精品解析：江苏省常州市溧阳市第六中学2024—2025学年九年级上学期12月月考数学试题

溧阳市第六中学2024-2025学年九年级上学期12月月考 九年级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 含有的任意三角形 D. 顶角为钝角等腰三角形 3. 抛物线经过三点，则大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图与的图像，当 （ ）时，，均随着的增大而减小 A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题．每小题2分，共20分） 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=，则cosA=____． 10. 若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α的度数是_____． 11. 二次函数的最小值是_______ 12. 抛物线的对称轴是直线，则的值为___． 13. 王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为______． 14. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 15. 如图，将放置在的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么的正切值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ______ ． 17. 如图，在中，，线段上有一个动点，过点作， 交于，连接， 则的最大面积是__________ 18. 如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 20. 在中，，根据下列条件解直角三角形： （1），； （2），． 21. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于 A、B两点 （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P在该二次函数的图像上，且的面积为6，求点P的坐标． 22. 综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为，测得楼楼顶C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者A 和大楼之间的水平距离是 80米，则楼的高度是多少米？ 23. 2021年春节期间大润发超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 55 60 销售量y（千克） 100 90 80 （1）则y与x之间的函数表达式______． （2）设这种商品每天的利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并求出当售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； （3）作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 溧阳市第六中学2024-2025学年九年级上学期12月月考 九年级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 2. 若，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 含有的任意三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 4. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 5. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与轴交于点， 将，代入，则， ， ∴原方程为 解得：或； 故选：B． 7. 如图与的图像，当 （ ）时，，均随着的增大而减小 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图像和性质，利用数形结合的思想解决问题是解答本题的关键． 由函数图像可知，当时，随着的增大而减小；位于第一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图像可知，当时，随着的增大而减小， 位于第一、三象限内，且均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 8. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②正确； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题．每小题2分，共20分） 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=，则cosA=____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】由，可设，则，由勾股定理得，求出的值，根据可求结果． 【详解】解：由题意知，， 设，则 由勾股定理得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切、余弦值．解题的关键在于求出三边的数量关系． 10. 若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α的度数是_____． 【答案】37° 【解析】 【详解】∵sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°， ∴锐角α=37°． 故答案为：37°． 11. 二次函数的最小值是_______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将该二次函数写成顶点式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴当时，函数有最小值，为． 故答案为：1 12. 抛物线的对称轴是直线，则的值为___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：，对称轴是直线， ，即，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线是解题的关键． 13. 王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了根据角的三角函数值求角，由题意可得，即得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 15. 如图，将放置在的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么的正切值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得． 【详解】解：如图所示，连接BC， 则，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 则， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由点的坐标为得到，在中，由得到，则，再根据菱形性质即可得到答案． 【详解】解：点的坐标为， ， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 菱形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用菱形性质求线段长及周长，涉及解直角三角形及勾股定理，熟记菱形性质是解决问题的关键． 17. 如图，在中，，线段上有一个动点，过点作， 交于，连接， 则的最大面积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】过C作CE⊥AB于E，过P作PF⊥AC于F，先求出△ABC的面积，再证明△ADP∽△ACB，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出PF=AD，再根据面积公式得出△PCD的表达式，再利用二次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】过C作CE⊥AB于E，过P作PF⊥AC于F ∵AC=4，∠A=30° ∴CE=AC=2 ∴ ∵PD∥BC ∴ ∴ ∴ ∴PF=AD ∵ ∴当AD=2时，△PCD的面积最大，最大值为 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数与动态几何题，解题的关键是根据几何知识写出表达式，再利用二次函数的性质求面积的最大值问题． 18. 如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合运算，根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程和熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可； （3）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （4）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 在中，，根据下列条件解直角三角形： （1），； （2），． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形是利用勾股定理和三角函数求出直角三角形中未知的边和角． 根据，，可以求出这个三角形的另一个锐角为，利用的正弦可以求出直角三角形的直角边； 根据和直角三角形两个锐角互余可以求出，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出直角边和斜边的长，再利用勾股定理求出另一直角边的长度． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ， ， ， ，， ． 21. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于 A、B两点 （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P在该二次函数的图像上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，解一元二次方程： （1）令，得，解一元二次方程即可； （2）根据（1）中结论得出，设点P坐标为，根据得出，解关于m的一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：令，得， 解得，， 点B在点A的右侧， ，； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， 设点P坐标为， 的面积为6， ，即， ， ， 当时，整理得：， 解得，， 当时，整理得：， ， 没有实数根， 综上可知，点P坐标为或． 22. 综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为，测得楼楼顶C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者A 和大楼之间的水平距离是 80米，则楼的高度是多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用中的仰角和俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点做于点，过点作于点，由锐角三角函数定义的，则，再求出，即可解决问题． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形． 由题意得，米，米， ， ． 在中，， ， （米）， （米） ∵四边形矩形， （米） （米）（米）． 23. 2021年春节期间大润发超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 55 60 销售量y（千克） 100 90 80 （1）则y与x之间的函数表达式______． （2）设这种商品每天的利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并求出当售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），当售价为68元时获得最大利润，最大利润是1792元 【解析】 【分析】（1）、设出一次函数的解析式，运用待定系数法求解即可． （2）根据每天的利润=（单件售价-单件进价）×数量列出函数解析式，再对函数进行配方，运用函数的图像与性质求出最值． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为： ， 将x=50，y=100；x=55，y=90代入解析式 可得： ， 解得： ， 则一次函数解析式：； 【小问2详解】 由题意得： ， 由题意可知： ，对称轴为 ， 时W取最大值，且最大值为：1792元． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，根据利润公式列出等量关系是本题的关键． 24. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． 【小问2详解】 根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； （3）作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 【答案】（1）； （2）最大值为，C的坐标为； （3）点G的坐标为，，． 【解析】 【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）根据题意证明，再设的解析式为，求出的解析式，再设，则，再表示出利用最值即可得到本题答案； （3）根据题意求出，再分情况讨论当为对角线时，当为边时继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M． ∴轴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． ∴的最大值为，此时点C的坐标为． 【小问3详解】 解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点， ∴， ∴（舍），， ∴． ∵抛物线F：的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，当为对角线时，由题知， ∴， ∴． 如图3，当为边时，由题知， ∴， ∴． 如图4，由题知， ∴， ∴， 综上：点G的坐标为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $