第5讲 一次方程(组)的解法及其应用（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第二章　方程与不等式(组) 第5讲　一次方程(组)的解法及其应用 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 考点梳理 1.方程的有关概念 (1)方程的定义：含有　　　　的等式； (2)方程的解：使方程两边左右相等的未知数的　　　； (3)方程组的解：组成方程组的每个方程的　　　　. 未知数 值 公共解 目录 对点演练 1.x＝1是下列哪个方程的解(　　) A.6＝5－x B.2x＋2＝3x＋3 C.－1＝ D.x2＝x 2.已知x＝2是关于x的方程7x－a＝5的解，则a的值等于　　. D 9 目录 考点梳理 2.等式的基本性质 (1)性质1：若a＝b，则a±c＝　　　； (2)性质2：若a＝b，则ac＝　　　，＝(c≠0)； (3)性质3(对称性)：若a＝b，则b＝　　； (4)性质4(传递性)：若a＝b，b＝c，则a＝　　. b±c bc a c 目录 对点演练 3.下列等式的基本性质运用错误的是(　　) A.若＝，则a＝b B.若－a＝－b，则2－a＝2－b C.若ac＝bc，则a＝b D.若(m2＋1)a＝(m2＋1)b，则a＝b 4.已知＝，则的值是　　　. C 目录 考点梳理 3.解一元一次方程(5年5考) (1)原理：把原方程化为　　　　的形式； (2)步骤：　　　　；　　　　；　　　；　　　　　　；系数化为1(顺序可以改变)； (3)注意避免漏乘问题、括号问题和符号问题. x＝a 去分母 去括号 移项 合并同类项 目录 对点演练 5.解方程：－＝1. 解：去分母，得3(x＋2)－2(2x－3)＝12， 去括号，得3x＋6－4x＋6＝12， 移项、合并同类项，得－x＝0， 系数化为1，得x＝0. 目录 考点梳理 4.二元一次方程组的解法(5年3考) 二元一次方程组解法 代入 加减 目录 对点演练 6.解方程组： 解： 由①×2＋②，得9＝36，解得＝4， 将＝4代入①，得＝－1. ∴方程组的解为 目录 考点梳理 5.一次方程(组)的应用(5年2考) 列方程解应用题的五个步骤： (1)审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系； (2)设：设未知数(x)，根据实际情况，可设直接未知数(问什么设什么)，也可设间接未知数； (3)列：根据等量关系列出方程； (4)解：解方程，求得未知数的值； (5)答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句. 目录 对点演练 7.(2024·天津)《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为(　　) A.　　　　 B. C. D. A 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点4 例1.(2024·浙江)解方程组： 重难点1　解二元一次方程组 目录 上一级 解： ①×3＋②，得10x＝5，解得x＝， 把x＝代入①，得1－y＝5，解得y＝－4， ∴原方程组的解是 变式1.解方程组： 目录 上一级 解：①＋②，得7x＋7y＝7，即x＋y＝1③， ③×5－①，得3x＝9， 解得x＝3， 把x＝3代入③，得3＋y＝1， 解得y＝－2， ∴原方程组的解是 例2.若方程组与方程组有相同的解，则a，b的 值分别为(　　) A.1，2　　 B.1，0　　 C.，－　　 D.－， 变式2.已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么2a＋b的值是　　. 重难点2　同解问题 目录 上一级 A 4 例3.甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得乙因抄错了b，解得则5a－2b的值是　　. 重难点3　错解问题 目录 上一级 1 变式3.解关于x，y的方程组时，正确的解是由于看错了系数c得到的解是则a＋b＋c的值是　　. 26 例4.某件商品按成本价提高40％后标价，再打八折(标价的80％)销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是(　　) A.40％×80％x＝240　　　　　　 B.40％x＝240×80％ C.240×40％×80％＝x　　　　　 D.(1＋40％)×80％x＝240 重难点4　一次方程(组)的应用 目录 上一级 D 变式4.《九章算术》中记载了这样一个问题，其大意为：“今有5只雀，6只燕分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤.问雀、燕每只各重多少斤？”若设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则 可列方程组为　　　　　　　　. 目录 上一级 例5.(2023·深圳)某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.求A，B玩具的单价. 目录 上一级 解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为(x＋25)元， 由题意，得2(x＋25)＋x＝200， 解得x＝50， 则x＋25＝75. 答：A，B玩具的单价分别为50元、75元. 变式5.(2023·张家界)为拓广学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用甲型客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙型客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示： 目录 上一级   甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 45 60 租金(元/辆) 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 目录 上一级 解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆. 依题意，得解得 答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用13辆45座客车.   甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 45 60 租金(元/辆) 200 300 (2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用较合算？ 目录 上一级 解：∵要使每位师生都有座位， ∴租45座客车14辆，或租60座客车10辆， ∴14×200＝2 800，10×300＝3 000， ∵2 800＜3 000， ∴租14辆45座客车较合算. 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 1.(2024·湖北)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两.牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？”若设每头牛值金x两，每头羊值金y两，则可列方程组是(　　) A. B. C.　　 D. 必过题 目录 上一级 A 2.(2023·永州)关于x的一元一次方程2x＋m＝5的解为x＝1，则m的值为( ) A.3　　 B.－3　　 C.7　　 D.－7 3.(2021·广东)二元一次方程组的解为　　　　. 目录 上一级 A 4.(2022·广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？ 目录 上一级 解：设学生人数为x， 由题意，得8x－3＝7x＋4， 解得x＝7， ∴该书的单价为7×7＋4＝53(元). 答：学生人数为7，该书的单价为53元. 5.(2024·济南)近年来，光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元.求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元. 目录 上一级 解:设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y 万元， 由题意，得解得 答:修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元. 6.(2023·眉山)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为(　　) A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3 提升题 目录 上一级 B 7.(2020·广东)已知关于x，y的方程组与的解相同.求a，b的值. 目录 上一级 解：由题意，得解得 将分别代入ax＋2y＝－10和x＋by＝15， 得解得 ∴a的值为－4，b的值为12. 8.(2024·无锡)某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： 目录 上一级   A型劳动用品(件) B型劳动用品(件) 合计金额(元) 第一次 20 25 1 150 第二次 10 20 800 解：设A型劳动用品的单价为x元，B型劳动用品的单价为y元， 由题意，得解得 答：A型劳动用品的单价为20元，B型劳动用品的单价为30元. 求A，B两种型号劳动用品的单价. 9.(2023·自贡)某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车的载客量. 目录 上一级 解：设该客车的载客量为x人， 由题意，得4x＋30＝5x－10， 解得x＝40. 答：该客车的载客量为40人. 10.(教材改编)幻方最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值是　　　. 培优题 目录 上一级 －5 目录 创新拓展·提升素养 11.阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值.如以下问题：已知实数x，y满足3x－y＝5，2x＋3y＝7，求x－4y和7x＋5y的值.本题常规思路是将3x－y＝5①，2x＋3y＝7②联立组成方程组，解得x，y的值再代入要求值的代数式得到答案.常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得x－4y＝－2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 目录 解决问题： (1)已知二元一次方程组则x－y＝　　，x＋y＝　　　； (2)试说明在关于x，y的方程组中，不论a取什么实数，x＋y的值始终不变. 目录 －1 3 证明： ①＋②，得2x－2y＝4＋2a， 等式两边同时除以2，得x－y＝2＋a，③ ①＋③，得2x＋2y＝6，等式两边同时除以2，得x＋y＝3， ∴不论a取什么实数，x＋y的值始终不变. $$