专题11 统计与概率（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题11 统计与概率 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为_____． 【答案】 【详解】设掷出点的概率分别为．由于成等差数列，且，故． 事件“”发生的概率为． 事件“”发生的概率为． 于是． 由于，所以． 2．（2024·全国联赛B卷）一只青蛙在正方形的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的．若青蛙第一次跳跃前位于顶点，则它第6次跳跃后恰好仍位于顶点的概率为_____． 【答案】 【解析】若纵向跳跃6次，概率为； 则横向跳跃6次的概率也为； 若纵向跳跃4次、横向跳跃2次，概率为； 则横向跳跃4次、纵向跳跃2次概率也为． 综上，6次跳跃后回到原点的概率为． 3．（2023·全国联赛A卷）将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为，则事件“”发生的概率为_____． 【答案】 【详解】由于，因此当时，事件“”发生当且仅当“”成立，相应的概率为． 4．（2023·全国联赛B卷）设为正整数．从中随机选出一个数，若事件“”发生的概率为，则的所有可能的值为_____． 【答案】12和18 【详解】注意到为正整数，即． 根据条件，显然． 当时，有，得． 当时，有，得． 综上，的所有可能的值为12和18． 5．（2022·全国联赛A卷）一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9倍，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为_____． 【答案】 【详解】设随机抛掷该硬币一次，得到正面的概率为，得到反面的概率为．根据题意得，故． 从而随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为． 6．（2022·全国联赛A1卷）在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为_____． 【答案】 【详解】这7名学生的任意圆排列有6！种．以下考虑满足条件的圆排列的种数． 先对四名男生进行圆排列，有3！种排法，任意两名相邻男生之间暂视为一个空位，共4个空位；为使三名女生两两不相邻，需挑选3个不同的空位将她们依次排入，有种排法．因此满足条件的圆排列有种． 从而所求概率为． 7．（2022·全国联赛A2卷）在中随机选出三个不同的数，它们两两互素的概率为_____． 【答案】 【详解】考虑三个数两两互素的取法，显然所取的三个数中至多有一个为偶数． 情形一：三个数均为奇数．此时从1，3，5，7，9中选三个数，但不能同时选3和9，有种选法． 情形二：恰有一个偶数，将其记为．若，则从1，3，5，7，9中再选两个数，但不能同时选3和9，有种选法，又有三种可能，所以有种选法；若，则另两个奇数只能从1，5，7中选，有3种选法；若，则另两个奇数只能从1，3，7，9中选，但不能同时选3和9，有种选法．累计得情形二共有种选法． 所以三个数两两互素的取法共有种．又在十个数中任取三个数有种取法，故所求概率为． 8．（2022·全国联赛B卷）一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率为，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为_____． 【答案】 【详解】设随机抛掷该硬币一次，得到正面的概率为． 根据题意得，故．从而随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为． 9．（2022·全国联赛B1卷）将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为_____． 【答案】 【详解】连续掷两次骰子共有种情况，其中对每个，当第一次掷骰子所得点数为时，第二次掷骰子所得点数不小于的情况数为． 从而所求概率． 各省预赛试题汇编 10．（2024·广东预赛）投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第次投中得分为分，若三次均未投中则得分为0分．假设甲同学投篮的命中率为，且甲同学参加投篮测试的投篮次数的均值为1．56，则甲同学投篮测试的得分的均值为_____． 【答案】2.376 【详解】设甲同学参加投篮测试的投篮次数为，则 ，， 于是 ． 另一方面，设甲同学投篮测试的得分为，则 ， 所以． 11．（2024·江苏预赛）有4道选择题，每题有4个选项，其中恰有一个选项正确．某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为_____． 【答案】 【详解】设“该同学恰好答对两题”，由于该同学答对一题的概率为， 所以． 12．（2024·福建预赛）某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为_____． 【答案】 【详解】首先将12名选手分成6组的方法数． 设三个年级选派的选手4人组分别为，考虑组4名选手，与之配对的只能是来自组和组的各2名选手，同时组和组的另2名选手再进行配对，即满足题意的分组方法数．所以每组的2人均来自不同年级的概率为． 13．（2024·吉林预赛）设集合．若的子集满足：若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为_____． 【答案】 【详解】集合非空子集的个数为， 具有性质的的事件含有的基本事件为：，共7个， 所以所取出的非空子集具有性质的概率为． 14．（2024·浙江预赛）设整数，从编号的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为 ． 【答案】 【详解】记为初始状态， 含之一；含之一； 含之一；含之一． 记为从开始到达或所需要得次数，其中为之一． 由定义，并得到以下递推关系 ， ，， 解得：，，． 15．（2024·内蒙古预赛）从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为 ． 【答案】 【详解】从1，2，，11中任取三个不同的数，则不同的组合有共有种， 能构成等差数列不同的组合的有种， 所以这三个数可以构成等差数列的概率为． 16．（2024·上海预赛）现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为 ．（用最简分数表示答案） 【答案】 【详解】显然比赛3局甲赢得胜利的概率; 比赛4局甲赢得胜利的概率; 比赛5局甲赢得胜利的概率， 所以甲赢得胜利的概率为． 17．（2024·重庆预赛）一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生:有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，有的概率分裂成三个．对所有新产生的生物每天也会发生上述事件．假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则至多为 ． 【答案】 【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为， 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为． 由题知，， 从而有，即， 由于，则，得．故至多为． 18．（2023·东莞预赛）已知来自三校的60名学生参加面试，其中校10人，校20人，校30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕后再选择下一位面试．则校学生先于其他两校学生完成面试的概率为_____． 【答案】 【详解】当最后一位面试的是校学生时，去掉所有校学生，此时排在最后一位的一定是校学生，对应事件的概率为； 当最后一位面试的是校学生时，去掉所有校学生，此时排在最后一位的一定是校学生，对应事件的概率为． 所以校学生先于其他两校学生完成面试的概率为． 19．（2023·福建预赛）盒子中有大小、形状完全相同的3个红球和3个白球．现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从盒子中取出几个球，则取出的球中红球个数大于白球个数的概率为_____． 【答案】 【详解】设骰子掷出的点数为，当取出的球中红球个数与白球个数相等时，则有 当取出的球中红球个数与白球个数不相等时，显然红球个数大于白球个数与白球个数大于红球个数的概率相等，故所求事件的概率为． 20．（2023·贵州预赛）已知5名同学分别擅长的学科为语文、数学、物理、化学、历史，现有5份试卷(语文、数学、物理、化学、历史各一份)，老师随机发给每名同学一份试卷，则至少有4名同学得到的试卷与自己擅长的学科不符的概率是_____． 【答案】 【详解】在一个个元素的排列中，若所有元素均不在自己原来的位置上，这样的排列称为原排列的一个错排，个元素的错排数记为． 考虑元素，将它放到位置，一共有种选择：若编号为的元素放到位置，则剩下个元素的放置有种方法；若编号为的元素没有放到位置，则剩下个元素的放置有种方法，即． 设，于是 ． 因此． 如． 回到原题，设“至少有4名同学得到的试卷与自己擅长的学科不符”， 所以． 21．（2023·吉林预赛）已知如下的两组数据：第一组：20，21，22，25，24，23；第二组：． 若两组数据的方差相等，则实数的值为_____． 【答案】21或27 【详解】 将数据分为两层：，其中． 则 于是或27． 22．（2023·山东预赛）小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分．他的目标是至少得7分，7分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率均为，则小张应该做_____道题，及格的概率最大． 【答案】7或9 【详解】小张再做一道题及格的概率为；再做两道题及格的概率为； 再做三道题及格的概率为； 再做四道题及格的概率为， 所以小张应该做7或9道题，及格的概率最大． 23．（2023·上海预赛）将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为2，出现反面记为1，此数与骰子的点数之积记为(例如硬币出现正面，骰子点数为3，则)，那么的数学期望是_____． 【答案】 【详解】 ， 所以． 24．（2023·苏州预赛）已知某公交始发站有三种班次的车在上午六点同时发车，且发车的时间间隔依次为10分钟，12分钟，15分钟．若小明在上午八点到十二点之间某一时刻到达始发站乘坐这三种班车之一，则小明平均等车的时间为_____分钟。 【答案】 【详解】，则，于是只需考虑一个小时的情况即可． 如上图所示，在区间和上的平均等车时间为5分钟；在区间和上的平均等车时间为1分钟；在区间和上的平均等车时间为1．5分钟；在区间和上的平均等车时间为2．5分钟；在区间和上的平均等车时间为2分钟；在区间和上的平均等车时间为3分钟． 所以小明平均等车的时间为分钟． 25．（2023·重庆预赛）一只蚂蚁在正方体的顶点处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一个，那么六次爬行之后回到顶点的概率为_____． 【答案】 【详解】如图，将8个顶点分为4组：，． 设第次爬行后蚂蚁在4个集合对应顶点处的概率分别为，则 ． 于是 ； 所以六次爬行之后回到顶点的概率为． 26．（2022·重庆预赛）将一枚骰子连续投掷五次，则事件“五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数”的概率为_____． 【答案】 【详解】依题意，五次出现的点数至少有2个，至多有4个， 当点数为2个时，若呈1，4分布，排列数为；若呈2，3分布，排列数为； 当点数为3个时，若呈1，1，3分布，排列数为；若呈1，2，2分布，排列数为；当点数为4个时，排列数为． 设所求事件为，则 27．（2022·浙江预赛）掷一枚不均匀的硬币5次，若恰有1次正面与恰有2次正面的概率相等且不为零，则恰好出现3次正面的概率为_____． 【答案】 【详解】设掷该不均匀硬币1次得到正面的概率为，则 ，所以掷该不均匀硬币5次，恰好出现3次正面的概率 28．（2022·福建预赛）从这11个正整数中任意抽取3个不同的正整数，则它们的积能被4整除的概率为_____． 【答案】 【详解】记“abc能被4整除”， 则． 29．（2022·甘肃预赛）袋子中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出2张纸币，则中剩下的纸币的面值之和大于中剩下的纸币的面值之和的概率为_____． 【答案】 【详解】中取出2张纸币的面值之和小于中取出2张纸币的面值之和，由于中取出2张纸币的面值之和的最大值为10元，则中取出2张纸币中不能包含10元，而此时中取出2张纸币中至少包含1张5元，所以事件“中剩下的纸币的面值之和大于中剩下的纸币的面值之和”的概率为． 30．（2022·苏州预赛）已知第一只口袋里有2个白球，3个红球，5个黄球，第二只口袋里有2个白球，4个红球，4个黄球，若从两个口袋中各取一球，则取出的球颜色不同的概率是_____． 【答案】 【详解】设“从两个口袋中各取一球，取出的球颜色不同”，则 31．（2022·贵州预赛）如图，“爱心”是由曲线和所围成的封闭图形，在区域内任取一点，则取自“爱心”内的概率_____． 【答案】 【详解】由于，则“爱心”的面积为的面积是，所以取自“爱心”内的概率． 32．（2024·贵州预赛）一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为，若关于的三次方程1)有三个互不相等的实数根，求满足条件的有序数对(a, b)的概率． 【答案】 【详解】， 则且． 于是时， 时，； 时， 时， 时，； 时，， 满足条件的(a，b)有27对． 设“方程有三个互不相等的实数根”， 所以． 33．（2023·内蒙古预赛）某城市采用摇号买车的方式，有30万人摇号，每个月有3万个名额． (1)如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有3万人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间? (2)在(1)的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第一个月摇上的概率为，第二个月摇上的概率为，第三个月摇上的概率为，则平均每个人摇上号需要多长时间? 【答案】(1)10个月 (2)10个月 【详解】(1)记为某人第个月摇上号的概率，则． 于是 ， 所以． (2)依题意， ， 于是 所以． 34．（2022·甘肃预赛）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，，第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)，若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束．设棋子跳到第站的概率为． (1)求的值； (2)求证：，其中； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【详解】(1)． (2)若棋子上一站在第站，则其跳到第站的概率为；若棋子上一站在第站，则其跳到第站的概率为，无其它可能性．又棋子跳到第99站后游戏结束，则有 ，于是． 所以，其中． (3)由(2)知， 则， 于是． 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题11 统计与概率 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为_____． 2．（2024·全国联赛B卷）一只青蛙在正方形的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的．若青蛙第一次跳跃前位于顶点，则它第6次跳跃后恰好仍位于顶点的概率为_____． 3．（2023·全国联赛A卷）将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为，则事件“”发生的概率为_____． 4．（2023·全国联赛B卷）设为正整数．从中随机选出一个数，若事件“”发生的概率为，则的所有可能的值为_____． 5．（2022·全国联赛A卷）一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9倍，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为_____． 6．（2022·全国联赛A1卷）在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为_____． 7．（2022·全国联赛A2卷）在中随机选出三个不同的数，它们两两互素的概率为_____． 8．（2022·全国联赛B卷）一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率为，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为_____． 9．（2022·全国联赛B1卷）将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为_____． 各省预赛试题汇编 10．（2024·广东预赛）投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第次投中得分为分，若三次均未投中则得分为0分．假设甲同学投篮的命中率为，且甲同学参加投篮测试的投篮次数的均值为1．56，则甲同学投篮测试的得分的均值为_____． 11．（2024·江苏预赛）有4道选择题，每题有4个选项，其中恰有一个选项正确．某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为_____． 12．（2024·福建预赛）某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为_____． 13．（2024·吉林预赛）设集合．若的子集满足：若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为_____． 14．（2024·浙江预赛）设整数，从编号的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为 ． 15．（2024·内蒙古预赛）从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为 ． 16．（2024·上海预赛）现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为 ．（用最简分数表示答案） 17．（2024·重庆预赛）一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生:有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，有的概率分裂成三个．对所有新产生的生物每天也会发生上述事件．假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则至多为 ． 18．（2023·东莞预赛）已知来自三校的60名学生参加面试，其中校10人，校20人，校30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕后再选择下一位面试．则校学生先于其他两校学生完成面试的概率为_____． 19．（2023·福建预赛）盒子中有大小、形状完全相同的3个红球和3个白球．现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从盒子中取出几个球，则取出的球中红球个数大于白球个数的概率为_____． 20．（2023·贵州预赛）已知5名同学分别擅长的学科为语文、数学、物理、化学、历史，现有5份试卷(语文、数学、物理、化学、历史各一份)，老师随机发给每名同学一份试卷，则至少有4名同学得到的试卷与自己擅长的学科不符的概率是_____． 21．（2023·吉林预赛）已知如下的两组数据：第一组：20，21，22，25，24，23；第二组：． 若两组数据的方差相等，则实数的值为_____． 22．（2023·山东预赛）小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分．他的目标是至少得7分，7分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率均为，则小张应该做_____道题，及格的概率最大． 23．（2023·上海预赛）将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为2，出现反面记为1，此数与骰子的点数之积记为(例如硬币出现正面，骰子点数为3，则)，那么的数学期望是_____． 24．（2023·苏州预赛）已知某公交始发站有三种班次的车在上午六点同时发车，且发车的时间间隔依次为10分钟，12分钟，15分钟．若小明在上午八点到十二点之间某一时刻到达始发站乘坐这三种班车之一，则小明平均等车的时间为_____分钟。 25．（2023·重庆预赛）一只蚂蚁在正方体的顶点处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一个，那么六次爬行之后回到顶点的概率为_____． 26．（2022·重庆预赛）将一枚骰子连续投掷五次，则事件“五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数”的概率为_____． 27．（2022·浙江预赛）掷一枚不均匀的硬币5次，若恰有1次正面与恰有2次正面的概率相等且不为零，则恰好出现3次正面的概率为_____． 28．（2022·福建预赛）从这11个正整数中任意抽取3个不同的正整数，则它们的积能被4整除的概率为_____． 29．（2022·甘肃预赛）袋子中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出2张纸币，则中剩下的纸币的面值之和大于中剩下的纸币的面值之和的概率为_____． 30．（2022·苏州预赛）已知第一只口袋里有2个白球，3个红球，5个黄球，第二只口袋里有2个白球，4个红球，4个黄球，若从两个口袋中各取一球，则取出的球颜色不同的概率是_____． 31．（2022·贵州预赛）如图，“爱心”是由曲线和所围成的封闭图形，在区域内任取一点，则取自“爱心”内的概率_____． 32．（2024·贵州预赛）一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为，若关于的三次方程1)有三个互不相等的实数根，求满足条件的有序数对(a, b)的概率． 33．（2023·内蒙古预赛）某城市采用摇号买车的方式，有30万人摇号，每个月有3万个名额． (1)如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有3万人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间? (2)在(1)的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第一个月摇上的概率为，第二个月摇上的概率为，第三个月摇上的概率为，则平均每个人摇上号需要多长时间? 34．（2022·甘肃预赛）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，，第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)，若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束．设棋子跳到第站的概率为． (1)求的值； (2)求证：，其中； (3)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$