专题02 指数函数的性质、定义与图像重难点题型专训（21大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题02 指数函数的性质、定义与图像重难点题型专训（21大题型+15道拓展培优） 题型一 指数函数的判定与求值 题型二 根据函数是指数函数求参数 题型三 求指数函数的解析式 题型四 判断指数函数的图象形状 题型五 根据指数函数图象判断参数的范围 题型六 指数型函数图象过定点问题 题型七 求指数（型)函数的定义域 题型八 求指数型复合函数的定义域 题型九 求指数函数在区间内的值域 题型十 求指数型复合函数的值域 题型十一 根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 题型十二 指数函数的单调性 题型十三 判断指数型复合函数的单调性 题型十四 比较指数函数的大小 题型十五 求已知指数型函数的最值 题型十六 根据指数函数的最值求参数 题型十七 合参指数函数的最值 题型十八 指数函数最值与不等式的综合问题 题型十九 指数函数图像应用 题型二十 由指数（型）的单调性求参数 题型二十一 由指数函数的单调性解不等式 知识点1 指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． （3）指数函数的解析式必须具有三个特征： ①底数a为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. （4）求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件. 知识点2 指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 知识点3 指数型复合函数的定义域和值域 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. ③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域. 知识点4 函数图象的变换规律 (1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度). (2)对称变换： ①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称； ②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象； ③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变. 知识点5 判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律. 知识点6 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 知识点7 指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． 知识点8 比较指数幂的大小 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决. (3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象. 知识点9 简单指数不等式的解法 (1)形如的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 【经典例题一 指数函数的判定与求值】 【例1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数为奇函数，排除BD，计算，排除C，得到答案. 【详解】由题可得，的定义域为，， 故函数为奇函数，排除BD； ，，，排除C， 故选：A． 1．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 2．（23-24高一上·上海徐汇·开学考试）定义在上的偶函数满足，且时，，则 . 【答案】2019 【分析】先判断函数的周期性，再利用周期性改变自变量的大小，将自变量转化到已知对应关系的区间上，代相应的解析式即可 【详解】根据题意，函数满足 则, 则函数是周期为的周期函数， 又由时, ， 则 则， 故答案为 : 3．（24-25高一上·上海宝山·期中）设，函数的定义域为.若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”. (1)判断以下函数是否具有性质，并说明理由： ①；②； (2)是否存在实数，使得函数具有性质？给出结论并说明理由； (3)证明：“函数不存在单调递减区间”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件. 【答案】(1)①具有性质：②不具有性质，理由见解析 (2)不存在实数，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过代入解析式证明，通过举反例说明即可. （2）当时，取，，当时，取，，分别说明即可. （3）由“函数存在单调递减区间”的否定写出“不存在单调递减区间”的符号形式，进而证明充分性，运用反证法先假设函数存在单调递减区间，进而找出存在，使得，但，即可证明必要性. 【详解】（1）具有性质.    理由：当时，恒成立，故具有性质.     不具有性质. 理由：取，，则，但，故不具有性质. （2）不存在实数. 理由：若，取，，则，但， 所以时，不具有性质.     若，，，则，但， 所以时，不具有性质. 综述：不具有性质. （3）证明：（充分性） 如果函数不存在单调递减区间，则对任意的，， 即， 因此，对任意，若，则， 故对任意，函数具有性质，充分性得证；     （必要性） 假设函数存在单调递减区间，则存在，满足， 即， 由于，所以故存在实数，使得， 即存在，使得，但， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立，必要性得证. 【经典例题二 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，是指数函数； 若是底数为的指数函数．则，且，解得， 故“”是“为指数函数”的充分不必要条件． 故选：C. 1．（23-24高一上·上海宝山·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】由，，代入函数解析式，结合指数型函数的性质，解出的值即可得. 【详解】指数型函数，有且， 由，解得，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）已知奇函数的定义域为，其中为指数函数，且过定点． (1)求函数与的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）设出指数函数解析式，根据过的点坐标可求其解析式，再由的奇偶性可得的值，求得解析式； （2）判断出函数的单调性，解不等式将问题转化为恒成立，分离参数结合二次函数性质可得答案. 【详解】（1）设，又过定点，可得， 解得或（舍）， 所以； 又为奇函数，所以， 整理可得，可得； 即. （2）易知，由于在上单调递增， 所以在上单调递减， 要使任意的，不等式恒成立， 即恒成立即可， 又为奇函数，所以恒成立， 结合在上单调递减可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以即可； 当时，取得最小值1，所以； 所以实数k的取值范围为. 【经典例题三 求指数函数的解析式】 【例3】 （23-24高一·全国·课后作业）如图所示，面积为的平行四边形的对角线，与交于点．若指数函数的图象经过点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设C点坐标，可根据已知条件表示出其他所有点的坐标，将点B和点E的坐标代入指数函数中，即可求得点坐标与底数的值 【详解】设点，则由已知条件可得：，，．因为点，在指数函数的图象上，所以解得：，所以(舍去)或． 故选：A 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意函数，为在上一个延拓函数，求出，然后利用偶函数推出函数的解析式． 【详解】解：， 为在上的一个延拓函数， 则当时，， 因为是偶函数 当时，， 综上． 故选：B． 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若指数函数的图像经过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解. 【详解】设指数函数的解析式为，(且)， 因指数函数fx的图像经过点， 则，即，则其解析式为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图像经过点． (1)求的表达式； (2)求的最小值； (3)设，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）整体思想，转化为二次函数的最值问题即可； （3）利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）将代入，得，解得或（舍）， 故． （2）由（1）易知， 当时取等号，故的最小值为． （3）由题意，得， 当且仅当，即时取等号，故要使恒成立，则， 故的取值范围是． 【经典例题四 判断指数函数的图象形状】 【例4】（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数，则其图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过求函数的定义域及函数值的范围，利用排除法可求解. 【详解】因为，所以，所以函数的定义域为，所以选项A和D不符合题意，，当时，，所以，即，所以C不符合题意， 利用排除法，选项B符合题意. 故选：B 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若存在定义域为的函数满足：对任意，，则 . 【答案】-2 【分析】由已知可得为偶函数，即，令，由，可得，计算即可得解. 【详解】对任意，， 将函数向左平移2个单位得到，函数为偶函数，所以， 令，由，可得，解得：. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数的图象经过点，其中. (1)若，求实数t的值； (2)设函数请你在平面直角坐标系中作出函数的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)作图见解析，单调递增区间为. 【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式求得值，再由求解； （2）直接由函数解析式作出简图，再由图象可得函数的增区间. 【详解】（1）函数的图象经过点,,即,则， 又，，即，得； （2）函数 在平面直角坐标系中作出的简图如下: 根据图象可得该函数的单调递增区间为, 【经典例题五 根据指数函数图象判断参数的范围】 【例5】（23-24高一上·上海松江·期中）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得 【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点， 当时，的图象如图所示， 由已知得，； 当时，的图象如图所示， 由已知可得， ，结合可得无解， 综上可知，的取值范围为， 故选：C 1．（23-24高一上·上海虹口·期中）若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到，根据题意得到且，计算得到答案. 【详解】由指数函数图像的性质知函数的图像过第一、二象限，且恒过点， 而函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到的， 故若函数的图像过第一、三、四象限，则且，从而且，故选：D. 【点睛】本题考查了函数图像的平移，意在考查学生对于函数图像的应用能力. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围． 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义区间的长度均为，其中. (1)若函数的定义域为值域为，写出区间长度的最大值； (2)已知，求证：关于的不等式的解集构成的各区间的长度和为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）作出函数的图象，结合图象得到函数的最值，结合定义，即可求解； （2）转化为，，设，得到，，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）解：作出函数的图象，如图所示， 令，解得，此时为函数的最小值， 令，解得，， 故定义域区间长度最大时， 故区间的长度为． （2）解：原不等式可化为， 令， 其判别式， 所以有两个不相等的实数根，设，则， 根据求根公式可求得．而，， i)当时，不等式①等价于，解得， 即不等式①的解集为，区间长度为． ii)当时，不妨设，则，， 所以．此时不等式①即， 解得或，即不等式①的解集为， 区间的长度为， 综上所述，关于的不等式的解集构成的各区间的长度和为定值. 【经典例题六 指数型函数图象过定点问题】 【例6】（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象恒过定点，进而可得，结合基本不等式和指数的运算性质进而得到答案． 【详解】当时，， 故函数的图象恒过定点， 由点在直线上，则, 故， 当且仅当等号成立,故的最小值是. 故选：B 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】指数型函数过定点，令即可得到结果 【详解】根据指数函数恒过定点， 则恒过定点，令，， 所以函数的图象必经过定点， 故选：D. 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一定点，则这个点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点求解即可. 【详解】因为当时，即时，， 即恒过点. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且的图象与函数（且）的图象相交于定点. （1）求函数的解析式，并写出的单调递减区间（不用证明）； （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），递减区间为、；（2）. 【解析】（1）求得点，再由可求得的值，再利用奇函数的定义可求得函数在上的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数的单调递减区间； （2）由题意可得出在上恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）在函数的解析式中，令，可得，则， 所以，定点的坐标为， 则，解得，所以，当时，. 当时，，则， 所以，， 当时，，此时，函数的递减区间为； 当时，，此时，函数的递减区间为. 综上所述，函数的递减区间为、； （2）依题可知：在上恒成立， 令，对称轴为， 当时，即时，，此时，； 当时，即时，，此时，， 综上：. 【点睛】结论点睛：求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【经典例题七 求指数（型)函数的定义域】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为：D 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数： ；的单调递减区间为 ． 【答案】 和（答案不唯一） 【分析】（1）本题属于开放性问题，只需选择符合要求的解析式即可，不妨取两个单调性不同的指数函数； （2）根据复合函数的单调性规则计算可得. 【详解】解：不妨取和， 因为函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递增， 函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递减，符合题意； 对于函数，令，即，解得或， 所以函数的的定义域为， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递减区间为. 故答案为：和（答案不唯一）； 3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，集合满足且. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，分析可知，，利用补集的定义可得出集合； （2）分析可知，，分、两种情况讨论，在时，可得出关于实数的不等式；在时，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）对于函数，有，解得，则， 因为且，则. （2）由题意可知，，且， 当时，，解得，合乎题意； 当时，由可得，解得， 检验：当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【经典例题八 求指数型复合函数的定义域】 【例8】（2024高一·上海·专题练习）函数的定义域和值域分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义，结合指数函数性质可得定义域与值域． 【详解】，解得，即，定义域为， 因为，所以，，即值域为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查指数型复合函数的定义域与值域，解题关键是掌握指数函数的单调性，特别是指数函数（且）的值域是，这里也容易出错． 1．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（23-24高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】令，可求出定义域；分成，，三种情况进行讨论，分别求出的取值范围，结合指数函数的单调性，可求出值域. 【详解】解：令，即，则，解得且. 即函数的定义域为； 当时，，所以，则； 当时，，且当时，，则且， 所以，即； 当时，    ，则，所以； 综上所述，值域为. 故答案为: ;. 【点睛】本题考查了函数定义域的求解，考查了函数值域的求解.本题的第二问关键是求出的取值范围. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中且，是实数常数. (1)求函数的定义域； (2)是否存在常数b，使函数为奇函数? 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）函数定义域满足，解得答案. （2）假设函数为奇函数，计算，得到答案. 【详解】（1）的定义域满足，即， 故函数定义域为； （2）若函数为奇函数， 则，即. 故存在常数，使为奇函数. 【经典例题九 求指数函数在区间内的值域】 【例9】 （23-24高一上·上海松江·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对称性以及二次函数的性质求得正确答案. 【详解】由解析式易得的图象如下图所示， 当时，，令，得或， 因为，且，所以， 所以， 故选：D 1．（2024·上海徐汇·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（    ） A．此时 B．此时的最小值为2 C．此时的最小值为2 D．此时的最小值为0 【答案】B 【分析】根据给定条件，判断，再利用基本不等式逐项判断即得. 【详解】函数，为非零常数，，由取到最小值为2，得， 对于A，，则，当且仅当， 即时取等号，此时，，A错误； 对于B，，当且仅当取等号，B正确； 对于C，，当且仅当取等号，C错误； 对于D，，当且仅当取等号，D错误. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得，计算的取值范围，利用函数的单调性即可得到结果. 【详解】∵，， ∴， ∴， 由得，即， ∵，在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数. (1)若时，求函数的值域； (2)若函数的最小值是1，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简（），再利用换元法得（），从而代入求函数的值域； （2）（），讨论以确定函数的最小值及最小值点，从而求. 【详解】（1）（）， 设，得（）. 当时，（）. 所以，. 所以，， 故函数的值域为. （2）由（1）（）， ①当时，， 令，得，不符合舍去； ②当时，， 令，得，或，不符合舍去； ③当时，， 令，得，不符合舍去. 综上所述，实数的值为. 【经典例题十 求指数型复合函数的值域】 【例10】（23-24高一上·上海浦东新·开学考试）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上的值域包含于在上的值域，利用基本不等式先求出在上的值域，然后当时，对分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求出实数的取值范围. 【详解】当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以在上的值域， 当时，， ①当时，在上递增， 所以的值域为， 由题意得，得， 因为，所以， ②当时，， 则在上递增，所以的范围为， 在上递减，所以的范围为， 由题意得，得， 因为，所以， 综上，实数的取值范围为， 故选：D 1．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、值域利用排除法可得答案. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 图象关于原点对称，故排除B， 当时，， 由，得，排除CD. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需， ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键. 3．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【答案】(1)；0； (2)作图见解析， 【分析】（1）直接代入式子计算、即可； （2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象. 【详解】（1）， ； （2）由（1）知，，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，且， 为增函数， 因为，所以， 得函数的值域为. 的图象如下图， 【经典例题十一 根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）】 【例11】 （23-24高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的值域，再根据函数的定义，即可得答案； 【详解】， 根据函数的定义可得. 故选：A. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在和时值域的并集为求解出的取值范围. 【详解】因为当时，，则， 当时，， 又函数的值域为，所以，所以，即的取值范围是， 故选：D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解. 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的值域为可计算出的值； （2）根据二次函数的对称轴以及开口方向，分类讨论时函数的最小值，由此可求结果. 【详解】（1）因为的值域为，所以的值域为， 由条件可知，. （2）对称轴为且开口向上， 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递增，所以， 所以. 【经典例题十二 指数函数的单调性】 【例12】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）函数的图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为， 当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD； 当时，，由于，所以在上单调递减，排除A； 而C选项满足上述性质，故C正确. 故选：C. 1．（2024·上海嘉定·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】C 【分析】判断的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可得出函数的单调性. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以函数为奇函数， 又因为函数在R上都是减函数， 所以函数在R上是减函数. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）请写出一个同时满足下列两个条件的函数： . ①；②函数在上单调递增. 【答案】（答案不唯一，形如均可） 【分析】根据，可设，再根据性质②确定的可能取值. 【详解】因为，， 所以可设， 则. 因为函数在上单调递增， 所以， 所以满足这两个条件， 故答案为：（答案不唯一）. 3．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)函数是奇函数，证明过程见解析 (2)1 【分析】（1）直接由函数奇偶性的定义判定并证明即可. （2）结合指数函数单调性可得单调性，结合奇函数性质即可得解. 【详解】（1）函数是奇函数，理由如下： 显然函数定义域为全体实数，它关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. （2）由（1）得函数是奇函数， 若，则， 又因为与分别单调递增，单调递减， 所以是增函数， 所以，解得. 【经典例题十三 判断指数型复合函数的单调性】 【例13（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数型复合函数的单调性求解 【详解】解：令，则t在上递减，在上递增， 又在R上递增， 所以的单调递减区间为， 故选：B 1．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数型复合函数的单调性求解. 【详解】令在单调递增，单调递减， 所以函数在单调递减，单调递增， 故选:C. 2．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）计算：函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】先考虑的定义域，再利用复合函数“同增异减”原则，结合各层函数的单调性即可得解. 【详解】，的定义域为， 根据“同增异减”法则：求函数的单调递减区间，即求的单调递减区间， 而要求函数的单调递减区间，即要求函数的单调递增区间， 的对称轴为，的单调递增区间为， 故的单调递减区间为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求其单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】令，则，先求出的单调性和指数函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】函数的定义域是R． 令，则． 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又函数在R上是增函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 【经典例题十四 比较指数函数的大小】 【例14】（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质化简“”，得到的结论与“”加以比较，可得到答案． 【详解】根据指数函数是上的增函数， 可知等价于，即， 因为“”是“”的充要条件， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C. 1．（23-24高一上·上海青浦·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用指数函数的性质比较大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性知，，而， 故， 故选：D 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，则的大小关系是 .（用号连接） 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性，即可比较的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知， 而在R上单调递减，故， 故， 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若，对，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据指数函数的单调性即可求证. 【详解】证明  ∵，∴， 又∵，∴，即，∴． 【经典例题十五 求已知指数型函数的最值】 【例15】（23-24高一上·上海徐汇·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出的取值范围，再根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】令， 则， 因为在R上单调递减， 所以， 故函数的值域为， 故选：C 1．（23-24高一上·上海静安·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和函数值域判断即可得出结果. 【详解】函数,即可知函数的定义域为R, 即为偶函数，排除A、C， 又由指数函数性质可以，即，排除B, 故选：D. 2．（23-24高一上·上海虹口·期中）若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据所学习函数类型，结合函数的性质，即可求解. 【详解】由题意可知，函数的值域为，且函数为偶函数， 满足条件的其中一个函数为. 故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 【经典例题十六 根据指数函数的最值求参数】 【例16】（2024高一·上海·专题练习）函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质可求出. 【详解】因为严格单调， 所以，即，所以． 故选：C. 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性分类讨论即可求出a的值. 【详解】解：当时，在单调递减， 即， 解得：或(舍)； 当时，在单调递增， 即， 解得：或(舍)； 综上所述：或. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）函数在上的最大值与最小值的和为3，则 ． 【答案】2 【分析】由的单调性，可得其在和时，取得最值，列出方程求出的值 【详解】根据题意，由函数的性质，可知其在上是单调函数， 即当和时，取得最值，∴，由，可得，即， 故答案为：2 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值； 【答案】或. 【详解】根据给定条件，利用指数函数的单调性分类求解即得. 【分析】当时，函数在上单调递减，，因此； 当时，函数在上单调递增，，因此， 所以实数的值为或2. 【经典例题十七 合参指数函数的最值】 【例17】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数，，若对任意∈[3，4]，存在∈[-3，1]，使，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，问题转化为，然后，利用函数的单调性求出和即可求解 【详解】依题意只需 当∈[3，4]，单增，则 当∈，，即取最小时，有 ∴ ∴. 故选：C 【点睛】关键点睛：问题转化为，然后利用单调性求解，主要考查学生转化化归的思想，属于基础题 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论． 【详解】因为是定义在上的“倒戈函数， 存在满足， ， ， 构造函数，， 令，， 在单调递增， 在单调递减，所以取得最大值0， 或取得最小值，， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查函数新定义，解题关键理解新定义，把问题进行转化．本题新定义转化为方程有解，再转化为求函数的值域． 2．（2024·上海·一模）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的值为 . 【答案】3或 【分析】令ax=t，结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可． 【详解】令ax=t，则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时，因为x∈[-1，1]，所以t∈，又函数y=(t+1)2-2在上单调递增，所以ymax=(a+1)2-2=14，解得a=3(负值舍去). 当0<a<1时，因为x∈[-1，1]，所以t∈，又函数y=(t+1)2-2在上单调递增，则ymax=-2=14，解得a= (负值舍去).综上，a=3或a=. 故答案为: 3或 【点睛】本题主要考查指数函数的性质和应用，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键. 3．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，最大值为8 (2)6 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 【经典例题十八 指数函数最值与不等式的综合问题】 【例18】（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案. 【详解】因为，所以， 所以. 设，因为，即 所以在单调递增，最小值为， 因为，，，即， 所以， 令，易得，所以，即， 显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为. 故选：B 1．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）要使函数在上，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由参变量分离法得出，令，，则，利用二次函数的基本性质求得函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】由，可得， 令，，则， 二次函数在区间上单调递减，则，. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查指数型二次不等式恒成立，利用参变量分离法以及换元法转化为二次不等式恒成立问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，若恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】转化条件为当时，恒成立，由指数函数及二次函数的性质求得的最大值即可得解. 【详解】因为当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 又当时，，， 所以当即时，取最大值， 所以即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了指数函数及二次函数性质的应用，考查了恒成立问题的解决，属于基础题. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)若的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． (2)当时，是否存在实数m，使得对任意的成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，然后可求出的范围； （2）由可得，然后分离变量求解即可. 【详解】（1）因为的图象经过第一、二、三象限，所以． 因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增， 因为，所以， 即的取值范围为． （2）因为，所以， 则对任意的成立等价于对任意的成立． 由，得， 则即 因为，所以，，， 因为， 所以． 故存在满足条件的实数m，且． 【经典例题十九 指数函数图像应用】 【例19】（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】结合函数对称性的定义，设，可得，即可得解. 【详解】设，，显然， 故与的图象关于直线对称. 故选：B. 1．（2024高一·全国·专题练习）若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“孪生点对”；已知函数，则的“孪生点对”有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】画出的图象，结合函数图像求解即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 函数关于原点对称的图象与图象有三个交点， 故图象上“孪生点对”有3对. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·单元测试）如果且，那么函数的图像在第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】根据指数函数图像性质及函数的平移可得解. 【详解】如图所示， 由，可知经过一、二象限，且恒过点，函数值域为 当时，，当时，， 函数使由向下平移个单位，且， 所以图象过，而在y轴负半轴上，如图 即存在，使，且函数的值域为， 所以函数过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四. 3．（2024高一·全国·专题练习）作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象. 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则图象如图示： 【经典例题二十 曲指数（型）的单调性求参数】 【例20】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，列式求解. 【详解】，设，， 因为是减函数，所以在上也是减函数， 则，即. 故选：C 1．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若实数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】探讨给定函数的对称性及单调性即可求解. 【详解】函数，， 而，因此， 又函数在上递增， 则函数在上递增，于是， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）设函数在区间单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是实数集上的减函数， 而函数在区间单调递减， 所以函数在单调递增， 二次函数的对称轴为：， 于是有，所以的取值范围是， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知指数函数在R上是严格减函数，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合指数函数性质即可求解. 【详解】因为指数函数在R上是严格减函数， 所以， 故实数m的取值范围为. 【经典例题二十一 曲指数函数的单调性解不等式】 【例21】（2024高一·北京·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用指数函数的性质，转化为或，进而求得不等式的解集. 【详解】由不等式等价于，可得， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B. 1．（2024高一上·新疆·学业考试）已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高一上·全国·课前预习）解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 【答案】 同底 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）解不等式； 【答案】． 【分析】利用指数函数单调性解不等式即可. 【详解】原不等式化为，而函数是R上的减函数， 因此，解得， 所以原不等式的解集是. 1．（2024·上海·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数，则该函数在上是（    ） A．严格减函数无最小值 B．严格减函数有最小值 C．严格增函数无最大值 D．严格增函数有最大值 【答案】A 【分析】确定在上单调递增，且根据复合函数单调性得到答案. 【详解】在上单调递增，且，在上单调递减， 故在上严格减函数无最小值. 故选：A 3．（2024·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可； 【详解】解：因为， 所以函数是一个偶函数， 又时，与是增函数，且函数值为正数， 故函数在上是一个增函数 由偶函数的性质得函数在上是一个减函数， 此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小， 函数值就小，反之也成立， 考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误； B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对； C选项是正确的，由，一定得出； D选项由，可得出，但不能得出，不成立， 故选：C． 4．（2024·上海青浦·二模）函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合奇偶性及特殊值判断. 【详解】因为函数的定义域为， 由，则其为奇函数，图像关于原点中心对称，排除BD； ，故，排除A. 故选：C 5．（23-24高一上·上海金山·期末）已知都是非空集合且，则函数的最大值与最小值的情况是（    ） A．有最大值，但不一定有最小值； B．有最小值，但不一定有最大值； C．既有最大值，又有最小值； D．不一定有最大值，也不一定有最小值. 【答案】A 【分析】转化为与的值域问题，结合图象来求解. 【详解】，结合图象可知当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 在上递增，在上递减，结合图象可知，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 所以有最大值为. 如，有最大值，有最小值. 如，此时有最大值，没有最小值. 所以有最大值，但不一定有最小值. 故选：A    6．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数 【答案】3 【分析】由已知条件，并结合指数函数的单调性分类讨论即可求解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，， 因为最大值比最小值大，所以， 解得或（舍）， 当时，函数在区间上单调递减，， 所以， 此时方程无解，即不存在. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】利用函数的图象特点，再结合的图象无限趋近于1，可得，的值，则不等式可解． 【详解】解：因为趋近时，趋近于0， 所以趋近时，趋近于，所以，所以， 所以，所以不等式可化为， 又因为是减函数，所以，解得或. 故答案为：或． 8．（24-25高一上·上海静安·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】函数，，则， 函数，，则， 因为对任意的，存在，使得， 所以的值域为函数的值域的子集，即， 所以，解得， 即实数m的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海闵行·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.若函数在定义域上为“依赖函数”，则的取值范围是 . 【答案】． 【分析】由新定义结合单调性得出，得出的范围，再利用二次函数性质得结论． 【详解】是增函数，因此取得最大值时，取得最小值， 时，，， 所以，， 又，所以， 所以， 故答案为：． 10．（2024·上海嘉定·模拟预测）人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍. 【答案】1.5/ 【分析】通过题目数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解. 【详解】由题意，，所以，所以， 所以2022年全球产生的数据量为，则2023年全球产生的数据量， 所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍. 故答案为：1.5 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）在同一坐标系中，作出下列函数的图像，并观察两个图像有何联系： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】结合指数函数图像作图即可. 【详解】（1）由题可得： 联系：底数互为倒数，图像关于轴对称 （2）由题可得 联系：底数互为倒数，图像关于轴对称 12．（24-25高一上·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【答案】(1)证明见解析 (2)b＞c＞a (3)，当且仅当且同号时，等号成立 【分析】（1）利用反证法易证结论成立； （2）利用函数在上为减函数，函数在上为增函数，可比较大小； （3）利用1的代换，可得. 【详解】（1）（反证法）假设全小于1，即， 所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以中至少有一个实数不小于1. （2）因为函数在上为减函数，又，所以，即， 又函数在上为增函数，又，所以， 所以； （3）， ， 当且仅当，即取等号， 所以， 当且仅当且同号时取等号. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得值； （2）由（且），，求得，在上单调递减，不等式化为，即恒成立，由求得的取值范围； （3）由求得的值，可得 的解析式，令，可知为增函数，，令，分类讨论求出的最小值，再由最小值等于，求得的值. 【详解】（1）∵是定义域为的奇函数， ∴，∴，∴， 经检验，，是奇函数，故； （2）（且）， ∵，∴，又且，所以， ∵单调递减，单调递增，故在上单调递减． 不等式化为，∴， 即恒成立，∴，解得 所以的取值范围为； （3）∵，∴，即，解得或（舍去）， ∴， 令，由（1）可知为增函数， ∵，∴， 令， 若，当时，，解得， 若，当时，，解得(舍去)， 综上所述：． 14．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 15．（23-24高一上·上海长宁·期中）设函数，． (1)解方程：； (2)令，求证：； (3)若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合指数方程求解即可. （2）由，结合即可求解. （3）结合函数的奇偶性和单调性得到对任意的都成立，即对任意的都成立，即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，解得，所以． （2）因为，所以． 因为， 故． （3）由题知 因为是实数集上的奇函数，所以，所以，解得， 所以，又因为，所以，即 解得． 所以，在实数集上单调递增． 由得， 又因为是实数集上的奇函数，所以， 又因为在实数集上单调递增，所以， 即对任意的都成立， 即对任意的都成立， 因为，当且仅当时取等号， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 指数函数的性质、定义与图像重难点题型专训（21大题型+15道拓展培优） 题型一 指数函数的判定与求值 题型二 根据函数是指数函数求参数 题型三 求指数函数的解析式 题型四 判断指数函数的图象形状 题型五 根据指数函数图象判断参数的范围 题型六 指数型函数图象过定点问题 题型七 求指数（型)函数的定义域 题型八 求指数型复合函数的定义域 题型九 求指数函数在区间内的值域 题型十 求指数型复合函数的值域 题型十一 根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 题型十二 指数函数的单调性 题型十三 判断指数型复合函数的单调性 题型十四 比较指数函数的大小 题型十五 求已知指数型函数的最值 题型十六 根据指数函数的最值求参数 题型十七 合参指数函数的最值 题型十八 指数函数最值与不等式的综合问题 题型十九 指数函数图像应用 题型二十 由指数（型）的单调性求参数 题型二十一 由指数函数的单调性解不等式 知识点1 指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． （3）指数函数的解析式必须具有三个特征： ①底数a为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. （4）求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件. 知识点2 指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 知识点3 指数型复合函数的定义域和值域 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. ③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域. 知识点4 函数图象的变换规律 (1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度). (2)对称变换： ①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称； ②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象； ③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变. 知识点5 判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律. 知识点6 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 知识点7 指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． 知识点8 比较指数幂的大小 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决. (3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象. 知识点9 简单指数不等式的解法 (1)形如的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 【经典例题一 指数函数的判定与求值】 【例1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·上海徐汇·开学考试）定义在上的偶函数满足，且时，，则 . 3．（24-25高一上·上海宝山·期中）设，函数的定义域为.若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”. (1)判断以下函数是否具有性质，并说明理由： ①；②； (2)是否存在实数，使得函数具有性质？给出结论并说明理由； (3)证明：“函数不存在单调递减区间”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件. 【经典例题二 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一上·上海宝山·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则 ． 3．（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）已知奇函数的定义域为，其中为指数函数，且过定点． (1)求函数与的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【经典例题三 求指数函数的解析式】 【例3】 （23-24高一·全国·课后作业）如图所示，面积为的平行四边形的对角线，与交于点．若指数函数的图象经过点，，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若指数函数的图像经过点，则其解析式为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图像经过点． (1)求的表达式； (2)求的最小值； (3)设，若恒成立，求实数的取值范围． 【经典例题四 判断指数函数的图象形状】 【例4】（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．  B．  C．   D．   1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数，则其图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若存在定义域为的函数满足：对任意，，则 . 3．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数的图象经过点，其中. (1)若，求实数t的值； (2)设函数请你在平面直角坐标系中作出函数的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间. 【经典例题五 根据指数函数图象判断参数的范围】 【例5】（23-24高一上·上海松江·期中）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24高一上·上海虹口·期中）若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义区间的长度均为，其中. (1)若函数的定义域为值域为，写出区间长度的最大值； (2)已知，求证：关于的不等式的解集构成的各区间的长度和为定值． 【经典例题六 指数型函数图象过定点问题】 【例6】（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一定点，则这个点的坐标为 . 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且的图象与函数（且）的图象相交于定点. （1）求函数的解析式，并写出的单调递减区间（不用证明）； （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围. 【经典例题七 求指数（型)函数的定义域】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数： ；的单调递减区间为 ． 3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，集合满足且. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【经典例题八 求指数型复合函数的定义域】 【例8】（2024高一·上海·专题练习）函数的定义域和值域分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（2024高一上·上海徐汇·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 ，值域为 . 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中且，是实数常数. (1)求函数的定义域； (2)是否存在常数b，使函数为奇函数? 【经典例题九 求指数函数在区间内的值域】 【例9】 （23-24高一上·上海松江·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海徐汇·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（    ） A．此时 B．此时的最小值为2 C．此时的最小值为2 D．此时的最小值为0 2．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数. (1)若时，求函数的值域； (2)若函数的最小值是1，求实数的值. 【经典例题十 求指数型复合函数的值域】 【例10】（23-24高一上·上海浦东新·开学考试）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【经典例题十一 根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）】 【例11】 （23-24高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【经典例题十二 指数函数的单调性】 【例12】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）函数的图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海嘉定·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）请写出一个同时满足下列两个条件的函数： . ①；②函数在上单调递增. 3．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求实数的值． 【经典例题十三 判断指数型复合函数的单调性】 【例13（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）计算：函数的单调递减区间为 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断函数的单调性，求其单调区间． 【经典例题十四 比较指数函数的大小】 【例14】（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一上·上海青浦·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，则的大小关系是 .（用号连接） 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若，对，求证：． 【经典例题十五 求已知指数型函数的最值】 【例15】（23-24高一上·上海徐汇·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海静安·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海虹口·期中）若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【经典例题十六 根据指数函数的最值求参数】 【例16】（2024高一·上海·专题练习）函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ） A． B． C．或2 D．或 2．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）函数在上的最大值与最小值的和为3，则 ． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值； 【经典例题十七 合参指数函数的最值】 【例17】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数，，若对任意∈[3，4]，存在∈[-3，1]，使，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·一模）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的值为 . 3．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【经典例题十八 指数函数最值与不等式的综合问题】 【例18】（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）要使函数在上，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，若恒成立，则实数a的取值范围是 . 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)若的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． (2)当时，是否存在实数m，使得对任意的成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【经典例题十九 指数函数图像应用】 【例19】（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 1．（2024高一·全国·专题练习）若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“孪生点对”；已知函数，则的“孪生点对”有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（24-25高一上·上海·单元测试）如果且，那么函数的图像在第 象限． 3．（2024高一·全国·专题练习）作出函数的图象. 【经典例题二十 曲指数（型）的单调性求参数】 【例20】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若实数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）设函数在区间单调递减，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知指数函数在R上是严格减函数，求实数m的取值范围． 【经典例题二十一 曲指数函数的单调性解不等式】 【例21】（2024高一·北京·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一上·新疆·学业考试）已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课前预习）解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）解不等式； 1．（2024·上海·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数，则该函数在上是（    ） A．严格减函数无最小值 B．严格减函数有最小值 C．严格增函数无最大值 D．严格增函数有最大值 3．（2024·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2024·上海青浦·二模）函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   5．（23-24高一上·上海金山·期末）已知都是非空集合且，则函数的最大值与最小值的情况是（    ） A．有最大值，但不一定有最小值； B．有最小值，但不一定有最大值； C．既有最大值，又有最小值； D．不一定有最大值，也不一定有最小值. 6．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数 7．（24-25高一上·上海·期中）设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为 ． 8．（24-25高一上·上海静安·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 9．（24-25高一上·上海闵行·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.若函数在定义域上为“依赖函数”，则的取值范围是 . 10．（2024·上海嘉定·模拟预测）人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）在同一坐标系中，作出下列函数的图像，并观察两个图像有何联系： (1)； (2)． 12．（24-25高一上·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 14．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·上海长宁·期中）设函数，． (1)解方程：； (2)令，求证：； (3)若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$