专题4-2 排列与组合【13类题型】- 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练(人教A版2019 )

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题4-2 排列与组合 模块一 题型·解读 【题型1】排列数的计算 【题型2】组合数的计算 【题型3】排列数与组合数的相关证明 【题型4】排列与组合的理解与应用 【题型5】元素（位置）有限制的排列组合问题 【题型6】相邻问题 【题型7】不相邻问题 【题型8】最短路线问题 【题型9】分组问题 【题型10】分组分配问题 【题型11】相邻与不相邻问题综合 【题型12】间接法（至多至少，正难则反） 【题型13】定序问题 【课后巩固】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 知识点02 组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. (4)组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： ==. 这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. (5)组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 知识点03 排列组合常见解题方法技巧 1、元素（位置）有限制的排列组合问题 对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。 2、相邻问题（捆绑法） 对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。 3、不相邻问题（插空法） 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可 4、定序问题 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理 5、最短路线问题（台阶问题） 先确定步数，再利用组合数进行计算 6、间接法（至多至少，正难则反） “至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。 7、分组问题（消序） 注意消序，有n组数量相同就除 8、分组分配问题 分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． 9、相同元素分配问题：挡板法 对于相同元素分配问题用挡板法，注意与常规分配问题进行区分 10、多面手问题 多面手问题，可以考虑画韦恩图帮助分析，对元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终． 11、元素配对问题(鞋子成双问题) 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考，直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 模块三 核心题型·训练 【题型1】排列数的计算 【例题1】可表示为（　　） A． B． C． D． 【例题2】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习1】若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【巩固练习2】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习3】解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【题型2】组合数的计算 【例题1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】若，则正整数的值为 ． 【例题3】解方程：(1)； (2)解方程：. 【巩固练习1】）若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【巩固练习2】若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【巩固练习3】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【题型3】排列数与组合数的相关证明 【例题1】求证：． 【例题2】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： （1）； （2）． 【巩固练习1】证明： ． 【巩固练习2】已知，，. （1）求值：，(2)化简：. 【巩固练习3】证明：组合数性质； 【题型4】排列与组合的理解与应用 【例题1】两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有(    )种 A．9 B．6 C．8 D．4 【例题2】若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（    ） A． B． C．15 D．360 【巩固练习1】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．120种 【巩固练习2】从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（    ） A．10 B．60 C．243 D．15 【巩固练习3】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【巩固练习4】将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有两个空盒的方法数为（    ） A．18 B．84 C．24 D．120 【题型5】元素（位置）有限制的排列组合问题 【例题1】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例题2】从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【巩固练习1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．280种 B．240种 C．180种 D．96种 【巩固练习2】某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 【巩固练习3】现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【题型6】相邻问题 【例题1】为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有种不同的排列方法 . 【例题2】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【巩固练习1】某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 【巩固练习2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有________种 【题型7】不相邻问题 【例题1】某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【例题2】有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（    ） A．120种 B．32种 C．24种 D．16种 【巩固练习1】某种产品的加工需要经过道工序，如果工序C，D必须不能相邻，那么有______种加工顺序 【巩固练习2】夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【巩固练习3】哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【题型8】最短路线问题 【例题1】在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（    ） A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 【巩固练习1】小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，小明到科技博物馆选择的最短路径条数为________条，小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为________条    【巩固练习2】方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【题型9】分组问题 【例题1】已知有4本不同的书.分成2堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？ 【例题2】6本不同的书，分成三份，1份4本，另外两份每份1本，共有________种不同的分法 【巩固练习1】已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？ 【巩固练习2】6本不同的书，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______种分法 【巩固练习3】现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成，则这9名检测人员分组方法种数为______；若志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为______. 【题型10】分组分配问题 【例题1】提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人，则不同的选派方案共有　　 A．18种 B．12种 C．72种 D．36种 【例题2】（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有 A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【例题3】甲、乙、丙、丁4名同学去三个敬老院做志愿者，每人只去一个敬老院，每个敬老院都要有人去．若甲不去敬老院，乙不去敬老院，则不同的分配方式共有（     ） A．12种 B．17种 C．21种 D．24种 【巩固练习1】某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（    ） A．81 B．72 C．48 D．36 【巩固练习2】在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．300种         D．150种 【巩固练习3】2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450种 B．360种 C．90种 D．70种 【巩固练习4】某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 【巩固练习5】某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【题型11】相邻与不相邻问题综合 【例题1】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种. 【例题2】“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有______种．（用数字作答） 【巩固练习2】中国古代儒家提出的“六艺”指：礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（    ） A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 【巩固练习3】有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 　 　种．（结果用数字作答） 【题型12】间接法（至多至少，正难则反） 【例题1】某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为 . 【例题2】某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【巩固练习1】现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．84 B．172 C．160 D．230 【巩固练习2】甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【题型13】定序问题 【例题1】某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（       ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 【例题2】7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 【巩固练习1】《志存高远，勇担使命》主题联欢会节目表上有7个节目，如果保持开场歌舞还是第一个节目，尾曲《难忘今宵》还是最后一个节目，且其它五个节目相对顺序不变情况下，再加进去三个节目，则共有不同的安排方法（ ）种． A．120 B．146 C．226 D．336 【巩固练习2】五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 【巩固练习3】甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有( ) A．72种 B．144种 C．360种 D．720种 【课后巩固】 1． （多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2． 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3． 根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 4． 某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有 种．（用数字作答） 5． 解下列方程. (1)； (2). 6． 中国书法一般分为篆书､隶书､行书､楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草､今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书､隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草､今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种. 7． 2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 8． 某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 9． 10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有 种 10． 用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 11． 某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将这四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有________种不同的选修方式可选． 12． 甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种． 13． 为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（    ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 14． 城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（    ） A．110 B．144 C．132 D．156 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题4-2 排列与组合 模块一 题型·解读 【题型1】排列数的计算 【题型2】组合数的计算 【题型3】排列数与组合数的相关证明 【题型4】排列与组合的理解与应用 【题型5】元素（位置）有限制的排列组合问题 【题型6】相邻问题 【题型7】不相邻问题 【题型8】最短路线问题 【题型9】分组问题 【题型10】分组分配问题 【题型11】相邻与不相邻问题综合 【题型12】间接法（至多至少，正难则反） 【题型13】定序问题 【课后巩固】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 知识点02 组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. (4)组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： ==. 这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. (5)组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 知识点03 排列组合常见解题方法技巧 1、元素（位置）有限制的排列组合问题 对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。 2、相邻问题（捆绑法） 对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。 3、不相邻问题（插空法） 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可 4、定序问题 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理 5、最短路线问题（台阶问题） 先确定步数，再利用组合数进行计算 6、间接法（至多至少，正难则反） “至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。 7、分组问题（消序） 注意消序，有n组数量相同就除 8、分组分配问题 分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． 9、相同元素分配问题：挡板法 对于相同元素分配问题用挡板法，注意与常规分配问题进行区分 10、多面手问题 多面手问题，可以考虑画韦恩图帮助分析，对元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终． 11、元素配对问题(鞋子成双问题) 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考，直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 模块三 核心题型·训练 【题型1】排列数的计算 【例题1】可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据排列数的定义可得出答案． 【详解】 【例题2】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集是. 【巩固练习1】若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据排列数得到方程，求出答案. 【详解】由，得，解得． 【巩固练习2】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 【巩固练习3】解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【答案】(1)n=5，(2)x=8 【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果； （2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果. 【详解】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6，由，解得且， 由原不等式可得，化简可得，解得， 又且，所以． 【题型2】组合数的计算 【例题1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值. 【详解】因为，则，解得， 故 . 【例题2】若，则正整数的值为 ． 【答案】5或7 【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案. 【详解】由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或. 故答案为：5或7 【例题3】解方程： (1)； (2)解方程：. 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）由原方程得或，∴或， 又把和代入检验，满足， ∴原方程的解为或； （2）原方程可化为，即， ∴， ∴， ∴，解得或， 经检验：是原方程的解. 【巩固练习1】）若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【分析】根据组合数公式的性质求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 【巩固练习2】若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【分析】利用组合数性质计算可得答案. 【详解】由，得或， 解得（舍）或， 则 . 【巩固练习3】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或,(2) 【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解. 【详解】（1）x为正整数， 由可得或， 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或 （2）由组合数的性质可得， 所以由可得，进而可得， 解得或（舍去），由于，所以，故只取，舍去 【题型3】排列数与组合数的相关证明 【例题1】求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 根据排列数公式可得 【详解】． 【例题2】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： ； ． 【解题思路】代入阶乘公式，化简证明. 【解答过程】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 【巩固练习1】证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ．为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 【巩固练习2】已知，，. 求值：，(2)化简：. 【解题思路】（1）利用组合数的阶乘形式化简计算即可； （2）利用化简式子即可. 【解答过程】（1） ； （2）由（1）知，， 则. 【巩固练习3】证明：组合数性质； 【分析】利用组合数公式计算化简可证结论； 【详解】证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； 【题型4】排列与组合的理解与应用 【例题1】两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有(    )种 A．9 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，问题可看作有顺序的排列问题，三门课选两门分给两位同学，根据排列的计算方法即可计算． 【详解】两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有种﹒ 【例题2】若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（    ） A． B． C．15 D．360 【答案】C 【解析】根据组合的定义，结合组合数公式进行计算求解即可. 【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题， 则有. 【巩固练习1】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．120种 【答案】D 【分析】利用排列的定义直接列式求解. 【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）． 【巩固练习2】从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（    ） A．10 B．60 C．243 D．15 【答案】B 【详解】不同的方法总数是 【巩固练习3】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据题意可知，若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，结合组合的知识，求解即可. 【详解】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试， 若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可， 故不同选法共有种. 【巩固练习4】将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有两个空盒的方法数为（    ） A．18 B．84 C．24 D．120 【答案】A 【分析】由题意符合要求的情况可分为“其中一个盒子中放入1个小球，另一个盒子中放入3个小球”、“两个盒子中均放入2个小球”两种情况，再结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有两个空盒，可分为两种情况：其中一个盒子中放入1个小球，另一个盒子中放入3个小球，共有种方法；两个盒子中均放入2个小球，共有种方法；所以符合要求的方法数为. 【题型5】元素（位置）有限制的排列组合问题 【例题1】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据题意可知，若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，结合组合的知识，求解即可. 【详解】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试， 若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可， 故不同选法共有种. 【例题2】从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【分析】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【详解】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 【巩固练习1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．280种 B．240种 C．180种 D．96种 【答案】B 【详解】解：先从除了甲乙剩余的4名志愿者中选1人从事翻译工作，有种，然后再从剩余的名志愿者中选3个人从事另外三项工作，有种，所以一共有种. 【巩固练习2】某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 【答案】A 【分析】根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可. 【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成： （1）让甲在三个项目中任选一个，有种方法； （2）让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法. 由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为. 【巩固练习3】现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【分析】由分类计数加法原理计算即可． 【详解】若未被选中，则有种安排方法， 若被选中，则有种安排方法， 故共有种安排方法 【题型6】相邻问题 【例题1】为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有种不同的排列方法 . 【答案】240 解析：依题意得，不同的排队方法有种.故填：. 【例题2】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有种方法， 再安排丙和剩余的人，有有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 【巩固练习1】某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【解析】先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列， 故有排法种数为.故选：C 【巩固练习2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有________种 【答案】24 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式 【题型7】不相邻问题 【例题1】某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【详解】先捆绑再和排列，然后插入 共有种排法． 【例题2】有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（    ） A．120种 B．32种 C．24种 D．16种 【答案】D 【分析】红色在中间，先考虑红色左边的情况，再考虑右边，进而求出答案. 【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色， 先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有种选法， 再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有种选法， 综上：一共有摆放方法=16种. 【巩固练习1】某种产品的加工需要经过道工序，如果工序C，D必须不能相邻，那么有______种加工顺序 【答案】72 【分析】先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空. 【详解】先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序. 【巩固练习2】夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【答案】12 【分析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放在第一位即可. 【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有种情况， 再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有种情况 最后将抽血放在第一位，有1种情况，所以共有种情况 【巩固练习3】哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【分析】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算. 【详解】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 【题型8】最短路线问题 【例题1】在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（    ） A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算求得正确答案. 【详解】由题可知，不同的路线有种． 【巩固练习1】小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，小明到科技博物馆选择的最短路径条数为________条，小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为________条    【答案】126,3 【分析】根据组合公式和最短路径的几何特点即可求解. 【详解】由图知，要使小兵、小明到科技博物馆的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，    小明到科技博物馆需要向上4格，向右5格，即小明共走9步其中4步向上，最短路径条数为条，小兵到科技博物馆需要向上1格，向右2格，即小兵共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条 【巩固练习2】方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的， 则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种. 【题型9】分组问题 【例题1】已知有4本不同的书.分成2堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？ 【答案】3 【分析】根据题意先对4本书进行分组，因为平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以，进而求解. 【详解】4本书平均分成2堆，所以不同的分堆方法的种数为. 【例题2】6本不同的书，分成三份，1份4本，另外两份每份1本，共有________种不同的分配方式 【答案】15 【分析】根据部分平均分组由排列组合即可求解. 【详解】无序均匀分组问题，种 【巩固练习1】已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？ 【答案】15 【分析】根据题意先对6本书进行分组，因为平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以，进而求解. 【详解】6本书平均分成3堆， 所以不同的分堆方法的种数为. 【巩固练习2】6本不同的书，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______种分法 【答案】60 【分析】根据不平均分组即可求解， 【详解】先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种. 【巩固练习3】现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成，则这9名检测人员分组方法种数为______；若志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为______. 【答案】60，18 【详解】（1）志愿者分组情况有种，搭配3名医生有种；（2）志愿者分组情况有种，搭配3名医生有种. 【题型10】分组分配问题 【例题1】提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人，则不同的选派方案共有　　 A．18种 B．12种 C．72种 D．36种 【解答】解：将4名教师分成3个组有种分法，再将3个组的教师分到甲、乙、丙三地共有种分法，所以共有36种选派方案， 【例题2】（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【详解】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 【例题3】甲、乙、丙、丁4名同学去三个敬老院做志愿者，每人只去一个敬老院，每个敬老院都要有人去．若甲不去敬老院，乙不去敬老院，则不同的分配方式共有（     ） A．12种 B．17种 C．21种 D．24种 【分析】根据给定条件，按甲去两个敬老院进行分类讨论，结合排列组合列式求解. 【详解】4人去3个敬老院，则有1个敬老院会有两个人去， ①若甲去敬老院：当敬老院有两人去，则分配方式有种；当敬老院只有甲去，分配方式有种； ②若甲去敬老院：当乙去敬老院，分配方式有种；当乙也去敬老院，分配方式有种， 所以不同的分配方式共有种． 【巩固练习1】某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（    ） A．81 B．72 C．48 D．36 【答案】D 【分析】先将4位学生分为三组（其中一组2人，另两组每组各1人），再分配到三所敬老院，即可得出答案． 【详解】先将4位学生分为三组（其中一组2人，另两组每组各1人），再分配到三所敬老院，则有种分配方法 【巩固练习2】在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．300种         D．150种 【答案】D 【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可. 【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种； 当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种. 综上，选法共有. 【巩固练习3】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450种 B．360种 C．90种 D．70种 【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得. 【详解】由题知，6名航天员安排三舱， 三舱中每个舱至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：分人数为的三组，共有种； 第二种：分人数为的三组，共有种； 所以不同的安排方法共有种. 【巩固练习4】某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 【分析】分选派2名快递员和选派3名快递员两种情况讨论. 【详解】第一：选派2名快递员的时候： 首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种， 所以不同安排方案有：种； 第二：选派3名快递员的时候： 先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法， 所以不同安排方案有：种. 综上，不同安排方案有：种. 【巩固练习5】某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【分析】对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量. 【详解】若派到山区有人，则不同的派法有种； 若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种， 其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种； 所以不同的派法共有种. 【题型11】相邻与不相邻问题综合 【例题1】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种. 【答案】36 【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种. 【例题2】“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，将《大学》《论语》捆绑和《周易》看作两个元素，采用插空法排列，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座， 共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法， 排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位， 从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法， 故总共有种排法 【巩固练习1】现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有______种．（用数字作答） 【答案】144 【解析】根据题意，分2步进行分析： （1）将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列， 有种情况， （2）排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁， 有种情况，则有种排法 【巩固练习2】中国古代儒家提出的“六艺”指：礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（    ） A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】D 【分析】利用捆绑法和插空法计算可得. 【详解】解：由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种， 然后与“礼”､“数”进行排序，共有种， 最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种， 由于是分步进行，所以共有种. 【巩固练习3】有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 　 　种．（结果用数字作答） 【答案】36 【解答】解：相声，跳舞看成一体，与唱歌，杂技全排列，共有种， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，剩下3个空，小品选其一，有种， 故共种． 【题型12】间接法（至多至少，正难则反） 【例题1】某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为 . 【答案】 【分析】直接利用组合知识分步计算即可. 【详解】由已知可得六名同学选三名同学有种方法，而全选男生的有种方法， 所以至少一名女生的方法有种方法. 故答案为：16 【例题2】某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474. 【分析】采用间接法，首先求解出任意安排节课的排法种数；分别求出前节课连排节和后节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果. 【详解】从节课中任意安排节共有：种 其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种 老师一天课表的所有排法共有：种 【巩固练习1】现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．84 B．172 C．160 D．230 【答案】C 【分析】用间接法分析．先求出“从12张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案． 【详解】根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有种取法， 如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况， 如果取出的3张有2张红色卡片，则有种情况， 故所求的取法共有种． 【巩固练习2】甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【答案】A 【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方， 则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖， 每人有2种选择方法，则4人一共有种情况， 故汉口江滩一定要有人去有种情况 【题型13】定序问题 【例题1】某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（       ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 【答案】C 【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为． 故选：C． 【例题2】7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 【答案】840 【分析】利用排列求出不同的排法总数. 【详解】对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有种不同的方法． 故答案为：840. 【巩固练习1】《志存高远，勇担使命》主题联欢会节目表上有7个节目，如果保持开场歌舞还是第一个节目，尾曲《难忘今宵》还是最后一个节目，且其它五个节目相对顺序不变情况下，再加进去三个节目，则共有不同的安排方法（ ）种． A．120 B．146 C．226 D．336 【答案】D 【解析】去掉首尾，问题等价于排8个节目中安排3个节目，还有5个节目相对顺序固定，故有种方法 【巩固练习2】五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 【答案】 【分析】用5个元素的全排列个数除以2各元素的全排列个数可得答案. 【详解】五个人并排站在一排，共有种， 其中甲、乙两人共有种顺序，各占一半， 所以甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)的不同的排法有种， 故答案为：60 【巩固练习3】甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有( ) A．72种 B．144种 C．360种 D．720种 【答案】B 【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有种.故选：B. 【课后巩固】 1． （多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 根据排列数的计算公式即可结合选项逐一求解. 【详解】，故A正确； 由上述可知，因此，故B错误； ，故C正确； 由上述可知，故D错误. 2． 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 3． 根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 【分析】根据题意，由间接法代入计算，即可得到结果. 【详解】总方案有种，1班排在最后有种方案，4班排在第一位有种方案， 1班排在最后且4班排在第一位有种方案， 则满足要求的方案有种. 4． 某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有 种．（用数字作答） 【分析】将5人分为3组，再把3组安排到三个地区，分步乘法计算分配方法. 【详解】①将5人分为3组，要求A，B两人在同一组而C，D不在同一组， 分A，B两人在3人组和在2人组两种情况，有（种）分组方法； ②将分好的3组全排列，安排到三个地区，有（种）安排方法； 由分步乘法计数原理，得共有（种）不同的分配方法． 5． 解下列方程. (1)； (2). 【答案】(1)5；(2)或. 【分析】（1）根据排列数与组合数的计算公式，化简方程，可得答案； （2）根据组合数的性质，化简方程，可得方程. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得. （2）因为，所以， 即，…，，所以， 所以或， 解得或. 6． 中国书法一般分为篆书､隶书､行书､楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草､今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书､隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草､今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种. 【答案】72 【分析】利用捆绑法，结合排列数的计算，求解即可. 【详解】分别将隶书､草书､楷书当作整体，排法总数为， 隶书内部顺序，草书内部顺序， 故方法总数为种. 7． 2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【分析】分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得. 【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法； 当丙不站在左端时，有种站法. 由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法. 8． 某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区. 【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况， 第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 所以共（种）选派方案 9． 10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有 种 【答案】 【详解】试题分析：．根据题意可知，新队员甲不能入选共有种选法，在新队员甲不如选的条件下，两名老队员都入选的共有种选法，所以满足条件的有种． 10． 用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得. 【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类： 第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种， 再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法. 由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个. 11． 某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将这四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有________种不同的选修方式可选． 【答案】54 【解析】：由题若按照1，1，2选修四门课程，则有种． 若按照0，2，2选修四门课程，则有种．所以共有种．故填：54． 12． 甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种． 【答案】50 【分析】因为E工作只有乙能完成，所以分为两类，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用两个原理及排列组合的知识即可求得 【详解】由题意可分为两类 （1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式 （2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有 种安排方式 综上共有种安排方式 13． 为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（    ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【解析】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻， 先令丙、丁两人相邻用捆绑法，再把丙、丁与戊排列在一起，最后插空令甲、乙两人不相邻,则不同的排法共有种. 14． 城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（    ） A．110 B．144 C．132 D．156 【答案】C 【分析】共有12个节目，只需排好2个“歌王对唱”节目即可，根据排列数计算即可得出答案. 【详解】添加节目后，共有12个节目， 因为保持原来10个节目的相对顺序不变， 则只需排好2个“歌王对唱”节目即可， 所以，不同的排法种数为. 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 1 / 15 专题 4-2 排列与组合 【题型 1】排列数的计算 【题型 2】组合数的计算 【题型 3】排列数与组合数的相关证明 【题型 4】排列与组合的理解与应用 【题型 5】元素（位置）有限制的排列组合问题 【题型 6】相邻问题 【题型 7】不相邻问题 【题型 8】最短路线问题 【题型 9】分组问题 【题型 10】分组分配问题 【题型 11】相邻与不相邻问题综合 【题型 12】间接法（至多至少，正难则反） 【题型 13】定序问题 【课后巩固】 知识点 01 排列 (1)排列的定义 一般地，从 n个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判 断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从 n 个不同的元素中 任取 m(m n，n,m∈ )个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与 顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排 列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 模块一 题型·解读 模块二 基础知识·梳理 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 2 / 15 知识点 02 组合 (1)组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求 n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的 m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从 n个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就 可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. (4)组合数与组合数公式 (1)组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的组合数，用符号 表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： = = . 这里，n,m∈ ，并且 m n. ②阶乘表示： = . 规定： =1. (5)组合数的性质 (1)性质 1： = 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个 元素后，剩下(n-m)个元素，因而从 n个不同元素中取 m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合 是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当 m> 时，我们可以不直接计算 ，而是 改为计算 ，这样可以简化运算. (2)性质 2： = + 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 3 / 15 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出 m(m n，n,m ∈ )个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩 下的 n个元素中再取(m-1)个元素，有 种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的 n个元素中取 出 m个元素，有 种取法. 由分类加法计数原理可得： = + . 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 知识点 03 排列组合常见解题方法技巧 1、元素（位置）有限制的排列组合问题 对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位 置。 2、相邻问题（捆绑法） 对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆 绑部分的内部顺序。 3、不相邻问题（插空法） 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及 两端空隙中插入即可 4、定序问题 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理 5、最短路线问题（台阶问题） 先确定步数，再利用组合数进行计算 6、间接法（至多至少，正难则反） “至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复 与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。 7、分组问题（消序） 注意消序，有 n组数量相同就除 !n 8、分组分配问题 分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成 n堆(组)必须除以 n nA ， 如果有 m堆（组）元素个数相同，必须除以 m mA ． 9、相同元素分配问题：挡板法 对于相同元素分配问题用挡板法，注意与常规分配问题进行区分 10、多面手问题 多面手问题，可以考虑画韦恩图帮助分析，对元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步， 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 4 / 15 做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终． 11、元素配对问题(鞋子成双问题) 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考， 直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点 在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 【题型 1】排列数的计算 【例题 1】  ( 2)( 3)( 4) ( 15) N , 15x x x x x x      可表示为（ ） A． 13 2A x B． 14 2A x C． 13 15Ax D． 14 15Ax 【例题 2】不等式 3 2A 3Ax xx  的解集是（ ） A． 3x x  B． 4, Nx x x  C． 3 4x x  D． 3, Nx x x   【巩固练习 1】若A𝑚 2 = A𝑚 3 ，则𝑚 =（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【巩固练习 2】（多选题）下列等式中成立的是（ ） A． 23A ( 2 A)n nn  B． 1 1 1 1 A An nn n n    C． 2 1A A n n n nn    D． 1A A m m n n n n m    【巩固练习 3】解下列方程或不等式． (1) 3 2A n =2 4 1An ； (2) 2 8 8A 6A x x . 模块三 核心题型·训练 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 5 / 15 【题型 2】组合数的计算 【例题 1】若 2 22 22C C m m ，则 2 2 2 2 2 3 4C C C Cm    的值为（ ） A．45 B．55 C．120 D．165 【例题 2】若 2 5 1 16 15 15C C C x x x   ，则正整数 x 的值为 ． 【例题 3】解方程：(1)C13 𝑥+1 = C13 2𝑥−3； (2)解方程：C𝑥+2 𝑥−2 + C𝑥+2 𝑥−3 = 1 10 P𝑥+3 3 . 【巩固练习 1】）若C6 2 = C6 2𝑛−2，则𝑛 =（ ） A．2 B．4 C．2 或 4 D．2 或 3 【巩固练习 2】若C13 𝑚−3 = C13 𝑚 3 ，则C3 2 + C4 2 + C5 2 + ⋯ + Cm 2 的值为（ ） A．286 B．285 C．219 D．218 【巩固练习 3】解关于正整数 x的方程： (1) 2 5 5 16 16C C x x x  ； (2) 2 3 3 2 2 3 1 C C A 4 x x x x x       ． 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 6 / 15 【题型 3】排列数与组合数的相关证明 【例题 1】求证：  11A A 2 m m n nn n m     ． 【例题 2】已知 m是自然数，n是正整数，且𝑚 ≤ 𝑛．求证： （1）C𝑛 𝑚 = C𝑛 𝑛−𝑚； （2）C𝑛+1 𝑚 = C𝑛 𝑚 + C𝑛 𝑚−1． 【巩固练习 1】证明：     ! A ! m n n n m n m    ． 【巩固练习 2】已知𝑛 ∈ N ∗，𝑛 ≥ 2，𝑘 ∈ N ∗. （1）求值：𝑘C𝑛 𝑘 − 𝑛C𝑛−1 𝑘−1(𝑘 ≥ 2)，(2)化简：C𝑛 1 + 2C𝑛 2 + 3C𝑛 3 +⋅⋅⋅ +𝑛C𝑛 𝑛. 【巩固练习 3】证明：组合数性质C𝑛+1 𝑚 = C𝑛 𝑚 + C𝑛 𝑚−1（𝑚，𝑛 ∈ 𝑁∗）； 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 7 / 15 【题型 4】排列与组合的理解与应用 【例题 1】两位同学分别从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，且 2 人选修的课程不同，则不同的选 法共有( )种 A．9 B．6 C．8 D．4 【例题 2】若 6 个人分 4 张无座的足球门票，每人至多分 1 张，而且票必须分完，那么不同分法的 种数是（ ） A． 46 B． 64 C．15 D．360 【巩固练习 1】从 6 名员工中选出 3 人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共 有（ ） A．60 种 B．80 种 C．100 种 D．120 种 【巩固练习 2】从 5 本不同的书中选出 3 本分别送 3 位同学每人一本，不同的方法总数是（ ） A．10 B．60 C．243 D．15 【巩固练习 3】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门课程中选择4门报名参加合格 性考试，其中，语文、数学这2门课程同时入选的不同选法共有（ ） A．6种 B．12种 C．15种 D．20种 【巩固练习 4】将 4 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，恰好有两个空盒的方法数 为（ ） A．18 B．84 C．24 D．120 【题型 5】元素（位置）有限制的排列组合问题 【例题 1】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门课程中选择4门报名参加合格性考 试，其中，语文、数学这2门课程同时入选的不同选法共有（ ） A．6种 B．12种 C．15种 D．20种 【例题 2】从 6 人（包含甲）中选派出 3 人参加𝐴，𝐵，𝐶这三项不同的活动，且每项活动有且仅有 1 人参加，若甲不参加𝐴和𝐵活动，则不同的选派方案有（ ） A．60 种 B．80 种 C．90 种 D．150 种 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 8 / 15 【巩固练习 1】从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其 中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．280 种 B．240 种 C．180 种 D．96 种 【巩固练习 2】某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁 4 位同学报名参加 , , ,A B C D 这 4 个项 目的比赛，每人只报名 1 个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加A 项目，则不同的报名 方法种数有（ ） A．18 B．21 C．23 D．72 【巩固练习 3】现要从𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸这 5 人中选出 4 人安排在甲、乙、丙、丁 4 个岗位上，如果 A不能 安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（ ） A．300 B．120 C．96 D．72 【题型 6】相邻问题 【例题 1】为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7 位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、 丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有种不同的排列方法 . 【例题 2】甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端， 则不同的排列方式共有（ ） A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 【巩固练习 1】某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共 5 人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻 的排法种数为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 【巩固练习 2】有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁 相邻，则不同排列方式共有________种 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 9 / 15 【题型 7】不相邻问题 【例题 1】某种产品的加上需要经过 A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求 A，B两道工序必须相 邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ） A．960 种 B．836 种 C．816 种 D．720 种 【例题 2】有互不相同的 5 盆菊花，其中 2 盆为白色，2 盆为黄色，1 盆为红色，现要摆成一排，要 求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（ ） A．120 种 B．32 种 C．24 种 D．16 种 【巩固练习 1】某种产品的加工需要经过 , , , , ,5A B C D E 道工序，如果工序 C，D必须不能相邻，那 么有______种加工顺序 【巩固练习 2】夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部 CT、心电图、血压测量等五个项 目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部 CT 两项 不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【巩固练习 3】哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024 年年初，来自南方的 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若 要求𝐵，𝐶相邻，A与𝐷不相邻，则不同的排队方法种数为（ ） A．36 B．72 C．144 D．288 【题型 8】最短路线问题 【例题 1】在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径， 从 A地出发去往 B地，途经 C地，则不同的路线有（ ） A．90 种 B．105 种 C．260 种 D．315 种 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 10 / 15 【巩固练习 1】小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道 E处，小兵在 如图的街道 F处，科技博物馆位于如图的 G处，小明到科技博物馆选择的最短路径条数为________ 条，小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为________条 【巩固练习 2】方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表 的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同 的竹棍构造一个大正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A 点出发，沿着竹棍到 达 B 点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ） A．48种 B．60种 C． 72种 D．90种 【题型 9】分组问题 【例题 1】已知有 4 本不同的书.分成 2 堆，每堆 2 本，有________种不同的分堆方法？ 【例题 2】6 本不同的书，分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本，共有________种不同的分法 【巩固练习 1】已知有 6 本不同的书.分成三堆，每堆 2 本，有________种不同的分堆方法？ 【巩固练习 2】6 本不同的书，分成三堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有______种分法 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 11 / 15 【巩固练习 3】现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有 3 名医生和 6 名社会志愿者组成，每组 人员由 1 名医生和 2 名志愿者组成，则这 9 名检测人员分组方法种数为______；若志愿者甲与乙要 分配在同一组，则这 9 名检测人员分组方法种数为______. 【题型 10】分组分配问题 【例题 1】提高新农村的教育水平，某地选派 4 名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支 教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人，则不同的选派方案共有 ( ) A．18 种 B．12 种 C．72 种 D．36 种 【例题 2】（23-24 高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排 5 名学生作为“校庆 70 周年——欢迎 校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每 名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有 1 名志愿者，则不同的安排方法有 A．45 种 B．90 种 C．150 种 D．240 种 【例题 3】甲、乙、丙、丁 4 名同学去𝐴, 𝐵, 𝐶三个敬老院做志愿者，每人只去一个敬老院，每个敬老 院都要有人去．若甲不去𝐴敬老院，乙不去𝐵敬老院，则不同的分配方式共有（ ） A．12 种 B．17 种 C．21 种 D．24 种 【巩固练习 1】某校在重阳节当日安排 4 位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院 至少安排 1 人，则不同的分配方案数是（ ） A．81 B．72 C．48 D．36 【巩固练习 2】在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有 5 名医务人员到某学校的高一、高 二、高三 3 个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配 1 名医务人员，则不同的分配方法有 （ ） A．25 种 B．50 种 C．300 种 D．150 种 【巩固练习 3】2023 年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等 6 名航天员开 展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450 种 B．360 种 C．90 种 D．70 种 【巩固练习 4】某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派， 要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ） A．60 种 B．54 种 C．48 种 D．36 种 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 12 / 15 【巩固练习 5】某中学派 6 名教师到 A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地 方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区 A，决定派教师甲到山区 A，同时 考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ） A．360 种 B．336 种 C．216 种 D．120 种 【题型 11】相邻与不相邻问题综合 【例题 1】把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A与产品 B 相邻， 且产品 A与产品C 不相邻，则不 同的摆法有____________种. 【例题 2】“四书” “五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》 《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识 讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数 为（ ） A． 6 2 26 2 2A A A B． 6 2 6 2A A C． 6 2 2 6 7 2A A A D． 6 2 2 6 6 2A A A 【巩固练习 1】现有甲、乙、丙、丁在内的 6 名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻， 且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有______种．（用数字作答） 【巩固练习 2】中国古代儒家提出的“六艺”指：礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六 艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射” 和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（ ） A．18 种 B．36 种 C．72 种 D．144 种 【巩固练习 3】有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相 邻且相声、跳舞相邻的节目单有 种．（结果用数字作答） 【题型 12】间接法（至多至少，正难则反） 【例题 1】某研究性学习小组有 4 名男生和 2 名女生，一次问卷调查活动需要挑选 3 名同学参加， 其中至少 1 名女生，则不同的选法种数为 . 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 13 / 15 【例题 2】某老师一天上 3 个班级的课，每班一节，如果一天共 9 节课，且老师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【巩固练习 1】现有 12 张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多 1 张，则不同的取法种数为（ ） A．84 B．172 C．160 D．230 【巩固练习 2】甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉 口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【题型 13】定序问题 【例题 1】某次演出有 5 个节目，若甲、乙、丙 3 个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A．120 种 B．80 种 C．20 种 D．48 种 【例题 2】7 人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的 排法． 【巩固练习 1】《志存高远，勇担使命》主题联欢会节目表上有 7 个节目，如果保持开场歌舞还是第 一个节目，尾曲《难忘今宵》还是最后一个节目，且其它五个节目相对顺序不变情况下，再加进去 三个节目，则共有不同的安排方法（ ）种． A．120 B．146 C．226 D．336 【巩固练习 2】五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有 _______种. 【巩固练习 3】甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁 不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有( ) A．72 种 B．144 种 C．360 种 D．720 种 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 14 / 15 【课后巩固】 1．（多选）下列等式正确的是（ ） A．   ! A ! m n n n m   B． 14 16 30 30A A C． 1 1A A m m n nn   D． 7 6 20 20A 20A 2．不等式3A𝑥 3 ≤ 2A𝑥+1 2 + 6A𝑥 2的解集为（ ） A．{3,4,5} B．{3,4,5,6} C．{𝑥 ∣ 3 ≤ 𝑥 ≤ 5} D．{𝑥 ∣ 3 ≤ 𝑥 ≤ 6} 3．根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有 4 个班排队，1 班不能排在最后，4 班不 能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 4．某地区安排 A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一 人，且 A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有 种．（用数字作答） 5．解下列方程. (1) 3 3 1A 3Cm m ； (2) 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2023 2024C C C C C x     . 6．中国书法一般分为篆书､隶书､行书､楷书和草书这 5 种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古 隶和汉隶，草书分章草､今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文 化，某书法协会采用楷书､隶书和草书 3 种字体书写 6 个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶 和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草､今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这 6 个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种. 7．2023 年 10 月 23 日，杭州亚运会历时 16 天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排 成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（ ） A．18 种 B．24 种 C．30 种 D．36 种 8．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派 6名志愿者到甲、乙、 丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A．540种 B．180种 C．360种 D．630种 9．10 名运动员中有 2 名老队员和 8 名新队员，现从中选 3 人参加团体比赛，要求老队员至多 1 人 入选且新队员甲不能人选的选法有 种 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 15 / 15 10．用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，要求数字 1 和 4 相邻，则这样的六位数的个 数为（ ） A．192 B．240 C．360 D．720 11．某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原 本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将这四门选修课程全 部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有 ________种不同的选修方式可选． 12．甲、乙、丙三名志愿者需要完成 A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人 至少完成一项，且 E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种． 13．为庆祝广益中学建校 130 周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊 5 名老师参加“130 周年办学成果 展”活动，活动结束后 5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相 邻，则排法共有（ ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 14．城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办 25 届.假设在即将举办 的第 26 届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的 10 个“本土歌舞”节目中增加 2 个“歌王对 唱”节目.若保持原来 10 个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ） A．110 B．144 C．132 D．156