专题07 排列组合（15大题型）-2025年高二数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019选择性必修第三册）

专题07 排列组合 【题型归纳目录】 题型一：排列的概念 题型二：简单的排列问题 题型三：排列数公式的应用 题型四：相邻问题 题型五：不相邻问题 题型六：定序问题 题型七：间接法 题型八：组合概念的理解 题型九：简单的组合问题 题型十：组合数公式的应用 题型十一：多面手问题 题型十二：分组、分配问题 题型十三：与几何有关的组合应用题 题型十四：隔板法 题型十五：分堆问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 题型一：排列的概念 【典例1-1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 【典例1-2】下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【解析】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 【变式1-1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 【变式1-2】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算. A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 【答案】A 【解析】①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，故属于排列， ②选出的2人劳动内容相同，无顺序，故不属于排列， ③5人一组无顺序，故不属于排列， ④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，故属于排列， 综上所述，属于排列的为①④． 故选：A． 题型二：简单的排列问题 【典例2-1】（2024·高二课时练习）写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【解析】任意取出两个元素的所有排列为： . 【典例2-2】（2024·高二课时练习）请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【解析】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种： . （2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种： . 【变式2-1】（2024·江苏·高二专题练习）写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【解析】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数. （2）画出树状图，如图： 由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431， 3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数. 知识点二：排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 题型三：排列数公式的应用 【典例3-1】证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由可得， 则. 所以 （2）因为， 所以. 【典例3-2】求证： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：. （2）证明：. 【变式3-1】计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【解析】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 【变式3-2】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【解析】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 知识点三：阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 知识点四：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 题型四：相邻问题 【典例4-1】6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【答案】A 【解析】因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法， 将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：A 【典例4-2】某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ） A．192种 B．168种 C．72种 D．144种 【答案】A 【解析】根据题意，分两步进行分析： 第一步，先从4个视频中选3个，有种方法；2篇文章全选，有种方法； 第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有种方法； 第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有种方法. 故满足题意的学法有种. 故选：A. 【变式4-1】一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（    ） A．24 B．48 C．16 D．12 【答案】B 【解析】安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队， 则不同的站法种数为. 故选：B. 【变式4-2】7名同学（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙两人相邻但不排在两端，不同的排法种数是（      ） A．480 B．720 C．960 D．1440 【答案】C 【解析】乙两人相邻，可以采用捆绑法有种排法， 然后它们不排在两端可以采用插空法有种排法， 所以不同的排法种数是. 故选：C. 题型五：不相邻问题 【典例5-1】现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 由题意不同站法数为：． 故选：C. 【典例5-2】为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（    ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 【答案】C 【解析】先排4名男生，4名男生之间有3个空，中间的位置留给女生甲， 剩下的2个空，留给剩下的2名女生，共有种站法. 故选：C 【变式5-1】哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【答案】C 【解析】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 故选：C. 【变式5-2】某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个互动节目，现将这2个互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，那么不同的插法种数为（     ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【解析】根据题意：原定5个节目之间有4个空位，从中选择2个安排互动节目即可， 所以不同的插法种数为. 故选：C. 题型六：定序问题 【典例6-1】（2024·高二课时练习）氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法的种数为（    ） A．210 B．126 C．70 D．35 【答案】C 【解析】从7种中取出3种有，比如选出a，b，c3种，再都改变位置有b，c，a和c，a，b两种改变方法，故不同的改变方法有2×35=70种. 故选：C. 【典例6-2】（2024·山东烟台·高二统考）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（    ）． A．20 B．120 C．360 D．720 【答案】B 【解析】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定， 所以不同的上台顺序种数为. 故选：B. 【变式6-1】（2024·高二课时练习）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于（    ） A．1 543 B．2 543 C．3 542 D．4 532 【答案】C 【解析】首位是1的四位数有个， 首位是2的四位数有个， 首位是3的四位数有个， 由分类加法计数原理得， 首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个). 由此得：a72＝3 542. 故选：C. 题型七：间接法 【典例7-1】（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（    ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【答案】B 【解析】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种， 所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）. 故选：B 【典例7-2】（2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（    ） A．198个 B．180个 C．216个 D．234个 【答案】A 【解析】当2在首位时，在任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选两个字母在字母位上全排有； 当2与Z相邻时，即2在数字位的最后，Z在字母位的最前面，再从任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选一个字母放在字母位的最后有； 所以当2在首位和2与Z相邻的情况共有种， 而任选3个数字在数字位全排，任选2个字母在字母位全排共有种， 所以满足要求的车牌号有种. 故选：A 【变式7-1】（2024·江苏·常州市武进区礼嘉中学高二阶段练习）小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（    ） A．84 B．78 C．108 D．96 【答案】A 【解析】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有种，队列有4个空， 小李与父母中另一人相邻有种，再作为整体插入队列中有种， 所以共有种； 爷爷奶奶两人成列有种，队列有3个空， 小李与父母都相邻有种，再作为整体插入队列中有种， 所以共有种； 综上，共有种. 故选：A 知识点五：组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 题型八：组合概念的理解 【典例8-1】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【解析】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【典例8-2】以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】①当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，所以此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题； ②取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题； ③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题； ④甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题； ⑤发信人与收信人是有区别的，是排列问题， 综上，属于组合问题的有3个. 故选：B． 【变式8-1】下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 【变式8-2】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 题型九：简单的组合问题 【典例9-1】（2024·高二课时练习）写出： (1)从a，b，c，d，e五个元素中取两个元素的所有组合； (2)从a，b，c，d，e五个元素中取三个元素的所有组合． 【解析】（1）从5个元素a，b，c，d，e中任取两个元素的所有组合共有个，即ab，ac，ad，ae， bc，bd，be，cd，ce，de . （2）从5个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合共有个，即abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde . 【典例9-2】（2024·高二课时练习）平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线. （1）试写出以其中任意两个点为端点的有向线段. （2）试写出以其中任意两个点为端点的线段. （3）试写出以其中任意三点为顶点的三角形. 【解析】（1）以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排列，共有有向线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC； （2）以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD； （3）以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有ABC，ABD，BCD，. 【变式9-1】（2024·高二课时练习）用列举法写出下列组合： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有组合； (2)从5个不同元素中任取2个元素的所有组合． 【解析】（1）设个不同元素为， 从中任取3个元素，所有组合为：. （2）设个不同元素为， 从中任取个元素，所有组合为：， . 知识点六：组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 题型十：组合数公式的应用 【典例10-1】（1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 【解析】（1）； （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）因为，所以， 化简可得， 解得，所以不等式解集为． 【典例10-2】（1）计算:; （2）. 【解析】解:（1）， 【变式10-1】（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【解析】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 【变式10-2】（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 【解析】（1）由题意可知： ； （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 知识点七：组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 知识点八：组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法”： 题型十一：多面手问题 【典例11-1】（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 【典例11-2】（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______ 【答案】92 【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、， ①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种； ②若和两人只去一人参加比赛， (i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种； (ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种； ③若和两人均去参加比赛， (i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种； (ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷， 则选派方法为种； (iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种， 综上所述，不同的选派方法共有种. 故答案为：92. 【变式11-1】（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法． 第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法． 第三类：2人全被选出，同理共有16种选法． 所以共有3+18+16=37种选法． 题型十二：分组、分配问题 【典例12-1】甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【解析】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 【典例12-2】现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【解析】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序， 综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况， 由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为． （4）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为． 【变式12-1】将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 【答案】36 【解析】由题意，将4本不同的课外读物按数量为2、1、1分为3组，有种分法， 再将这3组读物分给3个同学，有种分法， 故共有不同的分配方法， 故答案为：36 【变式12-2】某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 . 【答案】240 【解析】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种， 再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法. 故答案为：240. 题型十三：与几何有关的组合应用题 【典例13-1】在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【答案】A 【解析】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内， 所以交点的个数就是四边形的个数，即个， 故选：A. 【典例13-2】一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（    ）对异面直线 A．174 B．180 C．210 D．368 【答案】B 【解析】每对异面直线，需4个顶点并且这4个顶点不共面，而不共面的4个点顺次连接构造一个四面体， 一个四面体的3组相对棱都是异面直线，底面是梯形的直四棱柱有8个顶点， 从8个顶点中任取4个有种方法，其中6个表面四边形4个顶点共面， 对角面都是平面四边形，4个顶点共面， 因此从底面是梯形的直四棱柱的8个顶点中任取4个顶点，构成四面体的个数最多有， 所以最多能组成异面直线对数是. 故选：B 【变式13-1】以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（    ） A．70 B．64 C．58 D．24 【答案】C 【解析】由题意知：要使平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面， 1、8个顶点任选4个，有种， 2、8个顶点任选4个，共面的有12种， ∴以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个. 故选：C 【变式13-2】有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（    ）． A．36条 B．30条 C．21条 D．18条 【答案】C 【解析】在小圆上确定3个点，两两连接三个点，并延长交外圆于6个点， 下面确定这9个点确定的直线条数， 从9个元素中任取两个共有种结果， 其中有3组四个点在同一条直线上，所以要减去， 这样多减了3条线， 所以共有条. 故选：C． 题型十四：隔板法 【典例14-1】方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【答案】A 【解析】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 【典例14-2】把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 【答案】A 【解析】先将卡片分为符合条件的三份， 由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号， 相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况， 再对应到三个人有种情况，则共有种法. 故选：A． 【变式14-1】满足不等式的有序整数组的数目为（    ） A．228 B．229 C．230 D．231 【答案】D 【解析】先考虑的有序整数解的个数，由绝对值的和为3、4或5，可得个数为. 若有一个为零，则有序整数解的个数为， 若有两个为零，则有序整数解的个数为， 若全为零，则有序整数解的个数为个， 故共有不同组数231. 故选：D. 【变式14-2】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 题型十五：分堆问题 【典例15-1】6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本（平均分组）； (2)一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）； (3)一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）． 【解析】（1）每组2本，均分为3组的分组种数为． （2）一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为． （3）一组4本，另外两组各1本的分组种数为． 【典例15-2】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 【解析】先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法， 【变式15-1】（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案. (1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ (2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 【解析】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案. （2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板， 则分成7组，故分配方案共有种. 【变式15-2】（2024·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考）已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 【解析】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为； （2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为． 【强化训练】 1．元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【解析】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 2．据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【答案】A 【解析】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶， 排成的音序有种； ④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶， 排成的音序有种. 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：A. 3．某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（    ） A．57种 B．60种 C．114种 D．120种 【答案】A 【解析】设获奖的三个班级分别为，，，首先分配“先进集体”奖，有（种）可能； 继续分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项，每个奖项分别有，，三种可能，于是有（种）可能，相乘一共有（种）可能， 其中一个班级一个奖项都不获得，也就是分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项时均分配到两个获得“先进集体”奖的班级，共有（种）可能； 两者相减得所有的颁奖方式有（种）． 故选：A． 4．2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 【答案】C 【解析】若小王在甲号路口，小李在乙号路口，则剩余6个人分到两个路口， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 此时共有种方案； 同理若小王在甲号路口，小李在乙号路口，也共有种方案． 所以一共有种不同的安排方案种数． 故选：C． 5．某单位参加年月日在四角井历史文化街区举办的晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？ A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先排三个唱歌节目这有种情况， 然后四个空排两个舞蹈节目这有种情况， 所以舞蹈节目不能相邻的情况有情况. 故选：D. 6．设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 【答案】A 【解析】若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 即共有种不同排列， 即集合中满足的元素的个数为. 故选：A. 7．学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有（    ） A．12种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】B 【解析】由题知共有两种情况，第一种情况：美术、街舞都不选，则需从剩余的四个社团中选择三个，共有种选择方法； 第二种情况：美术、街舞中选择一个，则还需从剩余的四个社团中选择两个，共有种选择方法， 故不同的选择方法共有种． 故选：B 8．（多选题）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 9．（多选题）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 【答案】BCD 【解析】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误； 对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同， 所以满足条件的排法有种，故B项正确； 对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确； 对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确． 故选：BCD 10．（多选题）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【答案】BD 【解析】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 11．（多选题）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． （2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确. 故选：ABD 12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个. 【答案】254 【解析】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有种情况； 当1前面只有2个数时，有种情况； 当1前面只有3个数时，有种情况， ， 当1前面只有7个数时，有种情况. 综上，这样的数列共有个. 故答案为：. 13．从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，则存在且、，使得的取法种数为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且、，使得， 则有， 在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 故答案为：. 14．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【解析】（1）先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； （2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. 15．从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【解析】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法. （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 16．在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【解析】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 17．已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【解析】（1）第1次测试的是正品，从件正品中选件，有种选择. 第2次测试找到第一件次品，因为有件次品，所以第2次测试的次品有种选择. 第3次到第5次测试的是正品，从剩下的件正品中选件进行排列，有种选择. 第6次测试找到第二件次品，此时只剩下件次品，所以只有种选择. 根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为种. （2）测试次就找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到另一件次品，有种选择，所以这种情况共有种测试情况.   测试次找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况. 第1次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第2次测试找到一件次品，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况.   根据加法原理，至多测试次就能找到所有次品的测试情况数为种. 18．（1）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.求不同选派方法的种数. （2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数； 【解析】（1）根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，若甲地派2名女生，有种情况；若甲地分配1名女生，有种情况，则甲地的分派方法有种方法； 甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法，由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种. （2）有0时，可以组成没有重复数字的四位数有. 无0时，可以组成没有重复数字的四位数有 一共可以组成没有重复数字的四位数有 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 排列组合 【题型归纳目录】 题型一：排列的概念 题型二：简单的排列问题 题型三：排列数公式的应用 题型四：相邻问题 题型五：不相邻问题 题型六：定序问题 题型七：间接法 题型八：组合概念的理解 题型九：简单的组合问题 题型十：组合数公式的应用 题型十一：多面手问题 题型十二：分组、分配问题 题型十三：与几何有关的组合应用题 题型十四：隔板法 题型十五：分堆问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 题型一：排列的概念 【典例1-1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【典例1-2】下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【变式1-1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【变式1-2】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算. A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 题型二：简单的排列问题 【典例2-1】（2024·高二课时练习）写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【典例2-2】（2024·高二课时练习）请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【变式2-1】（2024·江苏·高二专题练习）写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 知识点二：排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 题型三：排列数公式的应用 【典例3-1】证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【典例3-2】求证： (1)； (2)． 【变式3-1】计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【变式3-2】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 知识点三：阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 知识点四：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 题型四：相邻问题 【典例4-1】6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【典例4-2】某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ） A．192种 B．168种 C．72种 D．144种 【变式4-1】一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（    ） A．24 B．48 C．16 D．12 【变式4-2】7名同学（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙两人相邻但不排在两端，不同的排法种数是（      ） A．480 B．720 C．960 D．1440 题型五：不相邻问题 【典例5-1】现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【典例5-2】为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（    ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 【变式5-1】哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【变式5-2】某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个互动节目，现将这2个互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，那么不同的插法种数为（     ） A．6 B．10 C．12 D．20 题型六：定序问题 【典例6-1】（2024·高二课时练习）氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法的种数为（    ） A．210 B．126 C．70 D．35 【典例6-2】（2024·山东烟台·高二统考）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（    ）． A．20 B．120 C．360 D．720 【变式6-1】（2024·高二课时练习）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于（    ） A．1 543 B．2 543 C．3 542 D．4 532 题型七：间接法 【典例7-1】（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（    ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【典例7-2】（2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（    ） A．198个 B．180个 C．216个 D．234个 【变式7-1】（2024·江苏·常州市武进区礼嘉中学高二阶段练习）小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（    ） A．84 B．78 C．108 D．96 知识点五：组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 题型八：组合概念的理解 【典例8-1】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【典例8-2】以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-1】下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【变式8-2】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 题型九：简单的组合问题 【典例9-1】（2024·高二课时练习）写出： (1)从a，b，c，d，e五个元素中取两个元素的所有组合； (2)从a，b，c，d，e五个元素中取三个元素的所有组合． 【典例9-2】（2024·高二课时练习）平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线. （1）试写出以其中任意两个点为端点的有向线段. （2）试写出以其中任意两个点为端点的线段. （3）试写出以其中任意三点为顶点的三角形. 【变式9-1】（2024·高二课时练习）用列举法写出下列组合： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有组合； (2)从5个不同元素中任取2个元素的所有组合． 知识点六：组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 题型十：组合数公式的应用 【典例10-1】（1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 【典例10-2】（1）计算:; （2）. 【变式10-1】（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【变式10-2】（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 知识点七：组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 知识点八：组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法”： 题型十一：多面手问题 【典例11-1】（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【典例11-2】（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______ 【变式11-1】（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 题型十二：分组、分配问题 【典例12-1】甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【典例12-2】现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【变式12-1】将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 【变式12-2】某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 . 题型十三：与几何有关的组合应用题 【典例13-1】在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【典例13-2】一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（    ）对异面直线 A．174 B．180 C．210 D．368 【变式13-1】以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（    ） A．70 B．64 C．58 D．24 【变式13-2】有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（    ）． A．36条 B．30条 C．21条 D．18条 题型十四：隔板法 【典例14-1】方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【典例14-2】把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 【变式14-1】满足不等式的有序整数组的数目为（    ） A．228 B．229 C．230 D．231 【变式14-2】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 题型十五：分堆问题 【典例15-1】6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本（平均分组）； (2)一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）； (3)一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）． 【典例15-2】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 【变式15-1】（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案. (1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ (2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 【变式15-2】（2024·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考）已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 【强化训练】 1．元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 2．据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 3．某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（    ） A．57种 B．60种 C．114种 D．120种 4．2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 5．某单位参加年月日在四角井历史文化街区举办的晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？ A． B． C． D． 6．设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 7．学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有（    ） A．12种 B．16种 C．18种 D．20种 8．（多选题）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 9．（多选题）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 10．（多选题）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 11．（多选题）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个. 13．从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，则存在且、，使得的取法种数为 .（用数字作答） 14．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 15．从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 16．在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 17．已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 18．（1）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.求不同选派方法的种数. （2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数； 学科网（北京）股份有限公司 $$