精品解析： 福建省福州市长乐一中2024-2025学年九年级上学期第二次阶段考试数学试卷

2024-2025学年福建省福州市长乐一中九年级（上）第二次阶段考试 数学试卷 一、单选题（本题共9小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛掷两枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 明天一定会下大雨 C. 装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，则至少有一个是红球 D. 投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是2 2. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 中考体育科目考试是对应届初中毕业生作出体质评价的统一测试．巴中市中考体育项目中有一项为一分钟跳绳，小明3月份的跳绳测试成绩为130个，经老师的指导和自己的努力，5月份的跳绳测试成绩为176个．设小明跳绳个数月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，若CE=2AE，则（ ） A B. C. D. 7. 如图，已知，均为上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（　　） A. 6cm B. 12cm C. 21cm D. 24cm 9. 已知抛物线不经过第三象限，且当时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 点关于原点对称的点的坐标是______． 11. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25，则所受阻力F为________N． 12. 若一个二次函数的最大值为3，则该二次函数的解析式可以是_____________（写出一个符合题意的解析式） 13. 如图为一个的三角板，，小洋同学将三角板绕旋转一周，则所得到的几何体的侧面积为______（结果保留） 14. 已知关于x的方程x2+mx-2=0的两个根为x1、x2，若x1+x2-x1x2=6，则m=______． 15. 如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________． 三、解答题（本题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程：x2-6x-3=0 17. 如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE． 18. 一个不透明的袋中装有1只红球、1只绿球和2只篮球，这些球除颜色外完全相同． （1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为_____________； （2）从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率． 19. 如图，在等腰直角三角形中，，，点D在上，将绕点B顺时针旋转后得到，求的度数． 20. 如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C． （1）用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设是等腰三角形，底边cm，腰cm，求圆片半径R． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图像分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，OE=2． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OD，求△OBD的面积． 22. 如图，为圆O的直径，在直径的同侧的圆上有两点C，D，，弦平分交于点F． （1）已知，求的长：（结果保留π） （2）求证：． 23. 已知和是两个全等的等腰直角三角形，． （1）如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证： ①； ②； （2）如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由． 24. 问题：某兴趣小组开展综合实践活动：如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系． 探究： （1）[初步感知]：如图1，当点由点运动到点时． ①当时，  ． ②求出关于的函数解析式； （2）[建立模型]：当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． （3）[延伸探究]：若存在3个不同时刻分别为，这3个时刻分别对应的正方形的面积均相等，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年福建省福州市长乐一中九年级（上）第二次阶段考试 数学试卷 一、单选题（本题共9小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛掷两枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 明天一定会下大雨 C. 装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，则至少有一个是红球 D. 投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是2 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性判断． 【详解】解：A、任意抛掷两枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，错误； B、明天可能下大雨，也可能天晴，错误； C、装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，因为最多只有一个蓝球，所以至少有一个是红球，正确； D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任一个，错误； 故选C．　 【点睛】本题考查确定性事件的应用，熟练掌握必然事件的意义是解题关键． 2. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数对称轴公式是解决问题的关键． 直接根据二次函数对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线． 故选C． 3. 如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到的位置，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，将绕点A顺时针旋转得到的位置，依据旋转的性质即可得解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角， 故选：B． 4. 若函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点得出△＞0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点， ∴方程x2−2x＋b＝0有两个不相等的实数根， 即△＝（−2）2−4×1×b＝4−4b＞0， 解得：b＜1， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题和解一元一次不等式，能根据题意得出不等式是解此题的关键． 5. 中考体育科目考试是对应届初中毕业生作出体质评价的统一测试．巴中市中考体育项目中有一项为一分钟跳绳，小明3月份的跳绳测试成绩为130个，经老师的指导和自己的努力，5月份的跳绳测试成绩为176个．设小明跳绳个数月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小明跳绳个数月平均增长率为x，根据等量关系式3月份的跳绳测试成绩5月份的跳绳测试成绩，列出方程即可． 【详解】解：设小明跳绳个数月平均增长率为x，根据题意得： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目的等量关系式． 6. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，若CE=2AE，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线截线段成比例逐项判断即可． 【详解】∵CE=2AE， ∴． ∵， ∴，故A不符合题意，C符合题意； ，故B不符合题意，D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查平行线截线段成比例．正确判断成比例的线段是解题关键． 7. 如图，已知，均为上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接可得，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 8. 如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（　　） A. 6cm B. 12cm C. 21cm D. 24cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答． 【详解】如图所示：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC ∴, 设屏幕上的图形高是x，则 , 解得：x＝21． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 9. 已知抛物线不经过第三象限，且当时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出抛物线的对称轴方程，结合增减性得到关于m的不等式，进而即可求解 【详解】解：∵的对称轴为：， 又∵当时，抛物线满足y随x的增大而增大， ∴，解得． ∵抛物线开口向上，且不经过第三象限， ∴，解得，， ∴m的取值范围为：， 故选A． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解，掌握于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25，则所受阻力F为________N． 【答案】2400 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键． 根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值． 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数为：， 将代入得 得， 故答案为：2400． 12. 若一个二次函数的最大值为3，则该二次函数的解析式可以是_____________（写出一个符合题意的解析式） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数的性质写成函数图象开口向下，且顶点的纵坐标是3的解析式即可． 【详解】解：由题意，二次函数有最大值，说明函数图象开口向下，且顶点的纵坐标是3，则这个二次函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图为一个的三角板，，小洋同学将三角板绕旋转一周，则所得到的几何体的侧面积为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】将三角板绕旋转一周所得到的几何体是圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴将三角板绕旋转一周所得到的几何体是底面圆的半径为6，母线长为12的圆锥， ∴所得到几何体的侧面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长． 14. 已知关于x的方程x2+mx-2=0的两个根为x1、x2，若x1+x2-x1x2=6，则m=______． 【答案】-4 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值． 【详解】解：依题意得：x1+x2=-m，x1x2=-2． 所以x1+x2-x1x2=-m-（-2）=6 所以m=-4． 故答案是：-4． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=． 15. 如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＋∠CDF＝90°， ∵， ∴∠DCF＋∠CDF＝90°， ∴∠DFC＝90°， ∴点F在以DC为直径的半圆上移动， 如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P， 连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3， ∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6， ∴OG＝9， ∴OP＝， ∴FP＝-3， ∴BE＋FE的长度最小值为-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（本题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程：x2-6x-3=0 【答案】x1=，x2= 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【详解】解：∵x2-6x-3=0， ∴x2-6x=3， 则x2-6x+9=3+9，即（x-3）2=12， ∴x-3=， ∴x1=，x2=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】证出∠A=∠ECD，再由∠B=∠D=90°，即可得出△ABC∽△CDE． 【详解】∵∠B=90°， ∴∠A+∠ACB=90°， ∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE， ∴∠ACB+∠ECD=90°， ∴∠A=∠ECD， ∵∠B=∠D=90°， ∴△ABC∽△CDE． 考点：相似三角形的判定． 18. 一个不透明的袋中装有1只红球、1只绿球和2只篮球，这些球除颜色外完全相同． （1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为_____________； （2）从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 红 绿 蓝 蓝 红 红绿 红蓝 红蓝 绿 绿红 绿蓝 绿蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝蓝 ∴共有12种可能结果，其中2只球颜色不同的有10种， ∴P（2只球颜色不同）． 19. 如图，在等腰直角三角形中，，，点D在上，将绕点B顺时针旋转后得到，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，旋转的性质是解题的关键．根据题意，由旋转的性质可得与重合，，，由即可求解． 【详解】解：在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵点D在上，将绕点B顺时针旋转后得到， ∴与重合，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 20. 如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C． （1）用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设是等腰三角形，底边cm，腰cm，求圆片的半径R． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可根据，的垂直平分线来确定圆心． （2）本题可通过构建直角三角形来求解．连接交于．先求出的值，然后在直角三角形中，用半径表示出，，然后根据勾股定理求出半径的值． 【小问1详解】 解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． 【小问2详解】 连接交于，连接． ， ，（cm）， 在中，（cm）， 设的半径为cm，在中， ，即， ， ． 所以所求圆的半径为cm． 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图像分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，OE=2． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OD，求△OBD的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据OE长度得出点C的横坐标，然后根据一次函数解析式求出点C的坐标，最后将点C代入求出反比例函数的解析式； （2）根据函数的交点求法得出点D的坐标，根据一次函数的解析式求出点B的坐标，从而得出△OBD的面积． 【小问1详解】 解：∵OE=2，CE⊥x轴于点E， ∴C的横坐标为﹣2， 把x=﹣2代入得，， ∴点C的坐标为C（﹣2，3）， 设反比例函数的解析式为， 将点C（﹣2，3）的坐标代入，得， ∴该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由直线线可知B（4，0）， ，解得， ∴D（6，﹣1）， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及到待定系数法确定函数关系式、函数图像交点及平面直角坐标系中三角形面积问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质是解决问题的关键． 22. 如图，为圆O的直径，在直径的同侧的圆上有两点C，D，，弦平分交于点F． （1）已知，求的长：（结果保留π） （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，，求出，连接，根据弧长公式计算即可； （2）根据圆周角定理得到，利用弦平分求出，得到，根据，推出，进而推出，即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵为圆O的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵为圆O的直径， ∴， ∵弦平分交于点F． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记圆周角定理是解题的关键． 23. 已知和是两个全等的等腰直角三角形，． （1）如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证： ①； ②； （2）如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由是等腰直角三角形和，可以得到，，，得到，由可以证明； ②由①知，则，，证明．再证明，则，在中，，根据勾股定理，得，等量代换后即可得到结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，由旋转性质可得，，证明，即可得到，，可得，由勾股定理可得，等量代换后即可得到结论． 【小问1详解】 证明：①∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②由①知， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴． 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键． 24. 问题：某兴趣小组开展综合实践活动：如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系． 探究： （1）[初步感知]：如图1，当点由点运动到点时． ①当时，  ． ②求出关于的函数解析式； （2）[建立模型]：当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． （3）[延伸探究]：若存在3个不同时刻分别为，这3个时刻分别对应的正方形的面积均相等，求的值． 【答案】（1）3； （2）图像如下，， （3）4 【解析】 【分析】（1）①当时，，运用勾股定理即可求得答案； ②由题意得，运用勾股定理可得出结果； （2）观察图象可得，当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得， ，即，设，将代入，即可求得解析式，再利用勾股定理即可求得线段的长； （3）根据抛物线的对称性可得当时，点与关于直线对称，点与关于直线对称，即可得答案． 小问1详解】 ①当时，， 又， 故答案为：3； ②当点由点运动到点时， ， 故答案为： ； 【小问2详解】 由图2可得： 当点运动到点处时，， 当点运动到点处时，， 抛物线的顶点坐标为， ， ， ， 设， 将代入， 得， 解得：， ， 在中， 抛物线的解析式为： 【小问3详解】 由（1）（2）可得： 图象如图所示： ∵存在3个时刻对应的正方形的面积均相等， ， 点与关于直线对称， 点与关于直线对称， ∴， ， 故答案为：4； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，三角形面积等； 熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$