精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

莆田第十五中学2024-2025学年度上学期第二次月考检测 数学试题 考试时间 :120分钟 试卷满分：150分 命题人：数学组 审题人： 数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分析求解即可. 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 2. 等比数列中，、是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理求得的值，结合等比数列的性质可求得结果. 【详解】由韦达定理可得，因此，. 故选：D. 3. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 4. 在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，，，结合等差数列下标和的性质及等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为为等差数列，前项和有最大值， 若，则，即， 所以，，，即， 则，即， ，即， 所以当时，的最大值为11. 故选：A. 5. 双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线定义直接可得解. 【详解】由已知双曲线，可知，， 设双曲线的两焦点分别为，， 不妨设， 则, 解得或， 又双曲线上的点到焦点的距离， 所以， 故选：A. 6. 若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特点列不等式可解. 【详解】曲线是双曲线，则异号.则，解得. 故选：D. 7. 已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 8. 如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法可求双曲线的标准方程. 【详解】设双曲线的方程为：， 因为离心率，故半焦距，故， 而双曲线过，故，解得， 故双曲线的方程为：， 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ） A. B. C. 当时，是的最大值 D. 当时，是的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可. 【详解】因为，，成等比数列，所以，即， 整理得，因为，所以， 所以，则，故A正确、B错误； 当时单调递减，此时， 所以当或时取得最大值，即，故C正确； 当时单调递增，此时， 所以当或时取得最小值，即，故D正确； 故选：ACD 10. 对于曲线，下面说法正确的是（ ） A. 若，曲线C的长轴长为4 B. 若曲线是椭圆，则的取值范围是 C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D. 若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】曲线， A选项，， ，则，A选项正确. B选项，若曲线是椭圆，则， 解得且，所以B选项错误. C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则， 解得，C选项正确. D选项，曲线是椭圆且离心率为，， 由B选项的分析可知且， 当时，椭圆焦点在轴上，，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，解得， 所以的值为或，D选项正确. 故选：ACD 11. 已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为 B. 若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 C. 若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是 D. 若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，设出，，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值，A错误； B选项，先得到上下顶点能够使得为等腰三角形，再数形结合得到为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，列出不等式组，求出答案； C选项，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围； D选项，设，，则，表达出，问题转化为在上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围. 【详解】设，，则， ， ， 若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为； 若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为， 线段长度的最小值为， 综上：A错误； 如图，椭圆左右顶点为，上下顶点为， 显然上下顶点能够使得为等腰三角形， 要想椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形， 以为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点， 则要满足，且， 即，解得：，且， 故椭圆的离心率的取值范围是，B正确； 若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时，即； 若，即时，如图所示： 连接OP，OB，显然，，则， 因为在上单调递增，要想最大，只需最大， 故当最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，最大， 故当时满足要求，所以， 即，所以，解得：，所以， 综上：若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确； 设，，则， 椭圆上存在点P使得，即在上有解， 即在上有解， 令，注意到， ， 故只需满足， 由①得：，由②得：或， 综上： 则椭圆的离心率的取值范围是，D正确. 故选：BCD 【点睛】离心率时椭圆的重要几何性质，是高考重点考察的知识点，这类问题一般有两类，一是根据一定的条件求椭圆的离心率，另一类是根据题目条件求解离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于的等式或不等式，并且根据化为的等式或不等式，求出离心率或离心率的范围，再求解椭圆离心率取值范围时常用的方法有： 一、借助平面几何图形中的不等关系； 二、利用函数的值域求解范围； 三、根据椭圆自身性质或基本不等式求解范围等. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为，若，，则_______． 【答案】280 【解析】 【分析】直接根据等比数列前项和的性质即可得结果. 【详解】由等比数列的性质，知，，也成等比数列， 即40，80，成等比数列， 所以，所以． 故答案为：280. 13. 已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可 【详解】如图，取线段的中点M，连接， 因为，， 所以，且， 所以， 设， 所以C的离心率为 ， 故答案为： 14. 已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据椭圆定义以及勾股定理可得即可得出的面积. 【详解】根据题意可知，即可得，即； 由椭圆定义可得， 又可知； 所以可得，即， 解得， 因此的面积为. 故答案为：1 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足，的前n项和为． （1）求及； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质有，再由等差数列通项公式求公差，进而写出及； （2）由（1）得，应用等差数列前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设，则，故等差数列的公差， 所以，； 【小问2详解】 由（1），则. 16. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程； （2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果. 【小问1详解】 由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，； 双曲线过点，； 由得：，双曲线的方程为：； 【小问2详解】 由（1）得：双曲线的焦点坐标为； 若直线过双曲线的左焦点，则， 由得：； 设，，则， ； 由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，； 综上所述：. 17. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 18. 已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2） 解法一（非对称韦达）： 由题意如图所示： 设点，可设直线的方程为：， 联立，得， 由根与系数的关系，， 直线的方程：，① 直线的方程：，② ①②得， 因为， 所以，解得， 因此，点在定直线上. 解法二（齐次化）： 由题意如图所示： 设不过点的直线的方程为：， 由于直线过，所以. 设，点. 椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得， ，即， 即，由根与系数的关系，， 又由题意可得：，所以两式相除得：， 即，解得， 所以点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由左、右顶点为，先求，再设点的坐标，利用斜率公式表示条件，结合点在椭圆上求，由此可得椭圆方程. （2）解法一（非对称韦达）：设点的坐标及直线的方程为，联立直线与椭圆的方程组，化简写出韦达定理，然后表示出直线、的方程相除结合韦达定理化简即可；解法二（齐次化）：设不过点的直线的方程，由题意求出的值，然后表示出直线、的斜率，设点，结合椭圆方程化简分析即可. 【小问1详解】 如图所示： 根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上， 所以，得， 则， 解得，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点. （1）求曲线的标准方程； （2）以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）； （2）过定点，. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义结合条件即可求出方程；（2）切线，与椭圆方程联立，利用，可得，即可得到，联立，求得，由椭圆的对称性易知，若过定点则该定点一定在轴上，设是以为直径的圆上的一点，利用化简可得答案. 【小问1详解】 依题意，由椭圆定义可知在以､为焦点，为长轴长的椭圆上 ， 曲线的标准方程为 【小问2详解】 设当过的切线斜率不存在时，不能和直线相交，所以过的切线斜率存在，设切线的斜率为轴上的截距为，则切线 联立消去得 与曲线相切，， ， 联立，求得 由椭圆的对称性易知，若过定点则该定点一定在轴上， 设是以为直径的圆上的一点 ，即 以为直径的圆过定点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十五中学2024-2025学年度上学期第二次月考检测 数学试题 考试时间 :120分钟 试卷满分：150分 命题人：数学组 审题人： 数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 等比数列中，、是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ） A. B. C. 当时，是的最大值 D. 当时，是的最小值 10. 对于曲线，下面说法正确的是（ ） A. 若，曲线C的长轴长为4 B. 若曲线是椭圆，则的取值范围是 C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D. 若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或 11. 已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为 B. 若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 C. 若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是 D. 若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为，若，，则_______． 13. 已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为________． 14. 已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足，的前n项和为． （1）求及； （2）令，求数列的前n项和． 16. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长． 17. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 18. 已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 19. 已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点. （1）求曲线的标准方程； （2）以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $