精品解析：重庆市彭水思源教研共同体五校联考2024-2025学年九年级上学期12月模拟考试数学试题

2024年秋九年级（上）学业质量达标五校联考模拟卷 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净石，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图，属于美工艺术字分类，由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 将一些完全相同的正三角形按如图所示规律摆放，第一个图形有1个正三角形，第二个图形有5个正三角形，第三个图形有12个正三角形，…，按此规律排列下去，第六个图形中正三角形的个数是（　　） A. 35 B. 41 C. 45 D. 51 8. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 对于从左到右依次排列的三个实数、、，在与之间、与之间只添加一个四则运算符号“”、“”、“”、“”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数、、进行“四则操作”，例如：对实数、、的“四则操作”可以是：，也可以是；对实数，，的一种“四则操作”可以是．给出下列说法： ①对实数、、进行“四则操作”后的结果可能是； ②对于实数、、进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是； ③对实数、、进行“四则操作”后的结果为，则的值共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 计算：______． 12. 有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_____． 13. 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=______． 14. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________． 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是______． 16. 如图，以A为圆心AB为半径作扇形ABC，线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，若AB＝4，则阴影部分图形的面积是_______（结果保留π）． 17. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 18. 对于一个四位数m，如果其各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字之和等于十位与百位上的数字之和，那么称这个数为“和等数”，将一个“和等数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．则______．若s，t都是“和等数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是整数，规定：．当能被17整除时，k的所有取值之积为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，已知，是弦上一点． （1）用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点，连接，； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（，两点不重合），连接，，． （2）求证：． 证明：是的垂直平分线， ①______． ， ， ， ．（其依据是②______） 四边形是圆的内接四边形， ．（其依据是③______） ， ④______， ， ， ． 22. 某校七年级和八年级的学生参加科普知识竞赛，成绩得分用x表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是： 69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89． 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 87 86 八年级 87 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a、b的值：　 　，　　． （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 23. 如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出P，Q两点相距2个位长度时x的值． 24. 树人文具店准备购进甲、乙种软面抄笔记本，计划用2400元购买甲种笔记本，900元购买乙种笔记本，一个甲种笔记本和一个乙种笔记本的进价之和为15元，且购进甲种笔记本的数量是乙种笔记本数量的4倍． （1）求计划分别购买多少个甲种笔记本和乙种笔记本． （2）为回馈客户，生产厂家推出了一系列活动，每个甲种笔记本的售价降低了，每个乙种笔记本的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种笔记本的数量增加了个，但甲种笔记本和乙种笔记本的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了元，求m的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴交直线于点D，过点D作轴，交y轴于点H，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的求解过程写出来． 26. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋九年级（上）学业质量达标五校联考模拟卷 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净石，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、求一个数的绝对值，根据有理数的大小比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的数是． 故选：D． 2. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图，属于美工艺术字分类，由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意． 故选B． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 4. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 5. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】设方程的另一个根为t， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选A． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，先根据二次根式的混合运算法则计算，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴估计的值应在6和7之间， 故选：C． 7. 将一些完全相同的正三角形按如图所示规律摆放，第一个图形有1个正三角形，第二个图形有5个正三角形，第三个图形有12个正三角形，…，按此规律排列下去，第六个图形中正三角形的个数是（　　） A. 35 B. 41 C. 45 D. 51 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形发现：第一个图形有1=1个正三角形，第二个图形有1+2+2=5个正三角形，第三个图有1+2+3+2+4=12个正三角形，第四个图有1+2+3+4+2+4+6=22个正三角形，由此可知第n 个图形中有1+2+3+…+n+2+4+…+2（n-1）=，由此进行计算即可得． 【详解】解：观察图形发现： 第一个图形有1=1个正三角形， 第二个图形有1+2+2=5个正三角形， 第三个图有1+2+3+2+4=12个正三角形， 第四个图有1+2+3+4+2+4+6=22个正三角形， … ∴第n 个图形中有1+2+3+…+n+2+4+…+2（n-1）= ， n=6时，=51， 故选D． 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，通过观察所给图形得到找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题是关键． 8. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，，根据垂径定理可知=,根据圆周角定理可知， 即可求出的度数. 【详解】解：在中，， ∴ 根据垂径定理可知=, 根据圆周角定理可知， 故选D. 【点睛】考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键. 9. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，作于，于，则四边形是矩形，由角平分线的性质定理得出，，从而得出四边形是正方形，证明，得出，同理可得：，推出，设，则，，求出，得到，，再由相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，作于，于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分，平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10. 对于从左到右依次排列的三个实数、、，在与之间、与之间只添加一个四则运算符号“”、“”、“”、“”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数、、进行“四则操作”，例如：对实数、、的“四则操作”可以是：，也可以是；对实数，，的一种“四则操作”可以是．给出下列说法： ①对实数、、进行“四则操作”后的结果可能是； ②对于实数、、进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是； ③对实数、、进行“四则操作”后的结果为，则的值共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的四则运算,解一元二次方程，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键．根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：对于实数、、进行“四则操作”可以是：， 结果可能为，故①正确； 对于实数、、进行．“四则操作”，可以是或或或或或或或或或或或或或或或， 最大结果是， 故②正确； ③对实数、、进行．“四则操作”后的结果为，可以是或或或或或或或或或或或或或或或，得或无解或或得或无解或或或或或或无解或或或或无解， ∴的值共个，故③正确； ∴正确的个数是， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、绝对值，先计算绝对值和零指数幂，再计算减法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_____． 【答案】 【解析】 【详解】分析：直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案． 详解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形， ∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：． 故答案为． 点睛：此题主要考查了中心对称图形的性质和概率求法，正确把握中心对称图形的定义是解题关键． 13. 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出m，n的值． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 14. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________． 【答案】168（1﹣x）2=128 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得方程为168（1-x）2=128； 考点：一元二次方程的应用 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象上的点满足二次函数解析式是解题关键．将A、B、C代入求解即可． 【详解】解：，，为二次函数的图象上的三点， ，，， ， 故答案为：． 16. 如图，以A为圆心AB为半径作扇形ABC，线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，若AB＝4，则阴影部分图形的面积是_______（结果保留π）． 【答案】2π﹣4 【解析】 【分析】连接DO，根据题意，可知∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形CAB的面积减去空白部分BAD的面积再加扇形AOD的面积减△AOD的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】连接DO， ∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝4， ∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝2， ∴阴影部分的面积是：（）+（）＝2π﹣4， 故答案为：2π﹣4． 【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算问题，熟练掌握扇形面积公式，将不规则图形面积转化成规则图形面积的和与差是解题的关键． 17. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解为非负整数，进而确定的所有可能的值，再求和即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， ∴， 解分式方程可得：，且， ∵分式方程的解是非负整数， ∴整数的值可以是或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 18. 对于一个四位数m，如果其各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字之和等于十位与百位上的数字之和，那么称这个数为“和等数”，将一个“和等数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．则______．若s，t都是“和等数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是整数，规定：．当能被17整除时，k的所有取值之积为______． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义题型以及整式的运算．根据题意得，代入可得；由所给“和等数”的定义推出等于这个四位数的个位和千位数字之和，也等于百位与十位数字之和，从而求出，的表达式，进而可求出k的表达式，通过分类讨论x，f的取值使得能被17整除，从而可得到k的所有可能取值，进而可求所有可能取值的乘积． 【详解】解：∵ ∴将m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数， ∴； 设一个和等数m的千位、百位、十位、个位数字分别是a、b、c、d，其中a，b，c，d均为整数且，由题意知，， 则，， ∴. ∵， ∴，，且x，f为整数且，， ∴或，或， 当时，，能被17整除，此时； 当时，，能被17整除，此时； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴． 故答案为：9；． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式、平方差公式进行计算，再计算加减即可； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知，是弦上一点． （1）用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点，连接，； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（，两点不重合），连接，，． （2）求证：． 证明：是的垂直平分线， ①______． ， ， ， ．（其依据是②______） 四边形是圆的内接四边形， ．（其依据是③______） ， ④______， ， ， ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—复杂作图、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别以点和为圆心，大于为半径画弧相交于两点，过两点作直线，分别交于，于点，连接、，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（、两点不重合），连接，，； （2）由线段垂直平分线的性质可得，证明出，再由圆周角定理可得，再由圆内接四边形的性质可得，从而得出，再证明，即可得证． 【小问1详解】 解：根据题意作图如图所示： ； 【小问2详解】 证明：是的垂直平分线， ． ， ， ， ．（其依据是同弧所对的圆周角相等） 四边形是圆的内接四边形， ．（其依据是圆内接四边形的对角互补） ， ， ， ， ． 22. 某校七年级和八年级的学生参加科普知识竞赛，成绩得分用x表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是： 69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89． 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 87 86 八年级 87 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a、b的值：　 　，　　． （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）86；89 （2） 解：八年级的学生掌握科普知识较好． 理由：七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大， 所以八年级的学生掌握科普知识较好． （3）两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人． 【解析】 【分析】本题考查频数（率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可得答案． （2）根据平均数、中位数的意义可得结论． （3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86， ． 八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人， 将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为89，89， ． 故答案为：86；89． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人． 两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人． 23. 如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出P，Q两点相距2个位长度时x的值． 【答案】（1） （2） 由函数表达式画出函数图象如下： 性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大 （3）3或6 【解析】 【分析】本题考查的是三角形综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，函数作图，分类求解是解题的关键． （1）当时，如题干图，则，，即可求解；当时，证明为等边三角形，即可求解； （2）由函数表达式画出函数图象，观察函数图象即可求解； （3）在图中画出直线，即可求解． 【小问1详解】 当时，如题干图， ，，则， ∵点D是中点， ∴， 则，， 则， 当时， 此时，， ∴，则， 则为等边三角形， 则， 则； 【小问2详解】 从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 在图中画出直线， 则直线的函数的交点的横坐标为：或6， 即，两点相距2个单位长度时的值为3或6． 24. 树人文具店准备购进甲、乙种软面抄笔记本，计划用2400元购买甲种笔记本，900元购买乙种笔记本，一个甲种笔记本和一个乙种笔记本的进价之和为15元，且购进甲种笔记本的数量是乙种笔记本数量的4倍． （1）求计划分别购买多少个甲种笔记本和乙种笔记本． （2）为回馈客户，生产厂家推出了一系列活动，每个甲种笔记本的售价降低了，每个乙种笔记本的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种笔记本的数量增加了个，但甲种笔记本和乙种笔记本的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了元，求m的值． 【答案】（1）购买400个甲种笔记本，则购买100个乙种笔记本 （2）10或20 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用： （1）设购买x个乙种笔记本，则购买个甲种笔记本，根据“计划用2400元购买甲种笔记本，900元购买乙种笔记本，一个甲种笔记本和一个乙种笔记本的进价之和为15元”，列出方程，即可求解； （2）先求出现在每个甲、乙种笔记本的售价，再根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设购买x个乙种笔记本，则购买个甲种笔记本，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买400个甲种笔记本，则购买100个乙种笔记本； 【小问2详解】 解：根据题意得：现在每个甲种笔记本的售价为元， 每个乙种笔记本的售价为元， ， 整理得：， 解得：， 即m的值为10或20． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴交直线于点D，过点D作轴，交y轴于点H，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的求解过程写出来． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等； （1）由待定系数法把，代入计算即可求解； （2）设设点，，则，，即可求解； （3）先求出新抛物线的解析式，求出，设，再根据菱形一组临边相等且对角线互相平分求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴解得， ∴直线的解析式为； ∴设点，， ∴， ∴ ∴， ∴的最大值为， ∴当的最大值时，， ∴； 【小问3详解】 ∵抛物线， ∴， ∵将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴新抛物线为：， 令， 解得：， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 设，， 当为对角线时，，与互相平分， ∴ 解得：. ∴或， ∴的中点坐标为或. ∵与互相平分， ∴，解得， 即或； 当与为对角线时，，与互相平分， ，解得， ∵与互相平分， ∴∴，解得， 即或； 当与为对角线时，，与互相平分， ，解得， ∵与互相平分， ∴∴，解得， 即，此时，不合题意， 综上点N坐标为或或或． 26. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】 （1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $