精品解析：山东省聊城市东昌教育集团四校联考2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试题

2024—2025学年第一学期第二次巩固练习 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 或 2. 如图，点均在正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 4. 如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，，点为上一点，连接交于点，延长交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （―1，2） B. （―9，18） C. （―9，18）或（9，―18） D. （―1，2）或（1，―2） 8. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的( ) A. 三条中线的交点 B. 三条高线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 10. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为_______． 12. 如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于______． 13. 如图，是的直径，，点A在上， ，B为弧的中点，P是直径上一动点， 则的最小值为_________． 14. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 15. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 … y … 2 m 2 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线； ③m的值为④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的有____________（填正确的序号） 16. 已知二次函数，当自变量时，则y的取值范围为___. 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，若，求的值． 19. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 20. 如图，在中，，平分交于点，点在上，． （1）求证：是的外接圆的切线； （2）若，，求的长． 21. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 22. 阅读以下信息，探索完成任务． 凤凰快讯1 “乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学每月举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，随着同学们的技术变得娴熟，该手工作品9月份生产100个，11月份生产144个． 凤凰快讯2 该手工作品的生产成本为30元/个，义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率； 任务2 若该的月捐出善款（去除成本后）10000元，而且尽可能让更多的人能够献出爱心，请问该手工作品应该定价为多少元？ 23. 一次函数与反比例函数为交于点． （1）分别求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出，当时，x的取值范围 （3）在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标． 24. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线上，且，求点的坐标； （3）若点为该拋物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期第二次巩固练习 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，由题意可得且，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故选：． 2. 如图，点均在正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，连接，由勾股定理及其逆定理可得为直角三角形，，进而根据正切的定义计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格得，，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故选：． 3. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形，由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即 由根与系数的关系得：， ∴， 故选：A． 4. 如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，全等三角形的判定和性质，根据切线性质和切线长定理可得，，， 进而可得，，即得，，得到，再利用四边形的内角和求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点是切点， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远，对应的函数值越大，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远，对应的函数值越大， ∵， ∴， 故选：． 6. 如图，在正方形中，，点为上一点，连接交于点，延长交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质和勾股定理可得，进而得到，，再根据解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （―1，2） B. （―9，18） C. （―9，18）或（9，―18） D. （―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【解析】 【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似 ∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝ ∴A′E＝AD＝2 OE＝OD＝1 ∴A′（-1,2） 同理可得A′′（1,-2） 方法二：∵点A（-3，6）且相似比为 ∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×）， ∴A′（-1,2） ∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称 ∴A′′（1,-2） 故选：D． 8. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可． 【详解】解：， ∴抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：B 9. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的( ) A. 三条中线的交点 B. 三条高线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】三角形外接圆的圆心是中垂线的交点；三角形内切圆的圆心是角平分线的交点；据此判断即可． 【详解】∵圆O是△DEF的外接圆， ∴点O是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查对三角形的内心、外心等考点的理解，属于基础题型．理解定义是解题的关键． 10. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义等知识点，由反比例函数k的几何意义得到与面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比的平方得到与面积之比，设面积为x，列出关于x的方程，进而即可得解，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 【详解】如图，连接，过点C作轴，     ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 设面积为，根据反比例函数k的意义得到面积为， ∵， ∴与面积之比为， ∵的面积为，， ∴的面积为， ∴面积为，即的面积为， 解得， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由题意得，，再根据四边形的面积为计算即可求解，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 12. 如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为r的扇形的面积． 连接，，求出的度数都是，求出，，得，根据等底、等高的三角形的面积相等得出和的面积相等，求出阴影部分的面积=扇形的面积，求出，再根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：连接，， ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点，是的直径， 的度数都是， ， ， 是等边三角形， ， ， 和的面积相等， 即阴影部分的面积=扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，，点A在上， ，B为弧的中点，P是直径上一动点， 则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． ∵ ∴此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 15. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 … y … 2 m 2 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线； ③m的值为④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的有____________（填正确的序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解∶由表格可知，抛物线的对称轴是直线，故②正确； 抛物线的顶点坐标是，有最小值， 故抛物线的开口向上，故①错误； 当时，或，故的值为，故③正确； 抛物线的顶点坐标是在第三象限，故④错误． 故答案为：． 16. 已知二次函数，当自变量时，则y的取值范围为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数，，画出函数图象，即可求解. 【详解】根据根据二次函数，，画出函数图象， 可知：当， 当，即y的取值范围为. 【点睛】本题利用函数的图象，比较直观的反映了二次函数，时的最大值和最小值.这类题目特别要注意函数自变量的取值范围，选取图象上的特殊点（顶点，与坐标轴的交点），画出二次函数的草图是解题的关键 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）采用因式分解法求解即可； （2）采用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：因式分解，得， 于是，得，或， ∴，； 【小问2详解】 解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 即，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为2或 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． （1）用m表示出根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式，即可解决问题． 【小问1详解】 证明： ∵ ， ∴无论取任何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴． ∴． 即， 解得或， ∴的值为2或． 19. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）4.9 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴AE=16.9， ∴DE=AE－AD=4.9． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 20. 如图，在中，，平分交于点，点在上，． （1）求证：是的外接圆的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由，根据圆周角定理可得为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心，再证明，根据平行线的性质得到，于是可根据切线的判定定理判断即可求解． （2）设的半径为，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理来求解． 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，如图， ， ， 为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心． 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的外接圆的切线． 【小问2详解】 解：设的外接圆的半径为 在中， ， 即， 解得． ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，圆周角定理． 21. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 22. 阅读以下信息，探索完成任务． 凤凰快讯1 “乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学每月举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，随着同学们的技术变得娴熟，该手工作品9月份生产100个，11月份生产144个． 凤凰快讯2 该手工作品的生产成本为30元/个，义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率； 任务2 若该的月捐出善款（去除成本后）10000元，而且尽可能让更多的人能够献出爱心，请问该手工作品应该定价为多少元？ 【答案】任务一：平均增长率为；任务二：该手工作品应定价为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x，根据题意，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该手工作品的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合题意，即可确定结论． 【详解】解：（1）设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为； （2）设该手工作品应该定价为m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让更多的人能够献出爱心， ∴． 答：该手工作品应该定价为50元． 23. 一次函数与反比例函数为交于点． （1）分别求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出，当时，x的取值范围 （3）在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，根据题意细心分析是解题关键． （1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，再利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可； （3）分两种情况讨论，设出P点坐标，再根据三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：（1）将，代，得， 反比例函数的解析式为， 将代入，得， ， 将A，B两点坐标代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∴两个函数的解析式分别为，； 【小问2详解】 解：根据题意得，一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：或； 【小问3详解】 解：当P在x轴上时， 设， 的面积为6， ， ， 点坐标为或， 当P在y轴上时， 设， 的面积为6， ， ， 点坐标为或， 综上所述，P点的坐标为或或或． 24. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线上，且，求点的坐标； （3）若点为该拋物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由抛物线解析式可得，即得，设点是纵坐标为，可得，求出的值，再代入抛物线解析式求出点的横坐标即可求解； （）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把、代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点是纵坐标为，则， ∵， ∴， 解得， 当点是纵坐标为时，， 解得， ∴； 当点是纵坐标为时，， 解得，， ∴或； 综上，点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $