精品解析：河南省信阳市固始县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度上期期中教学质量监测 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）． A. 150° B. 180° C. 210° D. 225° 10. 如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. 如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则的度数为_______________． 12. 已知点和点关于轴对称，则_______． 13. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏。如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）距地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明这时离地面的高度是______ ． 14. 如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则________ 15. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 如图，已知中，． （1）作边的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，则的周长为______． 17. 生活中的数学： （1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是______； （2）如图2，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B．沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是____； （3）如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点E是线段的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 18. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 19. 如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． （1）已知△ABC和关于直线l对称． ①请在图中把△ABC和补充完整； ②在以直线l为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； （2）在直线l上画出点P，使得最短． 20. 在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为1，最大的等腰直角三角形的顶点位于x轴上，依次为． （1）的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． （2）若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的3种等腰直角三角形墙砖，最小的等腰直角三角形的斜边长为1m，围墙总长为2026m按照图中的排列方式，则3种墙砖各需要多少块？ 21. 如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则_____°； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 23. 如图①，，，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． （1）______（用含的代数式表示）； （2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （3）如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到某处时，有与全等，求出相应的，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上期期中教学质量监测 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后根据取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是3和5， ∴第三边的取值范围为：第三边，即第三边， ∴A符合题意． 故选A． 3. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 4. 如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，设三角形的三个内角分别为，，，根据题意，则；再根据，即可． 【详解】设三角形的三个内角分别为，，， ∵一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该三角形为直角三角形． 故选：B． 5. 如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 6. 如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数． 【详解】解：过点作、，如图所示： 两把一样的直尺， ， 由角平分线的判定定理可得是的角平分线， ， ， 故选：D． 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①，     高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②，     此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为， 所以该等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 9. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）． A. 150° B. 180° C. 210° D. 225° 【答案】B 【解析】 【分析】根据SAS可证得≌，可得出，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解. 【详解】解：由题意得：，，， ≌， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出≌．. 10. 如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用得到与全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，即，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 则，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. 如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则的度数为_______________． 【答案】108 【解析】 【分析】根据正多边形内角和外角的性质求解． 【详解】解：如图，正五边形的内角：， 正五边形的外角：， 根据三角形内角和定理，得， 因此， 故答案为：108． 【点睛】本题考查正多边形，解题的关键是掌握正多边形内角和外角的性质．正n边形的每个内角都等于，每个外角都等于． 12. 已知点和点关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出m、n，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏。如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）距地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明这时离地面的高度是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在与中， ∵， ∴， ∴， ∴小明离地面的高度是， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则________ 【答案】##70度 【解析】 【分析】此题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，关键是根据折叠的性质得出，． 【详解】解：∵将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到的周长为，根据的面积求出的长度，进而求出的周长的最小值． 【详解】解：连接， ∵腰的垂直平分线分别交边于F，E点， ∴， ∴的周长为， ∴周长的最小值为， ∵等腰三角形，点D为边的中点， ∴，， ∵，即， ∴解得， ∴周长的最小值为． 故答案为：8． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 如图，已知中，． （1）作边的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，则的周长为______． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用基本作图，作的垂直平分线即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，证明得出，然后利用线段等量代换和三角形周长公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故答案为：13． 17. 生活中的数学： （1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是______； （2）如图2，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B．沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是____； （3）如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点E是线段的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【答案】（1）三角形具有稳定性 （2）垂线段最短 （3）合适，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答； （2）根据垂线段最短解答； （3）首先证明，根据全等三角形的性质可得． 【小问1详解】 解：一扇窗户打开后，用窗钩要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性； 【小问2详解】 过点A向河岸l作垂线，垂足为点B， 运用的原理是：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； 【小问3详解】 合理， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度． 【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等． 18. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1）；理由见解析 （2）小丽距地面的高为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 19. 如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． （1）已知△ABC和关于直线l对称． ①请在图中把△ABC和补充完整； ②在以直线l为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； （2）在直线l上画出点P，使得最短． 【答案】（1）①如图；②； （2）见上图． 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、作图-轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）①根据轴对称的性质作图即可；②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可； （2）连接，与直线l交于点P，连接，此时最短． 【小问1详解】 解：如图，和即为所求； 由题意可得，点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求． 20. 在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为1，最大的等腰直角三角形的顶点位于x轴上，依次为． （1）的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． （2）若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的3种等腰直角三角形墙砖，最小的等腰直角三角形的斜边长为1m，围墙总长为2026m按照图中的排列方式，则3种墙砖各需要多少块？ 【答案】（1）；； （2）大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用： （1）根据条件分别写出的坐标，找出规律，进而得到，的坐标； （2）根据图形复现，墙砖每3个单位长度循环一次，在每一个循环周期内，需要大号墙砖1块，中号墙砖2块，小号墙砖4块，再用2026除以4即可求解； 准确识别图形，得到循环规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵最小的等腰直角三角形的斜边长为1， ∴中间大的等腰直角三角形的直角边为1， ∴， 由图可得， 由规律可得， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：由题图可知，图案每3m重复一次， ∵， ∴一共循环了次，还余下1m，多出来的1m是四块小号的墙砖， ∴大号墙砖需要675块， 中号墙砖需要（块）， 小号墙砖需要（块）， ∴大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块． 21. 如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论； （2）根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵、分别为、的角平分线， ∴， ∴． 22. 定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则_____°； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】（1） （2）①是“准互余三角形”， 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②或． 【解析】 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义可得，代入数据求出即可； （2）①由直角三角形的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而可得是“准互余三角形”； ②根据是“准互余三角形”可得或，求出或，然后分别利用三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，且是“准互余三角形”， ∴， ∴， 故答案为：17； 【小问2详解】 解：① 略 ②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 23. 如图①，，，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． （1）______（用含的代数式表示）； （2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （3）如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到某处时，有与全等，求出相应的，的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）速度为，时间为或速度为，时间为时，和全等 【解析】 【分析】该题是全等三角形动点问题，主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是分类讨论． （1）根据点在线段上以的速度由点向点运动，可得，； （2）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （3）分类讨论：①，则有，，即，；②，则有，，即，，然后分别求出和即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ，，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，，． 理由如下：当时，． ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，，， ，， ∴和全等有以下两种情况： ①， 则有，， 即，， 所以，． ②， 则有，， 即，， 所以，． 综上所述：速度为，时间为或速度为，时间为时，和全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $