专题11 椭圆（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题11 椭圆 一、单选题 1．（2022·贵州预赛）如图，是离心率都为的椭圆，点分别是的右顶点和上顶点，过两点分别作的切线．若直线的斜率分别为，则的值为 A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·广西预赛）直线与椭圆相交于两点，点在该椭圆上，且满足的面积等于9，这样的点的个数是_____▲_____． 3．（2025·北京预赛）已知为原点，矩形的三个顶点均在椭圆上，则矩形的面积为_____． 4．（2024·广西预赛）已知椭圆 的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 5．（2024·内蒙古预赛）是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 ． 6．（2023·苏州预赛）已知椭圆，椭圆的公切线与轴交于点，则点的坐标为_____． 7．（2022·新疆预赛）已知椭圆的左、右焦点为，点在直线上，当取最大值时，的值为_____． 8．（2022·江西预赛）若椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好组成一个正三角形的三顶点，且椭圆的焦点到椭圆的最短距离为，则的方程是_____． 三、解答题 9．（2025·重庆预赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点满足四边形为平行四边形，关于的对称点为．若四点共圆，且直线过，求实数的值． 10．（2024·江苏预赛）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点．已知在轴上存在点，使得为定值，求点的坐标． 11．（2024·福建预赛）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点(点在第一象限)，且． (1)求椭圆的离心率； (2)若的面积为，求点的坐标． 12．（2024·上海预赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点．若动点满足，求的最大值． 13．（2024·上海预赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆． 14．（2023·福建预赛）已知分别为椭圆的下顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于两点(异于点)． (1)若，求直线的方程； (2)设为直线的交点，求的值． 15．（2023·吉林预赛）已知椭圆经过点，且其焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆的下半部分相交于两个不同的点，连接分别交直线于两点．求证：为定值． 16．（2023·内蒙古预赛）设为椭圆上不同的两个点，直线分别与轴、轴交于、（）．若是直线上任意一点，且直线的斜率存在且都不等于0．试问：直线斜率的倒数能否排成等差数列？若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 17．（2023·苏州预赛）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)求外心的轨迹方程． 18．（2023·新疆预赛）已知椭圆的离心率为，上下焦点为，右顶点为．过作垂直于的直线交椭圆于两点，且． (1)求的值； (2)过做椭圆的两条切线交于点，若交轴于，交轴于，求的值． 19．（2023·浙江预赛）已知椭圆的上顶点与左顶点的距离为，离心率为为轴上一点． (1)求椭圆方程； (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，求的取值范围． 20．（2022·福建预赛）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，且的外接圆半径为． (1)求椭圆的方程； (2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线的斜率分别为．已知，求的面积的取值范围． 21．（2022·苏州预赛）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 一、填空题 1．（2025·全国联赛A卷）设点在椭圆上，，为的两个焦点，线段交椭圆于点．若的周长为8，则线段的长度为_____． 2．（2025·全国联赛B卷）设分别为椭圆的左、右焦点，若上存在一点，使得直线的斜率分别为，则的离心率为_____． 3．（2024·全国联赛A卷）设为椭圆的焦点，在上取一点(异于长轴端点)，记为的外心，若，则的离心率的最小值为_____． 4．（2024·全国联赛B卷）在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____． 5．（2022·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，椭圆，为上的动点，为两个定点，其中的坐标为．若的面积的最小值为1、最大值为5，则线段的长为_____． 二、解答题 6．（2022·全国联赛A2卷）已知及其边上的一点满足：，，且以、为焦点可以作一个椭圆同时经过、两点，求的离心率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 椭圆 一、单选题 1．（2022·贵州预赛）如图，是离心率都为的椭圆，点分别是的右顶点和上顶点，过两点分别作的切线．若直线的斜率分别为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设分别与切于点，则 ，同理，． 由于，设代入椭圆方程得． 于是，所以选． 二、填空题 2．（2025·广西预赛）直线与椭圆相交于两点，点在该椭圆上，且满足的面积等于9，这样的点的个数是_____▲_____． 【答案】2 【详解】到直线的距离．过点与平行的直线可设为，的方程为，故或者． 若，则无解；若，则有两组解．因此，满足题设条件的点有2个． 3．（2025·北京预赛）已知为原点，矩形的三个顶点均在椭圆上，则矩形的面积为_____． 【答案】． 【详解】不妨设，即， 则，这里．将的坐标代入椭圆中，得 将第三式展开并利用前两式，可化简得．又由第一二式，知 得，此即为的面积． 4．（2024·广西预赛）已知椭圆 的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】如图： 令，，， 则，． 在和中， 由余弦定理可得，． 故．（1） 在，中，由余弦定理可得 （2） 由可得．（3） 由（2）（3）可得，从而． 代入（1）可得，． 因此． 5．（2024·内蒙古预赛）是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0， 设直线， 联立方程，消去x得，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， 则， 可得， 则面积， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 6．（2023·苏州预赛）已知椭圆，椭圆的公切线与轴交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】如图，作变换则椭圆变换为圆， 圆． 设此时公切线方程为， 于是 或(舍去)， 从而． 则公切线方程为． 所以椭圆的公切线方程为． 7．（2022·新疆预赛）已知椭圆的左、右焦点为，点在直线上，当取最大值时，的值为_____． 【答案】 【详解】如图，当经过的圆与直线相切于点时，最大． 设直线与轴交于点， 由圆幂定理得． 又． 8．（2022·江西预赛）若椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好组成一个正三角形的三顶点，且椭圆的焦点到椭圆的最短距离为，则的方程是_____． 【答案】 【详解】依题意，所以的方程是． 三、解答题 9．（2025·重庆预赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点满足四边形为平行四边形，关于的对称点为．若四点共圆，且直线过，求实数的值． 【答案】 【详解】若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，为椭圆长轴两端点，故若、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径，而又在椭圆上，显然矛盾! 设，则． 设（其中），并设． 由在椭圆上可得，从而． 法一： 设中点为．由相交弦定理和平行四边形性质有和，故． 于是可得① ② 由在椭圆上可得③， 于是有， 代入②可得，结合可得 联立得， 由韦达定理知，进而． 注意在椭圆上，于是有， 即，即，解得． 法二： 由于四点均满足和， 故过四点的圆的方程为， 考察项的系数可知，结合可得． （下同法一） 10．（2024·江苏预赛）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点．已知在轴上存在点，使得为定值，求点的坐标． 【详解】设， 联立． 则 为定值，于是 ． 所以点的坐标为，此时． 11．（2024·福建预赛）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点(点在第一象限)，且． (1)求椭圆的离心率； (2)若的面积为，求点的坐标． 【详解】(1)设， 依题意，，， 在和中， (2)由(1)得， 则． 于是，椭圆的方程为． 又，所以点的坐标为(3, 1)． 12．（2024·上海预赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点．若动点满足，求的最大值． 【详解】如图，记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上，则 又，，即当点位于椭圆上时，取得最大值． 令，则点在椭圆上． 易知，等号成立时当且仅当． 于是椭圆上的点，除点外均在椭圆的内部． 综上所述，的最大值为． 13．（2024·上海预赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆． 【详解】当时，正三角形、正方形均能内接于椭圆(如图所示)． 下面证明:当时，不存在椭圆的内接正边形． 设椭圆的方程为，正边形的外接圆方程为 （1）若，联立 ，这是一个关于的二次方程，它至多有两个实数根， 再由得方程组至多有4组实数解． （2）若，则 于是 因此， 这是一个关于的4次方程，它至多有4个实数根， 再由得方程组(**)至多有4组实数解． 综上，椭圆与正边形的外接圆至多有4个公共点，即当时，不存在椭圆的内接正边形． 所以满足题意的正整数． 14．（2023·福建预赛）已知分别为椭圆的下顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于两点(异于点)． (1)若，求直线的方程； (2)设为直线的交点，求的值． 【详解】(1)如图，设，， 联立 则 同理可得．于是 所以直线的方程为． (2)，同理可得， 联立， 于是 ，从而． 所以． 15．（2023·吉林预赛）已知椭圆经过点，且其焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆的下半部分相交于两个不同的点，连接分别交直线于两点．求证：为定值． 【详解】(1)，则椭圆的方程为． (2)设， 联立 设， 则， 令得， 同理可得． 于是 所以为定值． 16．（2023·内蒙古预赛）设为椭圆上不同的两个点，直线分别与轴、轴交于．若是直线上任意一点，且直线的斜率存在且都不等于0．试问：直线斜率的倒数能否排成等差数列?若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 【详解】设， 联立 设， 同理可得． 于是 所以直线斜率的倒数能排成等差数列． 17．（2023·苏州预赛）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)求外心的轨迹方程． 【详解】(1)如图，设， 联立 不妨设， 则，令，同理可得． 于是 所以直线的方程为． (2)由于 则为等腰三角形，其外心在直线上．且重合于椭圆的左顶点时，外心纵坐标趋于1；当重合于椭圆的上顶点时，外心纵坐标趋于负无穷．所以外心的轨迹方程为． 18．（2023·新疆预赛）已知椭圆的离心率为，上下焦点为，右顶点为．过作垂直于的直线交椭圆于两点，且． (1)求的值； (2)过做椭圆的两条切线交于点，若交轴于，交轴于，求的值． 【详解】(1)，连接，则为正三角形 于是， 联立 则有 ． 所以 (2)设，由(1)知椭圆的方程为， 则． 而， 于是． 又，因此 ， ， 所以． 19．（2023·浙江预赛）已知椭圆的上顶点与左顶点的距离为，离心率为为轴上一点． (1)求椭圆方程； (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，求的取值范围． 【详解】(1)依题意，所以椭圆的方程为． (2)如图，设， 联立 则， 又，于是． 从而， 因此． 考虑， 则在上单调递减，在上单调递增， 于是． 综上，的取值范围为． 20．（2022·福建预赛）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，且的外接圆半径为． (1)求椭圆的方程； (2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线的斜率分别为．已知，求的面积的取值范围． 【详解】(1)，设，则 ， 所以椭圆的方程为． (2)设直线， 联立方程组 则，依题意，有， ， ， ． 于是直线过定点，从而 当时．所以的面积的取值范围是． 21．（2022·苏州预赛）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 【详解】(1)． (2)设(为参数)， 代入的方程得 同理可得，．于是 ． 所以直线的斜率与直线的斜率之和为0． 一、填空题 1．（2025·全国联赛A卷）设点在椭圆上，，为的两个焦点，线段交椭圆于点．若的周长为8，则线段的长度为_____． 【答案】． 【详解】由于，故是与的公共焦点． 由椭圆的定义知，即 所以，即线段的长为． 2．（2025·全国联赛B卷）设分别为椭圆的左、右焦点，若上存在一点，使得直线的斜率分别为，则的离心率为_____． 【答案】． 【详解】将的三个内角分别记为． 由条件易知在第一象限，．进而 所以． 由于是的焦距，是的长轴长，且由正弦定理知 所以的离心率． 3．（2024·全国联赛A卷）设为椭圆的焦点，在上取一点(异于长轴端点)，记为的外心，若，则的离心率的最小值为_____． 【答案】 【详解】取的中点，有，故． 记，则 故由条件知，即． 由柯西不等式知(当时等号成立)． 所以的离心率． 当时，的离心率取到最小值． 4．（2024·全国联赛B卷）在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____． 【答案】 【解析】如图，因为，所以，所以，所以，即，整理得，即，解得(负解舍去)． 5．（2022·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，椭圆，为上的动点，为两个定点，其中的坐标为．若的面积的最小值为1、最大值为5，则线段的长为_____． 【答案】 【详解】显然直线与椭圆不能相交，设的方程为． 设动点，则到直线的距离． 注意到线段的长度固定，根据题意，当变化时，的最大值与最小值之比为5，特别地，不能为0，故其值恒正或恒负． 由于的最大值为正，所以最小值也为正，故，得． 从而的最小值为． 由于的最小值为1，故，得． 二、解答题 6．（2022·全国联赛A2卷）已知及其边上的一点满足：，，且以、为焦点可以作一个椭圆同时经过、两点，求的离心率． 【答案】 【详解】由椭圆定义可知(都等于椭圆的长轴长)，结合，，得 由余弦定理及互补，可知 即 不妨设，则上式可化简为，解得椭圆的焦距． 所以椭圆的离心率． 注：由斯特瓦尔特定理可直接得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $