专题2.10 二次函数（8大知识点4大考点17类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.10 二次函数（8大知识点4大考点17类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【知识点2】二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点3】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点4】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点5】二次函数图象的变换 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： (2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【知识点6】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点7】二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点8】二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 第二部分【题型展示与方法点拨】 知识点与题型目录 【考点一：二次函数的定义】 【题型1】列二次函数关系式...................................................4 【题型2】二次函数及其参数...................................................5 【考点二：二次函数的图像和性质】 【题型3】二次函数对称轴、顶点坐标、最值、增减性.............................5 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判断.........................6 【题型5】待定系数法求二次函数的解析式.......................................7 【题型6】二次函数的平移.....................................................7 【题型7】二次函数的对称性...................................................8 【题型8】二次函数的增减性...................................................9 【考点三：二次函数与一元二次方程】 【题型9】抛物线与坐标轴的交点坐标...........................................9 【题型10】数形结合求一元二次（方程）不等式解集.............................10 【题型11】求抛物线与坐标轴的截线长.........................................11 【考点四：用二次函数解决问题】 【题型12】图形与图形运动问题...............................................11 【题型13】拱桥、喷水与掷球问题.............................................12 【题型14】销售利润问题.....................................................13 【题型15】周长、面积、角度问题.............................................14 【题型16】特殊三角形、四边形问题...........................................15 【题型17】三角形相似问题...................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】列二次函数关系式 【例1】（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．   (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【题型2】二次函数及其参数 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数有最小值，则的值是 ． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【题型3】二次函数对称轴、顶点坐标、最值、增减性 【例3】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【变式1】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【变式2】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为 ． 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判断 【例4】（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型5】待定系数法求二次函数的解析式 【例5】（21-22九年级上·全国·课后作业）我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题： （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （2）如果一个二次函数的图象经过三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式． 【变式1】（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 【题型6】二次函数的平移 【例6】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期中）将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），连接、，如果是等边三角形，则的长为 ． 【题型7】二次函数的对称性 【例7】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24九年级下·全国·期中）已知二次函数的图象经过点，且当时，．若也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ． 【题型8】二次函数的增减性 【例8】（2024·江苏南京·二模）已知二次函数． (1)求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； (2)是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明； (3)当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围． 【变式1】（2023·山东济南·一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 【题型9】抛物线与坐标轴的交点坐标 【例9】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴负半轴交于点是第二象限内抛物线上的两点，轴，点为线段上一点，且轴交直线于点，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知，，抛物线（t为常数）与轴的交点中，有且只有一个点在线段上，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知平面内一动点，点在抛物线上， （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则 ； （2）若无论为何值，总有，则的取值范围是 ． 【题型10】数形结合求一元二次（方程）不等式解集 【例10】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)方程的两个根为____________，不等式的解集为____________； (2)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_________； (3)若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，求t的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）二次函数的图象如图所示，若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·江苏·专题练习）若抛物线的顶点在x轴上，且不等式的解集为，则m的值为 ． 【题型11】求抛物线与坐标轴的截线长 【例11】（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·四川广安·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【变式2】（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【题型12】图形与图形运动问题 【例12】（24-25九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别在边长为6的正方形的四条边上运动，四边形也是正方形． (1)求证：≌； (2)设的长为x，正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式； 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 【题型13】拱桥、喷水与掷球问题 【例13】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）素材一：如图（1），施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． 素材二：施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为1米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高4米的特种车辆？请通过计算说明； (3)为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【题型14】销售利润问题 【例14】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）某公司以3元/千克的价格收购2000千克苹果后，一部分直接销售，另一部分加工成苹果干销售，并全部售出，现有如下信息：直接销售苹果的销售价格 （单位：元/千克）与销售数量x（单位：千克）之间的函数关系是 ，且直接销售的苹果不少于总量的 ． 加工成苹果干的总加工费用（单位：元）与加工数量t（单位：千克）之间的函数关系是 ，且加工成苹果干后质量会损耗，苹果干的销售价格为70元/千克. 设直接销售的苹果有x千克，请完成下列问题： (1)①用含x的代数式表示下列各量：直接销售的利润为 ，加工后销售的利润 为 ； ②直接写出x 的取值范围是 ． (2)若直接销售的利润比加工后销售的利润多1400元，求x的值； (3)如何安排两种销售方式能让总利润最大? 最大利润是多少? 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元，且不高于250元．经市场调查表明，每天入住的房间数（单位：间）与每间标准房的价格（单位：元）之间满足函数关系式：，则当该宾馆每间标准房的价格 元时，标准房日营业额（单位：元）最大，最大营业额为 元． 【题型15】周长、面积、角度问题 【例15】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴的交点分别是点和点与轴交于点． (1)求二次函数表达式 (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标． (3)在抛物线上是否存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 【题型16】特殊三角形、四边形问题 【例16】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标． (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ． 【题型17】三角形相似问题 【例17】（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）如图， 已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点 的坐标是， (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【变式1】（19-20九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，若平分，则的值为(  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时， ； (2)的最大值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.10 二次函数（8大知识点4大考点17类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【知识点2】二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点3】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点4】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点5】二次函数图象的变换 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： (2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【知识点6】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点7】二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点8】二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 第二部分【题型展示与方法点拨】 知识点与题型目录 【考点一：二次函数的定义】 【题型1】列二次函数关系式...................................................4 【题型2】二次函数及其参数...................................................7 【考点二：二次函数的图像和性质】 【题型3】二次函数对称轴、顶点坐标、最值、增减性.............................8 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判断........................11 【题型5】待定系数法求二次函数的解析式......................................13 【题型6】二次函数的平移....................................................14 【题型7】二次函数的对称性..................................................17 【题型8】二次函数的增减性..................................................20 【考点三：二次函数与一元二次方程】 【题型9】抛物线与坐标轴的交点坐标.........................................22 【题型10】数形结合求一元二次（方程）不等式解集............................26 【题型11】求抛物线与坐标轴的截线长........................................28 【考点四：用二次函数解决问题】 【题型12】图形与图形运动问题..............................................31 【题型13】拱桥、喷水与掷球问题............................................34 【题型14】销售利润问题....................................................37 【题型15】周长、面积、角度问题............................................40 【题型16】特殊三角形、四边形问题..........................................44 【题型17】三角形相似问题..................................................50 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】列二次函数关系式 【例1】（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．   (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． （2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案． 解：（1）如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意． （2）∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 解：（1）由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 【题型2】二次函数及其参数 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数有最小值，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到且，由可得，再根据可得． 解：二次函数有最小值， 抛物线开口向上，二次项系数为正数， ， 解得：， 故答案为： ． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 解：（1）由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 【题型3】二次函数对称轴、顶点坐标、最值、增减性 【例3】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【分析】该题主要考查了描点法画函数图象，二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，解题的关键是画出函数图象． （1）利用描点法可画出函数图象； （2）再结合图象可求得开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． 解：（1）列表如下： x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，画出图象如下： （2）根据图象可得： 抛物线的开口方向向上；顶点坐标为；对称轴为y轴；函数有最小值0，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【变式1】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象性质． 根据二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，逐项判定即可． 解：A．，二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．∵，抛物线与轴没有交点，故此选项符合题意； C．，顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，待定系数法求直线关系式，根据待定系数法求出直线的关系式，再根据规律确定抛物线的横坐标，再代入关系式得出答案． 解：设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 抛物线的横坐标为21， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判断 【例4】（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象，反比例函数的图象， 观察二次函数的图象可知，再根据，得，进而得出一次函数得图象经过一，二，四象限，反比例函数位于二，四象限，可得答案． 解：观察二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，反比例函数的图象位于二，四象限， 可知C符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 解：由A，D中的二次函数图象可得，因为，故A，D错误； 由B，C中的二次函数图象可得，所以的图象在二，四象限内，故C错误，B正确． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，，再根据二次函数的图象特点即可得． 解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，，即，， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 【题型5】待定系数法求二次函数的解析式 【例5】（21-22九年级上·全国·课后作业）我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题： （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （2）如果一个二次函数的图象经过三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式． 【答案】由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值；（2） 【分析】（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式，需求出k，b的值．用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值．类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式，需求出a，b，c的值．由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值． （2）设所求二次函数为，根据已知的三点坐标代入解析式，列出三元一次方程组，解方程组即可求得． 解：（1）由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值． （2）设所求二次函数为． 由已知，函数图象经过三点，得关于a，b，c的三元一次方程组 解这个方程组，得 ． 所求二次函数是． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线图象的性质，平移的性质，设沿轴向左平移个单位，列出平移后的抛物线解析式，再根据经过点，将其代入即可得出的值，再将代入即可得出答案． 解：设沿轴向左平移个单位后，抛物线经过点， ∵， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 解得：或， ∴平移后的抛物线解析式为或， 故答案为：或． 【题型6】二次函数的平移 【例6】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 【答案】(1) (2)经过点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移： （1）抛物线的对称轴为直线，由此可解； （2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点． 解：（1）对称轴为直线， 解得， 的值为； （2）由（1）可知，， 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 可得， 将代入， 解得， 得到的新抛物线经过点． 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期中）将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】主要考查了二次函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可． 先求出新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值． 解：∵， ∴新抛物线的顶点为， ∵二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为， ∴原抛物线的顶点为， 设原抛物线的解析式为， 代入得：， ∴，． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），连接、，如果是等边三角形，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征；根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设A点坐标为，根据等边三角形的性质解出的值即可得到答案． 解：点A在抛物线上， 设A点坐标为， 过A作轴于C，如图， 是等边三角形， ∴，， 或（舍）， ， 故答案为：． 【题型7】二次函数的对称性 【例7】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 解：假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 【变式1】（23-24九年级下·全国·期中）已知二次函数的图象经过点，且当时，．若也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点M、N、P到直线的距离大小得到对应函数值的大小． 解：∵二次函数图象经过， ∴二次函数的对称轴为直线， 将分别代入二次函数表达式得， 解得， ∴二次函数表达式为， 当时，， 时，， ， ， 又到对称轴的距离从远即近为， 故选C． 【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值； 解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵，， ∴点，，， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入可得， ，解得：， ∴， 设， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最小， ， 故答案为：； 【点拨】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键． 【题型8】二次函数的增减性 【例8】（2024·江苏南京·二模）已知二次函数． (1)求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； (2)是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明； (3)当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性是关键； （1）当时，；当时，，进而即可得到结论； （2）分别用作差法和二次函数图像的对称性比较大小即可； （3）分当时和时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可 解：（1）∵当时，；当时，， ∴不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； （2）方法一、∵是该函数图像上的两个点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即； 方法二、∵抛物线的对称轴为：直线， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述： （3）∵当时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线， ∴时，y随x的增大而增大，符合题意； 当且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大， ∴或 【变式1】（2023·山东济南·一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，然后结合二次函数的增减性与对称轴的关系可求． 解：∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象， ∴ ∴新图象的对称轴为直线， ∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下， ∴， 解得， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数性质的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题． 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，当或时，反比例函数随着的增大而减小． ∴当时，均随着x的增大而减小． 故答案为：． 【题型9】抛物线与坐标轴的交点坐标 【例9】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴负半轴交于点是第二象限内抛物线上的两点，轴，点为线段上一点，且轴交直线于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查二次函数综合问题，涉及三角形全等的判定与性质、轴对称性质，熟练掌握二次函数和全等三角形判定与性质是解决问题的关键． 先求解点坐标和对称轴，延长交于点，求证，用判定，得到，设点得到点坐标为，结合，可求坐标，利用轴对称可求点点坐标，即可求得长度． 解：令， 解得， 点坐标为，对称轴为直线， 延长交于点，如图， 轴，轴， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 设点， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ∴点关于对称轴对称， ∴点， ． 【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知，，抛物线（t为常数）与轴的交点中，有且只有一个点在线段上，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解不等式组等知识，先求出抛物线与x轴的交点坐标为或，然后分在A、B之间或在A、B之间求解即可． 解：令， 解得，， ∴抛物线与x轴交于或， ∵抛物线（t为常数）与轴的交点中，有且只有一个点在线段上，，， ∴在A、B之间或在A、B之间， ∴或， 解得或， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知平面内一动点，点在抛物线上， （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则 ； （2）若无论为何值，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x的交点等问题，解题的关键是： （1）由已知条件可得出抛物线的顶点纵坐标为0，然后根据顶点坐标公式求解即可； （2）先判断出点P在直线上，联立方程组，化简得，结合已知可得，解之即可． 解：（1）∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴令①，②， ②①得，， ∴， ∴点P在直线上， 联立方程组， 化简，得， ∵点在抛物线上，无论为何值，总有， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型10】数形结合求一元二次（方程）不等式解集 【例10】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)方程的两个根为____________，不等式的解集为____________； (2)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_________； (3)若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，求t的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与不等式的关系，待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点的横坐标就是方程的两个根；抛物线位于x轴上方部分的横坐标的取值范围即为不等式的解集； （2）结合函数图象，利用直线与抛物线有2个交点得到的范围； （3）根据待定系数法求得抛物线解析式，把，，代入求得函数值，结合函数图象，写出的取值范围． 解：（1）抛物线开口向下，抛物线与轴的交点为，， 方程的两个根为，； 由图象可得：不等式的解集为， 故答案为，，； （2）抛物线的顶点的纵坐标为2， 抛物线与直线只有一个公共点， 当时，抛物线与直线有两个公共点， 即方程有两个不相等的实数根， 满足条件的的范围为， 故答案为； （3）设抛物线解析式为， 把代入得，， ， ， ∴化为 当时，，当时，， 当时，， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）二次函数的图象如图所示，若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象法是解题关键．将关于的方程的根的个数可以看成二次函数的图象与直线的交点个数，结合函数图象求解即可得． 解：关于的方程的根的个数可以看成二次函数的图象与直线的交点个数， 由图可知，当时，直线与抛物线有交点，即关于的方程有实数根． 故选：D． 【变式2】（2025九年级下·江苏·专题练习）若抛物线的顶点在x轴上，且不等式的解集为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线的顶点在轴上得出，再根据不等式的解集为可以得出或是关于的方程的解，然后解方程组即可求出的值． 解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 不等式的解集为， 或是关于的方程的解， ， 解得， 的值为， 故答案为：． 【题型11】求抛物线与坐标轴的截线长 【例11】（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可得，列方程，即可解答； （2）列方程，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，结合，即可解答． 解：（1）二次函数的图象与轴只有一个交点， 方程有两个相同的解， 根据，可得， 可得， ， ， 二次函数解析式为； （2）根据题意可列方程， 设点的横坐标为， 可得，， 根据完全平方公式，可得， （1）中得到， ， ． 【变式1】（23-24九年级上·四川广安·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 【变式2】（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 【题型12】图形与图形运动问题 【例12】（24-25九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别在边长为6的正方形的四条边上运动，四边形也是正方形． (1)求证：≌； (2)设的长为x，正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，函数解析式． （1）利用正方形的性质，用证明； （2）利用，得到，利用勾股定理，在中，，所以． 解：（1）∵四边形为正方形，四边形也是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数动点问题，考查了解直角三角形，二次函数的性质．由图2知：，设，当点M在上时，则，利用，即，求出y关于x的关系式，利用二次函数的性质即可求出的长，即可解答． 解：由图2知：，设， 如图所示，当点M在上时，则， ∵，则， ∴ ∴，即， 即， 解得， 则函数的对称轴为， ∵，y有最大值， 当时，y取得最大值，则， 解得（舍去负值）， ∴， ∴当点M运动到点C时，点M的运动路程为a， 则， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出直线的解析式为，再设点P的坐标为，用含p的二次函数表示出S，利用二次函数的性质求出的最大值和最小值即可． 解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 动点P在线段上， 设点P的坐标为，其中， 轴，轴， 四边形为矩形，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， ， 当时，取最小值，最小值为， ， 故答案为：． 【题型13】拱桥、喷水与掷球问题 【例13】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）素材一：如图（1），施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． 素材二：施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为1米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高4米的特种车辆？请通过计算说明； (3)为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】(1)解析式 (2)能，说明见解析 (3)20米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论； （3）设，则，根据矩形的性质得出，，设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 解：（1）依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为． 把点，点代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）当时，， 能同时并行两辆宽米、高4米的特种车辆． （3）设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则   ∴ ∵， ∴当时，l有最大值为． 答：三根木杆的长度和的最大值是米． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 【题型14】销售利润问题 【例14】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）某公司以3元/千克的价格收购2000千克苹果后，一部分直接销售，另一部分加工成苹果干销售，并全部售出，现有如下信息：直接销售苹果的销售价格 （单位：元/千克）与销售数量x（单位：千克）之间的函数关系是 ，且直接销售的苹果不少于总量的 ． 加工成苹果干的总加工费用（单位：元）与加工数量t（单位：千克）之间的函数关系是 ，且加工成苹果干后质量会损耗，苹果干的销售价格为70元/千克. 设直接销售的苹果有x千克，请完成下列问题： (1)①用含x的代数式表示下列各量：直接销售的利润为 ，加工后销售的利润 为 ； ②直接写出x 的取值范围是 ． (2)若直接销售的利润比加工后销售的利润多1400元，求x的值； (3)如何安排两种销售方式能让总利润最大? 最大利润是多少? 【答案】(1)，；(2)；(3)直接销售数量为，加工数量为时利润最大，最大为元． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用等知识点， （1）①用销售收入减去收购支出即可得到，先算出加工费用，再算出加工后的数量，进而即可得到，②由直接销售的苹果不少于总量的，即可得出x的取值范围； （2）根据（1）问所列式子即可得到关于x的方程，解方程即可得解； （3）列出二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得解； 熟练掌握二次函数的性质，一元二次方程的应用并能灵活运用是解决此题的关键． 解：（1）∵直接销售收入，收购支出， ， ， ， ∵加工后的苹果干数量为， ， 直接销售的苹果不少于总量的， ， ， 故答案为：，； （2）由题意得，， ， ， ∴， ， ； （3）由题意得， ， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时，最大，最大利润， ∴， ∴直接销售数量为，加工数量为时利润最大，最大为元． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式．由“每天的利润每日销售量每盒利润”可列出y与x之间的函数表达式． 解：由题知：日销售量为盒， 每盒利润为元， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元，且不高于250元．经市场调查表明，每天入住的房间数（单位：间）与每间标准房的价格（单位：元）之间满足函数关系式：，则当该宾馆每间标准房的价格 元时，标准房日营业额（单位：元）最大，最大营业额为 元． 【答案】 180 14400 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意可得，标准房日营业额，从而可得当时，随的增大而减小，又，进而可以判断得解． 解：由题意可得，标准房日营业额． ， 当时，随的增大而减小． 又， 当时，最大，最大值为． 答：当该宾馆每间标准房的价格元时，标准房日营业额最大，最大营业额为14400元． 故答案为：180，14400． 【题型15】周长、面积、角度问题 【例15】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴的交点分别是点和点与轴交于点． (1)求二次函数表达式 (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标． (3)在抛物线上是否存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)(3)存在，点的坐标为或或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及求二次函数解析式，顶点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点和点代入二次函数表达式，求出、的值即可； （2）利用配方法即可求出顶点坐标； （3）先求出点的坐标，得到的底边上的高为，设的底边上的高为，根据的面积等于的面积，得到，分别求出和时的值，即可得到点的坐标． 解：（1）二次函数的图象与轴的交点分别是点和点， ，解得：， 二次函数表达式为； （2）， 二次函数的顶点坐标为； （3）令，则， ， ， 即的底边上的高为， 设的底边上的高为， 的面积等于的面积，且和同底， ，即点的纵坐标为或， 当时，解得：，， 点与点不重合， 点的坐标为； 当时，解得：，， 点的坐标为或， 综上可知，在抛物线上存在一点（与点不重合），使以的面积等于的面积，点的坐标为或或． 【变式1】（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可； 解：令，则 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为： 将代入得： ∴直线的表达式为： 解方程组得：或 ∵点在第三象限 ∴点的坐标为 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等知识点；综合运用上述知识求出直线的函数表达式是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数最值，由求出，，再得出直线解析式为，设，则，则，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由，令得， ∴， 令得或， ∴， 设直线直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 故答案为：． 【题型16】特殊三角形、四边形问题 【例16】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标． (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)，； (3) 【分析】（1）把，，代入，再建立方程组求解解析式，再化为顶点式解题即可； （2）先求解直线的解析式为，求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形的面积加上的面积可得函数关系式，求得面积的最大值； （3）要使四边形是平行四边形只要即可，利用二次函数的对称性可得答案． 解：（1）把，，代入，得 ， 解得， ∴； ∴抛物线的顶点； （2）设直线的解析式为，将点、点的坐标代入得 ，解得， 所以直线的解析式为 设，而，． 由题意可知： ∴，，． ∴ ． ∵， ∴当时，； ∴； 故四边形的最大值为，点P的坐标为． （3）如图，过点作， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴关于抛物线对称轴直线对称， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，得出，进而根据四边形的邻边之比为：，分类讨论，设点A横坐标为m表示出的坐标，进而即可求解． 解：依题意是矩形； 把点代入中得， 解得， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵四边形的邻边之比为：时， 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 综上所述线段的长为或 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】先求得点的坐标为，再得出，当时，利用等腰直角三角形性质可求得点的坐标为，运用待定系数法可得直线的函数表达式为，将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为运用待定系数法可得直线的函数表达式为，联立方程组即可求得点的坐标． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴点的坐标为，则， ∴， 当时，则，过点作于点，如图， 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为， 由点，， 设直线的函数表达式为， ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得 ， ∴直线的函数表达式为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点拨】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定与性质，一次函数图象的平移，直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，把求两函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题是解题的关键． 【题型17】三角形相似问题 【例17】（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）如图， 已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点 的坐标是， (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． 解：（1）抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； （2）如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形，， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【变式1】（19-20九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，若平分，则的值为(  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出A(1,0),B(3,0)，C(0,3m)，再证△COB∽△ADB，列比例式求解即可. 解：∵二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点， 当y=0时，即，解得，x1=1,x2=3, ∴A(1,0),B(3,0), 当x=0时，y=3m, ∴C(0,3m), 过点A作AD⊥BD于点D，如图， ∵平分， ∴AD=OA=1, 又∵AB=2, ∴BD=, ∵∠COB=∠ADB, ∠B=∠B, ∴△COB∽△ADB, ∴,即， ∴m=, 故选D. 【点拨】此题主要考查了二次函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质.正确的添加辅助线和证△COB∽△ADB是解决问题的关键. 【变式2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时， ； (2)的最大值为 ． 【答案】(1)/0.5 (2)/0.5625 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 解：（1）对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$