精品解析：辽宁省沈阳市大东区2024-2025学年九年级上学期期末学情诊断数学试卷

2024-2025学年度（上）九年期末学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义． 【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项． 故选：D． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】A 【解析】 【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】特殊四边形的性质 4. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（ ） A. P（C）＜P（A）=P（B） B. P（C）＜P（A）＜P（B） C. P（C）＜P（B）＜P（A） D. P（A）＜P（B）＜P（C） 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得 【详解】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1； 事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1； 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化是不可能事件，P（C）=0． ∴P（C）＜P（A）＜P（B）． 故选B． 【点睛】本题考查了事件的分类及可能性大小，熟练掌握随机事件的概率大于0小于1，必然事件发生的概率等于1，不可能事件发生的概率为0是解题的关键． 5. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得的值，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题． 【详解】解：四边形与四边形位似， ， ， ， ， ， 同理可得，，，， 四边形与四边形相似， 四边形与四边形的周长比是， 故选：B． 7. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，若点在函数的图象上，则．逐一验证各选项的横纵坐标乘积即可． 【详解】解：∵， ∴四个点中，只有点在反比例函数图象上， 故选：C． 8. 如图某大坝的截面示意图是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 24米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 作，作，根据题意可知，进而得出 ，，然后根据勾股定理求出，即可得出，，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】如图所示，过点B作，过点C作，交于点E，F， 根据题意可知，， ∴，． 在中，， 根据勾股定理，得， 解得． ∴， 则． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 故选：C． 9. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 10. 如图，两张宽度均为3cm纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ） A. 6cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F，根据题意，得， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 在中，， ∴，， 即， 解得， ∴， 所以四边形的周长为． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 12. 如图，与交于点，且．若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 14. 抛物线的顶点坐标为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的顶点坐标并列出方程是解题的关键．根据二次函数的顶点坐标列出方程求出即可． 【详解】解：由顶点坐标为得对称轴为直线， ∴， 解得：， 故答案：． 15. 如图，在等边中，，以为边在同侧作正方形，连接交于点F，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的性质，等边三角形的性质．作，求得，，根据，求得，再利用计算即可求解． 【详解】解：作，垂足为， ∵等边和正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 计算 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴． 17. 某校一年级开设人数相同的A，B，C，D四个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，列表求概率， 对于（1），根据概率公式求出答案即可； 对于（2），列表得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 一共有A，B，C，D四个班级，学生甲分到A班的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 A B C D A B C D 一共有16种可能出现的结果，符合条件的有4种，所以甲，乙两位新生分到同一个班的概率是． 18. 如图，在矩形中，点O是对角线的中点．过点O作，分别交于点E，F，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 先证明，继而可得，而，可先证明平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ，． 点是的中点， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 19. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）求点B的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，等腰三角形的性质，反比例函数与几何图形， 对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案； 对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案． 【小问1详解】 如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴点； 【小问2详解】 将点代入， 得， ∴． 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 20. 综合与实践：习近平总书记指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度（参考数据：，结果精确到整数位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，可得． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 21. 某公司将新建的大门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门跨度，拱高．其中，点G在x轴上，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，． 要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小明已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的函数表达式； （2）在方案一中，当时， ①求矩形框架的面积； ②比较，的大小，并给出公司最后确定用的是方案几． 【答案】（1） （2）①；②，用方案二 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）①把代入解方程，即可求出，继而可求面积； ②由得，而要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，故选用方案二． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：①把代入得：， 解得：， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，且，， ∴用方案二． 22. 某超市购入一批进价为10元/盒的饼干进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）的函数关系式为． （1）每盒饼干销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （2）若超市决定每销售一盒该饼干就向儿童福利院赠送一件价值为p元的礼品，赠送礼品后，为确保该种饼干日销售获得的最大利润为392元，求p的值． 【答案】（1）每盒饼干单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （2）p的值为2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）设日销售利润为w元，根据利润单件利润销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润单件利润销售量销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设日销售利润为w元，根据题意，得： ， ∴当时，有最大值为450， ∴每盒饼干单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为： ， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得， 解得，， 当时，， 则每盒的利润为：，舍去， ∴p的值为2． 23. 如图1，的对角线与交于点O，点E，F分别在边上，且．点，分别是与的交点． （1）求证：； （2）连接交于点P，连接． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若．菱形，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行四边形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）首先根据平行四边形的性质和判定，求出四边形是平行四边形，再求出，根据已知条件判定，即可得出． （2）①首先根据平行线分线段成比例定理和等量转换求出，再根据相似三角形的判定方法求出，即可证明． ②首先根据菱形的性质和已知条件求出，再根据平行线分线段成比例定理和等量转换求出和、和的关系，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②解：∵为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上）九年期末学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 4. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（ ） A. P（C）＜P（A）=P（B） B. P（C）＜P（A）＜P（B） C. P（C）＜P（B）＜P（A） D. P（A）＜P（B）＜P（C） 5. 在中，若，则（ ） A B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的周长比是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 8. 如图某大坝的截面示意图是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 24米 9. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴交点的纵坐标是3 10. 如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ） A. 6cm B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 12. 如图，与交于点，且．若，则__________． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 14. 抛物线的顶点坐标为，则______． 15. 如图，在等边中，，以为边在同侧作正方形，连接交于点F，则的面积为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 计算 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 某校一年级开设人数相同的A，B，C，D四个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 18. 如图，在矩形中，点O是对角线的中点．过点O作，分别交于点E，F，连接．求证：四边形是菱形． 19. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）求点B坐标； （2）求的面积． 20. 综合与实践：习近平总书记指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度（参考数据：，结果精确到整数位）． 21. 某公司将新建的大门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，． 要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小明已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的函数表达式； （2）在方案一中，当时， ①求矩形框架的面积； ②比较，的大小，并给出公司最后确定用的是方案几． 22. 某超市购入一批进价为10元/盒的饼干进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）的函数关系式为． （1）每盒饼干销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （2）若超市决定每销售一盒该饼干就向儿童福利院赠送一件价值为p元的礼品，赠送礼品后，为确保该种饼干日销售获得的最大利润为392元，求p的值． 23. 如图1，的对角线与交于点O，点E，F分别在边上，且．点，分别是与的交点． （1）求证：； （2）连接交于点P，连接． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若．菱形，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $