专题02 指数函数（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题02指数函数 题型归纳 题型一：指数函数的判定与求值 题型二：根据函数是指数函数求参数 题型三：指数型函数图象过定点问题 题型四：指数函数图象的识别 题型五：画指数函数的图象 题型六：利用指数函数的单调性比较大小 题型七：利用指数函数的单调性解不等式 题型八：指数型复合函数的单调性 题型九：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 题型十：与指数函数的相关的综合问题 题型专练 题型一：指数函数的判定与求值 工。指数函数的图猴经过(2名) 则f(-1)= 2.下列函数中， 是指数函数。 ①y=10;②y=10；③y=-4;④y=x;⑤y=x“(a是常数)；⑥y=(2a-1). 2,x≤0 3.已知函数f(x)= 3 ,则f(-)+f(1)= x2,x>0 4,下列函数中，属于指数函数的是」 ·(填序号) ①y=2.3:@y=3,®y=3:国y=(a-y(a为靠数，a>,a1):同y=@y=4:⑦ y=(-4). 题型二：根据函数是指数函数求参数 5.若函数y=a2-5a+7)a+4-2a是指数函数，则有() A.a=2 B.a=3 C.a=2或a=3 D.a>2,且a≠3 6.函数y=a2-4a+4a是指数函数，则有() A.a=1或a=3 B.a=1 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.a=3 D.a>0且a≠1 7.若函数f(x)=2a2-3a+2a是指数函数，则a的值为() A.2 B.1 C.1或2 D. 8.若函数f(x=a2+2a-2)(a+4)为指数函数，则() A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3 题型三：指数型函数图象过定点问题 9.己知函数f(x=-2a1-2（a>0且a≠1)的图象经过定点P(m,n,则m+n=() A.-1 B.-4 C.-5 D.3 10.当a>0且a≠1时，f(x)=a-2+5的图象恒过点() A.(2,5) B.(3,5) C.(2,6) D.(3,6) 11.已知函数y=a+1(a>0,a)图象恒过定点A,且点A在函数y=mx+n(m,n>0)图象上，则1+1的 最小值为() A.4 B.1 C.2 0.3 12.已知函数f(x)=a-+o.2(a>0,a≠1)恒过定点A,则点A的坐标为一 题型四：指数函数图象的识别 如图中的曲线C,C,C,C是指数函数的图象，已对应函数的底数a的值可取为V2,, 5,则相应于曲线C,C,C,C4,a依次为() C C 8,手高 34 2/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 收圈数：骨的图聚大资为) 15.函数y=a-a(a>0且a≠1)的大致图象为() A ba≤b) 16.定义运算a⊕b= aa>,函数f(=1©3的图像是() 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 年 17.设a>1,函数f(x)=a的图像大致是(》 题型五：画指数函数的图象 18.在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系： (1)y=3,y=3+3,y=3; 2y=(分，y=(3+2,y=分-1. 19.利用函数f(x)=2的图象，作出下列各函数的图象. (1)y=f(-x): (2)y=f(xD) (3)y=f(x)-1; (4)y=f(x)-1: (5)y=-f(x): (6)y=f(x-1). 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20.已知∫(x=2的图象，指出下列函数的图象是由y=f(x)的图象通过怎样的变化得到： (1)y=2x; (2)y=21; (3)y=2+1: (4)y=2x; (5)y=2. 21.根据函数f(x)=2的图像，画出下列函数的图像. (1)y=-2;(2)y=-2+1;(3)y=2. 题型六：利用指数函数的单调性比较大小 22.( 如[)>) 比较a,b的大小： 2) 的大小. 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.比较下列各组中两个值的大小： 四)，) (3)1.40.1,0.93 24.比较下列各题中两个数的大小： (1)1.226和1.2261： a利 25.比较下列各题中两个数的大小： (1)1.403与1.404； (2)0.314与0.315： (a>0且a≠1). 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型七：利用指数函数的单调性解不等式 x2-3 26.解不等式： >4. 27.己知指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)的图象过点(-2,9). (1)求a的值： 2若/m=2,f心，求m+n的偷 (3)求不等式fx2-5x-6>1的解集. 28.已知函数f(x=a+rH(a>0,且a≠1)的图象过点(0,3)，(1,1. (1)求a,b的值： (2)求不等式3<fx)<81的解集. 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 29.已知不等式22-5≤的解集为D(用区间表示)· P (1)求区间D: (2)在区间D上，2x2-a>x恒成立，求实数a的取值范围. 题型八：指数型复合函数的单调性 30.设函数f(x)= 在区间(0,1)上单调递增，则a的取值范围是() A.[-2,0 B.（-0,0] c.(0,2 D.[2,+o 31.已知函数f(x= 4x3+e-,x<1, 在R上单调递增，则实数a的取值范围为() x2+3ar+2a,x≥1 2 C. [24 「24 35 0. 3’5 2r-8 32.函数f(=4 的单调递增区间是() A.（-0,1 B.(-0,-2 C.4,+o D.(1,+0) 33.函数f(x)=2m-2-在区间(1，+o)上单调递减，则a的取值范围是」 -x2+2x+3 的值域为 单调递增区间为 题型九：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 35.已知幂函数fx)=(m-1)2x2-4m+2在(0，+o)上单调递增，函数gx)=2-a,x,∈山，5)时，总存在 x2∈[2,5)使得fx,)=gx,),则a的取值范围是() A.0 B.[3,7 c.(3,7) D.[3,7j 36.已知函数f(x)= 1-2ax+3a,x<1 2-,x≥1 的值域为R,则实数a的取值范围是 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 37.已知函数f(x)=a-b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象过点(0，-1)和(3,6)，求f(x)在R上的值域： 2若f在区间L,2]上的最大值比最小值大号，求a的值. 38.已知函数f(x)=a2-3a-3(a-1)'是指数函数. (1)求实数a的值； (2)已知函数g(x)=f(x)-4f(x)+6,xe[-1,2],求g(x)的值域. 39.已知函数f(x=3-23,gx)=3. (1)当xe[1,2]时，求函数h(x)=f(x)+1gx)的值域： (2)如果对任意的xe[1,2不等式(x)≥mg(x)-3恒成立，求实数m的取值范围. 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型十：与指数函数的相关的综合问题 40.已知函数f(x)=a2+a-5)a是指数函数 (1)求a: 2)设函数F(x)=[(门-m(x+m+1,meR,记F()在-川上的最小值为gm,求gm的最小值. 4 r2-4r+3 41.已知函数f(x)= 3 (1)若a=1,求不等式f(x)21的解集 (2)若a=-1,求f(x)的单调区间 3)若f(x)有最大值3，求a的值 10/11 专题02指数函数 题型一：指数函数的判定与求值 题型二：根据函数是指数函数求参数 题型三：指数型函数图象过定点问题 题型四：指数函数图象的识别 题型五：画指数函数的图象 题型六：利用指数函数的单调性比较大小 题型七：利用指数函数的单调性解不等式 题型八：指数型复合函数的单调性 题型九：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 题型十：与指数函数的相关的综合问题 题型一：指数函数的判定与求值 1．指数函数的图像经过，则 ． 【答案】/ 【分析】首先设指数函数，再代入点求函数的解析式，最后求函数值. 【详解】设函数（且）， ，得，即 所以. 故答案为： 2．下列函数中， 是指数函数． ①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥． 【答案】① 【分析】由题意利用指数函数的定义，得出结论 【详解】根据指数函数的定义形如：(其中为常数，且)，则①为指数函数， 中正负不确定，故其余的都不是指数函数. 故答案为：① 3．已知函数，则 . 【答案】 【分析】直接计算得到答案. 【详解】，则. 故答案为：. 4．下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 【答案】③④ 【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为，不是，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数； 对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数； 对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④. 故答案为：③④. 题型二：根据函数是指数函数求参数 5．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 6．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义，即可证明. 【详解】由已知得，即得. 故选：C 7．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 8．若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可. 【详解】因为函数为指数函数， 则，且，解得， 故选：C 题型三：指数型函数图象过定点问题 9．已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 10．当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 11．已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 12．已知函数恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】利用指数运算法则、指数式与对数式互化关系化简函数，再利用指数函数过定点问题求解. 【详解】函数，由，得恒成立， 所以点的坐标为. 故答案为： 题型四：指数函数图象的识别 13．如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】作直线，根据图象得出答案. 【详解】设曲线C1，C2，C3，C4对应解析式的底数为，作直线，如下图所示 由图可知，，即曲线C1，C2，C3，C4，依次为，，， 故选：D 14．函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】，然后可选出答案. 【详解】 故选：B 15．函数且的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数过点排除C、D，由A、B中的图知函数单调递减推出，当时即可判断. 【详解】当时，排除答案C、D； 由A、B中的图知函数且单调递减，则，当时，所以正确选项为A. 故选：A 【点睛】本题考查指数函数的图像与性质，属于基础题. 16．定义运算，函数的图像是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【解析】根据定义得出的解析式，即可判定选项. 【详解】由已知可得函数， 可得， 只有选项B中的图像符合要求. 故选：B. 【点睛】此题考查函数图象的辨析，根据解析式选择恰当的函数图象，关键在于根据新定义得出函数解析式，可以作出函数图象，也可结合特值法进行排除. 17．设a＞1，函数f（x）=a|x|的图像大致是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知函数为偶函数，且x=0时y=1.x＞0时单调递增，故选A 题型五：画指数函数的图象 18．在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）（2）在同一坐标系内作出给定的3个函数的图象，再探讨图象间的关系即得. 【详解】（1）在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图， 函数的图象可看作由函数的图象向左平移3个单位而得； 函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位而得. （2）在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图，    函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得； 函数的图象可看作由函数的图象向下平移1个单位而得. 19．利用函数的图象，作出下列各函数的图象． (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)图象见详解 (2)图象见详解 (3)图象见详解 (4)图象见详解 (5)图象见详解 (6)图象见详解 【分析】先作出函数的图象， （1）把的图象关于轴对称即可得到的图象； （2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称即可得到的图象； （3）把图象向下平移一个单位即可得到的图象； （4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折即可得到的图象； （5）把图象关于轴对称即可得到的图象； （6）把的图象向右平移一个单位得到的图象． 【详解】（1）把的图象关于轴对称得到的图象，如图，    （2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称得到的图象，如图，    （3）把图象向下平移一个单位得到的图象，如图，    （4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折得到的图象，如图，    （5）把图象关于轴对称得到的图象，如图，      （6）把的图象向右平移一个单位得到的图象，如图，    20．已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变化得到： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)向左平移1个单位； (2)向右平移1个单位； (3)向上平移1个单位； (4)关于轴对称； (5)保留时，的图象，再作关于轴对称. 【分析】根据指数函数的图象和函数图象的平移变换的特点，即可得出答案. 【详解】（1）解：的图象是由的图象向左平移1个单位得到. （2）解：的图象是由的图象向右平移1个单位得到． （3）解：的图象是由的图象向上平移1个单位得到． （4）解：∵与的图象关于轴对称， ∴作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象． （5）解：∵为偶函数，故其图象关于轴对称， 故先作出当时，的图象，再作关于轴的对称图形，即可得到的图象． 21．根据函数的图像，画出下列函数的图像． （1）；  （2）；  （3）． 【答案】见解析 【分析】根据各个函数与函数的图像的对称性，即可画出图像. 【详解】（1）函数的图像与的图像关于轴对称 （2）函数的图像与的图像关于直线对称 （3）将的图像位于轴左侧的图像去掉， 再将轴右侧的图像对称过来， 题型六：利用指数函数的单调性比较大小 22．（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先确定函数的单调性，由，利用函数的单调性，即可得到，的大小关系； （2）先利用函数的单调性，得到与1的大小关系，再利用函数的单调性，得到与1的大小关系，即可得解. 【详解】（1），函数在上是减函数， 又，； （2），函数在上是减函数． 又，； 又，函数在上是增函数． 又，． 综上可知，． 23．比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数在定义域R上单调递减,比较大小； （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，取点比较大小； （3）分别构造函数与，借助中间值比较大小. 【详解】（1），函数在定义域R上单调递减， 又，. （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，如图所示， 当时，观察图象易得. （3）分别构造函数与， ，，与在R上分别为增函数和减函数. ，， ，，. 24．比较下列各题中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性即可比较大小； （2）根据指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】（1）因为在上单调递增，且， 故. （2）因为在上单调递减， 故 25．比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与； (3)与（且）． 【答案】(1) (2) (3)当时，．当时，． 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为函数是上的增函数， 而，所以 （2）因为函数是上的减函数， 而.所以； （3）当时，在上是增函数， ，故． 当时，在上是减函数， ，故． 题型七：利用指数函数的单调性解不等式 26．解不等式：． 【答案】 【分析】根据的单调性可得，再求解即可. 【详解】根据题意，， 即， 因为为上的减函数， 所以，解得. 27．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式中即可得解； （2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解； （3）利用指数函数的单调性可求解. 【详解】（1）指数函数的图象过点， ，，，； （2）由（1）知，， ，，，， ，； （3）不等式，即， 在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为． 28．已知函数（，且）的图象过点，． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点，代入函数解析式，解方程组即可求解； （2）根据指数函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点，， 所以，解得. （2）由（1）得， 由，得，所以， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为． 29．已知不等式的解集为D（用区间表示）． (1)求区间D： (2)在区间D上，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数单调性解指数不等式，得解集为用区间表示； （2）分离参数得在上恒成立，则，记，，利用二次函数性质求解最值即可得解. 【详解】（1）不等式等价于，所以，即， 解得，所以区间. （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立， 则，记，结合，，当时，等号成立，所以， 所以实数a的取值范围为. 题型八：指数型复合函数的单调性 30．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质，再由二次函数在区间上的单调性即可得结果. 【详解】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的， 由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可， 易知函数关于对称，所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：D 31．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】时，递增，因此时也必须递增，由二次函数的性质及临界点的函数值的大小关系列不等式组求解可得． 【详解】时，递增， 时，， 要使得在上单调递增，则，解得， 故选：B． 32．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数型复合函数的单调性求解. 【详解】令在单调递减，单调递增，又函数单调递减， 所以函数在单调递增，单调递减. 故选：A. 33．函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性来进行分情况讨论得出a的取值范围. 【详解】解：函数由和复合而成， 由于是单调递增，函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减. 当时，不符合题意； 当时，单调递减，满足题意； 当时，开口向下，对称轴为， 故需要满足，显然成立，满足题意， 综上：. 故答案为：. 34．函数的值域为 ，单调递增区间为 . 【答案】 （开闭均可） 【分析】先求出函数的定义域，进而求出的范围，再根据指数函数的值域即可求出函数的值域，根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 则， 所以， 所以， 即函数的值域为； 令， 令，其在上是增函数，在上是减函数， 而函数在定义域内为增函数， 所以函数在上是增函数，在上是减函数， 因为函数是减函数， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（开闭均可）. 题型九：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 35．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数，利用函数单调性求最值或值域． 【详解】由已知，得或．当时，，当时，． 又在单调递增，， 在上的值域为在上的值域为， 因为函数时，总存在使得， 是的子集， ，即． 故选：B． 36．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出函数在上的值域为，设函数在上的值域为A，可得 ，进而列出关于a的不等式组即可求解. 【详解】因为函数为增函数，所以当时，， 即函数在上的值域为， 又因为函数的值域为， 设函数在上的值域为A，则， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 37．已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 38．已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)已知函数，，求的值域. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据是指数函数，由求解； （2）由（1）得到，令，由求解. 【详解】（1）因为函数是指数函数， 所以 ，解得； （2）由（1）知， 令， 则， 因为在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值51， 所以的值域为. 39．已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设令，则，根据二次函数的性质即可求值域； （2）由题设结合(1)在上恒成立，当时易知不等式恒成立， 当时，令则只需，结合基本不等式即可求参数范围. 【详解】（1）由题设，若，∴， 则对称轴为且开口向下，∴上单调递减，即， ∴的值域为； （2）由（1）知：在上恒成立，∴当时，， 即对任意都成立，当，即时， 恒成立， ∴， 当且仅当等号成立，∴仅需，即即可. ∴实数的取值范围. 题型十：与指数函数的相关的综合问题 40．已知函数是指数函数． (1)求a； (2)设函数，，记在上的最小值为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)1 【分析】（1）根据指数函数的定义建立方程组即可求解． （2）首先根据题意求出的表达式，再利用换元法，将其转化成二次函数，讨论二次函数对称轴在区间的位置，分别求最小值，然后利用分段函数以及二次函数研究的最小值即可． 【详解】（1）为指数函数，根据定义得，解得． 此时． （2）由（1）可知，，则． 令，， 则只需求在上的最小值． 当，即时，在上单调递增， 此时在处取得最小值； 当，即时，开口向上，在对称轴处取得最小值， 即时，此时； 当，即时，在上单调递减，此时在处取得最小值，． 综上，可得． 由可得，当时，单调递减，在处取最小值； 当时，； 当时，单调递增，在处取最小值． 综上的最小值为1． 41．已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)1 【分析】（1）根据指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （3）令，由指数函数的单调性知二次函数有最小值，进而得，解之即得参数值. 【详解】（1）当时，， 由，得，即，解得， 所以不等式的解集 . （2）当时，， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （3）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得， 即有最大值3时，a为1. 42．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求解即可； （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，解不等式得解. 【详解】（1）令，由，则， 所以 当时，取最小值为当时，取最大值为3， 即 故值域为. （2）由， 令，则，且， 所以， 其中，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故， 所以实数的取值范围. 43．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)判断在区间上的单调性，并证明； (2)求的值域； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)在区间上单调递增；证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义代入计算可得的值，再由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）由函数的单调性以及奇偶性即可得到，即可得到结果； （3）根据题意，由换元法，结合二次函数的值域分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以， 解得，所以， 又， 解得或（舍），所以， 在区间上单调递增， 设，所以， 又，所以，所以，即， 所以在区间上单调递增； （2）由（1）知在区间）上单调递增，又是定义在上的偶函数， 所以，所以的值域为； （3）由题意知，令， 所以，所以， 当，即时，在上单调递增， 所以的最小值为； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 综上，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $