第02讲 代数式与整式（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第一章 数与式 第02讲 代数式与整式（3~6分） （思维导图+4考点+3命题点24种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的相关概念 考点二 整式的相关概念 考点三 整式的运算 考点四 因式分解 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式与整式 ►题型01 列代数式 ►题型02 代数式的实际意义 ►题型03 求代数式的值 ►题型04 单项式的系数、次数 ►题型05 单项式的规律探究 ►题型06 多项式的次数、项数 ►题型07 图形类规律探究 ►题型08 数字类规律探究 命题点二 整式的运算 ►题型01 同类项的判断 ►题型02 求同类项中的未知数 ►题型03 合并同类项 ►题型04 整式的加减 ►题型05 添（去）括号 ►题型06 整式加减的应用 ►题型07 幂的基本运算 ►题型08 幂的逆向运算 ►题型09 整式的乘法 ►题型10 整式的除法 ►题型11 乘法公式 ►题型12 乘法公式的几何验证 ►题型13 整式运算的化简求值 命题点三 因式分解 ►题型01 判断因式分解 ►题型02 选用合适的方法因式分解 ►题型03 因式分解的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 代数式的相关概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； ⭐⭐ 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) ⭐⭐⭐ 整式的运算 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 ⭐⭐⭐⭐⭐ 因式分解 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过2次）进行因式分解 ⭐⭐⭐⭐⭐ 考点一 代数式的相关概念 1．代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2．代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1. 代数式中不含有=、≠等符号. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 3．（20-21八年级下·湖北武汉·期中）在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（      ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ． 6．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 7．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示） 考点二 整式相关概念 1．单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。 2．单项式的系数与次数：单项式中的数字因数，称单项式的系数（要包括前面的符号）； 单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数（只与字母有关）。 3．多项式：几个单项式的和叫多项式。 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 5． （整式是代数式，但是代数式不一定是整式）。 1．（2013·山东济宁·中考真题）如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（21-22七年级上·湖北恩施·期末）单项式的次数是 ． 3．（2022·广东·中考真题）单项式的系数为 ． 4．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 5．（2020·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 考点三 整式的运算 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系数无关，与字母的排列顺序无关）。 2．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 3．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 4．整式的加减 ① 整式的加减其实就是合并同类项； ② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号． 5．幂的运算 幂 的 运 算 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an 同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝ 幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n 积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n 6．整式的乘法 ① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC． ③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb． 7．整式的除法 ① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m. 8．乘法公式 ①平方差公式： （1）符号表述： （2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； （3）知识拓展：①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； ②完全平方公式： （1）符号表述：两数和的完全平方公式，两数差的完全平方公式 （2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。 （3）①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； 1．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2019·浙江衢州·中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为 . 4．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 5．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6．（2019·浙江金华·中考真题）当时，代数式的值是 ． 7．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 考点四 因式分解 1．因式分解 ①概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。 ②因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。 ③因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。 2．因式分解的常见方法 ①公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。 ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0） ③用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式） ④用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。 因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 3．（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（    ） A． B． C． D． 4．（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解： ． 6．（2023·浙江·中考真题）（1）分解因式：． 7．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 8．（2021·浙江杭州·中考真题）因式分解：（    ） A． B． C． D． 9．（2023·浙江温州·中考真题）分解因式： ． 命题点一 代数式与整式 ►题型01 列代数式 1．（2024·湖南邵阳·二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2024·吉林松原·二模）在一场篮球比赛中，某运动员共投中个分球，个分球，还通过罚球得到分．在这场比赛中，该运动员一共得了 分（用含、的代数式表示）． 3．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·北京门头沟·一模）“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． ►题型02 代数式的实际意义 5．（2024·河北沧州·二模）对“”解释错误的是（    ） A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8 6．（2023·河北承德·一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（    ） A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元 B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折 C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元 D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折 7．（2023·安徽池州·一模）某产品的成本价为元，销售价比成本价增加了，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是(　　　) A．是2个数a的和 B．是2和数a的积 C．是单项式 D．是偶数 9．（22-23九年级上·广东湛江·期中）代数式的正确含义是（    ） A．5乘y减5 B．y的5倍减去5 C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5 ►题型03 求代数式的值 10．（2023·河南商丘·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 . 11．（2024·海南海口·一模）当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 12．（2024·云南怒江·一模）已知m是方程的根，求代数式的值（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 13．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． ►题型04 单项式的系数、次数 14．（2024·山西朔州·模拟预测）单项式的系数是 ． 15．（2023·广东清远·一模）单项式的次数是 ． 16．（2024·内蒙古包头·三模）若单项式的系数是，次数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·江苏南通·二模）若单项式的系数是m，次数是n，则的值为 ． ►题型05 单项式的规律探究 18．（2024·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第n个单项式是（  ） A． B． C． D． 19．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次复习课上，老师在黑板上写了一串单项式，请你观察规律：，，，，，，猜想老师写出的第个单项式为（   ） A． B． C． D． 20．（2020·浙江宁波·模拟预测）下面是按一定规律排列的代数式：a2，-3a4，5a6，-7a8，…则第8个代数式是 ． ►题型06 多项式的次数、项数 21．（2023·重庆·模拟预测）已知多项式，下列说法正确的是（    ） A．这个多项式是六次五项式 B．常数项是1 C．四次项的系数是 D．按x降幂排列为 22．（2023·海南·模拟预测）多项式是（    ） A．三次三项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．二次二项式 23．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ►题型07 图形类规律探究 24．（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 25．（2024·福建福州·模拟预测）将大小相同的圆点按一定规律摆成如图所示的图案，则第10个图案中圆点的个数是 ．    26．（2024·重庆南岸·模拟预测）按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（    ） A．25块 B．61块 C．85块 D．113块 ►题型08 数字类规律探究 27．（2024·安徽·三模）观察下列等式： ；；；； 根据以上规律，解决如下问题： (1)请填空：； (2)请用含字母a，b的等式表示规律，并验证其正确性． 28．（2023·河北张家口·模拟预测）观察以下等式： ①， ②______， ③______， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式； （4）计算：． 29．（2024·浙江杭州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第5个等式． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 命题点二 整式的运算 ►题型01 同类项的判断 30．（2024·河南新乡·模拟预测）下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·上海徐汇·二模）下列单项式中，与单项式是同类项的是（    ） A． B． C． D． 32．（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 ►题型02 求同类项中的未知数 33．（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 34．（2024·广东东莞·三模）已知单项式与是同类项，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 35．（2023·陕西宝鸡·一模）若单项式与的和仍为单项式，则的值为（　　） A．8 B．6 C．9 D．27 ►题型03 合并同类项 36．（2017·江苏无锡·二模）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·贵州遵义·模拟预测）计算的结果为 ． 38．（2024·浙江杭州·一模）计算： ． ►题型04 整式的加减 39．（2024·河北秦皇岛·一模）已知两个等式，，则的值为（    ） A．3 B． C．9 D． 40．（2024·河北保定·二模）下列式子中，不相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 41．（2024·广东广州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（2024·贵州贵阳·一模）已知多项式 ， (1)求； (2)求． ►题型05 添（去）括号 43．（2024·广西·模拟预测）若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 44．（2024·贵州遵义·模拟预测）计算： ． 45．（2024·天津南开·三模）计算的结果为 ． ►题型06 整式加减的应用 46．（2024·浙江·模拟预测）小江去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题（如图），你选择的办法是（    ） A．先打折，再用券 B．先用券，再打折 C．都一样 D．无法确定，取决于商品价格高低 47．（2024·河北秦皇岛·二模）七（1）班的学生分成三个小组，利用星期日的时间去参加公益活动，第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半． （1）七（1）班共有 名学生； （2）若七（1）班共有45名学生，则的值为 ． 48．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的是2024年2月份的月历，其中“型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（    ）    A．39 B．44 C．65 D．71 49．（2024·安徽合肥·二模）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（    ） A． B．5 C．9 D．10 50．（2024·安徽合肥·二模）某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变， (1)今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示） (2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值． ►题型07 幂的基本运算 51．（2025·山东青岛·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 52．（2024·浙江温州·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 53．（2023·浙江宁波·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（2024·浙江·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 55．（2024·浙江·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 56．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式计算结果为的是（  ） A． B． C． D． 幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. ►题型08幂的逆向运算 57．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ． 58．（2024·浙江宁波·一模）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 59．（2020·浙江杭州·模拟预测）若，，则 ． 60．（2023·浙江宁波·一模）已知，，则的值是（    ） A． B．20 C．10 D．50 61．（2022·浙江嘉兴·一模）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ►题型09 整式的乘法 62．（2024·浙江温州·一模）化简 的结果是（     ）． A． B． C． D． 63．（2023·浙江温州·三模）计算： ． 64．（2024·浙江·一模）（1）计算：． （2）化简：． 65．（2024·浙江杭州·二模）若，求，的值． 66．（2023·浙江杭州·模拟预测）下列各式中无论x取何值，等式一定成立的是(       ) A． B． C． D． 67．（2023·浙江·一模）若规定符号的意义：． (1)计算：_________． (2)若，，则的值为________． ►题型10 整式的除法 68．（2024·浙江温州·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 69．（2024·浙江杭州·二模）计算： ． 70．（2023·浙江温州·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 71．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算（    ） A． B． C． D． 72．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算： ． ►题型11 乘法公式 73．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，请计算代数式的值为 ． 74．（2024·浙江杭州·二模）化简： 圆圆的解答如下： ． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案． 75．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知，则的值是 ． 76．（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ． 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． ►题型12 乘法公式的几何验证 77．（2022·浙江杭州·一模）边长分别为a和b（其中）的两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2ab C． D． 78．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 79．（2020·浙江杭州·模拟预测）两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含、的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图中阴影部分的面积． 80．（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      （1） ； （2） ． 81．（2022·重庆·一模）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 迁移应用： (1)若满足，求的值； (2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． ►题型13 整式运算的化简求值 82．（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 83．（2024·浙江杭州·一模）先化简再求值：，其中． 84．（2023·浙江宁波·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． 85．（2020·浙江杭州·模拟预测）（1）已知，，求的值． （2）设，是否存在实数m，使得能化简为？若能，请求出满足的条件m值；若不能，请说明理由． 86．（2020·浙江杭州·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求的值 命题点三 因式分解 ►题型01 判断因式分解 87．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 88．（2015·江苏南京·二模）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 选用合适的方法因式分解 89．（2024·四川乐山·一模）因式分解： ． 90．（2024·湖南·模拟预测）因式分解： ． 91．（2024·吉林长春·模拟预测）分解因式： ． 92．（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 93．（2023·四川内江·一模）分解因式： ． 94．（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式： ． ►题型03 因式分解的应用 95．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 96．（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如： 第1个数：． 第2个数：． 第3个数：． … (1)设两个连续偶数为和（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？ (2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”． 97．（2024·湖南·模拟预测）已知整式． (1)将整式分解因式； (2)求证：若取整数，则能被整除． 98．（2023·贵州遵义·模拟预测）对任意一个两位数，如果等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数为“平方和数”，若（、为正整数），记．例如：，就是一个“平方和数”，则． (1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算的值；若不是，请说明理由； (2)若是一个“平方和数”， ①设，则________； ②当，求的值． 基础巩固 1．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．第二十届电视剧飞天奖去年有a部作品参赛，今年比去年增加了还多2部，那么今年参赛作品有（　　）部． A． B． C． D． 3．一辆汽车的速度是千米/时，它行驶了小时，下列说法不正确的（   ） A．汽车行驶了千米 B．是单项式 C．的系数是1 D．是一次单项式 4．下列结论正确的是（） A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，没有系数 C．多项式是二次三项式 D．在中，整式有4个 5．多项式的次数及最高次项的系数分别是（   ） A．3，1 B． C． D． 6．已知一个多项式与的和为，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 7．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（   ） A．或5 B．5 C．8 D．8或 9．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．中华美 C．爱我中华 D．美我中华 11．计算： ． 12．化简的结果是 ． 13．若为关于的三次二项式，则的值为 ． 14．若a是方程的一个根，则的值为 ． 15．若，则 （用含的代数式表示）． 16．先化简，再求值：，其中，． 17．计算： (1) (2) 18．因式分解： (1)； (2)． 19．如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留π） (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） (3)当时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到十分位） 20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 21．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 能力提升 22．无论x、y为任何值时，的值都是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 23．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 24．下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 25．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； …… 第个数：． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ） A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 26．因式分解： ． 27．若则a，b，c的大小关系用“”连接为 ． 28．已知，求的值为 ． 29．如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 30．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是 ． 31．先化简，再求值：，其中，． 32．计算： (1)； (2)． 33．【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： ．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【问题解决】将下面的式子分解因式： (1)； (2)． 34．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 35．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 第02讲 代数式与整式（3~6分） （思维导图+4考点+3命题点24种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的相关概念 考点二 整式的相关概念 考点三 整式的运算 考点四 因式分解 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式与整式 ►题型01 列代数式 ►题型02 代数式的实际意义 ►题型03 求代数式的值 ►题型04 单项式的系数、次数 ►题型05 单项式的规律探究 ►题型06 多项式的次数、项数 ►题型07 图形类规律探究 ►题型08 数字类规律探究 命题点二 整式的运算 ►题型01 同类项的判断 ►题型02 求同类项中的未知数 ►题型03 合并同类项 ►题型04 整式的加减 ►题型05 添（去）括号 ►题型06 整式加减的应用 ►题型07 幂的基本运算 ►题型08 幂的逆向运算 ►题型09 整式的乘法 ►题型10 整式的除法 ►题型11 乘法公式 ►题型12 乘法公式的几何验证 ►题型13 整式运算的化简求值 命题点三 因式分解 ►题型01 判断因式分解 ►题型02 选用合适的方法因式分解 ►题型03 因式分解的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 代数式的相关概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； ⭐⭐ 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) ⭐⭐⭐ 整式的运算 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 ⭐⭐⭐⭐⭐ 因式分解 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过2次）进行因式分解 ⭐⭐⭐⭐⭐ 考点一 代数式的相关概念 1．代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2．代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1. 代数式中不含有=、≠等符号. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可． 【详解】解：代数式的意义可以是与x的积． 故选C． 2．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答． 【详解】解：的意义可以是与x的积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 3．（20-21八年级下·湖北武汉·期中）在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（      ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式．依此对每个选项分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：5，a，，是代数式， x=2是等式，不是代数式， m+n＞0是不等式，不是代数式． 故选：B． 【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义，注意等式、不等式与代数式的区别． 4．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求代数式的值，把整体代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：4． 6．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 7．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 考点二 整式相关概念 1．单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。 2．单项式的系数与次数：单项式中的数字因数，称单项式的系数（要包括前面的符号）； 单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数（只与字母有关）。 3．多项式：几个单项式的和叫多项式。 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 5． （整式是代数式，但是代数式不一定是整式）。 1．（2013·山东济宁·中考真题）如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】试题分析：根据多项式次数的定义得到n－2=3，解得：n=5．故选C． 2．（21-22七年级上·湖北恩施·期末）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式的次数是：， 故答案为：． 3．（2022·广东·中考真题）单项式的系数为 ． 【答案】3 【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案． 【详解】的系数是3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义． 4．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 5．（2020·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 【答案】0或8 【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， ，， ，， 或， 或， 或8． 故答案为：0或8． 【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 考点三 整式的运算 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系数无关，与字母的排列顺序无关）。 2．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 3．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 4．整式的加减 ① 整式的加减其实就是合并同类项； ② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号． 5．幂的运算 幂 的 运 算 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an 同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝ 幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n 积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n 6．整式的乘法 ① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC． ③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb． 7．整式的除法 ① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m. 8．乘法公式 ①平方差公式： （1）符号表述： （2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； （3）知识拓展：①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； ②完全平方公式： （1）符号表述：两数和的完全平方公式，两数差的完全平方公式 （2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。 （3）①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； 1．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2023·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据合并同类项法则判断C；根据积的乘方法则判断D即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C．，，计算错误，不符合题意； D． ，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了去括号法则，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 3．（2019·浙江衢州·中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为 . 【答案】3 【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案． 【详解】∵，， ∴. 故答案为3 【点睛】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答． 4．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解． 【详解】 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键． 6．（2019·浙江金华·中考真题）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】先把x2+2xy+y2化为（x+y）2，然后把代入求值即可. 【详解】当时， x2+2xy+y2＝（x+y）2＝. 故答案为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题目的特点，先通过公式将式子变形，然后再代入求值即可． 7．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 考点四 因式分解 1．因式分解 ①概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。 ②因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。 ③因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。 2．因式分解的常见方法 ①公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。 ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0） ③用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式） ④用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。 因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 1．（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】． 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 2．（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的定义判断即可； 【详解】、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； 、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意； 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 4．（2023·浙江·中考真题）（1）分解因式：． 【答案】（1） 【分析】（1）利用提取公因式法分解因式即可； 【详解】解：（1）； 5．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（2021·浙江杭州·中考真题）因式分解：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．（2023·浙江温州·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题． 命题点一 代数式与整式 ►题型01 列代数式 1．（2024·湖南邵阳·二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设购买甲种读本本，则购买乙种读本本，根据总价单价数量，可得答案．本题考查了列代数式，理解题意是关键． 【详解】解：设购买甲种读本本，则购买乙种读本本， 购买乙种读本的费用为， 故选：B． 2．（2024·吉林松原·二模）在一场篮球比赛中，某运动员共投中个分球，个分球，还通过罚球得到分．在这场比赛中，该运动员一共得了 分（用含、的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示式子，熟练掌握用代数式表示式子是解题的关键；． 由题意得：他所得的总分分球的个数分球的个数罚球得分，据此列式解答即可． 【详解】解：解：（分）． 答：他一共得了分． 故答案为． 3．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算等知识．正确表示新矩形的长和宽是解题的关键． 由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为，则新矩形的长为，宽为，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为， ∴新矩形的长为，宽为， ∴新矩形的周长可表示为， 故选：C． 4．（2024·北京门头沟·一模）“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积，代数式表示式，正方形面积，由门洞的通过面积等于正方形的面积加两个圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：该门洞的通过面积为 (平方米)， 故答案为：． ►题型02 代数式的实际意义 5．（2024·河北沧州·二模）对“”解释错误的是（    ） A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的表示方法，代数式“”可以表述为x减去8；x与8的差；x与的和． 【详解】解：A、x与的积表述错误； B、x与的和，表述正确； C、x与8的差，表述正确； D、x减去8，表述正确； 故选：A． 6．（2023·河北承德·一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（    ） A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元 B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折 C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元 D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折 【答案】A 【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解． 【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销， 按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误 按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误 按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键． 7．（2023·安徽池州·一模）某产品的成本价为元，销售价比成本价增加了，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据售价与成本价之间的数量关系得到销售价，再根据销售价的八折得到实际售价． 【详解】解：∵产品的成本价为元，销售价比成本价增加了， ∴产品销售价为：元， ∵因库存积压，按销售价的八折出售， ∴产品的实际售价为：元． 故选． 【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 8．（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是(　　　) A．是2个数a的和 B．是2和数a的积 C．是单项式 D．是偶数 【答案】D 【分析】根据2a的意义，分别判断各项即可. 【详解】解：A、=a+a，是2个数a的和，故选项正确； B、=2×a，是2和数a的积，故选项正确； C、是单项式，故选项正确； D、当a为无理数时，是无理数，不是偶数，故选项错误； 故选D. 【点睛】本题考查了代数式的意义，注意a不一定为整数是解题的关键. 9．（22-23九年级上·广东湛江·期中）代数式的正确含义是（    ） A．5乘y减5 B．y的5倍减去5 C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5 【答案】C 【分析】本题考查了代数式表示的意义，根据代数式的表示意义，即可求解，掌握代数式的表示是解题的关键． 【详解】解：根据题意，表示的意义是y与5的差的5倍， 只有C符合题意， 故选：C ． ►题型03 求代数式的值 10．（2023·河南商丘·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 . 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，求代数式的值，先根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（2024·海南海口·一模）当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式的值．把代入代数式进行求解即可． 【详解】解：把代入代数式得：； 故选：D． 12．（2024·云南怒江·一模）已知m是方程的根，求代数式的值（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得出，再整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． ►题型04 单项式的系数、次数 14．（2024·山西朔州·模拟预测）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数：数字因数，因为单项式，所以系数是，即可作答． 【详解】解：∵单项式， ∴系数是， 故答案为：． 15．（2023·广东清远·一模）单项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的次数，掌握单项式次数为所有字母的指数和是解题的关键． 根据单项式次数的定义即可求解． 【详解】解：单项式次数为所有字母指数和，x的指数为2，y的指数为1，故此单项式次数为， 故答案为：3． 16．（2024·内蒙古包头·三模）若单项式的系数是，次数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得、的值，进而可得的值．解题的关键是掌握单项式的相关定义． 【详解】解：∵单项式的系数是，次数是， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：D． 17．（2024·江苏南通·二模）若单项式的系数是m，次数是n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式有关概念，正确把握定义是解题关键．根据单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵单项式的系数是m，次数是n， ∴，， ∴， 故答案为： ►题型05 单项式的规律探究 18．（2024·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第n个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的规律探究．由所给的单项式可得，系数的符号是，系数的分母是，次数为，则可求第n个单项式为． 【详解】解：由所给的单项式可得，系数的符号是，系数的分母是，次数为， ∴第n个单项式为：， 故选：D． 19．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次复习课上，老师在黑板上写了一串单项式，请你观察规律：，，，，，，猜想老师写出的第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据给出的式子得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个单项式为， 故选：C． 20．（2020·浙江宁波·模拟预测）下面是按一定规律排列的代数式：a2，-3a4，5a6，-7a8，…则第8个代数式是 ． 【答案】 【分析】根据代数式的排列规律：第奇数个的符号为正，第偶数个的符号为负；符号系数的数字部分为连续的奇数；字母的指数为连续的偶数，据此解答即可． 【详解】根据代数式的排列规律可得：第8个代数式是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是探索规律，探索代数式的排列规律时应从符号、系数、指数等方面探索其与序号之间的关系． ►题型06 多项式的次数、项数 21．（2023·重庆·模拟预测）已知多项式，下列说法正确的是（    ） A．这个多项式是六次五项式 B．常数项是1 C．四次项的系数是 D．按x降幂排列为 【答案】D 【分析】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式的相关定义与特点． 根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式；单项式和多项式合称为整式进行分析即可． 【详解】解：对于多项式， A. 这个多项式是五次五项式，故此选项不符合题意； B. 常数项是，故此选项不符合题意； C. 四次项的系数是，故此选项不符合题意； D. 按x降幂排列为，故此选项符合题意； 故选：D． 22．（2023·海南·模拟预测）多项式是（    ） A．三次三项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．二次二项式 【答案】A 【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式的项数为单项式的个数，次数为最高项的次数，进行作答即可． 【详解】解：多项式是三次三项式； 故选A． 23．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的项、系数、次数，整式的加法运算．理解题意并正确的计算整式的加法是解题的关键． 对进行所有“加系数操作”后的多项式的和为，可判断①的正误；由题意知，进行“加系数操作”后可以是； 进行“加系数操作”后可以是；即存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同，可判断②的正误；由题意知，对进行“加系数操作”后的多项式的值为或或，由关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，即；计算出或或的判别式，判断判别式的符号，多项式的值可能为零也可能不为零，并举反例，可判断③错误． 【详解】解：对进行所有“加系数操作”后的多项式的和为，正确，故①符合要求； 由题意知，进行“加系数操作”后可以是； 进行“加系数操作”后可以是； ∴存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同，②正确，故符合要求； 由题意知，对进行“加系数操作”后的多项式的值为或或， ∵关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零， ∴； ∴关于x的二次三项式进行“加系数操作”后的多项式为：或或，其判别式分别为； 而，这两个判别式的符号取决于与的大小，显然“加系数操作”后的多项式的判别式可能为非负，则多项式的值可能为零；例如，多项式的判别式为，则多项式的值不可能为零，但加系数操作后的多项式，其判别式为，此时多项式的值可以为零；故③不正确，故不符合要求； 故正确的有2个； 故选：C． ►题型07 图形类规律探究 24．（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，找出数字的运算规律，利用规律列出一元二次方程解决问题． 【详解】解：第一行有个点，第二行有个点第行有个点， 根据前行共有个点， 可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(舍去)， 的值为． 故答案为： ． 25．（2024·福建福州·模拟预测）将大小相同的圆点按一定规律摆成如图所示的图案，则第10个图案中圆点的个数是 ．    【答案】41 【分析】本题考查归纳推理的应用，注意图案中点个数的规律．根据题意，设第n个图案中，圆点的个数为，归纳分析可得：（n为大于0的整数），进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设第n个图案中，圆点的个数为， 则，，，， 则有， 故，即第10个图案中有41个圆点． 故答案为：41． 26．（2024·重庆南岸·模拟预测）按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（    ） A．25块 B．61块 C．85块 D．113块 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化规律，得到第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是解题的关键． 【详解】∵第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， …， 第n个图案中黑色小正方形地砖的块数， ∴第7个图案中黑色小正方形地砖的块数． 故选：C． ►题型08 数字类规律探究 27．（2024·安徽·三模）观察下列等式： ；；；； 根据以上规律，解决如下问题： (1)请填空：； (2)请用含字母a，b的等式表示规律，并验证其正确性． 【答案】(1)2，6，2，6或3，5，3，5 (2)；证明见解析 【分析】本题考查的是分式运算的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）观察对应位置上的数的特点，可得答案； （2）根据提示直接归纳可得，再证明即可． 【详解】（1）解：；或；（答案不唯一） （2）解：∵；；；； 归纳可得：， 左边右边． 28．（2023·河北张家口·模拟预测）观察以下等式： ①， ②______， ③______， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式； （4）计算：． 【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3）；（4） 【分析】探究：（1）计算出结果即可． （2）根据①②③的规律写出第四个式子即可． 拓展：（1）根据①②③的规律写出第个等式即可． （2）首先提取负号，得出前面的规律式子，两个两个的相减，最后做到即可． 本题考查数字规律，有理数计算，解题关键是计算正确． 【详解】解：探究：（1）①， ②， ③， 故答案为：1，，2，，3 （2）④， 拓展：（1）第个式子：， （2） ． 29．（2024·浙江杭州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第5个等式． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据上述等式，即可得出第5个等式：． （2）第个等式：，证明等式左边等式右边即可． 【详解】（1）解：根据上述等式，可知第5个等式：． （2）解：第个等式：， 证明：等式左边， ∴等式左边等式右边， ∴等式成立． 命题点二 整式的运算 ►题型01 同类项的判断 30．（2024·河南新乡·模拟预测）下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据字母及字母指数都相同的项叫同类项直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 与为同类项， 故选：D． 31．（2024·上海徐汇·二模）下列单项式中，与单项式是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可． 【详解】解：与单项式是同类项的是； 故选C． 32．（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：几个单项式的字母和字母的指数均相同，进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不符合题意； B、是同类项，符合题意； C、不是同类项，不符合题意； D、不是同类项，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查同类项的识别．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键． ►题型02 求同类项中的未知数 33．（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此解答即可． 【详解】若与是同类项， 则， 故选：B． 34．（2024·广东东莞·三模）已知单项式与是同类项，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义求出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 35．（2023·陕西宝鸡·一模）若单项式与的和仍为单项式，则的值为（　　） A．8 B．6 C．9 D．27 【答案】A 【分析】由题意可得两个单项式为同类项从而求得的值，然后代入求值． 【详解】解：单项式与的和仍是单项式， 它们是同类项， ，， 则， 故选A． 【点睛】本题考查同类项，根据同类项的定义，即所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，称为同类项．得出两单项式为同类项是解题的关键． ►题型03 合并同类项 36．（2017·江苏无锡·二模）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 37．（2024·贵州遵义·模拟预测）计算的结果为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，合并同类项得法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 38．（2024·浙江杭州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 根据合并同类项法则合并即可． 【详解】解：． 故答案为：． ►题型04 整式的加减 39．（2024·河北秦皇岛·一模）已知两个等式，，则的值为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握；由第一个等式可得：，再与另一个等式进行加，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴得： 故选：A． 40．（2024·河北保定·二模）下列式子中，不相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，根据整式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 41．（2024·广东广州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、整式加减运算、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、整式加减运算、积的乘方、同底数幂除法逐项判断即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；     B. ，故该选项错误，不符合题意；     C. ，故该选项错误，不符合题意；         D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 42．（2024·贵州贵阳·一模）已知多项式 ， (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加法运算法则计算即可． （2）根据整式的减法法则计算即可． 【详解】（1）                  ； （2）    ． ►题型05 添（去）括号 43．（2024·广西·模拟预测）若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 44．（2024·贵州遵义·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，去括号，根据去括号法则先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】解：， 故答案为： 45．（2024·天津南开·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，利用单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解∶原式， 故答案为∶． ►题型06 整式加减的应用 46．（2024·浙江·模拟预测）小江去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题（如图），你选择的办法是（    ） A．先打折，再用券 B．先用券，再打折 C．都一样 D．无法确定，取决于商品价格高低 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用．设商品标价为元，分别得到先打折，再用券以及先用券，再打折需要支付的费用，再比较即可求解． 【详解】解：设商品标价为元， 先打折，再用券需要支付元， 先用券，再打折需要支付元， ， 即先打折，再用券比先用券，再打折更省钱， 故选：A． 47．（2024·河北秦皇岛·二模）七（1）班的学生分成三个小组，利用星期日的时间去参加公益活动，第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半． （1）七（1）班共有 名学生； （2）若七（1）班共有45名学生，则的值为 ． 【答案】 15 【分析】本题考查列代数式、整式加减运算等知识，根据第一组有学生名，得到第二组的学生人数和第三组的学生人数，三组人数求和即可得到七（1）班学生总数；再由七（1）班共有45名学生，列方程求解即可得到答案，读懂题意，列出代数式及一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：（1）第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半， 第二组的学生人数是人；第三组的学生人数是人， 七（1）班共有名学生； （2）七（1）班共有45名学生， ， 解得； 故答案为：（1）；（2）15． 48．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的是2024年2月份的月历，其中“型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（    ）    A．39 B．44 C．65 D．71 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用，设“型”中间数为，“十字型”中间数为，则，求出，表示出，由图形可得：的最大值为，此时，代入计算即可得出答案． 【详解】解：设“型”中间数为，“十字型”中间数为， 由题意得：,, ∵， ∴， ∴， ∴， 由图形可得：的最大值为，此时， ∴， ∴的最大值为， 故选：B． 49．（2024·安徽合肥·二模）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（    ） A． B．5 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形和长方形的性质，整式加减的应用，设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，根据长方形周长公式分别得出，，由此即可得出答案，正确理解题意求出是解此题的关键． 【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为， ∵两个正方形的周长和为45， ∴， ∴， ∴，， ∵矩形的周长为36， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为9， 故选C． 50．（2024·安徽合肥·二模）某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变， (1)今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示） (2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算． （1）根据题意列式，化简即可得解； （2）根据题意列式，化简即可得解． 【详解】（1）解：今年燃油汽车计划的销量为， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 变形得，， ∴． ►题型07 幂的基本运算 51．（2025·山东青岛·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式的运算；分别根据零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式的运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A .，该选项错误； B.，该选项错误； C.，该选项错误； D.，该选项正确； 故选： D． 52．（2024·浙江温州·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则进行判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 53．（2023·浙江宁波·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整数的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C ． 54．（2024·浙江·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与运用． 利用积的乘方的法则：先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，从而可求解． 【详解】解：． 故选：B． 55．（2024·浙江·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项．根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； 故选：C． 56．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列各式计算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、，故该选项不合题意； C、，故该选项不合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. ►题型08幂的逆向运算 57．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆运算，先利用幂的乘方求出，再利用同底数幂除法的逆运算求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：3． 58．（2024·浙江宁波·一模）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法．利用同底数幂的乘法的法则可求得的值，从而可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 59．（2020·浙江杭州·模拟预测）若，，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵， ====625， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握公式的逆用． 60．（2023·浙江宁波·一模）已知，，则的值是（    ） A． B．20 C．10 D．50 【答案】B 【分析】由负整数指数幂的计算法则可求出，再根据幂的乘方的逆用和同底数幂除法的逆用法则，可将改为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查负整数指数幂，幂的乘方的逆用和同底数幂除法的逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 61．（2022·浙江嘉兴·一模）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】逆用幂的乘方法则可得，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ►题型09 整式的乘法 62．（2024·浙江温州·一模）化简 的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方运算以及单项式乘单项式，先算乘方，再算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解： 故选：D． 63．（2023·浙江温州·三模）计算： ． 【答案】 【分析】根据积的乘方､单项式的乘法运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了积的乘方､单项式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 64．（2024·浙江·一模）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算； （1）先根据立方根和立方、绝对值化简，再计算即可； （2）先根据平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式． （2）原式 65．（2024·浙江杭州·二模）若，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先利用多项式乘多项式的法则进行计算，再根据恒等式，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 66．（2023·浙江杭州·模拟预测）下列各式中无论x取何值，等式一定成立的是(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号，整式的乘法，完全平方公式，平方差公式，根据，及整式乘法法则，去括号的法则直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，故A选项错误，不符合题意， ，故B选项错误，不符合题意， ，故C选项正确，符合题意， ，故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 67．（2023·浙江·一模）若规定符号的意义：． (1)计算：_________． (2)若，，则的值为________． 【答案】(1)5 (2)8或15 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）由题意求得或，根据新定义化简所求式子后整体代入即可得解． 【详解】（1）根据题中的新定义得， ； （2）∵，， ∴， 得， ∴或， 当时，， 当时． ∴的值为8或15． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． ►题型10 整式的除法 68．（2024·浙江温州·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的除法，根据单项式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 69．（2024·浙江杭州·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据整式的除法法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减，即可求出答案． 【详解】 故答案为：． 70．（2023·浙江温州·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方及单项式除法，解题的关键是掌握积的乘方的性质及单项式除法法则，根据法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 71．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式除以单项式的法则解答即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的法则是解题关键． 72．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】首先根据多项式除以一个单项式的计算方法，用多项式的每一项去除以这个单项式，计算即可得解． 【详解】解：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． ►题型11 乘法公式 73．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，请计算代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，由求得的值得到两个代数式的关系，并学会灵活运用是解决此题的关键．把，只需将、的值代入求得结果． 【详解】解：当，时， ， 故答案为：． 74．（2024·浙江杭州·二模）化简： 圆圆的解答如下： ． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案． 【答案】圆圆的解答过程有错误， 【分析】此题考查整式的混合计算，根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误． ． 75．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查消元思想及完全平方公式，熟练掌握消元思想及完全平方公式是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故答案为1． 76．（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，先求出，，再根据计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． ►题型12 乘法公式的几何验证 77．（2022·浙江杭州·一模）边长分别为a和b（其中）的两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2ab C． D． 【答案】A 【分析】由图形可得，阴影部分的面积为大正方形面积加梯形面积再减去直角三角形的面积，即可求解． 【详解】解：由图形可得，阴影部分的面积为大正方形面积加梯形面积再减去直角三角形的面积， 即：， 故选：A 【点睛】此题考查了整式的加减乘除运算，涉及了平方差公式，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积． 78．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解； （2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可； （4）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即， 故答案为：． （2）解：由图可知矩形的长是，宽是，所以面积是， 故答案为：． （3）解：根据阴影部分面积相等可得：， 故答案为：． （4）解： ． 79．（2020·浙江杭州·模拟预测）两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含、的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系可知，=大正方形的面积-小正方形的面积、=两个小正方形的面积和-长为a，宽为b的长方形的面积； （2）根据，将，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，，； （2）解：， ，， ； （3）解：由图可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． 80．（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．      （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据所给的图形，用含，的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键． （1）根据图2中正方形的组成即可解决问题； （2）根据图3长方形的组成即可解决问题． 【详解】解：（1）由题可知，图2正方形的边长为， ∴， 根据长方形的组成得： ， ∴， 故答案为：． （2）由题可知，图3长方形的长和宽为和 ∴， ∴， 故答案为：． 81．（2022·重庆·一模）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 迁移应用： (1)若满足，求的值； (2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)-3 (2) 【分析】（1）根据题意设，，可得，，根据，代入计算即可得出答案； （2）设正方形的边长为，则，，可得，；利用题干中的方法可求得，利用阴影部分的面积等于正方形与正方形的面积之差即可求得结论． 【详解】（1）解：设，，则： ，． ， ． ． ． （2）解：设正方形的边长为，则，， ． 长方形的面积是， ． ， ． ， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，本题是阅读型题目，利用换元的方法解答是解题的关键． ►题型13 整式运算的化简求值 82．（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值；根据单项式乘多项式的法则和平方差公式计算化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 83．（2024·浙江杭州·一模）先化简再求值：，其中． 【答案】，15 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式进行化简，然后代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 84．（2023·浙江宁波·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1），； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值： （1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案； 【详解】解：（1）          ，                               当时，原式；                      85．（2020·浙江杭州·模拟预测）（1）已知，，求的值． （2）设，是否存在实数m，使得能化简为？若能，请求出满足的条件m值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）m=±1 【分析】（1）把a+b=2两边平方，利用完全平方公式化简，将a2+b2=3代入求出ab的值，原式整理后代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号整理后确定出m的值即可． 【详解】解：（1）把a+b=2两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=4， 把a2+b2=3代入得：3+2ab=4，即ab=， ∴=4－2(a+b)+ab=4－4+=； （2）原式=4a2-4ab+b2-a2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2， 当原式化简成12a2时，即7a2+5b2=12a2 5b2=5a2， ∴b=±a 则m=±1． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 86．（2020·浙江杭州·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求的值 【答案】（1），；（2）3． 【分析】（1）先计算整式的乘法，再计算整式的加减法，然后将x的值代入即可得； （2）利用平方差公式即可得． 【详解】（1）原式， ， 将代入得：原式； （2）， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、整式的化简求值、平方差公式，熟练掌握公式和整式的运算法则是解题关键． 命题点三 因式分解 ►题型01 判断因式分解 87．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义即可得． 【详解】A、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解； B、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解； C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解； D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键． 88．（2015·江苏南京·二模）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键． 利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A.等式的右边不是积的形式，故选项错误； B. 等式右边是积的形式且因式分解正确，故选项正确； C.等式的右边不是积的形式，故选项错误； D.等式的右边不是积的形式，故选项错误． 故选：B． ►题型02 选用合适的方法因式分解 89．（2024·四川乐山·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法分解因式的方法是解题的关键．先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 90．（2024·湖南·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法和提公因式法进行因式分解，观察式子，先整理，再运用平方差公式进行因式分解，作答即可． 【详解】解： ． 故答案为： 91．（2024·吉林长春·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的方法，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解，再提取公因式，最后采用十字相乘法进行分解即可． 【详解】解： 故答案为： 92．（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可 【详解】解： 故答案为： 93．（2023·四川内江·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】先把原式分组成，在提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分组分解因式的方法是解题的关键． 94．（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． ►题型03 因式分解的应用 95．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 96．（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如： 第1个数：． 第2个数：． 第3个数：． … (1)设两个连续偶数为和（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？ (2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不是， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、解一元一次方程等知识点，掌握“好数”的定义成为解题的关键． （1）因式分解可得，再结合为奇数即可证明结论； （2）令,解得：.易得2024不是“好数”，再取,代入即可解答． 【详解】（1）解: 这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数,理由如下：. ∵为奇数, ∴由这两个连续偶数构造的“好数”为4的倍数. （2）解：令,解得：. ∵不为整数， ∴2024不是“好数”. 取,代入得2020, ∴小于2024的最大“好数”是2020． 97．（2024·湖南·模拟预测）已知整式． (1)将整式分解因式； (2)求证：若取整数，则能被整除． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）利用配方法把配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可； （）利用（）的结果即可求证； 本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：       ， ， ； （2）证明：取整数， 和均为整数， 又由（）可知，， 能被整除． 98．（2023·贵州遵义·模拟预测）对任意一个两位数，如果等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数为“平方和数”，若（、为正整数），记．例如：，就是一个“平方和数”，则． (1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算的值；若不是，请说明理由； (2)若是一个“平方和数”， ①设，则________； ②当，求的值． 【答案】(1)是， (2)①，②的值为或或． 【分析】本题考查对题干“平方和数”的理解，掌握“平方和数”的概念，以及的运算规律是解题的关键． （1）把13写成两个正整数的平方和，再根据求出即可； （2）①根据题意写出即可； ②设，利用建立等式求解，得到或，再根据条件、为正整数，为两位数，进行取值求解，即可解题． 【详解】（1）解：13是“平方和数”， ， ； （2）①解：由题知，设，则 ， 故答案为：． ②解：设， ， ， ， ， ， 即或， 整理得或， 、为正整数，为两位数， 当时，或，，； 当时，或，，； 当时，或，，； 综上所述，的值为或或． 基础巩固 1．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，把代数式转化为，再代入已知数据计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， 故选：． 2．第二十届电视剧飞天奖去年有a部作品参赛，今年比去年增加了还多2部，那么今年参赛作品有（　　）部． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了列代数式，得到去年作品数与今年作品数的等量关系是解决本题的关键．根据等量关系为：去年作品数今年作品数，把相关数值代入，整理求得去年作品数即可． 【详解】解：∵去年有a部作品参赛，今年比去年增加了还多2部， ∴今年参赛作品有：部． 故选：C． 3．一辆汽车的速度是千米/时，它行驶了小时，下列说法不正确的（   ） A．汽车行驶了千米 B．是单项式 C．的系数是1 D．是一次单项式 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的运用，单项式的概念、系数、次数，掌握单项式的概念，代数式表示数量关系是解题的关键． 根据单项式的系数、次数，代数式表示数量关系的方法进行判定即可求解． 【详解】解：速度是千米/时，它行驶了小时， ∴汽车行驶了千米，故A选项正确，不符合题意； 是单项式，故B选项正确，不符合题意； 的系数是1，故C选项正确，不符合题意； 是二次单项式，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 4．下列结论正确的是（） A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，没有系数 C．多项式是二次三项式 D．在中，整式有4个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式、多项式、代数式等的相关概念，根据单项式、多项式、代数式等的相关概念逐项分析即可得解，熟练掌握单项式、多项式、代数式的相关概念是解此题的关键． 【详解】A．单项式的系数是，次数是3，故原结论错误，不符合题意； B．单项式m的次数是1，系数是1，故原结论错误，不符合题意； C．多项式是三次三项式，故原结论错误，不符合题意； D．在中，整式有，共4个，故原结论正确，符合题意； 故选：D． 5．多项式的次数及最高次项的系数分别是（   ） A．3，1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的次数，系数的意义，即可解答． 【详解】解：多项式的次数是最高次项的次数3，最高次项的系数是． 故选：C． 6．已知一个多项式与的和为，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减运算，根据多项式与的和为，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个多项式是： ， 故选：A． 7．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项及去括号，准确进行计算是关键．根据相关法则计算即可求解． 【详解】解：A．不能合并，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算错误，不符合题意； D．，原式计算正确，符合题意． 故选：D． 8．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（   ） A．或5 B．5 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，根据即可求解． 【详解】解： ， ， 解得或， 故选D． 9．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则列式计算即可求解，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴被墨汁遮住的一项是， 故选：． 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．中华美 C．爱我中华 D．美我中华 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确的因式分解成为解题的关键． 先因式分解，然后确定表示信息即可． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码是由爱，我，中，华这四个字组成的， ∴四个选项中只有C选项符合题意． 故选：C． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式运算法则计算即可求解，掌握多项式除以单项式运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法运算，先去括号，然后合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．若为关于的三次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的命名，根据多项式的概念可知求出该多项式最高次数项为3，项数为2求解即可得到． 【详解】解：∵为关于的三次二项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 15．若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方及积的乘方，解题的关键是熟记幂的乘方及积的乘方法则． 把化为，把代入即可求解． 【详解】解：． ∴， 故答案为：． 16．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算，化简求值，先运用多项式乘多项式展开以及计算多项式除以单项式，再合并同类项，得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ； 把代入， 得． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的乘法运算、负整数指数幂，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （）根据积的乘方、幂的乘方及分式的乘法运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式、完全平方公式展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）直接运用平方差公式即可解答； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留π） (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） (3)当时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到十分位） 【答案】(1)； (2)长方形场地上种草的面积为平方米 (3)该长方形场地上种草的面积为27平方米 【分析】本题主要考查了利用长方形和扇形的面积公式列出代数式，然后利用代数式求值解决实际问题，熟练准确的求出结果是本题的关键． （1）利用长方形和扇形面积公式求解； （2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； （3）由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【详解】（1）解：依题意得小路的面积为平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：，； （2）该长方形场地上种草的面积为： 平方米， 故长方形场地上种草的面积为平方米； （3）当时， 平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）利用两种方法表示出面积，即可得出结论； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②利用（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积可以表示为和， 故； 故选B． （2）①由（1）知：， ∵，， ∴； ② ． 21．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)，时多项式有最小值，最小值4． (3)是等腰三角形． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出，，，即可判断的形状． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ∵， ∴ ∴当，时，有最小值，最小值为4． 即，原式有最小值4． （3） ∴ 则， ∵， ∴，，， 解得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 能力提升 22．无论x、y为任何值时，的值都是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，非负数的应用，将式子写成完全平方式，再判断式子的取值范围即可，解题的关键是将多项式分组，写成非负数的和的形式． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即， ∴的值是正数， 故选：A． 23．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查整式混合运算，已知式子的值求代数式的值．由已知得到，运用整式的混合运算法则对代数式化简变形，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 24．下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，根据合并同类项运算法则判断①，根据单项式乘单项式的运算法则判断②，根据单项式除以单项式的运算法则判断③，根据幂的乘方运算法则判断④，根据同底数幂的除法运算法则判断⑤． 【详解】解：①与不是同类项，不能合并计算，故①不符合题意； ②，原计算正确，故②符合题意； ③，原计算正确，故③符合题意； ④，故④不符合题意； ⑤，故⑤不符合题意； 正确的是②③，共2个． 故选：A． 25．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； …… 第个数：． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ） A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 【答案】D 【分析】本题考了有理数的混合运算、数字类规律探索、有理数的大小比较，由题意得出规律第个数为，再求出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数，比较即可得解． 【详解】解：第1个数：； 第2个数： ； 第3个数： ； …， ∴第个数：， ∴第10个数为、第11个数为、第12个数为、第13个数分别为； ∵， ∴最大的数是第13个数， 故选：D． 26．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将原式化为，然后分组，再根据平方差公式和提公因式法进一步分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 27．若则a，b，c的大小关系用“”连接为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，平方差公式，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据零指数幂的计算法则可求出a；把b变形得到，再利用平方差公式去括号可求出b；把c变形为，进一步变形得到，据此求出c即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 28．已知，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的性质，关键是把原式利用完全平方公式进行整理．根据题意，得到，将已知等式变形为，再利用完全平方公式变形，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴ 故答案为：． 29．如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意，得到大正方形的面积为，因式分解得到，即可得出结果． 【详解】解：这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为的长方形卡片张．现要用这张卡片拼成一个大正方形， 这个大正方形的面积是， ∵， ∴这个大正方形的边长为： 故答案为：． 30．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据一个因式为添加项凑即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 31．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式混合运算及化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先利用整式的混合运算法则进行化简，再将，，代入原式即可求解． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式、平方差公式进行计算，再计算加减即可； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： ．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【问题解决】将下面的式子分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是利用“配方法”分解因式． （1）加16再减16，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可； （2）加再减，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 34．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），． 【分析】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解； （4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴；；． 故答案为：2，4，6； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积； （4）∵， ∴，， ∵矩形的面积是5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． 35．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：原式 （3）解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$