第七章 复数全章综合测试卷（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（5分）（23-24高一下·安徽六安·期末）若复数与其共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）（2024高一·全国·专题练习）设，其中x，y是实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 6．（5分）（23-24高一下·天津西青·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高一下·广东肇庆·期中）设复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内，对应的点位于第二象限 C．为纯虚数 D． 8．（5分）（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C． D．的最大值为1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 10．（6分）（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，，则的最小值为2 D．若是关于x的方程的根，则 11．（6分）（23-24高一下·江苏宿迁·期末）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 C． D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·北京通州·期中）若复数为纯虚数，则实数 . 13．（5分）（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 . 14．（5分）（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（15分）（23-24高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 17．（15分）（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 18．（17分）（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 19．（17分）（23-24高一下·上海·期末）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据复数的共轭复数的定义判断命题（1），根据实部和虚部的定义判断命题（2），根据复数的几何意义判断（3），根据复数的定义判断（4）. 【解答过程】因为复数 的共轭复数， 若为实数，则，此时，命题（1）正确， 复数 的实部为，虚部为， 复数 的虚部是实数，（2）错误； 因为复数 在复平面上的对应点为， 复平面上的点对应复数，（3）正确； 复数不能比较大小，命题（4）错误， 故选：C. 2．（5分）（23-24高一下·安徽六安·期末）若复数与其共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由复数的计算公式及复数的几何意义即可判断. 【解答过程】设复数，则， 所以，即 所以， 所以 所以复数在复平面上对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3．（5分）（2024高一·全国·专题练习）设，其中x，y是实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】根据复数相等求出的值，根据复数的几何意义，即可求得答案 【解答过程】因为，所以 所以，得， 故 故选：B. 4．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的四则运算求解即可. 【解答过程】， 由于， 所以， . 故选：A. 5．（5分）（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【解题思路】先根据数形结合得出复数的坐标，再根据坐标求出模长即可. 【解答过程】如图可得, 所以, 所以. 故选：A. 6．（5分）（23-24高一下·天津西青·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可. 【解答过程】复数与对应的向量分别是与， . 故选：A. 7．（5分）（23-24高一下·广东肇庆·期中）设复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内，对应的点位于第二象限 C．为纯虚数 D． 【解题思路】利用复数除法运算化简复数z，再对选项一一判断即可得出答案. 【解答过程】依题意，， 对于A，的虚部为，A错误； 对于B，在复平面内，对应的点位于第三象限，B错误； 对于C，不是纯虚数，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 8．（5分）（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C． D．的最大值为1 【解题思路】由，逐一分析四个选项得答案． 【解答过程】由， 可得，是纯虚数，故A错误； ，对应的点的坐标为，位于第一象限，故B错误； ， ，故C正确； ， ， 的最大值为3，故错误． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 【解题思路】根据复数的分类，即可列出方程或不等式，进而判断A,B;根据复数的几何意义，即可列出方程或不等式，进而可以判断C,D. 【解答过程】对于A，若为纯虚数，则，解得，A正确； 对于B，若为实数，则，所以，此时，B正确； 对于C，在复平面内对应的点为， 所以，即，解得或，C错误； 对于D，若在复平面内对应的点在第三象限，则无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误. 故选：AB. 10．（6分）（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，，则的最小值为2 D．若是关于x的方程的根，则 【解题思路】根据复数的运算法则和几何意义，即可求解. 【解答过程】A.设，则，故A正确； B.，故B正确； C.若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点与点的距离，则距离的最小值为，故C正确； D.由题意可知，即， 则，，，故D错误. 故选：ABC. 11．（6分）（23-24高一下·江苏宿迁·期末）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 C． D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则 【解题思路】根据共轭复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可. 【解答过程】解：对于A选项， ， ， 则，选项A正确； 对于B选项，， ， ，， 表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误； 对于C选项， 则 ， ，选项C正确； 对于D选项，可转化为与两点间距离，可转化为与两点间距离， 由于为线段的垂直平分线上的动点， 根据垂直平分线的性质可知与两点间距离等于与两点间距离， 则，选项D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·北京通州·期中）若复数为纯虚数，则实数 1 . 【解题思路】利用纯虚数的定义直接求出值. 【解答过程】依题意，，所以. 故答案为：1. 13．（5分）（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 3 . 【解题思路】借助复数的乘方运算与四则运算法则计算后，结合复数模长公式计算即可得. 【解答过程】因为， 所以，故. 故答案为：3. 14．（5分）（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【解题思路】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【解答过程】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）根据复数的乘除法、乘方运算即可得到答案. 【解答过程】（1）， ； （2） . （3） . 16．（15分）（23-24高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【解题思路】（1）结合实数的概念，即可求解； （2）结合纯虚数的概念，即可求解； （3）结合复数的几何意义，即可求解． 【解答过程】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（15分）（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【解题思路】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【解答过程】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．    18．（17分）（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 【解题思路】（1）根据公式，即可直接得出答案； （2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案. 【解答过程】（1）由已知可得，， 所以，. （2）由已知可设， 则. 所以， . 由已知可得，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 19．（17分）（23-24高一下·上海·期末）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 【解题思路】（1）先设，代入运算即可； （2）由题意可设，则，代入运算即可. 【解答过程】（1）设，由得到， 因为， 则， 整理得， 可得，解得或， 所以或； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，且，互为共轭复数， 设，则，可得，， 因为，即 解得或， 所以或. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$