精品解析：山东省临沭第一中学等校2024-2025学年高三上学期12月质量检测数学试题

山东省12月质量检测 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，数列，平面向量，复数，立体几何，解析几何（不含双曲线和抛物线）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某正四面体玩具可以在棱长为6的正方体玩具盒（不考虑玩具盒的厚度）内任意转动（绕正四面体外接球的球心转动，且为正方体的中心），则该正四面体玩具的表面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一个等边三角形中，连接各边中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，这样就剩下三个小的三角形，对剩下的小三角形不断重复上述步骤，得到如图所示的一系列三角形图案，我们称这一系列三角形图案是谢尔宾斯基三角形．记经过次操作后，剩余三角形的个数为，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 对任意的最小正周期为 B. 存在，使得的图象关于某条直线对称 C. 对任意的是偶函数 D. 当时，的最小值为 11. 已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则________． 13. 已知，且，则的最大值是________． 14. 如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求、值； （2）求在上的值域． 16. 设数列的前项和为，且当时，． （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，． （1）证明：平面平面． （2）若点到平面的距离为，求四棱锥的体积． 18. 已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的动点，是的内心，求的最大值. 19. 若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界， 是的一个下界． （1）求函数下界的取值范围； （2）判断是否是下界为的函数，并说明理由； （3）若函数，是的一个整数下界，求的最大值．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省12月质量检测 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，数列，平面向量，复数，立体几何，解析几何（不含双曲线和抛物线）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得. 【详解】因为，因此，. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集定义可求得集合. 【详解】因为，， 因此，. 故选：D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出的值，即可得出结论. 【详解】若，则，解得， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：A. 4. 已知函数是定义在上奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性与函数值符号的变化，分、两种情况解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递增， 且，则，且该函数在上为增函数，， 当时，；当时，； 当时，；当时，. 因为， 当时，即时，，则或，此时，； 当时，即时，，则或，此时，. 综上所述，不等式的解集是. 故选：B. 5. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 6. 过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，推导出，可得出，设，利用二倍角公式计算出的值，进而可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 由圆的几何性质可得，，，， 所以，，所以，， 设，则， 因为。 易知为锐角，则，， 所以，， 因此，. 故选：C. 7. 已知某正四面体玩具可以在棱长为6的正方体玩具盒（不考虑玩具盒的厚度）内任意转动（绕正四面体外接球的球心转动，且为正方体的中心），则该正四面体玩具的表面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球，转化为求正四面体的外接球的半径，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】如图，设四面体的棱长为，外接球圆心为，半径为，为底面三角形的外心， 则，， 由，得，解得， 又该正四面体玩具可以该正方体内任意转动， 则正四面体外接球最大是正方体的内切球， 此时，解得， 所以正四面体的表面积为 故选：D 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出，其中，令，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由可得，其中， 令，其中， 则， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数， 因为，， 所以存在，使得，即， 且当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为，则，则， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得，所以，可得， 故， 因此实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一个等边三角形中，连接各边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，这样就剩下三个小的三角形，对剩下的小三角形不断重复上述步骤，得到如图所示的一系列三角形图案，我们称这一系列三角形图案是谢尔宾斯基三角形．记经过次操作后，剩余三角形的个数为，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件可得两个数列的递推关系可得，结合等比数列的通项公式和前项求和公式计算即可求解. 【详解】由题设每次操作，前一个图形中的每一个黑色三角形均可以得到下一个图形中的3个小黑色三角形， 故，而， 故为等比数列，故； 所以 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 对任意的的最小正周期为 B. 存在，使得的图象关于某条直线对称 C. 对任意的是偶函数 D. 当时，的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的化简可得，结合三角函数的图象与性质计算和定义法证明奇偶性的应用，依次判断选项即可. 【详解】. A：当时，函数的最小正周期均为，故A错误； B：当时，，图象关于直线对称，故B正确； C：， 则， ， 得，所以为偶函数，故C正确； D：当时，， 当时，函数和同时取到最小值，分别为和0， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合函数的对称性、周期性以及利用导数法则求导，通过已知条件找出和的周期性，再利用赋值对选项逐个判断即可. 【详解】由，则①，又②， ①②得③，则④， 则④③可得，即， 故是周期为的函数，则， 由的图象关于直线对称，则⑤， 由③，故可得， 所以，故A正确； 由⑤可得，即， 由③可得，可得，故B错误； 由②可得，又， 则两式相减可得，即有， 则可得，即，故C正确； 由，则，又，则， 由，则，又，则， 由，则，又，则，则， 由，则， 由，则，则， 则， 由，则是周期为的函数， 故， 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题主要是研究抽象函数的性质，以及导数的运算，本题的关键是以题中条件等式为桥梁，寻找的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可求得. 【详解】在椭圆中，， 因为、是椭圆的两个焦点，在椭圆上， 由椭圆的定义可得，故. 故答案为：. 13. 已知，且，则的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，结合两角差的正切公式和基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，利用结合三角形的面积公式可得出，由，，求出的取值范围，可求出的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即为所求. 【详解】设，，，由题意可得，且， 因为，即， 可得，由题意可知，，， 所以，，由，解得， 所以，， 令，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，则， 由余弦定理可得 ，故， 因此，的长的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求、的值； （2）求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可出关于、的方程组，即可解得、的值； （2）利用导数分析函数的单调性与极值，并求出端点函数值，即可得出函数在上的值域. 【小问1详解】 因为，则， 因为曲线在点处的切线方程为， 则，所以，，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，则， 列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数极大值为，极小值为， 又因为，， 所以，当时，，， 因此，在上的值域为. 16. 设数列的前项和为，且当时，． （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据等差数列的定义可得是以1为公差，1为首项的等差数列，则，结合与的关系计算即可求解； （2）由（1）得当为奇数，当为偶数，，结合等差数列前项和公式和裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 当时，，得①. 当时，，得， 得，符合①式， 所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列， 故，所以. 当时，， 又符合上式， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，当为奇数，， 当为偶数，， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，． （1）证明：平面平面． （2）若点到平面的距离为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）16 【解析】 【分析】（1）如图，设，则，根据余弦定理的应用和勾股定理的逆定理计算可得，结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点面距建立关于的方程，再次利用空间向量法求出点到平面的距离，结合锥体的体积公式计算即可求解. 【小问1详解】 设，取的中点，连接，如图， 则，且， 在中，， 在中，有，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由，得， 所以，解得，即， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 所以点到平面的距离为， 解得，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 所以点到平面的距离为， 又平行四边形的面积为， 所以四棱锥的体积为. 18. 已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的动点，是的内心，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的方程组，解出这三个值，即可得出椭圆的方程； （2）设点，根据等面积法可得出，利用点到直线的距离可得，然后利用两点间的距离公式可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可得 解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设. 由等面积法得， 同号，则. 由题意可得，则直线的方程为， 即. 点到直线的距离. 因为，所以， 所以. 因为是椭圆上动点，所以，所以， 所以， 整理得，即. 因为，所以. 因为，所以，即， 则. 故当时，取得最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界， 是的一个下界． （1）求函数的下界的取值范围； （2）判断是否是下界为的函数，并说明理由； （3）若函数，是的一个整数下界，求的最大值．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用导数求出函数的最小值，即可得出的取值范围； （2）令，利用导数证明出，即可得出结论； （3）利用导数分析函数的单调性与最小值，求出最小值的范围，即可得出整数的最大值. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，对任意的，，则， 因为，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的减区间为，增区间为，则， 所以，，因此，函数的下界的取值范围为. 【小问2详解】 令，其中，， 因函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，，故， 因此，函数是下界为的函数. 【小问3详解】 当时，，则， 令，则， 当时，，，则， 所以，函数在上为增函数， 因为，所以，， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， ， 令，其中， ， 所以，函数在上单调递减，所以，， 所以，，且， 因此，整数的最大值为. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $