专题12 计数原理（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题12 计数原理 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）若三个正整数的位数之和为8，且组成的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a, b, c)为“幸运数组”，例如(9, 8, 202400)是一个幸运数组．满足的幸运数组(a, b, c)的个数为_____． 【答案】591 【详解】对于幸运数组(a，b，c)，当时，分两类情形讨论． 情形1：是两位数，是三位数． 暂不考虑的大小关系，先在的非最高位(五个位置)中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4，8，9，这样的填法数为．再考虑其中的大小关系，由于不可能有，因此与的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组． 情形2：是两位数，是四位数． 暂不考虑的大小关系，类似于情形1，先在的非最高位(五个位置)中选三个位置填0，剩下五个位置填2，2，4，8，9，这样的填法数为600．再考虑其中的大小关系．若，则必有的四个数字是0，4，8，9的排列，且0不在首位，有种填法，除这些填法外，与的填法各占一半，故有个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为． 2．（2024·全国联赛B卷）若三个正整数的位数之和为8，且组成的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a, b, c)为“幸运数组”，例如(9, 8, 202400)是一个幸运数组．满足的幸运数组(a, b, c)的个数为_____． 【答案】291 【解析】暂不考虑的大小关系，先在的非最高位(五个位置)中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置写4，8，9，这样的填法数为．再考虑的大小关系，若，则必有，此时的四个数字是0，4，8，9的排列，且0不在首位，有种填法，除这些填法外，与的填法各占一半，故有个满足要求的幸运数组． 3．（2023·全国联赛A卷）八张标有的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边(例如可按的次序取走卡片，但不可按的次序取走卡片)，则取走这八张卡片的不同次序的数目为_____． 【答案】392 【详解】如左下图重新标记原图中的八张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的阶图在时的特殊情况． 取卡片(顶点)的规则可解释为： (i)若顶点已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完； (ii)若顶点未取走，则必为某个的情形，此时若，则将视为-1号顶点，归结为(i)的情形；若，则将视为1号顶点，归结为(i)的情形；若，则当前可取或号顶点或号顶点，分别归结为(i)或或的情形． 设的符合要求的顶点选取次序数为，本题所求即为． 由(i)、(ii)知，且 由此可依次计算得，，即所求数目为392． 4．（2023·全国联赛B卷）七张标有的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边(例如可按的次序取走卡片，但不可按的次序取走卡片)，则取走这七张卡片的不同次序的数目为_____． 【答案】164 【详解】如左下图重新标记原图中的七张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个七阶图，该图可视为右下图中的阶图在时的特殊情况． 取卡片(顶点)的规则可解释为： (i)若顶点已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完； (ii)若顶点未取走，则必为某个的情形，此时若，则将视为-1号顶点，归结为(i)的情形；若，则将视为1号顶点，归结为(i)的情形；若，则当前可取或号顶点或号顶点，分别归结为(i)或或的情形． 设的符合要求的顶点选取次序数为，本题所求即为． 由(i)、(ii)知，且 由此可依次计算得，，即所求数目为164． 5．（2022·全国联赛A卷）一个单位方格的四条边中，若有两条边染了颜色，另两条边分别染了异于色的另两种不同颜色，则称该单位方格是“色主导”的．如图，一个方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得红色主导、黄色主导、蓝色主导的单位方格各有一个．这样的染色方式数为_____(答案用数值表示)． 【答案】1026 【详解】简称单位方格为“方格”．对符合题意的染色方式，显然有以下结论： (1)当一个方格已有一边被染为某种颜色，若该方格为色主导，则另三边恰有种染法；若该方格为色主导，则另三边恰有3种染法． (2)当一个方格已有两边被染为某种颜色，该方格只可能为色主导，另两边恰有2种染法． (3)当一个方格已有两边被染为某两种颜色，若该方格为色或色主导，则另两边恰有两种染法；若该方格为色主导，则另两边有唯一染法． 由对称性，仅需求出左、中、右方格分别为红色、黄色、蓝色主导的染色方式数，则本题结果为．将一种染色方式归为“”类，如果左边、中间方格的公共边染为颜色，中间、右边方格的公共边染为颜色．利用上述结论(1)、(2)、(3)，可知各类染色方式数如下表所示： 因此有．进而本题所求结果为． 6．（2022·全国联赛A1卷）在矩阵中，每个元素都为0或1，且满足：五行的元素之和都相等，但五列的元素之和两两不等．这样的矩阵的个数为_____(答案用数值表示)． 【答案】26400 【详解】设矩阵的所有元素之和为．由于五行的元素之和都相等，故．又五列的元素之和两两不等，故． 所以或15．于是只有以下两类情形： (1)，此时每行有2个1，其余为0，各列中1的个数为、4的排列； (2)，此时每行有2个0，其余为1，各列中0的个数为0、1、2、3、4的排列． 对于情形(1)，不妨先考虑对任意，第列中恰有个1，且第2列中的1位于第1行的矩阵，设这样的矩阵有个(则由对称性，符合情形(1)的矩阵有个)． 若第5列中的0在第1行，则第3列的2个1可任选位置，第4列的3个1必须与第3列的2个1两两不同行，这种矩阵有个． 以下设第5列中的0在第行处．此时，在第3、4列中，第1行处必须都为0，第行处必须都为1，然后，第3列中的另一个1可在除第1、第行外的剩下三个位置中任选一处，第4列中的另两个1的位置随之确定(必须与第3列的1不同行)，这种矩阵有个． 所以，从而符合情形(1)的矩阵有个． 同理，符合情形(2)的矩阵也有13200个． 综上，所求的矩阵的个数为． 7．（2022·全国联赛B卷）一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的．如图，一个方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的．这样的染色方式数为_____(答案用数值表示)． 【答案】5184 【详解】简称单位方格为“方格”． 引理：当一个方格已有一条边被染色后，对另三条边恰有12种染法使得该方格是多彩的． 事实上，不妨设已染色的边为红，则另三条边可以是红、黄、蓝的排列，也可以是两黄一蓝或两蓝一黄，共种染法． 先染左边方格与中间方格的公共边，有3种染法． 然后完成左边方格的染色，根据引理，有12种染法． 同理，完成中间方格的染色有12种染法． 此时右边方格已有一条边被染色，故有12种染法完成此方格的染色． 由乘法原理，符合题意的染色方式数为． 8．（2022·全国联赛B1卷）有四所学校的学生参加一项数学竞赛，每所学校派出3名选手．组委会要抽选其中若干名选手做一项调研，要求任意两所学校被抽中的选手数之和至少为1、至多为3，则不同的抽选方式数为_____(结果用数值表示)． 【答案】837 【详解】将四所学校被抽中的选手数从小到大依次记为，则有．故(否则，矛盾)且(否则，矛盾)，于是必有．此时只能为0或1，只能为1或2． 易验证均符合题意． 当时，指定一所学校无选手被抽中，在剩下三校中各抽1名选手，由乘法原理知有种抽选方式． 当时，每所学校各抽1名选手，有种抽选方式． 当时，指定一所学校有2名选手被抽中，再抽该校的2名选手及剩下三校各1名选手，共种抽选方式． 当时，依次指定两所学校，第一所无选手被抽中，第二所有2名选手被抽中，再于第二所学校抽2名选手，剩下两校各抽1名选手，有种抽选方式． 综上，满足条件的抽选方式数为． 9．（2022·全国联赛A2卷）给定整数．对于一个元有序数组，若的每个分量均为0或1，且对任意，均有且，则称为“有趣数组”．求有趣数组的个数． 【答案】 【详解】考虑任意一个有趣数组，对，将视为一个字母，其中分别视为字母，则可视为一个由构成的长度为的字符串．有趣数组的性质可等价地描述为：当字符串含字母时，之后不出现字母，且之前不出现字母．显然不同时含有字母与． 若不含字母，则这样的字符串均满足条件，共个． 若含有字母，则必是形如的字符串(允许没有字母或)，且这样的字符串均满足条件． 设中第一个与最后一个分别出现在第个位置与第个位置，则由数组(x，y)(其中)唯一确定． 因(x，y)的取法有种，故这样的字符串有个． 综上，有趣数组所对应的字符串共有个．因此有趣数组的个数为． 各省预赛试题汇编 10．（2024·广东预赛）如图，在一个的方格表中填入0和1，使得任意一个的方格表中都恰有一个1，则满足要求的填法共有_____种． 【答案】261 【详解】如图，固定前3行，若第1列含1，则第4，7，10列含1，即含1的方格所在位置为，，其中，且固定前3行含1的方格后，方格表中含1的方格就已经确定．此时方格表的填法有种；若第列含1，则第列含1，此时方格表的填法有种．同理固定前3列，也有种填法． 若含1的方格均在第1，4，7，10行及第1，4，7，10列，该填法同时在上述两种计数之内；同理含1的方格均在第1，4，7，10行及第2，5，8列，含1的方格均在第1，4，7，10行及第3，6，9列，，即上述9种填法计数重复． 所以满足要求的填法共有种． 11．（2024·四川预赛）记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为 ．（用具体数字作答） 【答案】 【详解】不妨设，对，如果，就在这两个数之间画一条红线；如果，就在这两个数之间画一条蓝线． 显然，一个数不能同时引出两条线． ①如果总共有两条线，线在不考虑颜色的情况下的组合方式有3种，每种线都对应如下问题：在中取三个数，任意两个数之差大于6（如果两线均为红，；如果一红一蓝，；如果都是蓝，） 这又等价于在中任取三个数，有种 所以此时有种； ②如果总共有一条线，线在不考虑颜色的情况下有4种可能，每种线都对应如下问题：在中取四个数，任意两个数之差大于6（如果是红线，；如果是蓝线，） 这又等价于在中任取四个数，有种取法 所以此时有种 ③如果没有线，那么就是在中取五个数，任意两个数之差大于6，这不可能． 所以总共有种． 12．（2024·北京预赛）从中任取两个数，则的值中，个位数字为8的数有 个． 【答案】 【详解】当时，个位数字分别是，个位数字分别是，周期都是4． 个位数字为8的情形有， 综上，当且仅当时，， 形如的数对的个数分别为： ， 下证这些数不重复： 因为，所以， 若，则， 故， 因此，不存在重复的数 故共有个． 13．（2024·浙江预赛）设函数满足，则这样的函数有 个． 【答案】10 【详解】令，则． 对以下三种情况都满足条件， ；；，共3种． 同理对，有3种情况；，也有3种情况． 又，，显然满足条件． 所以满足已知条件的函数共有个． 14．（2024·重庆预赛）由这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为 ． 【答案】21600 【详解】由这九个正整数构成的所有圆排列，有个， 任意相邻两数之积均不超过60，当且仅当该排列中8，9与7，9这两对数均不能相邻． 设满足8，9相邻的圆排列有个，满足7，9相邻的圆排列有个，满足8，9相邻且7，9相邻的圆排列有个， 则，， 从而由容斥原理，满足要求的排列的个数为． 15．（2023·北京预赛）已知集合，映射，且满足对任意，有，则这样的有_____个． 【答案】13 【详解】若，则或或 若，则或或或 若，则或或 或或或 综上，满足条件的共有个． 16．（2023·北京预赛）现有11位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午9点开始到下午5点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要1位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解2场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责．则馆方共有_____种排班方式． 【答案】100000010 【详解】设11位同学讲解个小时的排班方式数为． 若最后一场讲解的同学与第一场不同，则对应的排班方式数为；若最后一场讲解的同学与第一场相同，去掉最后一场，则对应的排班方式数为．于是，显然． 由于，所以． 17．（2023·福建预赛）设整数是整数集，满足，且中任意两个元素的差的绝对值是素数．则这样的集合共有_____个． 【答案】4 【详解】对于任意三个两两不同的奇数(或偶数)，最大的减去最小的必定是不小于4的偶数，矛盾．则集合中奇数最多两个，偶数也最多两个，故． 由于，则只有如下两种情况： 或，其中为正整数． (1)当时，注意到是三个连续的奇数，于是它们中恰有一个数是3的倍数，即中恰有一个数是3． 或，则或 ，经检验满足题意； 或，则或 ，经检验均不满足题意； 或，则或 ，经检验满足题意； (2)当时，同理中恰有一个数是3． 或，则或 ，经检验满足题意； 或，则或 ，经检验均不满足题意； 或，则或 ，经检验满足题意． 综上，满足条件的集合共有4个． 18．（2023·吉林预赛）前100个正整数中，能写成两个正整数平方差的数的总和为_____． 【答案】3795 【详解】由于，其中与的奇偶性相同，则当可以表示为两个正整数的平方差时，为奇数或者4的倍数． 反之，当为奇数或者4的倍数时，将分解为两个奇数或两个偶数的乘积，使之分别等于和，则除1和4外，均可以找到，满足． 由于， 所以前100个正整数中，能写成两个正整数平方差的数的总和为． 19．（2023·江西预赛）用12种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的4种不同的动物图案，且制作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为_____． 【答案】9 【详解】将12种不同的动物图案编号为．考虑相同的动物图案为1号时，最多有3种，设为；相同动物图案为2号时，最多有2种，设为；则相同动物图案为3号时，最多有2种，分别为；相同动物图案为4号时，最多有2种，分别为．所以最多能制作的卡片数量为9． 20．（2023·江西预赛）有8块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或北京．从8块不同的积木中按顺序任取块积木表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则_____． 【答案】240 【详解】如图，，，其中第一个坐标表示方形或者圆形的积木，第二个坐标表示红色或者黄色的积木，第三个坐标表示印有南昌或北京的积木． 显然从中任取一点沿正方体的棱走步的不同走法，即为． 则， (前四个点共面)(前四个点不共面)， (前四个点共面) (前四个点不共面)， (前四个点共面)(前四个点不共面)， (前四个点共面) (前四个点不共面)，所以． 21．（2023·上海预赛）十进制六位数中，每个数码都是奇数，且其中出现的数码1不允许相邻(例如，135131，577797满足条件，而311533不满足条件)，则这种六位数的个数是_____． 【答案】13056 【详解】当中不含数码1时，六位数的个数是； 当中含有一个1时，六位数的个数是； 当中含有两个1时，六位数的个数是； 当中含有三个1时，六位数的个数是， 所以满足条件的六位数的个数是13056． 22．（2023·四川预赛）在的展开式中，的系数为_____．(用具体数字作答) 【答案】 【详解】，所以的系数为 23．（2023·苏州预赛）已知，则_____． 【答案】 【详解】令，令． 所以． 24．（2023·浙江预赛）设是数字1，2，3，4，5的排列．若不存在成立，则所有这样的排列数有_____种． 【答案】42 【详解】依题意，排列中不存在顺序排列的3个数． 如对于1，2，3，4的排列，共有24种情形： 即有1432，2143，2413，2431，3142，3214，3241，3412，3421，4132，4213，4231，4312，4321共14个排列满足题意． 当上述排列加入数字5时，如51432，15432，14532，14352，14325(划去的3个排列中含有顺序排列145，不合题意)． 考虑所有14个排列加入数字5时，满足题意的排列数为42． 25．（2022·新疆预赛）甲、乙、丙三人从1楼乘电梯去商场的3到7楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有_____种． 【答案】120 【详解】若有一层楼下2人，则下电梯的方法有种； 若没有一层楼下2人，则下电梯的方法有种． 所以下电梯的方法共有120种． 26．（2022·四川预赛）已知函数，且对一切，有．则符合条件的函数的个数为_____． 【答案】288 【详解】显然．记，函数的个数为． 当时，(按排序)：14，15，25，41，51，52； 当时，． 于是当时，只能是5，1；当时，则可以是． 从而设中满足的个数为，满足的个数为． 此时有，且． 整理上式得， 所以， 27．（2022·四川预赛）至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为_____． 【答案】81 【详解】如图，12条棱的中点无三点共线的情形． 四点共面的情形有：①正方体6个表面；②正方体3个中截面；③与正方体6个对角面平行的12个截面．六点共面的情形有：与顶点对应的正三棱锥底面平行的4个截面． 所以至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 28．（2022·浙江预赛）设是的任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，则这样的排列有_____个． 【答案】96 【详解】考虑2个0，2个1，2个2且任意相邻三数之和都不能被3整除的排列，共有001122，002211，110022，112200，220011，221100，011220，022110，100221，122001，200112，211002．填入1，2，3，4，5，6可得共有排列个． 29．（2022·江西预赛）虎年2022具有这样的性质：它是6的倍数并且其各位数字之和为6，称这种正整数为“白虎数”，那么，在前2022个正整数中，“白虎数”的个数_____． 【答案】30 【详解】一位“白虎数”有6共1个； 二位“白虎数”有24，42，60共3个； 三位“白虎数”对应数字组合有， 其中首位不为0，末位为偶数，共个； 四位首位为1的“白虎数”对应数字组合有，共个； 四位首位为2且小于等于2022的“白虎数”有2004，2022共2个． 所以在前2022个正整数中，“白虎数”的个数． 30．（2022·江西预赛）对于正整数，将其各位数字之和记为，各位数字之积记为，若成立，就称为巧合数，则所有巧合数的和为_____． 【答案】531 【详解】显然不存在1位巧合数；设2位巧合数为，则 ，即； 设3位巧合数为，则 ，矛盾； 同理可证不存在其它位的巧合数． 因此所有巧合数的和为． 31．（2022·苏州预赛）现要将一边长为101的正方体分割成两部分，要求如下： (1)分割截面交正方体各棱于点(可与顶点重合)； (2)线段的长度均为非负整数，且线段的每一组取值对应一种分割方式． 则有_____种不同的分割方式．(用数字作答) 【答案】707504 【详解】设，依题意，． 考虑到的非负整数解的组数为 的非负整数解的组数为， 由于时的截面和时的截面不符合题意， 则满足的非负整数解的组数为 于是不同的分割方式有种． 32．（2022·吉林预赛）将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有_____种填法． 【答案】441000 【详解】首先确定偶数的位置．第一行两个偶数有种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需再填一个偶数，设为． (1)若位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定； (2)若位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选 择，于是偶数的不同位置为种． 所以总的填法数为种． 33．（2022·浙江预赛）设的映射满足 (1)，其中是复合映射，为上的恒等映射； (2)，对任意． 求映射的数目． 【答案】401 【详解】考虑的满足条件的映射个数．显然对任意，或者，或者，且． 由条件(2)知，若，去掉元素1，则对应映射个数为； 若，必有，去掉元素1，2，则对应映射个数为； 若，必有，此时有两种情况： ①若，去掉元素1，2，3，则对应映射个数为； ②若，必有，去掉元素1，2，3，4，则对应映射个数为． 由于再无其它可能值，于是． 计算得， 所以． 34．（2022·江西预赛）是单位正方体内部或表面上的点，满足条件 (1)正方体有一条棱的两个端点到的距离分别是与； (2)正方体中至少有两个顶点到的距离相等． 试求同时满足上述条件的点的个数． 【答案】120 【解析】如图，当到的距离为，到的距离为时，的轨迹为面上的一段弧线．下面考虑正方1体两顶点的中垂面在面上的交线． ①12条棱的中垂面共有3个，在面上的交线为； ②12条面对角线的中垂面共有6个，在面上的交线为； ③4条体对角线的中垂面共有4个，在面上的交线为． 如的中垂面为图中的正六边形，在面上的交线为． 弧线与这些交线有7个交点，同理，以为圆心，为半径的弧线也与这些交线各有7个交点，由对称性可知，其中在上的交点重复计数一次，即正方体每个表面上共有24个交点满足题意． 又正方体每条棱上均有2个交点，各自重复计数一次，所以同时满足上述条件的点的个数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题12 计数原理 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）若三个正整数的位数之和为8，且组成的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a, b, c)为“幸运数组”，例如(9, 8, 202400)是一个幸运数组．满足的幸运数组(a, b, c)的个数为_____． 2．（2024·全国联赛B卷）若三个正整数的位数之和为8，且组成的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a, b, c)为“幸运数组”，例如(9, 8, 202400)是一个幸运数组．满足的幸运数组(a, b, c)的个数为_____． 3．（2023·全国联赛A卷）八张标有的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边(例如可按的次序取走卡片，但不可按的次序取走卡片)，则取走这八张卡片的不同次序的数目为_____． 4．（2023·全国联赛B卷）七张标有的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边(例如可按的次序取走卡片，但不可按的次序取走卡片)，则取走这七张卡片的不同次序的数目为_____． 5．（2022·全国联赛A卷）一个单位方格的四条边中，若有两条边染了颜色，另两条边分别染了异于色的另两种不同颜色，则称该单位方格是“色主导”的．如图，一个方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得红色主导、黄色主导、蓝色主导的单位方格各有一个．这样的染色方式数为_____(答案用数值表示)． 6．（2022·全国联赛A1卷）在矩阵中，每个元素都为0或1，且满足：五行的元素之和都相等，但五列的元素之和两两不等．这样的矩阵的个数为_____(答案用数值表示)． 7．（2022·全国联赛B卷）一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的．如图，一个方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的．这样的染色方式数为_____(答案用数值表示)． 8．（2022·全国联赛B1卷）有四所学校的学生参加一项数学竞赛，每所学校派出3名选手．组委会要抽选其中若干名选手做一项调研，要求任意两所学校被抽中的选手数之和至少为1、至多为3，则不同的抽选方式数为_____(结果用数值表示)． 9．（2022·全国联赛A2卷）给定整数．对于一个元有序数组，若的每个分量均为0或1，且对任意，均有且，则称为“有趣数组”．求有趣数组的个数． 各省预赛试题汇编 10．（2024·广东预赛）如图，在一个的方格表中填入0和1，使得任意一个的方格表中都恰有一个1，则满足要求的填法共有_____种． 11．（2024·四川预赛）记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为 ．（用具体数字作答） 12．（2024·北京预赛）从中任取两个数，则的值中，个位数字为8的数有 个． 13．（2024·浙江预赛）设函数满足，则这样的函数有 个． 14．（2024·重庆预赛）由这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为 ． 15．（2023·北京预赛）已知集合，映射，且满足对任意，有，则这样的有_____个． 16．（2023·北京预赛）现有11位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午9点开始到下午5点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要1位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解2场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责．则馆方共有_____种排班方式． 17．（2023·福建预赛）设整数是整数集，满足，且中任意两个元素的差的绝对值是素数．则这样的集合共有_____个． 18．（2023·吉林预赛）前100个正整数中，能写成两个正整数平方差的数的总和为_____． 19．（2023·江西预赛）用12种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的4种不同的动物图案，且制作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为_____． 20．（2023·江西预赛）有8块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或北京．从8块不同的积木中按顺序任取块积木表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则_____． 21．（2023·上海预赛）十进制六位数中，每个数码都是奇数，且其中出现的数码1不允许相邻(例如，135131，577797满足条件，而311533不满足条件)，则这种六位数的个数是_____． 22．（2023·四川预赛）在的展开式中，的系数为_____．(用具体数字作答) 23．（2023·苏州预赛）已知，则_____． 24．（2023·浙江预赛）设是数字1，2，3，4，5的排列．若不存在成立，则所有这样的排列数有_____种． 25．（2022·新疆预赛）甲、乙、丙三人从1楼乘电梯去商场的3到7楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有_____种． 26．（2022·四川预赛）已知函数，且对一切，有．则符合条件的函数的个数为_____． 27．（2022·四川预赛）至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为_____． 28．（2022·浙江预赛）设是的任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，则这样的排列有_____个． 29．（2022·江西预赛）虎年2022具有这样的性质：它是6的倍数并且其各位数字之和为6，称这种正整数为“白虎数”，那么，在前2022个正整数中，“白虎数”的个数_____． 30．（2022·江西预赛）对于正整数，将其各位数字之和记为，各位数字之积记为，若成立，就称为巧合数，则所有巧合数的和为_____． 31．（2022·苏州预赛）现要将一边长为101的正方体分割成两部分，要求如下： (1)分割截面交正方体各棱于点(可与顶点重合)； (2)线段的长度均为非负整数，且线段的每一组取值对应一种分割方式． 则有_____种不同的分割方式．(用数字作答) 32．（2022·吉林预赛）将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有_____种填法． 33．（2022·浙江预赛）设的映射满足 (1)，其中是复合映射，为上的恒等映射； (2)，对任意． 求映射的数目． 34．（2022·江西预赛）是单位正方体内部或表面上的点，满足条件 (1)正方体有一条棱的两个端点到的距离分别是与； (2)正方体中至少有两个顶点到的距离相等． 试求同时满足上述条件的点的个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$