精品解析：山东省九市联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024－2025学年山东省九年级12月联考 数学试题（青岛版） （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前务必将你的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试题不分Ⅰ、Ⅱ卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题． 3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于 的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 3. 化学实验中常使用的酒精是由纯度为的乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，已知酒精的浓度则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 某校九年级在复习四边形时，该校老师为了考查本校学生的灵活应用能力，给出下面的规定：对于一个矩形，如果存在一个新矩形，新矩形的面积和周长分别是已知矩形面积和周长的4倍，则称这个新矩形是原矩形的“伴手矩形”．当已知矩形的长和宽分别为4cm和2cm时，设其“伴手矩形”的一边长为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近 ，为n米，则铅垂高度 约为（ ）米． A. B. C. D. 6. 定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点在单位圆上，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡 发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点 表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面 （即），若灯泡 距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角，分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图1所示，石磙是古代劳动人民的一种碾压工具，其截面如图2所示，已知，则石磙横截面圆的半径长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为，下列结论：①；② ；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则锐角 的度数为______ ． 12. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则______． 13. 已知点都在反比例函数的图象上．如果且，则的大小关系是______． 14. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图所示，该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，当电流为时，变阻器消耗的电功率为______． 15. 中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子， 尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为______尺． 16. 如图所示，是的弦，是的直径，且 ，，，则阴影部分图形的面积为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤． 17. （1）解一元二次方程：． （2）如图所示，某市有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，为了便于行走，市城建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端 延伸到 处，使，试求的长度约为多少米？（保留一位小数，参考数据：） 18. 如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（ ）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． （1）请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； （2）当“木海马”底面面积为时，压强是多少 ； （3）如果要求压强不超过6000 ，那么“木海马”底面面积至少要多少． 19. “远远的街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） （1）计算小华站在Q处在路灯A下的影长； （2）计算路灯A的高度． 20. 在现代汽车成为人们出门的代步工具之一，汽车的心脏是发动机，如图1所示是发动机的一种动力传输工具，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点A在中轴线上运动，点B在以O为圆心， 长为半径的圆上运动，且．当与相切时，求点A到最短距离． 21. 青岛啤酒以历史悠久，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． （1）求该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商青岛啤酒的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则售价应为多少元？ 22. 《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方案： 改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图，预计挖空后平时水面宽20m，拱顶离水面5m．据推算，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m； 为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： 问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长． 问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2m，船体宽9m需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．（注： ） 问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图4中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 23. 【实践课题】南海是我国的固有领土，近年来由于海运量增大，对珊瑚礁的破坏严重，为了保护某珊瑚礁，我国某科考队在南海画出了一个海洋保护区，在航海图上标明了三个观测点的坐标，请你帮助科考队完成任务． 【实践工具】中国南海地图，直尺，铅笔等工具 【实践活动】该班甲小组在地图上确定O，B，C三观测点，建立平面直角坐标系，如图1所示，、、，由这三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． 【问题解决】甲小组若在观测点O测得一艘渔船D的位置为，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？ 【交流研讨】甲小组问题解决后，乙小组提出了另一种方案：如图1所示，在甲小组确定的O，B，C三个观测点的基础上，再连接，比较和的大小，来确定D在的内部还是外部，请你利用乙组的方法确定当渔船D的位置为时，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？（注：当时，点D在 内部，当时，点D在 外部，当时，点D在 上）（注：时，角随正弦值的增大而增大，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年山东省九年级12月联考 数学试题（青岛版） （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前务必将你的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试题不分Ⅰ、Ⅱ卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题． 3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标是， 故选：D 2. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．把代入得到，再代入，即可求解． 【详解】解：把代入 得：， 把代入 得：， 故选：C． 3. 化学实验中常使用的酒精是由纯度为的乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，已知酒精的浓度则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数的图象，根据的酒精的浓度y与酒精的质量x，酒精的浓度，则乙醇质量为，结合体函数图象，即可求解． 【详解】依题意，乙醇质量为， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种乙醇质量相同， ∵甲在反比例函数的图象上方，丙在反比例函数的图象下方 ∴乙醇质量最多的是甲，最少的是丙， 故选：A． 4. 某校九年级在复习四边形时，该校老师为了考查本校学生的灵活应用能力，给出下面的规定：对于一个矩形，如果存在一个新矩形，新矩形的面积和周长分别是已知矩形面积和周长的4倍，则称这个新矩形是原矩形的“伴手矩形”．当已知矩形的长和宽分别为4cm和2cm时，设其“伴手矩形”的一边长为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据两矩形周长间的关系，可得出其“伴手矩形”的相邻两边长，利用“伴手矩形”的面积是已知矩形面积的4倍，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 已知矩形的长和宽分别为4cm和2cm，其“伴手矩形”的一边长为， 该边的邻边为． 根据题意得：． 故选：B． 5. 如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近 ，为n米，则铅垂高度 约为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，得到，设，勾股定理求出米，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：由题意，得：， 设， 在 中，， ∴米， ∴米； 故选B． 6. 定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点在单位圆上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过P作OA的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案． 【详解】解：过作于，则， 故选B． 【点睛】本题考查的是正弦的定义，掌握定义是解题的关键． 7. 如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面 （即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影中相似三角形的性质，根据题可知：两条光线与两圆直径构成的两个三角形相似，根据相似三角形的性质可求出阴影部分的半径解题即可． 【详解】解：如图2所示，由图形知道， ， 而， ， ， ， ， 即地面上阴影部分的面积为． 故选：B． 8. 如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角，分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，根据题意，得到，，利用三角函数得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，由题意，可知：，， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：； 故选C． 9. 如图1所示，石磙是古代劳动人民的一种碾压工具，其截面如图2所示，已知，则石磙横截面圆的半径长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过点作直径 与点，连接，根据题意，得到，设石磙横截面圆的半径长为 ，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作直径 与点，连接，则：， 由题意，可知：与相切于点，四边形为矩形， 则：， 设石磙横截面圆的半径长为 ，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选B． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为，下列结论：①；② ；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，开口方向判断的符号，对称轴的位置判断的符号，与轴交点的位置，判断的符号，与轴的交点个数判断的符号，判断①②⑤，特殊点和增减性，判断③和④． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴为直线与轴交于负半轴，与轴有2个交点， ∴，故①⑤正确； ∴ ∴ ，故②正确； ∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴，故③错误， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小，为， ∴， 即：，故④错误； 综上，正确的有3个； 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则锐角 的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的正切值，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可． 【详解】解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，， ∴， ∴； 故答案为：12． 13. 已知点都在反比例函数的图象上．如果且，则的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一，三象限， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图所示，该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，当电流为时，变阻器消耗的电功率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解析式和代入求值，用待定系数法求抛物线的解析式是解答本题的关键． 先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求当时的值，即可解答． 【详解】解： 图像是经过原点的一条抛物线的一部分， 设抛物线解析式为， 把，代入，得， 解得：， 抛物线解析式为：， 当时，， 故答案为：． 15. 中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】由，，得，知，故，解出尺，即第一时刻的影长为尺．本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 【详解】解：，， ∴， ， ∴ 则尺， 第一时刻的影长为尺， 故答案为：． 16. 如图所示，是的弦，是的直径，且 ，，，则阴影部分图形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，设线段、交于点，证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，然后根据特殊角的三角函数求出，然后根据阴影部分图形的面积，利用扇形面积公式代数求解即可． 【详解】解：如图，设线段、交于点， ∵ ∴ ∵是的弦，是的直径，且 ， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴阴影部分图形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积计算，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题关键是利用割补法求阴影部分面积． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤． 17. （1）解一元二次方程：． （2）如图所示，某市有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，为了便于行走，市城建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端 延伸到 处，使，试求的长度约为多少米？（保留一位小数，参考数据：） 【答案】（1）；（2）3.7米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和一元二次方程的解法； （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据在 中得到 米，然后在中利用正切计算长，然后根据计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 或， ． （2）解：在 中，米，， 则 米， 在中，米，， 则（米）， 则（米）， 答：的长度约为3.7米． 18. 如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（ ）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． （1）请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； （2）当“木海马”底面面积为时，压强是多少 ； （3）如果要求压强不超过6000 ，那么“木海马”底面面积至少要多少． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可． 【小问1详解】 解：设， 由图象，把代入得：， ∴； 【小问2详解】 当时，； 答：当“木海马”底面面积为时，压强是； 【小问3详解】 当时，； ∴当时，， 答：压强不超过6000 ，那么“木海马”底面面积至少要． 19. “远远的街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） （1）计算小华站在Q处在路灯A下的影长； （2）计算路灯A的高度． 【答案】（1）1米 （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，然后利用相似三角形的性质列出比例式进行求解即可； （2）证明，然后利用相似三角形的性质列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，，，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 即：小华站在Q处在路灯A下的影长为1米； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即：， ∴ ， 即：路灯A的高度为12米． 20. 在现代汽车成为人们出门的代步工具之一，汽车的心脏是发动机，如图1所示是发动机的一种动力传输工具，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点A在中轴线上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当与相切时，求点A到最短距离． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，因为，所以，由切线的性质得，而，则，即可作答．此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， 则， ∵， ∴， 与相切于点， ， ， ， ∴， ∴， 即点A到最短距离为． 21. 青岛啤酒以历史悠久，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． （1）求该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商青岛啤酒的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）56元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出关系式是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可； （2）设售价应降元，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可． 【小问1详解】 解：设该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率， 某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． ， 解得：或（舍去）， ， 答：该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率为 ； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每天可售出箱， 当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱． ， 整理，得：， 解得：或， 要尽量减少库存， ，（元）， 答：售价应为56元． 22. 《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方案： 改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图，预计挖空后平时水面宽20m，拱顶离水面5m．据推算，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m； 为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： 问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长． 问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2m，船体宽9m需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．（注： ） 问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图4中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】（1） （2）能顺利通过 （3）该抛物线的函数表达式为 （4）∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于 ，灯笼长 ， ∴悬挂点的纵坐标 ， 即悬挂点的纵坐标最小为 ， 把 代入得： ， 解得：， 0∴悬挂点的横坐标取值范围为 ； 方案一：从顶点处开始悬挂， ∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ， ， ∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为 ； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为 ， ， ∴可以挂 （盏）， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为 . 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键． 问题1：设圆的圆心为点C， 相交于点D，得出 ，则 ，设该圆的半径为r，则 ，根据勾股定理列出方程求解即可； 问题2：先求出该货船顶端与圆心距离 ，根据勾股定理可得：，则 ，即可解答． 问题3：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则，设该抛物线的表达式为，把代入求出a的值，即可得出函数表达式； 问题4：根据该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于 ，灯笼长 ，得出悬挂点的纵坐标 ，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为 ，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ， 即可解答； 【详解】解：问题1：设圆的圆心为点C， 相交于点D， 由题意可得： ， ∴ ， 设该圆的半径为r，则 ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得： ； 问题2：由问题1可知， ， 当河段水位涨达到最高时， ， ∵货船漏出水面高米， ∴该货船顶端与圆心距离 ， 根据勾股定理可得：， ∴ ， ∴船体在圆弧的拱顶正下方能顺利通过．     问题3：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 问题4：略 23. 【实践课题】南海是我国的固有领土，近年来由于海运量增大，对珊瑚礁的破坏严重，为了保护某珊瑚礁，我国某科考队在南海画出了一个海洋保护区，在航海图上标明了三个观测点的坐标，请你帮助科考队完成任务． 【实践工具】中国南海地图，直尺，铅笔等工具 【实践活动】该班甲小组在地图上确定O，B，C三观测点，建立平面直角坐标系，如图1所示，、、，由这三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． 【问题解决】甲小组若在观测点O测得一艘渔船D的位置为，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？ 【交流研讨】甲小组问题解决后，乙小组提出了另一种方案：如图1所示，在甲小组确定的O，B，C三个观测点的基础上，再连接，比较和的大小，来确定D在的内部还是外部，请你利用乙组的方法确定当渔船D的位置为时，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？（注：当时，点D在 内部，当时，点D在 外部，当时，点D在 上）（注：时，角随正弦值的增大而增大，） 【答案】[问题解决]该渔船已进入海洋生物保护区；[交流研讨]该渔船不进入海洋生物保护区 【解析】 【分析】[问题解决]连接，则点在和的垂直平分线上，由条件可知 为圆的直径，圆心到的距离为4，到的距离为3，则到轴的距离为，可得出点的坐标；过作，交于点，并延长交圆于点，过 作交于点，连接 ，在中可求得 ，再比较与半径的大小关系即可得出结论．可判断出点在圆内，可得出结论． [交流研讨]先做辅助线，再结合勾股定理以及运用等面积法求出，分别求出的正弦值，再进行比较，即可作答． 本题主要考查点与圆的位置关系及垂径定理的应用，勾股定理，求一个角的正弦值，掌握点与圆的位置关系的判定只需要求得点到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键． 【详解】解：[问题解决]由垂径定理可知点在和的垂直平分线上，连接，如图1， ，， ， 为直径， 点的坐标为； 如图2，过作，交于点，并延长交圆于点， 过 作交于点，连接 ， ∵ 为，为， ∴，而， 在中，由勾股定理可求得， 即， ∴点 在 内，所以该渔船已进入海洋生物保护区． [交流研讨] 解：依题意，渔船D的位置为，连接 如图所示： ∵渔船D的位置为，，，， ∴，， 过点 作轴，过点作， ∵， ∴， 则， ∵，，， ∴ 则 ∵，且时，角随正弦值的增大而增大， ∴， 故点D在 外部， 即该渔船不进入海洋生物保护区． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $