精品解析：甘肃省平凉市某校2024-2025学年高三上学期第四次阶段性考试数学试卷

2024年秋学期高三年级第四次阶段性考试 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求出集合A，再根据交集运算求出. 【详解】由，解得或. 所以或， 又，所以. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法法则得到，然后求模即可. 【详解】由题意得，所以. 故选：A. 3. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义和二倍角的正弦公式即可得到答案. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：D. 4. 已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 5. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求解即可 【详解】由等差数列的通项公式可得：，∵从第10项开始为正数，∴，解得，∴公差的取值范围是， 故选：D. 7. 已知函数，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出的范围以及之间的关系，再利用函数单调性求范围； 【详解】因为，，所以且，则， 故，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，则，即的取值范围是. 故选：C 8. 如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接，过作，连接，过作.根据面面垂直的性质得到平面，即.再根据相似三角形得到，，即.再将转化为，求其最小值即可. 【详解】连接，过作，连接，过作. 因为平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以. 又因为，所以. 即. 因为，所以. 在中，. 因为，所以. 即，. 所以. 即的最小值为 故选：C 【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，的否定是，. B. P是所在平面内一点，若，则P是的垂心 C. 关于x的方程有一正一负根，则 D. 若，，，则此三角形有两解 【答案】AB 【解析】 【分析】运用存在量词命题的否定判定A；运用垂心概念，结合向量垂直判定B；运用一元二次方程根的判定和韦达定理判定C；运用正弦定理计算判定D. 【详解】A选项：命题的否定是，A正确； B选项：由，得，所以，， 同理，，故是三角形的垂心，所以B正确； C选项：当方程有一正一负根时，，解得，C选项错误； D选项：由正弦定理，得，即， 得，不符合题意，此时三角形无解，故D错误. 故选：AB. 10. 若把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 图象关于对称 D. 与有2个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的变换得到的解析式，利用诱导公式判断A，根据余弦函数的性质判断B、C，画出与的图象，即可判断D. 【详解】把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到， 再把向左平移个单位长度得到， 又， 所以，故A正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 因为，所以图象关于对称，故C正确； 令，解得，所以在上单调递增，且， 令，解得，所以在上单调递减，且， 因为函数在定义域上单调递增，当时，令，解得， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示： 由图可知与有且仅有一个交点，故D错误. 故选：AC 11. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ） A. 的面积为 B. C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接求的面积可判定A，连接交于G，根据条件证平面即可判定B，判定的夹角是否为直角可判定C，利用棱锥的体积公式可判定D. 【详解】 对于A，易知，故A正确； 对于B，连接交于G，根据正方形的性质易知， 所以有， 又平面，所以平面， 平面，所以，故B正确； 对于C，由上可知为平面与平面的夹角， 易知，则不垂直，故C错误； 对于D，由题意可知两两垂直， 则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】代值计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：3. 13. 在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，利用勾股定理逆定理得到，设的中点为，根据直角三角形的性质性质得到，即为外接球的球心，即为外接球的半径，从而求出球的表面积. 【详解】如图所示： 由，，可知. 因为，，所以，即. 设的中点为，则， 所以为四面体外接球的球心，四面体的外接球半径， 所以外接球表面积. 故答案为： 14. 已知函数，若，则最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意函数，根据得，即，令，通过导数求的最大值即可. 【详解】由题意，， 注意到，， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足,， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足，， 当时，函数成立，符合条件， 所以，即. 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由得，然后结合导数求解待求表达式最大值即可. 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由当时，；当时，，计算即可得到所求通项公式； （2）运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值． 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，，满足上式，所以. 【小问2详解】 由 . 所以，即的最小值为. 16. 如图，三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形，、分别是、的中点，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接、， 在三棱柱中，且，故四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 因为平面，平面，因此，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接、，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正切值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形， 则，又因为，所以，，则， 因为，，，、平面，所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 所以，，则， 故， 由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为. 17. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，角的平分线交于点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，由辅助角公式可得，结合三角函数的性质即可求解 （2）根据余弦定理可得，利用角平分线定理，结合向量的线性运算以及模长公式求解. 【小问1详解】 由， 由正弦定理可得, 又，所以， 所以，可得， 又，所以，所以， 可得， 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得， 解得（舍），或， 由，得， 即， 故线段BD的长为. 18. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间； （2）若存在，使成立，求整数的最小值． 【答案】（1）的增区间为，减区间为（2）5 【解析】 【分析】 （1）先求导，将代入，求出导数的零点，结合导数正负判断原函数增减性即可； （2）先将分离参数得，设，，则所求问题转化为求，求得，令，求得，结合零点存在定理，求得，，可判断导数的零点位于，可得， ，再由即可求出的最小整数； 【详解】（1）由题意可知，，， 当时，令，或； 时，，在单调递增； 时，，在单调递减； 综上所述，的增区间为，减区间为 （2）原式等价于， 即存在，使成立． 设，，则， 设，则，∴在上单调递增． 又，， 根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点， 设该零点为，则，且，即， ∴. 由题意可知，又，， ∴a的最小值为5． 【点睛】本题考查利用导数研究函数增减性，分离参数法和构造函数法求解存在性问题，属于难题 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若，，，求，； （2）若，求正整数n的最小值； （3）是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）10 （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由题意计算可得第二次“和扩充”后得到数列，计算即可得解； （2）由题意可得，计算出首项后，可得数列为等比数列，即可计算出，在解出不等式即可得； （3）计算出、、后，可得， 计算即可得，再借助等比数列的定义即可得需满足的关系. 【小问1详解】 ，第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ，； 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到， 故，故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得，最小值为10； 【小问3详解】 因为， ，依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由题意可得，从而可结合等比数列求和公式得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期高三年级第四次阶段性考试 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 5. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，的否定是，. B. P是所在平面内一点，若，则P是的垂心 C. 关于x的方程有一正一负根，则 D. 若，，，则此三角形有两解 10. 若把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 图象关于对称 D. 与有2个交点 11. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ） A. 的面积为 B. C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为______. 14. 已知函数，若，则最大值为______ 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 16. 如图，三棱柱中，侧面与侧面均为边长为的正方形，、分别是、的中点，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值． 17. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，角的平分线交于点，求线段的长． 18. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间； （2）若存在，使成立，求整数的最小值． 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若，，，求，； （2）若，求正整数n的最小值； （3）是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $