第一章第02讲 幂的乘方与积的乘方（4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第02讲 幂的乘方与积的乘方 课程标准 学习目标 ①幂的乘方 ②积的乘方 1.理解并掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则； 2.掌握幂的乘方与积的乘方法则的推导过程并能灵活运用. 知识点01 幂的乘方法则 幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【即学即练2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 知识点02 幂的乘方法则逆用公式 幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 【即学即练1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 那么的值为 ． 【即学即练2】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）当，则的值为 ． 知识点03 积的乘方法则 积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 【即学即练1】（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算：． 【即学即练2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算：． 知识点04 积的乘方法则逆用公式 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 【即学即练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【即学即练2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）根据下列条件回答问题 (1)已知，求n的值； (2)已知，，求的值． 题型01 幂的乘方运算 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； 题型02 幂的乘方的逆用 例题：（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 题型03 利用幂的乘方比较大小 例题：（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 题型04 积的乘方运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 题型05 积的乘方的逆用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算：，其中，第一步运算的依据是（   ） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算的结果为 ． 7．（24-25八年级上·吉林四平·期末）计算： ． 8．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，则代数式的值为 ． （2）若均为正整数，且，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）（1），，求的值； （2）若，，求． 15．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）若（且，，是正整数），则．利用上述结论，解决下列问题． (1)若，求的值； (2)请比较，，的大小，并说明理由． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，，求的值． 18．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 19．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 20．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 幂的乘方与积的乘方 课程标准 学习目标 ①幂的乘方 ②积的乘方 1.理解并掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则； 2.掌握幂的乘方与积的乘方法则的推导过程并能灵活运用. 知识点01 幂的乘方法则 幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【即学即练2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点02 幂的乘方法则逆用公式 幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 【即学即练1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 那么的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，逆用同底数幂相乘法则，幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故答案为：． 【即学即练2】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）当，则的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 知识点03 积的乘方法则 积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 【即学即练1】（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、整式的加减运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行积的乘方运算和幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【即学即练2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算：． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，合并同类项，掌握基础运算法则是解本题的关键． 先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 知识点04 积的乘方法则逆用公式 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 【即学即练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律、逆用积的乘方等知识点，掌握是解题的关键． （1）先运用乘法结合律、再逆用积的乘方进行简便运算即可； （2）先变形，然后逆用积的乘方进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【即学即练2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）根据下列条件回答问题 (1)已知，求n的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)25 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则，能正确幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据幂的乘方进行变形，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，求出，再求出答案即可； （2）先根据积的乘方进行变形，再代入求出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， 的 ． 题型01 幂的乘方运算 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘法则，合并同类项，先根据幂的乘方，同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方及同底数幂的乘法是解题的关键； （1）根据幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解； （2）根据幂的乘方及合并同类项可进行求解 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则，是解题的关键： （1）先进行同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再合并同类项即可； （2）先进行幂的乘方的运算，再进行同底数幂的乘法运算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减运算，合并同类项等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 题型02 幂的乘方的逆用 例题：（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18 (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 题型03 利用幂的乘方比较大小 例题：（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据，，由，，得出，根据，即可得出结论． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 题型04 积的乘方运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项 【分析】该题主要考查了幂的乘方和积的乘方以及合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方和积的乘方先算乘方，然后合并即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指数的变化，不能出错． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果； （2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算积和幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05 积的乘方的逆用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】（1）由可得，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解即可． （3）先整理原式等于，再运算括号内，即可作答． 本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方的逆运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴解得． （3） ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方运算法则． 【详解】解：A. ，选项运算错误； B. ，选项运算错误； C. ，选项运算正确； D. ，选项运算错误； 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算：，其中，第一步运算的依据是（   ） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 【答案】D 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查幂的运算，关键是熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【详解】解：∵， ∴其中，第一步运算的依据是积的乘方法则． 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．利用积的乘方与幂的乘方运算法则可得，再根据各字母的指数相等得到，，对两方程求解即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， 解得：，． 故选：A． 4．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查的是同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于熟练掌握幂的公式的逆运算． 根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法逆运算即可求解． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方法则：等于积中每一个因式分别乘方再相乘．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·吉林四平·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 8．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 【答案】16 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据得，将变形为即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：16． 9．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，则代数式的值为 ． （2）若均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】 4 4或5/4或4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可． （1）将所求式化为以为底数的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则，并整体代入可解答． （2）先根据同底数幂的乘法和乘方进行变形∶，得到，由和为正整数进行讨论即可得到答案． 【详解】解：（1）， ． ． 故答案为： 4． （2）， ． ． 均为正整数， 当时，；当时，． 所以或． 故答案为：4或5 三、解答题 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则，成为解答本题的关键． （1）根据同底数幂相乘，合并同类项，计算即可． （2）根据同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，合并同类项运算法则计算即可． 【详解】（1）． （2）． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项． （1）先算积的乘方，然后合并同类项即可； （2）先算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 【答案】(1)0 (2) (3)0 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】此题考查了幂的乘方，同底数的乘法，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算幂的乘方和同底数的乘法，然后合并即可； （2）首先计算同底数幂的乘法，然后合并即可； （3）首先计算幂的乘方和积的乘方的逆运算，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）12；（2） 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由，，可得，，求出、的值即可求解． 【详解】解：（1），， ∴ ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 15．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）27 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】此题考查整式的混合运算． （1）先算乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算整理，再整体代入即可求出． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴ ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）若（且，，是正整数），则．利用上述结论，解决下列问题． (1)若，求的值； (2)请比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，以及同底数幂的乘法，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据幂的乘方的逆用，以及同底数幂的乘法，将化为，再结合则建立等式求解，即可解题； （2）根据幂的乘方的逆用，得到，，，再结合，即可比较，，的大小． 【详解】（1）解：因为，所以， 所以， 解得． （2）解：因为，， ，， 所以． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1）或；（2）21；（3）1 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将依次化成，，求出、的值，代入计算即可得出答案； （2）将式子前部分进行整理成后半部分的形式，再得出等式进行计算即可得出答案； （3）先将等式进行运算得出的值，再利用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以，， 解得，， 所以或． （2）由题意，得， 整理得， 所以，即， 所以． （3）由题意，得， 所以， 解得， 所以． 18．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，以及幂的乘方的逆用； （1）根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果； （2）根据已知可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得 19．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)27； (2)32； (3)． 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）将式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）由题意可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$