专题02 基本不等式求最值（常考7大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题02 基本不等式求最值 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 题型01 配凑法 1 题型02 常数代换法 2 题型03 变形后常数代换法 3 题型04 消元法 3 题型05 齐次化求最值 4 题型06 双换元法 4 题型07 与其他知识点交汇 5 题型01 配凑法 【解题规律·提分快招】 【典例训练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（    ） A．命题与均为真命题 B．命题与均为真命题 C．命题与均为真命题 D．命题与均为真命题 3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C．6 D． 题型02 常数代换法 【解题规律·提分快招】 利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1）条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求 【典例训练】 一、单选题 1．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（   ） A．20 B．12 C．16 D．25 2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 3．（24-25高三上·重庆·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．12 4．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．5 B．2 C．9 D．8 题型03 变形后常数代换法 【解题规律·提分快招】 1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 【典例训练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）设，若，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D．18 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 题型04 消元法 【解题规律·提分快招】 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25高三上·山东枣庄·期中）已知，为正实数且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 题型05 齐次化求最值 【解题规律·提分快招】 齐次化构造型： 一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解 【典例训练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 题型06 双换元法 【解题规律·提分快招】 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 3．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足且，则的最小值为 4．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 题型07 与其他知识点交汇 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·青海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是 三、填空题 4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列的前项和为，当取最小值时， . 5．（2024·河南新乡·一模）在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为 ． 一、单选题 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若正实数x，y，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C． D． 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 7．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 9．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 10．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知正数 满足 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高三·全国·专题练习）设均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 14．（2024高三·全国·专题练习）对任意，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 17．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 18．（2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 . 19．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则 （用x表示），当的面积最大时， ． 20．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 21．（2024·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式求最值 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 题型01 配凑法 1 题型02 常数代换法 3 题型03 变形后常数代换法 6 题型04 消元法 8 题型05 齐次化求最值 10 题型06 双换元法 11 题型07 与其他知识点交汇 13 题型01 配凑法 【解题规律·提分快招】 【典例训练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】因为， 所以． 当且仅当，即时取等号， 即最小值为， 故选：B. 2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（    ） A．命题与均为真命题 B．命题与均为真命题 C．命题与均为真命题 D．命题与均为真命题 【答案】B 【分析】利用指数函数值域及基本不等式判断，利用基本不等式求出最大值判断即可得解. 【详解】，则，当且仅当时取等号，为真命题； 当时，，当且仅当时取等号，为假命题，为真命题， 所以命题与均为真命题，B正确. 故选：B 3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值. 【详解】令，则， 而函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 故选：D 4．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】将目标式化为，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由，则、， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 故选：C 题型02 常数代换法 【解题规律·提分快招】 利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1）条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求 【典例训练】 一、单选题 1．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（   ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】由条件可知： 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以的最小值为25， 故选：D 2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当时，等号成立. 故选：B 3．（24-25高三上·重庆·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的巧用即可得最值． 【详解】因为正实数，满足， 则， 当且仅当即时，等号成立． 故选：B． 4．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以， 所以， 又，，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值是4. 故选：B. 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．5 B．2 C．9 D．8 【答案】C 【分析】根据，由，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为正实数x，y满足， 所以， 即， 因为， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以，解得， 所以的最大值为9， 故选：C 题型03 变形后常数代换法 【解题规律·提分快招】 1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 【典例训练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）设，若，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9． 故选：B． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即取等号， 故最小值为25， 故选：B 3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】由，利用基本不等式即可求. 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得时等号成立，故的最小值为13. 故选：A 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可知，进而利用基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立. 于是，即. 故的最小值为. 故选：B. 5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 题型04 消元法 【解题规律·提分快招】 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】由解出a，代入，进行适当变形，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】解：因为正数a，b满足， 所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 故选：D 2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得，故， 则， 当且仅当，时取等号，故目标式的最小值为9. 故选：A 3．（24-25高三上·山东枣庄·期中）已知，为正实数且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，将化简再利用基本不等式中“1”的应用即可得出结果. 【详解】由可得，可得， 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立； 又可知符合题意. 故选：D 题型05 齐次化求最值 【解题规律·提分快招】 齐次化构造型： 一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解 【典例训练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，，而， 当且仅当，即时，等号成立，所以． 故选：C 2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 二、填空题 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 题型06 双换元法 【解题规律·提分快招】 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角换元有，即可求其最小值. 【详解】由题设，令且， 所以，显然的最小值为， 当且仅当，即时取最小值. 故选：D 2．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】解法（1）采用三角换元，令，再结合余弦函数的值域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可； 【详解】解法（1）：由， 令，即，， ，即最大值为2； 解法（2）： 当且仅当，即时取等号， ，即最大值为2， 故选：A. 二、填空题 3．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【分析】构造，将代数式换元为，由，得到，再用基本不等式得到最小值. 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 故答案为： 4．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 题型07 与其他知识点交汇 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由四点共面，可知，然后利用基本不等式求解的最大值即可. 【详解】因为四点共面，所以，则，又， 所以，当且仅当时取等号． 故选：B 2．（24-25高三上·青海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线方程及渐近线方程可得，再根据“1”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】由题可知，则， 故， 当且仅当，，即，时，等号成立. 故选：. 二、多选题 3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】设，利用向量线性运算表示出，即可得到，判断选项AB，然后利用基本不等式求最值，即可判断选项CD. 【详解】由题知，设， 则 ， 因为， 所以，则，且，A正确，B不正确； ， 当且仅当时，等号成立，C正确； 又 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 三、填空题 4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列的前项和为，当取最小值时， . 【答案】3 【分析】根据求得，代入结合基本不等式分析最值即可. 【详解】因为， 当时，， 又当时，，满足，故； 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 5．（2024·河南新乡·一模）在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 【答案】 8 / 【分析】根据正余弦定理边角互化可得，进而根据三角形面积公式可得，即可根据基本不等式求解最值，利用余弦定理可得，即可求得答案. 【详解】由和正弦定理可得， 故, ， ，故, 当且仅当，即时取等号， ，故， 此时周长为， 故答案为：8， 6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出的关系，再借助基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，定义域为，， 则， 所以函数为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由，则， 所以，即，则， 又，，则，， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧： （1）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件； （2）利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧. 一、单选题 1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若正实数x，y，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】借助“1”的代换，利用基本不等式求最值可得. 【详解】若正实数x，y，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 2．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】先由函数过定点求出定点坐标，再利用常值代换法，借助于基本不等式即可求得. 【详解】由的图象恒过定点，可得，，则； 因， 当且仅当时等号成立， 由，可解得， 故当时，的最小值为8. 故选：B. 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】结合条件信息可判定此题用基本不等式的乘“”法求最值，同时需注意对所求式子的转换. 【详解】已知正数，满足， 所以， 当且仅当时，等号成立， 又，即时，取得最小值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：基本不等式是求最值的常用方法，使用时注意“一正二定三相等”. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得， 又因为，即，整理可得， 且，，则，可得， 当且仅当，即，时，所以取得最大值． 故选：C. 5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，代入函数，得到，再利用不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为函数，所以， 即，解得， 所以， 当且仅当时取等号. 故选：A 6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】将看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可. 【详解】 设，，故， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 7．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】由条件可得，，变形代数式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为，所以， 因为，，所以， 又， 因为，， 由基本不等式就可得， 当且仅当，时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 9．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意得，然后利用换元法以及平方和不等式可得最小值. 【详解】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 10．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知正数 满足 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和的立方公式计算化简得出得 ，换元得出 ，再结合基本不等式得出 ，最后计算求解即可. 【详解】因为，故原题干等式可转化为 ，得 ， 设 ，则 ，解得 ， 因为 ，所以 ， 解得 或 ，又因为 ， 所以 ，整理得 ，解得 ， 当且仅当 时，等号成立. 因此 ，即 2，所以的取值范围是 . 故选：D. 【点睛】关键点点睛： 解题的关键点是利用换元，结合基本不等式得出关于的高次不等式即可求解. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】由， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：B． 12．（2024高三·全国·专题练习）设均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，根据基本不等式证明，判断充分性，举例说明必要性不成立，由此判断结论. 【详解】因为均为正实数，所以若， 则 故， 当且仅当，，，即，，时等号成立， 所以充分性成立． 当时，可取，但此时，所以必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】应用三角换元，令，且，结合已知、平方关系、和角正弦公式得，进而有，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】，由， 得， 令，且， 所以，有， 即，故， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为是关键. 二、多选题 14．（2024高三·全国·专题练习）对任意，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，B，C运用均值不等式逐一判断即可，对于D，可先将变形成，再利用三角换元通过三角恒等变形化成三角函数即可判断． 【详解】解析  因为， 由可变形为，解得， 当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，， 所以， 因此 ，所以D错误. 故选：BC. 15．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式，结合对数与指数运算和指对函数性质即可计算判断各选项. 【详解】A选项，依题意，，，且， 所以，当且仅当时等号成立.A选项正确. B选项，由A选项分析可知， 所以， 当且仅当时等号成立.B选项正确. C选项，， 当且仅当时等号成立.C选项错误. D选项，， 当且仅当时等号成立.D选项正确. 故选：ABD 三、填空题 16．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由换元法，结合对勾函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】， 令，则时，， ，函数在上单调递减， 若，则， 若，则， 故函数值域为． 故答案为：. 17．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 18．（2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 . 【答案】 6 【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得，的最小值可利用基本不等式可得. 【详解】 因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故答案为：；6 19．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则 （用x表示），当的面积最大时， ． 【答案】 . 【分析】结合图形，折叠后易得，设，利用，即可求得的表示式；依题意，求出的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时的值. 【详解】    如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则， 因矩形的周长为24，则，对折后,易得, 设，则,在中，由勾股定理，， 整理得，即 的面积为， 因，则当且仅当时，， 此时时，. 故答案为：；. 20．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 / 【分析】令，化简得，令，，利用对勾函数的性质求解最值即可． 【详解】令，则，∵，∴， ∴， 令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，，. ∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 故答案为：；. 21．（2024·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将代入可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 所以.又， 所以， 当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$