精品解析：山西省晋中市山西现代双语学校南校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024-2025 学年度高一年级上学期第二次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：第四章~第五章5.3. 5．难度系数：0.65. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可. 【详解】因为，，故， 则. 故选：D 3. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（ ） A. 1.5 B. 1.25 C. 1.375 D. 1.4375 【答案】D 【解析】 【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答. 【详解】由表格可知,方程的近似根在内, 又因为,故方程的一个近似根(精确度 0.04)为1.4375. 故选: D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数法可求得原函数的单调递减区间. 【详解】令，， 由，得，即函数的定义域为， 因为函数是关于的递减函数， 函数在上递增，在上递减， 所以函数的单调递减区间是． 故选：C. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据时对应函数值符号及与1的大小关系，结合排除法可得答案. 【详解】当时，恒成立，排除A、B； 由，排除C. 故选：D 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 8. 已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件导出在上单调递增，再利用已知条件将不等式转化为，根据单调性可知当时，有解，从而根据不等式能成立来求解a的取值范围为即可. 【详解】取且即， 因为， 所以， 又当时，有， 所以当时，有， 所以在上单调递增； 而， 又， 所以， 又在上单调递增， 所以， 所以当时，有解，即有解； 令，则，设， 则在上单调递减， 当，即时，，所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是首先明确解抽象函数不等式一定要联想到函数单调性，所以是先设法求解函数的单调性，其次再利用单调性设法将其转化为能成立问题，从而顺利求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数值符号为正的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的象限角的符号判断. 【详解】解：因为是第二象限角，所以，故A正确； 因为是第三象限角，所以，故B正确； 因为是第二象限角，所以，故C正确； 因为是第三象限角，所以，故D正确； 故选：AD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 与角终边相同的最小正角是 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项，化，根据的终边所在象限即可判断； 对于选项，计算得扇形的半径，继而利用扇形的面积公式计算即可； 对于选项，根据终边相同的表示公式进行化简，即可判断； 对于选项，取，验证即可. 【详解】对于选项，且为第二象限角， 为第二象限角，错误； 对于选项，扇形的半径为， 因此，该扇形的面积，正确； 对于选项，因为， 所以与角终边相同的最小正角是，正确； 对于选项，取，则角为锐角， 但，即角为锐角，错误. 故选：BC. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由指数式与对数式的互化可得出，，利用换底公式结合对数运算性质可判断A；由基本不等式可判断B，C，D； 【详解】∵，∴，， ∴，即，∴，A选项正确， ∵，，且，∴，即，C选项正确， ∴， ∴，B选项错误， ，D选项正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】由，令即可得解. 【详解】由题意得，函数，令，即时，解得，即函数的图象过定点. 故答案为：. 13. 已知为第二象限角，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据是第二象限角和三角函数值的符号，判断出 、 的符号，由条件和同角三角函数基本关系求出 的值. 【详解】因为是第二象限角，所以，，又， 所以，即，得， 所以． 故答案为：. 14. 已知函数，若函数存在四个不同的零点，，，，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出的函数图象，根据图象得出m和各零点的范围，然后根据函数图象可求出的范围和的值，即可求出答案． 【详解】解：作出的函数图象如图所示： 由图象可知当时，方程有4个解， 设的4个零点从小到大为， 由函数图象可知 所以， 由函数图象的对称性可知， ∴， 根据对勾函数单调性，时，递减，所以的取值范围为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 化简求值： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用指数运算公式计算即可. （2）运用对数运算公式、换底公式计算即可. （3）运用三角函数诱导公式计算即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 【小问3详解】 . 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点. （1）求与的值： （2）求的值. （3）求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求出与. （2）（3）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算即得. 【小问1详解】 点到原点的距离， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 17. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数a的值； （2）若函数的定义域为，值域为，求实数a的值； （3）若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）2 （2）1或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数型函数定义域的性质，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可； （2）根据对数型函数的值域的性质，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）根据复合函数单调性的性质，结合对数型函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 依题意知的解集为， 所以方程的解为，， 根据韦达定理，得，解得，即实数的值为2. 【小问2详解】 函数的值域为.. 又且函数的定义域为，的最小值. 而，，解得，即， 所以实数的值为1或. 【小问3详解】 在上为增函数，函数在上是减函数， 函数在上为减函数且， ，解得，即， 故实数的取值范围为. 18. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 【答案】（1）选择模型③，，178千人． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据变化情况选择模型，再利用待定系数法求出解析式及函数值. （2）利用（1）的结论建立不等式，分离参数构造函数并求出其最大值即得. 【小问1详解】 由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快， 模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③， 于是，解得， 所以函数模型对应的解析式为， 当时，预测2024年年末的会员人数为千人． 【小问2详解】 由（1）及已知得，对，都有，令，则， 令，则不等式右边等价于函数， 函数在区间上单调递增，因此， 则，所以的最小值为． 19. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年度高一年级上学期第二次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：第四章~第五章5.3. 5．难度系数：0.65. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（ ） A. 1.5 B. 1.25 C. 1.375 D. 1.4375 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的. 假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是. 一年后“进步者”是“退步者”的倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 8. 已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数值符号为正的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 与角终边相同的最小正角是 D. 若角为锐角，则角为钝角 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数过定点________. 13. 已知为第二象限角，，则______． 14. 已知函数，若函数存在四个不同的零点，，，，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 化简求值： （1）； （2）； （3）； 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点. （1）求与的值： （2）求的值. （3）求的值. 17. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数a的值； （2）若函数的定义域为，值域为，求实数a的值； （3）若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 18. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 19. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $