(0，6)，即：， ∵的面积是24 ∴， ∴点的坐标是， 将点坐标代入解析式，得， ∴一次函数解析式为：；                  （2）①如图，当点落在上时，，且为直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴设点坐标为， 由勾股定理可得：，即，解得：， ∴点的坐标为；                                 ②如图，过点作交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵∠AQE+∠EAQ=90°，∠EAQ+∠PAO=180°-90°=90°， ∴∠AQE=∠PAO， 又∵∠AEQ=∠POA=90°， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 设的解析式为，将点和代入， 求得，. ∴的解析式为：.；                         （3）设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标 ①当时，如图，有 ∴ 解得：， ∴点的坐标为； ②当时，如图，有 ∴ 解得：， ∴点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 题型10：新定义题 13．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l．如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”． (1)已知线段AB，其中点A（1，0），点B（3，0）； ①已知直线l：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴所夹的锐角为_____，点A到直线l的距离为______，点B到直线l的距离为______； ②若线段AB与直线l：y＝﹣x﹣1“k关联”，则k的值不能是______． A.3　　　B.　　　C. 　　　　D.1 ③已知直线．若线段AB与该直线“关联”，求b的取值范围； (2)如图2，已知边长为2的等边△PMN的顶点P（a，0）在x轴上运动，且MN⊥x轴，若该等边三角形与直线y＝x+1“2关联”，求点P横坐标a的取值范围． 【答案】(1)【答题空1-1】；【答题空1-2】；【答题空1-3】 ； ②A；③； (2)或，． 【分析】（1）①求出E，F的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据点A到直线的距离为，点B到直线l的距离为2，即可得到结论； ③如图2中，当直线在点B的上方，且点B到直线的距离为时，，再结合①中结论，可得结论； （2）求出两种特殊位置点P的坐标即可．设直线交y轴于，交x轴于 ．当等边在y轴的右侧时，过点P作于Q，求出此时点P的坐标，当等边在y轴的左侧，且点C到直线MN的距离为2时，同法可得P坐标，利用图象法判断即可． 【解析】（1）解：①对于直线， 令x=0，得到y=-1，令y=0，得到x=-1， ∴直线交y轴于E（0，-1），交x轴于F（-1，0）， ∴OE=OF=1， 如图1中，连接AE． ∵A（1，0）， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴点A到直线l：的距离为， 过点A作直线l：的垂线AG， 同理可得：，． ∵A（1，0），点B（3，0），， ∴， ∴， ∴， ∴点B到直线l：的距离为2． 故答案为：，，2； ②∵点A到直线l：的距离为，点B到直线l：的距离为2， 线段AB与直线l： “k关联”， ∴k的值为：≤2， ∴k的值不能是3． 故选：A； ③如图2中， 由①得，当直线在AB的下方时，点A到直线的距离为时，， 当直线在点AB的上方时，且点B到直线的距离为时，过点B作于H， ∵直线平行于直线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，满足条件的b的值为； （2）解：设直线交y轴于C（0，1），交x轴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当等边在y轴的右侧时，过点P作于Q，如图3， 当PQ=2时，， ∴， ∴ ， 当等边在y轴的左侧，且点N到直线CD的距离为2时，过点P作于 Q，如图4， 当PQ=2时，， ∴， ∴ ． 综上所述，点或， 观察图象可知，满足条件的点P横坐标a的取值范围为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点到直线的距离，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题． 题型11：几何问题在坐标系中求函数表达式 14．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图1，直线AB与坐标轴分别交于A（0，－3），B（－5，0）两点，点C为线段AB的中点，点P是y轴上一点，连接CP，过点C作CP的垂线交线段BO于点Q． (1)求直线AB的函数解析式； (2)如图2，当点Q与点B重合时，连接PQ．求PO的长； (3)如图1，设，．请求m关于n的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标为，，则，设点P的坐标为（0，m），由两点距离公式得到，，由勾股定理得到，则，由此求解即可； （3）先求出点P的坐标为（0，m-3），Q点坐标为（n-5，0），再由两点距离公式求得，，也有勾股定理得，则由此即可得到答案． 【解析】（1）解：设直线AB的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为； （2）解：∵C是AB的中点，A（0，－3），B（－5，0） ∴点C的坐标为，， ∴， 设点P的坐标为（0，m）， ∴，， ∵PC⊥BC，即∠PCB=90°， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为（0，）， ∴； （3）解：∵AP=m，BQ=n， ∴点P的坐标为（0，m-3），Q点坐标为（n-5，0）， ∴，，， ∵PC⊥QC，即∠PCQ=90°， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两点距离公式和勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． 题型12：分段函数 15．（21-22八年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行于x轴的直线与分段函数相交于点A，B两点（点B在点A的右边），点C在AB的延长线上，当点B的纵坐标为3． (1)求AB的长． (2)过点B，C的分段函数图象相交于点M． ①若，求a和k的值． ②如图2，若改为，其它条件不变，经过点B的直线与OA，ME分别交于点D，E，当DB＝BE时，求n的值． 【答案】(1)6 (2)①，2；②17 【分析】（1）A、B两点是分段函数与直线的交点，且已知点B的纵坐标，即可得到点A的纵坐标，代入函数可得A、B两点的坐标，用横坐标相减即可得到AB的长． （2）①，即可得知点C的坐标，将B、C两点的坐标代入，即可算出a和k的值．②可通过求出点D的坐标，再利用DB＝BE，求出点E的坐标，将B、E的坐标代入可以求出分段函数的a和k的值从而得到完整的函数，再将点C的纵坐标代入函数即可求出点C的坐标，最后算出BC之间的距离除以AB即可得到答案． 【解析】（1）∵A、B两点是分段函数与直线的交点，且B的纵坐标为3． ∴A（-3,3），B（3,3） ∴AB=3-（-3）=6． （2）①∵AB=6，且 ∴ ∴C（6,3） 将B（3,3）与C（6,3）代入得： 解得：； ②∵与相交于点D, ∴， ∴解得， ∴ 设点E的坐标为 ∵DB＝BE，且B（3,3） ∴ 解得 ∴ 将B（3,3）与代入可得 ， 解得， ∴分段函数为 将C 的纵坐标3代入可得 解得， ∴ ∵，且AB=6 ∴ ∵ ∴n=17，故答案为17． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，求函数交点坐标，分段函数的方向判断，方程组及函数的基础运算及灵活运用是本题的关键． 题型13：图表素材题 16．（23-24八年级上·浙江金华·期末）浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题． 项目 内容 材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．    材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：    套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元  套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． 任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数． 任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案． 【答案】任务一：（且为整数），（且为整数）；任务二：他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗．任务三：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据购买任意种类包子6个，豆浆2碗，结合套餐中豆浆的数量，再选择购买方式即可； （3）分三种情况依次列不等式进行讨论即可． 【解析】解：任务一：当且为整数，设此时函数解析式为， ∴把代入可得：， 解得：， 此时解析式为， 当且为整数时，设此时函数解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴此时函数解析式为：， 任务二：∵某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，2份，付元，满足题意， 选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，1份，付元， 再购买3个肉包，1份豆浆，付元，满足题意， 选套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，1份，再买4个肉包，付元，符合题意， ∴他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗． 任务三：∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下， ∴肉包买20个，菜包买0个， 设购买豆浆碗， 选择方案一：， 解得：， ∴的最大值为：， 选择方案二：购买20个肉包，赠送了8个菜包， ∴， 解得：， ∴的最大值为：， 选择方案三：选择A套餐10份，则肉包有20个， ∴， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为（碗）， 选择B套餐10份，则肉包有20个， ∴， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为（碗）， 同理可得：选择A，B套餐共10份，购买豆浆的数量不会超过27碗， 综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 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