第六章 计数原理全章综合测试卷（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第六章 计数原理全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 3．（5分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 4．（5分）（24-25高二上·全国·随堂练习）从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（    ） A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 5．（5分）（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（    ） A．432 B．864 C．1728 D．2592 6．（5分）（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式中的系数是（    ） A． B． C．5 D．15 7．（5分）（23-24高二下·四川雅安·期中）若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 8．（5分）（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·吉林·期中）下列说法正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法； C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法． 10．（6分）（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（    ） A．若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法 B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法 C．若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法 D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 .（用数字作答） 13．（5分）（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知，则a被10除所得的余数为 . 14．（5分）（23-24高二下·湖北武汉·期末）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·四川自贡·期中）求解下列问题． (1)求值：； (2)解不等式：； 16．（15分）（24-25高三·上海·课堂例题）用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 17．（15分）（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项． 18．（17分）（23-24高二下·山东·期中）设.求下列各式的值. (1)； (2). 19．（17分）（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．（5分）（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【解题思路】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【解答过程】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D. 3．（5分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【解题思路】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解． 【解答过程】由题意，二项式的展开式的系数与二项式系数相同，即，解得， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项． 故选：B. 4．（5分）（24-25高二上·全国·随堂练习）从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（    ） A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 【解题思路】由分类加法计数原理可求结果. 【解答过程】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次， 则由分类加法计数原理可得共有种不同走法. 故选：B. 5．（5分）（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（    ） A．432 B．864 C．1728 D．2592 【解题思路】先计算甲队的排列总数，分别要用上捆绑法和除序法；然后再利用插空法计算乙队的排列总数，最后利用计数原理计算总的排列方法数即可. 【解答过程】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共为种； 乙队，利用插空法得种； 按照计数原理可知，一共种. 故选：C. 6．（5分）（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式中的系数是（    ） A． B． C．5 D．15 【解题思路】根据二项展开式的通项公式运算求解即可. 【解答过程】， 的展开式的通项为， ， 令可得的系数是, 令可得的系数是, 所以的展开式中的系数是. 故选：A. 7．（5分）（23-24高二下·四川雅安·期中）若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 【解题思路】分别令、所得两式相加可得答案. 【解答过程】令，得； 令，得， 两式相加得 所以. 故选：C. 8．（5分）（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 【解题思路】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【解答过程】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·吉林·期中）下列说法正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法； C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法． 【解题思路】用分步乘法原理判断AB，用隔板法判断C，先组合再排列判断D. 【解答过程】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙， 最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确； 对于B，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有1种不同的分法，故B错误； 对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种，故C正确； 对于D，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组， 最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人， 共有种，故D错误； 故选：AC. 10．（6分）（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二项式定理求的系数判断A，对分别赋值，判断B，C，D. 【解答过程】由，则，因此A正确； 取，则，即，因此B不正确； 取，则，即①，因此C正确； 取，则，即②， ①②得，因此D不正确； 故选：AC. 11．（6分）（24-25高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（    ） A．若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法 B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法 C．若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法 D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法 【解题思路】对于排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，定序问题倍缩法，逐项分析判断即可. 【解答过程】对A：先将4个音乐节目全排列，有种排法； 再把音乐节目捆绑和舞蹈、曲艺看作6个节目，进行全排列，有种排法， 所以共有种排法，A错误； 对B：先从9个位置中选7个位置排好音乐和舞蹈节目，有种排法； 再排曲艺节目，只有一种排法，所以共有种排法，B正确； 对C：先排音乐和曲艺节目，有种排法； 再把3个舞蹈节目排在空位中，有种排法，所以共有种排法，C正确； 对D：先把它们各自排列并捆绑，各自有种排法， 再把它们看做三个元素进行全排列，有种排法，所以共有种排法，D错误． 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 .（用数字作答） 【解题思路】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果. 【解答过程】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 13．（5分）（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知，则a被10除所得的余数为 1 . 【解题思路】首先利用二项式定理化简，再将写成，再利用二项式定理的展开式，即可求解. 【解答过程】 ， ， 所以被10除所得的余数为1. 故答案为：1. 14．（5分）（23-24高二下·湖北武汉·期末）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 96 种． 【解题思路】利用分步计数原理与分类计数原理可得结论. 【解答过程】第一步：从4种颜色中选3种颜色对三个区域着色有种方法， 第二步：对着色分两类，着色有2种方法，对着色有2种方法， 故不同的染色方案共有种． 故答案为：种. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·四川自贡·期中）求解下列问题． (1)求值：； (2)解不等式：； 【解题思路】（1）根据组合数公式求解； （2）根据排列数公式求解. 【解答过程】（1）. （2）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. 16．（15分）（24-25高三·上海·课堂例题）用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 【解题思路】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案； （3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析个位数满足条件的数字计算出正确答案. 【解答过程】（1）由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法， 十位与个位上的数字均有10种选法， 所以不同的三位数共有（个）； （2）百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法， 个位数字应从剩余8个数字中选取， 所以共有（个）无重复数字的三位数； （3）若个位为1或3，则小于500的三位奇数有（个）； 若个位为5或7或9，则小于500的三位奇数有（个）； 所以小于500的三位奇数有． 17．（15分）（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项． 【解题思路】（1）首先根据二项式系数和的公式求，再代入二项式系数最大公式，即可求解； （2）根据通项公式，求有理项. 【解答过程】（1）易知：的展开式的所有二项式系数和为 由题意有，解得.  展开式共6项，二项式系数最大的项为第3项和第4项， 即，； （2）二项式展开式的通项为， 当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为． 18．（17分）（23-24高二下·山东·期中）设.求下列各式的值. (1)； (2). 【解题思路】（1）根据条件，通过赋值，，，即可求出结果； （2）对两边同时求导，得，再令，即可求出结果. 【解答过程】（1）令，可得， 令，得， 令得， 两式相加得， 所以. （2）对两边同时求导得， ， 令可得. 19．（17分）（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$