精品解析：吉林省长春市经开区2024一2025学年上学期期末质量调研 九年级数学试卷

长春经开区2024-2025学年度第一学期期末质量调研 九年级数学试卷 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 盒中装有4只白球和5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的半径，是弦，，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题3分，共9分） 6. 下列调查中，适合做抽样调查的有（ ） A. 了解某品牌酸奶的益生菌含量 B. 审查一本书稿有没有科学性错误 C. 了解一架飞机的零件是否生锈 D. 做菜的时候尝尝盐放得是否恰当 7. 下列函数的图象中，与坐标轴有三个交点的有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 请你以“盒中装有4只白球和5只黑球”为背景，举一个“不可能事件”的例子：_________． 10. 有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程：_________． 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线的表达式是________． 12. 一个大正方形的周长是一个小正方形周长的2倍，若小正方形的面积为6，则大正方形的面积为________． 13. 如图，榕榕在地面A处，用测角仪测得一座大楼的楼顶处的仰角为，又用激光测距仪测出间的距离为米，则这座大楼的高度为_________米． 14. 如图，是圆的直径，弦、相交于点，点是弧的中点．若，则的值是_______． 四、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 小宇有红、黑两双袜子混放在一起．早上上学时，由于忙乱，在黑暗中随机摸出两只穿上，用列表或树状图求两只袜子恰好同色的概率． 18. 如图，是的两条直径，点、点是圆上的两个点，．求证：． 19. 若二次函数图象的顶点坐标为，且与轴交于． （1）求该二次函数的表达式． （2）若该图象与轴交于、两点，求线段的长度． 20. 请按要求完成下列图形，确定圆心的位置，并简要说明方法与依据． （1）在图①中，只允许使用三角尺． （2）在图②中，只允许使用直尺和圆规． 21. 某校在九年级举行了一次口语测试，满分为10分，因各班学生的水平差异较小，故随机抽取了一个班的成绩作为样本进行初步分析：有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分． （1）从上面的数据来看，抽取样本的容量是_________． （2）样本平均数是__________． （3）教务处决定对成绩低于7分的学生开展强化训练，在九年级共700名学生中，估算一下有多少人需要参加训练． 22. 海中有一小岛，在它周围10千米内布满了暗礁，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向，航行10千米后到达点，此时测得小岛在北偏东方向．如果这艘轮船不改变航向，继续向东航行，请通过计算判断是否存在触礁的危险． （参考数据：） 23. 如图，是半圆的直径，，点在线段之间，，与半圆弧交于点，以为边，向右作正方形，连结、． （1）当时，的大小为_________． （2）当点落在半圆弧上时，_________． （3）当时，求正方形与半圆形的公共部分的面积．（结果保留） （4）当线段把正方形分成的两部分图形的面积之比为时，直接写出的长． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点，点，，与抛物线交于点．连结、． （1）直接写出的长度为_________． （2）求的长度． （3）求这个二次函数的表达式． （4）如图②，点从点出发，沿射线向点运动；同时，点从点出发，沿射线向点运动，两点运动的时间为秒，速度均为1个单位长度/秒，当点到达终点时，点也随之停止运动．作轴，交于点．当直线垂直于的一条边时，直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春经开区2024-2025学年度第一学期期末质量调研 九年级数学试卷 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式‌是指化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，由同类二次根式的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故与不是同类二次根式，不符合题意； B、，故与是同类二次根式，符合题意； C、，故与不是同类二次根式，不符合题意； D、，故与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 盒中装有4只白球和5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查概率的求法，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：根据题意可得：盒中装有4只白球和5只黑球，共9个， 任意摸出1个，摸到白球的概率是． 故选：D． 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，二次根式有意义的条件；根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以，又， 所以， 所以的取值范围是， 故选D． 4. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于点，由四边形是菱形，，可得，，则，，，由勾股定理得，，计算求解，进而可求点坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， 四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，坐标与图形等知识．熟练掌握菱形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，坐标与图形是解题的关键． 5. 如图，是的半径，是弦，，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得解． 【详解】解：∵是的半径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 二、多项选择题（每小题3分，共9分） 6. 下列调查中，适合做抽样调查的有（ ） A. 了解某品牌酸奶的益生菌含量 B. 审查一本书稿有没有科学性错误 C. 了解一架飞机的零件是否生锈 D. 做菜的时候尝尝盐放得是否恰当 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据抽样调查和全面调查的区别做出判断即可． 【详解】解：A、了解某品牌酸奶的益生菌含量，适合抽样调查； B、审查一本书稿有没有科学性错误，适合普查； C、了解一架飞机的零件是否生锈，适合普查； D、做菜的时候尝尝盐放得是否恰当，适合抽样调查； 故选：AD． 7. 下列函数的图象中，与坐标轴有三个交点的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与轴有个交点，且不过原点，据此逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 经过原点，故该选项不正确，不符合题意； B. ，当时，，即 ，则抛物线与轴有2个交点， 当时，，抛物线与轴有1个交点， ∴图象与坐标轴有三个交点，故该选项正确，符合题意； C. ，当时，， 则抛物线与轴没有交点，故该选项不正确，不符合题意； D. ，当时， ，则抛物线与轴有2个交点， 当时，，抛物线与轴有1个交点， ∴图象与坐标轴有三个交点，故该选项正确，符合题意； 故选：BD． 8. 如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定和性质，30度直角三角形的性质．证明为等边三角形即可得；证明得，进而可得，再由内错角相等得；由30度直角三角形的性质得，进而可得；由得，，进而得，，即可得． 【详解】解：∵、切于、， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，故选项A正确； 在和中， ， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故选B正确； 由得， ∴， 又∵， ∴，故选项C正确； ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，故选项D错误． ∴一定正确的有． 故选：． 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 请你以“盒中装有4只白球和5只黑球”为背景，举一个“不可能事件”的例子：_________． 【答案】在只装有4个白球和5个黑球的袋子里，摸出一个红球（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，不可能事件，不可能事件是随机事件的特殊情况之一，指在相同条件下每次试验一定不发生的事件，从而可得答案. 【详解】解：事件：“盒中装有4个白球和5个黑球的袋子里，从盒中摸出一个红球”是不可能事件， 故答案为：盒中装有4个白球和5个黑球的袋子里，从盒中摸出一个红球（答案不唯一）． 10. 有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据每两人都握手一次手，有人共握手66次，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象的平移，掌握函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”是解答本题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的新抛物线的表达式是， 故答案为：． 12. 一个大正方形的周长是一个小正方形周长的2倍，若小正方形的面积为6，则大正方形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，由于小正方形的面积为6，则，继而可求，则大正方形的面积即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 则由题意得， 则， ∵小正方形的面积为6， ∴， 则， ∴大正方形的面积为， 故答案为：24． 13. 如图，榕榕在地面A处，用测角仪测得一座大楼的楼顶处的仰角为，又用激光测距仪测出间的距离为米，则这座大楼的高度为_________米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，直接根据含30度角的直角三角形性质得出结论即可． 【详解】解：如图， 由题意得：在中，米， 米， 则这座大楼的高度为米， 故答案为：． 14. 如图，是圆的直径，弦、相交于点，点是弧的中点．若，则的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，由圆周角定理可求出，从而得出，再解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是弧的中点． ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 四、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算．先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题利用配方法求解即可． 【详解】解： 或 解得：． 17. 小宇有红、黑两双袜子混放在一起．早上上学时，由于忙乱，在黑暗中随机摸出两只穿上，用列表或树状图求两只袜子恰好同色的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与画树状图去概率，根据概率公式计算概率等知识点，根据题意列出表格，然后得出等可能的情况有12种，其中恰好是颜色相同的袜子的情况有4种，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 红1 红2 黑1 黑2 红1 （红2，红1） （黑1，红1） （黑2，红1） 红2 （红1，红2） （黑1，红2） （黑2，红2） 黑1 （红1，黑1） （红2，黑1） （黑2，黑1） 黑2 （红1，黑2） （红2，黑2） （黑1，黑2） 所有等可能的情况有12种，其中恰好是颜色相同的袜子的情况有4种， 所以恰好是颜色相同的袜子的概率为． 18. 如图，是的两条直径，点、点是圆上的两个点，．求证：． 【答案】 证明：如图，连接，， ∵是的两条直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等弧、等弧对等弦，全等三角形的判定与性质，连接，，由得，进而得，证明即可得出结论． 【详解】略． 19. 若二次函数图象的顶点坐标为，且与轴交于． （1）求该二次函数的表达式． （2）若该图象与轴交于、两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式： （1）根据题意可设该二次函数的表达式为，再把代入，求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，求出、两点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴可设该二次函数的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ∵该图象与轴交于、两点， ∴、两点的坐标分别为， ∴． 20. 请按要求完成下列图形，确定圆心的位置，并简要说明方法与依据． （1）在图①中，只允许使用三角尺． （2）在图②中，只允许使用直尺和圆规． 【答案】（1） 圆心如图： （2） 圆心如图： 【解析】 【分析】本题考查确定圆心，圆周角定理，垂直平分线的性质； （1）把三角尺直角顶点放在圆上，连接三角尺直角边与圆的交点，得到线段，，由圆周角所对弦是直径得到，为直径，它们交点即为圆心； （2）圆上任取两条弦，，再分别作，的垂直平分线，交点即为圆心，此时． 【小问1详解】 理由：线段，所对的圆周角都是，即可根据圆周角所对弦是直径得到，为直径，它们交点即为圆心； 【小问2详解】 理由：由，的垂直平分线可得，则为圆心． 21. 某校在九年级举行了一次口语测试，满分为10分，因各班学生的水平差异较小，故随机抽取了一个班的成绩作为样本进行初步分析：有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分． （1）从上面的数据来看，抽取样本的容量是_________． （2）样本平均数是__________． （3）教务处决定对成绩低于7分的学生开展强化训练，在九年级共700名学生中，估算一下有多少人需要参加训练． 【答案】（1） （2） （3）在九年级共700名学生中，估计有人需要参加训练 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，求平均数，样本估计总体； （1）根据样本容量的定义进行解答即可； （2）根据加权平均数的计算方法计算平均数，即可求解； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 故答案为：． 【小问2详解】 故答案为：． 【小问3详解】 （人） 答：在九年级共700名学生中，估计有人需要参加训练． 22. 海中有一小岛，在它周围10千米内布满了暗礁，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向，航行10千米后到达点，此时测得小岛在北偏东方向．如果这艘轮船不改变航向，继续向东航行，请通过计算判断是否存在触礁的危险． （参考数据：） 【答案】 解：没有触礁危险，理由如下， 过点A作于点E， 由题意得．，千米，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， ∵， 答：轮船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，由题意可得，，分别解即可． 【详解】略 23. 如图，是半圆的直径，，点在线段之间，，与半圆弧交于点，以为边，向右作正方形，连结、． （1）当时，的大小为_________． （2）当点落在半圆弧上时，_________． （3）当时，求正方形与半圆形的公共部分的面积．（结果保留） （4）当线段把正方形分成的两部分图形的面积之比为时，直接写出的长． 【答案】（1）40 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，得到，而，故，即可求解； （2）连接，过点作于点，则，可得四边形为矩形，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可； （3）连接，显然，在中，解直角三角形得到，则，由即可求解； （4）解：①记与交于点，连接当时，则，可得，由，设，则，在中，由勾股定理得 ，解得：，则； ②当时，则，连接，同理可得，设，则，，在中，由勾股定理得 ，解得，则． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：连接，过点作于点，则， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴； 【小问3详解】 解：连接 ∵ ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①记与交于点，连接 当时，则， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴； ②当时，则，连接 同理可得， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴ 综上所述：为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，不规则图形的面积，难度较大，注意分类讨论是解题的关键． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点，点，，与抛物线交于点．连结、． （1）直接写出的长度为_________． （2）求的长度． （3）求这个二次函数的表达式． （4）如图②，点从点出发，沿射线向点运动；同时，点从点出发，沿射线向点运动，两点运动的时间为秒，速度均为1个单位长度/秒，当点到达终点时，点也随之停止运动．作轴，交于点．当直线垂直于的一条边时，直接写出值． 【答案】（1）3 （2）5 （3） （4）当或2时，直线垂直于的一条边； 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，待定系数法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键.． （1）由点O和点B的坐标得出抛物线的对称轴，从而求出点C的坐标，可得 的长； （2）由两点间距离公式可求出； （3）设抛物线的解析式为，把点A、B的坐标代入，求出的值即可； （4）分和两种情况结合相似三角形的性质讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过， ∴抛物线的对称轴为直线， 又轴，且，点与点关于对称， ∴， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象经过原点和点，点， ∴设抛物线的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问4详解】 解：设直线的解析式为 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为 当时，延长交于点，过点作轴，如图， 则 ∴ 又， ∴ ∴ 根据题意得， ∴， 解得，； 当时， ∵轴，轴，则在同一直线上，如图， ∴ ∴ 又，， ∴， 解得，， 综上，当或2时，直线垂直于的一条边 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $