章节综合训练一 数与式-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

章节综合训练一 数与式 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．（2021·北京丰台·二模）2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）小明在银行中存入10000元，活期月利率为．存入足够长的时间后，通过网络银行他获取了每个月的总存款（包含利息）信息，他惊奇的发现总存款（包含利息）中首数字为a的最多．则a为多少？（    ） A．1 B．2 C．5 D．9 3．（2024·北京·模拟预测）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·二模）如果，那么代数式的值为（    ）． A．2 B．1 C． D． 5．（2013·北京顺义·二模）把代数式分解因式，下列结果中正确的是 A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·北京朝阳·期中）若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是（    ） A．8 B．9 C．10 D．4 7．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京·模拟预测）对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．（2021·北京门头沟·一模）已知且，写出一组符合条件的值 ． 10．（2021·北京平谷·二模）若，则 ． 11．（2023·北京通州·一模）已知n为整数，且，则n等于 ． 12．（2024·北京·模拟预测）分解因式： ． 13．（20-21九年级下·北京昌平·阶段练习）若分式的值为零，则的值为 ． 14．（2024·北京平谷·一模）化简：的结果为 ． 15．（2024·北京西城·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 16．（2021·北京海淀·一模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 三．解答题（共12小题，满分68分，其中17、18、21题每题4分，19、20、22、23、24、25、26、27题每题6分，28题8分） 17．（2024·北京丰台·二模）计算：． 18．（2024·北京西城·三模）计算：． 19．（2024·北京西城·一模）已知 ，求代数式的值. 20．（2024·北京·一模）已知，求代数式的值． 21．（2023·北京海淀·三模）化简： 22．（2024·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 23．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 24．（2024·北京朝阳·一模）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 25．（2020·北京顺义·一模）小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如图为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜． （1）他们点了　 　份A套餐，　 　份B套餐，　 　份C套餐（均用含x或y的代数式表示）； （2）若x＝6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有　 　种点餐方案． 26．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 27．（2020·北京·一模）抗击新冠肺炎期间，某小区为方便管理，为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字1，黑色正方形表示数字0，将第i行第j列表示的数记为ai，j（其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图1中，a1，2＝0．对第i行使用公式Ai＝ai，1×23+ai，2×22+ai，3×21+ai，4×20进行计算，所得结果A1，A2，A3，A4分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图1中，A3＝a3，1×23+a3，2×22+a3，3×21+a3，4×20＝1×8+0×4+0×2+1×1＝9，A4＝0×8+0×4+1×2+1×1＝3，说明该居民住在9层，3号房间，即903号．    （1）图1中，a1，3＝　 　； （2）图1代表的居民居住在　 　号楼　 　单元； （3）请仿照图1，在图2中画出8号楼4单元602号居民的身份识别图案． 28．（2023·北京·二模）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a）、中斜（记为b）和大斜（记为c），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为， （1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求的面积． 深入探究 古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积， ， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用 结合上面学习的知识解决以下问题： （3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章节综合训练一 数与式 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．（2021·北京丰台·二模）2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选：B． 2．（2024·北京·模拟预测）小明在银行中存入10000元，活期月利率为．存入足够长的时间后，通过网络银行他获取了每个月的总存款（包含利息）信息，他惊奇的发现总存款（包含利息）中首数字为a的最多．则a为多少？（    ） A．1 B．2 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是理解总存款由元到元所需要的月份比元到元的月份数多，总存款由元到元所需要的月份比元到元的月份数多，即可判断． 【详解】解：根据活期月利率为，则每个月存款的增长量大约是元，考虑到利息是不断累加的，存款的数额会越来越大，并且随着存入的时间越久，增长的越快， 故总存款由元到元所需要的月份比元到元的月份数多， 首数字为1比首数字为2出现的次数多， 总存款由元到元所需要的月份比元到元的月份数多， 首数字为2比首数字为3出现的次数多， 同理可得； 首数字为8比首数字为9出现的次数多， 所以总存款中首数字为1，出现的次数最多， 故选：A． 3．（2024·北京·模拟预测）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数比较大小，不等式的性质，掌握不等式的性质，有理数的比较大小的方法是解题的关键． 根据，可得互为相反数，可得，，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即互为相反数， ∴， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ，B选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 4．（2023·北京·二模）如果，那么代数式的值为（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用分式混合运算法则是解答本题的关键． 5．（2013·北京顺义·二模）把代数式分解因式，下列结果中正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故选D. 【点睛】本题考查利用提公因式法和公式法因数分解，解决问题的关键是掌握步骤和方法：一提二套三检查． 6．（21-22九年级上·北京朝阳·期中）若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是（    ） A．8 B．9 C．10 D．4 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得出根号内的数大于等于0，再求出x范围，再对四个选项依次判断． 【详解】∵有意义 所以7-x ∴ A项：8>7，故A项不符合题意； B项：9>7，故B项不符合题意； C项：10>7，故C项不符合题意； D项：4<7，故D项符合题意 故选D 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数非负是本题关键． 7．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．（2024·北京·模拟预测）对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 【答案】D 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键是需要理解的含义，解题的过程中，可以先研究人数较少的情况进行判断． 【详解】解：A．根据再同一个社交群中，无论找个相互认识的人，还是找个相互不认识的人，只是换了一种角度，结果相同，故，正确，不符合题意； B．在两个人的情况下，如果两个人相互认识，，如果两个人相互不认识，，故正确，不符合题意； C．在一个8个人的群体中，根据数的性质，必定存在3个人相互认识或者3个人相互不认识，故正确，不符合题意； D．虽然对于较大的数，，计算比较困难，但不意味着不能被计算出来，说法太绝对，故错误，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．（2021·北京门头沟·一模）已知且，写出一组符合条件的值 ． 【答案】x= -2，y=1（答案不唯一） 【解析】根据已知条件写出一组值即可 ． 【详解】解：∵-2+1=1，且|-2|>1， ∴x=-2，y=1为符合条件的一组值， ∵除了x=-2，y=1外，还有其他满足条件的值， 故答案为x= -2，y=1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查开放题的解答，只要根据有理数的加法和绝对值的意义写出一组满足条件的值即可． 10．（2021·北京平谷·二模）若，则 ． 【答案】3 【分析】由求解的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是实数中的非负数的性质，二次根式的乘法，掌握利用非负数的性质求解未知字母的值是解题的关键． 11．（2023·北京通州·一模）已知n为整数，且，则n等于 ． 【答案】 【分析】根据，即可直接求出整数n． 【详解】∵n为整数，且，而 ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查二次根式的取值范围，解题关键是找出二次根式临近的整数来判断二次根式的取值范围． 12．（2024·北京·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的含有公因式，必须先提公因式． 先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（20-21九年级下·北京昌平·阶段练习）若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且 解得： 故答案为：2． 14．（2024·北京平谷·一模）化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算． 【详解】解： 原式 故答案为：． 15．（2024·北京西城·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次公式有意义的条件是解题的关键； 根据被开方数为非负数，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 16．（2021·北京海淀·一模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点． 【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则， ， ， ． 故答案为：9 三．解答题（共12小题，满分68分，其中17、18、21题每题4分，19、20、22、23、24、25、26、27题每题6分，28题8分） 17．（2024·北京丰台·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式，绝对值，负指数幂，特殊的锐角三角函数值逐一进行化简运算即可． 【详解】 解：原式， ， ． 18．（2024·北京西城·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含有三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先计算三角函数值、负整数指数幂、二次根式和绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 19．（2024·北京西城·一模）已知 ，求代数式的值. 【答案】9 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将变形为，最后将以整体的形式代入原式，即得答案． 【详解】 ， ， ， 原式． 20．（2024·北京·一模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算化简原式，再将整理为，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 21．（2023·北京海淀·三模）化简： 【答案】 【分析】先通分，再进行减法运算，最后约分即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查异分母分式的减法．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 22．（2024·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简、代数式求值，先将化简为，根据，得出，代入化简后的式子中计算求值即可，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵ ， ∴， ∴代数式的值． 23．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 24．（2024·北京朝阳·一模）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可； （2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可． 【详解】（1）解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：． （2）解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． 25．（2020·北京顺义·一模）小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如图为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜． （1）他们点了　 　份A套餐，　 　份B套餐，　 　份C套餐（均用含x或y的代数式表示）； （2）若x＝6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有　 　种点餐方案． 【答案】（1）（10﹣y），（10﹣x），（x+y﹣10）；（2）5 【分析】(1)由三种套餐包含的东西，可用含x或y的代数式表示出他们点了三种套餐的份数； (2)由x＝6及A、B、C套餐均至少点了1份，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为整数即可得出结论． 【详解】解：(1)∵B，C套餐都包含一份盖饭和一份凉拌菜， ∴他们点了（10﹣y）份A套餐； ∵A，C套餐都包含一份盖饭和一杯饮料， ∴他们点了（10﹣x）份B套餐； ∴他们点了10﹣（10﹣y）﹣（10﹣x）＝（x+y﹣10）份C套餐． 故答案为：（10﹣y）；（10﹣x）；（x+y﹣10）． （2）依题意，得：， 解得：5≤y≤9． 又∵y为整数， ∴y＝5，6，7，8，9， ∴最多有5种点餐方案． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 26．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 【答案】(1)；；；二 (2)10； 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． （1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，方案二效果更好； 故答案为：，，；二； （2）解：， 当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好， 第一次用 10斤清水，漂洗效果最好， 二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 故答案为：二，． 27．（2020·北京·一模）抗击新冠肺炎期间，某小区为方便管理，为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字1，黑色正方形表示数字0，将第i行第j列表示的数记为ai，j（其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图1中，a1，2＝0．对第i行使用公式Ai＝ai，1×23+ai，2×22+ai，3×21+ai，4×20进行计算，所得结果A1，A2，A3，A4分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图1中，A3＝a3，1×23+a3，2×22+a3，3×21+a3，4×20＝1×8+0×4+0×2+1×1＝9，A4＝0×8+0×4+1×2+1×1＝3，说明该居民住在9层，3号房间，即903号．    （1）图1中，a1，3＝　 　； （2）图1代表的居民居住在　 　号楼　 　单元； （3）请仿照图1，在图2中画出8号楼4单元602号居民的身份识别图案． 【答案】（1）1；（2）11，2；（3）图见解析． 【分析】（1）根据白色正方形表示数字1，黑色正方形表示数字0，第i行第j列表示的数记为，观察图形即可得答案； （2）分别表示居民楼号，单元号，按照题中公式计算即可； （3）按照题中公式及8号楼4单元602房间求出的值，然后画图即可． 【详解】（1）由题意得：表示第一行第三列的数 由图1可知，第一行第三列为白色正方形，表示数字1，则 故答案为：1； （2） 则图1代表的居民居住在11号楼2单元 故答案为：11，2； （3）由题意得：只能等于1或0， 解得 则第一行正方形的颜色依次为白色、黑色、黑色、黑色 解得 则第二行正方形的颜色依次为黑色、白色、黑色、黑色 解得 则第三行正方形的颜色依次为黑色、白色、白色、黑色 解得 则第四行正方形的颜色依次为黑色、黑色、白色、黑色 因此，8号楼4单元602房间居民的身份识别图案如下图所示：    【点睛】本题考查了新定义下的图形变化类规律题，较难的是题（3），掌握理解新定义是解题关键． 28．（2023·北京·二模）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a）、中斜（记为b）和大斜（记为c），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为， （1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求的面积． 深入探究 古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积， ， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用 结合上面学习的知识解决以下问题： （3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3） 【分析】本题考查了使用平方差公式变形整式，三角形的面积与其内切圆的关系等知识，解决问题的关键是变形等式． （1）把，，代入公式求得结果； （2）将秦九韶公式利用平方差公式分解因式，进而得出海伦公式结论； （3）先求出三角形的面积，进而根据三角形面积等于其周长与内切圆的半径之积的一半，列出方程，求得结果． 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∴； （2）证明： 设，则． （3）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设三角形的内切圆半径为r， ∴， ∴， 则这个三角形的内切圆半径为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$