2025届高三物理中等生一轮复习专题进阶基础篇考点47竖直面内的圆周运动及其临界极值问题

目录 考点47　竖直面内的圆周运动及其临界极值问题 1 【轻“绳”模型及其临界条件】 1 【轻“杆”模型及其临界条件】 3 【凹形桥、凸形桥模型】 7 【光滑斜面上的圆周运动】 9 考点47　竖直面内的圆周运动及其临界极值问题 【轻“绳”模型及其临界条件】 1.如图所示，杂技演员表演“水流星”节目。一根长为的细绳两端系着盛水的杯子绳长远大于杯子的大小，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子中洒出，重力加速度为，每个杯子质量为、里面水的质量为。则： 杯子运动到最高点的角速度至少是多少 杯子在最低的角速度时，绳子对最低点的杯子拉力是多少 2.如图甲，一轻质绳拴着质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动不计一切阻力，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，关系如图乙所示，则(    ) A. 轻质绳长为 B. 当地的重力加速度为 C. 当时，绳的拉力大小为 D. 只要，小球就能做完整的圆周运动 3.如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道，再进入圆轨道，圆轨道的半径为，圆轨道的半径是轨道的倍，小球的质量为，若小球恰好能通过轨道的最高点，则小球在轨道上经过其最高点时对轨道的压力大小为重力加速度为(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一轻弹簧一端连接在圆轨道圆心的光滑转轴上，另一端与圆轨道上的小球相连．开始时小球在圆轨道的最低点处于静止状态，恰好对轨道无压力．现使小球获得水平向右的初速度，小球刚好能沿圆轨道通过最高点．已知圆轨道的半径，轻弹簧原长，小球的质量，取重力加速度，求： 该弹簧的劲度系数； 小球在最高点的速度大小． 【轻“杆”模型及其临界条件】 5.如图，一长为的细绳，一端系一小球可视为质点，另一端固定在点。现把绳拉直，当绳处在水平位置时，给小球一竖直向下的初速度，则小球刚好能沿圆周运动到位于点正上方的点。如果把细绳换成长为的刚性轻杆，杆可绕点在竖直面内转动，为使小球能沿同一圆周逆时针方向转动刚好到达点，当杆位于水平位置时，应给小球的竖直向下的初速度为，则为      (    ) A. B. C. D. 6.如图甲所示，轻杆的一端固定一小球可视为质点，另一端套在光滑的水平轴上，轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小；轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时轴受到的杆的作用力，若取竖直向下为的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的为小球在最高点处的速度图象如图乙所示，取，则(    ) A. 轴到小球的距离为 B. 小球的质量为 C. 小球恰好通过最高点时的速度大小为 D. 小球在最低点的速度大小为时，通过最高点时杆不受球的作用力 7.如图所示，轻杆长，在杆两端分别固定质量均为的球和，光滑水平转轴穿过杆上距球为处的点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球运动到最高点时，杆对球恰好无作用力。忽略空气阻力。则球在最高点时(    ) A. 球的速度为 B. 球的速度大小为 C. 水平转轴对杆的作用力为 D. 水平转轴对杆的作用力为 8.如图甲所示，一光滑的圆管轨道固定在竖直平面内，为通过圆心的一条水平线，质量为的小球可视为质点在圆管内运动，小球的直径略小于圆管的内径，轨道的半径为，小球的直径远小于，重力加速度为。小球经最高点的速度为，圆管对小球的弹力取竖直向下为正与的关系如图乙所示，关于小球的运动，下列说法正确的是 A. 图乙中的， B. 当时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差可能为 C. 小球在水平线以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力 D. 若小球从最高点由静止沿轨道滑落，当滑落高度为时，小球与内、外管壁均没有作用力 【凹形桥、凸形桥模型】 9、(多选)汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C处，其中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为ρ1，C处的曲率半径为ρ2，重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ，当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是(　　) A．汽车经过A处时处于失重状态，经过C处时处于超重状态 B．汽车经过B处时最容易爆胎 C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过 D．汽车经过C处时所受的摩擦力大小为μmg 10.如图所示，一辆载重汽车在高低不平的路面上以恒定的速率行驶，其中一段路面为两段相切且半径均为的圆弧。汽车可视为质点，图中虚线是水平线，重力加速度为，则汽车运动到最低点和最高点时对路面的压力之比为 A. B. C. D. 11.如图是模拟的滑板组合滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道，半径的凹形圆弧轨道和半径的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中点为凹形圆弧轨道的最低点，点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心点与点处在同一水平面上，一质量为可看作质点的滑板，从斜直轨道上的点无初速度滑下，经过点滑向点，点距点所在水平面的高度，不计一切阻力，，则 滑板滑到点时的速度多大 滑板滑到点时，滑板对轨道的压力多大 改变滑板无初速度下滑时距点所在水平面的高度，当滑板滑至点时对轨道的压力大小为零时，求滑板的下滑高度． 【光滑斜面上的圆周运动】 12.如图所示，一倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面上固定一半径为的光滑圆轨道，、是圆轨道的最低点和最高点，质量为的小球静置于圆轨道的点。现让小球获得一水平向右的初速度，小球将沿圆轨道运动，不计空气阻力，重力加速度大小为，下列说法正确的是(    ) A. 若小球能过点，则小球在点的最小速度为 B. 若小球能过点，则小球通过点时的最小速度为 C. 小球通过点和点时对轨道的压力大小之差为 D. 小球通过点和点时对轨道的压力大小之差为 13.如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点质量为的小球相连，另一端穿入小孔与力传感器位于斜面体内部连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力的大小随细线扫过角度的变化图像如图乙所示，图中已知，小球到点距离为，重力加速度为，则下列选项说法正确的是(    ) A. 小球位于初始位置时的加速度为 B. 小球通过最高点时速度为 C. 小球通过最高点时速度为 D. 小球通过最低点时速度为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 考点47　竖直面内的圆周运动及其临界极值问题 1 【轻“绳”模型及其临界条件】 1 【轻“杆”模型及其临界条件】 3 【凹形桥、凸形桥模型】 7 【光滑斜面上的圆周运动】 9 考点47　竖直面内的圆周运动及其临界极值问题 【轻“绳”模型及其临界条件】 1.如图所示，杂技演员表演“水流星”节目。一根长为的细绳两端系着盛水的杯子绳长远大于杯子的大小，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子中洒出，重力加速度为，每个杯子质量为、里面水的质量为。则： 杯子运动到最高点的角速度至少是多少 杯子在最低的角速度时，绳子对最低点的杯子拉力是多少 【答案】对最高点的水研究，有 解出 对最低点的杯子包括里面的水研究，有 解出：  2.如图甲，一轻质绳拴着质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动不计一切阻力，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，关系如图乙所示，则(    ) A. 轻质绳长为 B. 当地的重力加速度为 C. 当时，绳的拉力大小为 D. 只要，小球就能做完整的圆周运动 【答案】AD  【解析】解：、在最高点，根据牛顿第二定律得：，则有：，由图线知，图线的斜率，解得绳长为：，纵轴截距绝对值为：，解得：，故A正确，B错误。 C、当时，，故C错误。 D、小球在竖直平面内做完整的圆周运动，临界情况是：，，即只要，小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动，故D正确。 故选：。 3.如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道，再进入圆轨道，圆轨道的半径为，圆轨道的半径是轨道的倍，小球的质量为，若小球恰好能通过轨道的最高点，则小球在轨道上经过其最高点时对轨道的压力大小为重力加速度为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 小球恰好能通过轨道的最高点时，有， 小球在轨道上经过其最高点时，有 根据机械能守恒定律，有 ， 解得， 结合牛顿第三定律可知，小球在轨道上经过其最高点时对轨道的压力为。 故选C。 4.如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一轻弹簧一端连接在圆轨道圆心的光滑转轴上，另一端与圆轨道上的小球相连．开始时小球在圆轨道的最低点处于静止状态，恰好对轨道无压力．现使小球获得水平向右的初速度，小球刚好能沿圆轨道通过最高点．已知圆轨道的半径，轻弹簧原长，小球的质量，取重力加速度，求： 该弹簧的劲度系数； 小球在最高点的速度大小． 【答案】解：小球在最低点时  解得  小球在最高点时   即 解得    【轻“杆”模型及其临界条件】 5.如图，一长为的细绳，一端系一小球可视为质点，另一端固定在点。现把绳拉直，当绳处在水平位置时，给小球一竖直向下的初速度，则小球刚好能沿圆周运动到位于点正上方的点。如果把细绳换成长为的刚性轻杆，杆可绕点在竖直面内转动，为使小球能沿同一圆周逆时针方向转动刚好到达点，当杆位于水平位置时，应给小球的竖直向下的初速度为，则为      (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 小球刚好通过最高点时，绳子的拉力恰好为零，有： 解得： 从开始运动到点的过程中机械能守恒，则： 解得： 如果把细绳换成长为的刚性轻杆，小球到达最高点的最小速度等于， 则： 所以：，故C正确，ABD错误。 故选C。 6.如图甲所示，轻杆的一端固定一小球可视为质点，另一端套在光滑的水平轴上，轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小；轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时轴受到的杆的作用力，若取竖直向下为的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的为小球在最高点处的速度图象如图乙所示，取，则(    ) A. 轴到小球的距离为 B. 小球的质量为 C. 小球恰好通过最高点时的速度大小为 D. 小球在最低点的速度大小为时，通过最高点时杆不受球的作用力 【答案】A  【解答】 小球在最高点时重力与杆的作用力的合力提供向心力，若，则，解得小球质量，若，则，代入数据解得，故A正确，B错误； C.轻杆模型中，在最高点只要小球速度大于等于零，小球即可在竖直面内做圆周运动，故C错误； D.设小球在最低点的初速度大小为，小球能上升的最大高度为，根据机械能守恒定律有，当 时，，小球不能到达最高点，故D错误。 故选A。 7.如图所示，轻杆长，在杆两端分别固定质量均为的球和，光滑水平转轴穿过杆上距球为处的点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球运动到最高点时，杆对球恰好无作用力。忽略空气阻力。则球在最高点时(    ) A. 球的速度为 B. 球的速度大小为 C. 水平转轴对杆的作用力为 D. 水平转轴对杆的作用力为 【答案】AD  【解答】 A.球运动到最高点时，球对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有，解得 ，故A正确； B.由于、两球的角速度相等，由得：球的速度大小为：，故B错误； 球到最高点时，对杆无弹力，此时球受重力和拉力的合力提供向心力，有，解得，可得水平转轴对杆的作用力为，故D正确，C错误。 8.如图甲所示，一光滑的圆管轨道固定在竖直平面内，为通过圆心的一条水平线，质量为的小球可视为质点在圆管内运动，小球的直径略小于圆管的内径，轨道的半径为，小球的直径远小于，重力加速度为。小球经最高点的速度为，圆管对小球的弹力取竖直向下为正与的关系如图乙所示，关于小球的运动，下列说法正确的是 A. 图乙中的， B. 当时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差可能为 C. 小球在水平线以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力 D. 若小球从最高点由静止沿轨道滑落，当滑落高度为时，小球与内、外管壁均没有作用力 【答案】AD  【解答】 A.此问题类似于“轻杆”模型，小球通过最高点时最小速度为零，当小球经最高点的速度时，内侧管壁对小球有支持力，故，当小球经过最高点的速度时，内外管壁对小球没有作用力，，故A正确； B.当小球经最高点的速度时，根据机械能守恒，，得，即小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为； 同理可知：当小球经最高点的速度时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为； 当小球经最高点的速度时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为。故B错误； 若小球从最高点静止沿轨道滑落，先内管壁对小球有支持力，小球绕圆心转角时，内、外管壁对小球均没有作用力，此时小球受到重力沿半经指向圆心方向即法向分力提供向心力有，机械能守恒，联立解得；当小球从最高点静止沿轨道滑落高度为时，内、外管壁对小球均没有作用力，当以下包括了以下，小球将与外管壁有作用力，随着高度降低，此作用力越大，故 D正确， C错误。 【凹形桥、凸形桥模型】 9、(多选)汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C处，其中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为ρ1，C处的曲率半径为ρ2，重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ，当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是(　　) A．汽车经过A处时处于失重状态，经过C处时处于超重状态 B．汽车经过B处时最容易爆胎 C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过 D．汽车经过C处时所受的摩擦力大小为μmg 答案：AC 解析：小车经过A处时具有向下指向圆心的向心加速度，处于失重状态，经过C处时具有向上指向圆心的向心加速度，处于超重状态，A正确；在B、C处受向下的重力mg、向上的弹力FN ，由圆周运动有FN－mg＝，得车对轨道的压力FN′＝FN＝mg＋＞mg，故在B、C处处于超重，以同样的速度行驶时，R越小，压力越大，越容易爆胎，故在半径较小的C处更容易爆胎，B错误；在C处所受的滑动摩擦力Ff＝μFN＝μ，D错误；要使车安全行驶，不脱离地面，故经过A处时恰不离开地面，有mg＝，即安全行驶的速度不得超过 ，C正确。故选AC。 10.如图所示，一辆载重汽车在高低不平的路面上以恒定的速率行驶，其中一段路面为两段相切且半径均为的圆弧。汽车可视为质点，图中虚线是水平线，重力加速度为，则汽车运动到最低点和最高点时对路面的压力之比为 A. B. C. D. 【答案】A  【解答】 解：汽车运动到最低点时，根据牛顿第二定律，有，解得， 由牛顿第三定律可知，汽车运动到最低点时对路面的压力大小 汽车运动到最高点时，根据牛顿第二定律，有，解得， 由牛顿第三定律可知，汽车运动到最高点时对路面的压力大小， 则，项正确。 10.如图是模拟的滑板组合滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道，半径的凹形圆弧轨道和半径的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中点为凹形圆弧轨道的最低点，点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心点与点处在同一水平面上，一质量为可看作质点的滑板，从斜直轨道上的点无初速度滑下，经过点滑向点，点距点所在水平面的高度，不计一切阻力，，则 滑板滑到点时的速度多大 滑板滑到点时，滑板对轨道的压力多大 改变滑板无初速度下滑时距点所在水平面的高度，当滑板滑至点时对轨道的压力大小为零时，求滑板的下滑高度． 【答案】解：以地面为参考平面，对滑板从到过程，由机械能守恒定律得：； 解得： 即：滑板滑到点时的速度为； 滑板在点时，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有：； 解得：； 由牛顿第三定律知，滑板滑到点时，滑板对轨道的压力； 即：滑板滑到点时，滑板对轨道的压力是； 在点，当为零时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：； 对从到过程，由机械能守恒定律，得：； 解得：； 即：当为零时滑板的下滑高度是。 【光滑斜面上的圆周运动】 11.如图所示，一倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面上固定一半径为的光滑圆轨道，、是圆轨道的最低点和最高点，质量为的小球静置于圆轨道的点。现让小球获得一水平向右的初速度，小球将沿圆轨道运动，不计空气阻力，重力加速度大小为，下列说法正确的是(    ) A. 若小球能过点，则小球在点的最小速度为 B. 若小球能过点，则小球通过点时的最小速度为 C. 小球通过点和点时对轨道的压力大小之差为 D. 小球通过点和点时对轨道的压力大小之差为 【答案】AD  【解答】小球做圆周运动，在点，根据牛顿第二定律有， 当时，小球有最小速度，解得，从最高点到最低点， 根据动能定理有：，解得若小球能过点，则小球在点的最小速度为，故A正确，B错误 结合上述，小球做圆周运动，在最高点有， 小球通过圆轨道最低点时有，从最高点到最低点， 根据动能定理有：，根据牛顿第三定律解得小球通过点和点时对轨道的压力大小之差为，D正确，C错误。 12.如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点质量为的小球相连，另一端穿入小孔与力传感器位于斜面体内部连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力的大小随细线扫过角度的变化图像如图乙所示，图中已知，小球到点距离为，重力加速度为，则下列选项说法正确的是(    ) A. 小球位于初始位置时的加速度为 B. 小球通过最高点时速度为 C. 小球通过最高点时速度为 D. 小球通过最低点时速度为 【答案】D  【解答】 A.小球位于初始位置时的向心加速度为，沿斜面向下的加速度，则小球位于初始位置时的加速度大于，选项A错误； B.小球通过最高点时细绳的拉力为零，此时，解得速度为，选项B错误； C.小球在初始位置时，则小球通过最高点时速度为，选项C错误；     D.小球通过最低点时，解得最低点的速度为，选项D正确。 故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $$