专题10 平面解析几何（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题10 平面解析几何 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 11 考点一：直线的倾斜角与斜率 11 考点二：直线的方程 11 考点三：两直线的位置关系 12 考点四：点到直线距离 13 考点五：直线与圆的位置关系 14 考点六：圆与圆的位置关系 16 考点七：椭圆的标准方程与性质 17 考点八：直线与椭圆的位置关系 17 考点九：双曲线的标准方程与性质 20 考点十：直线与双曲线的位置关系 21 考点十一：抛物线的标准方程与性质 23 考点十二：直线与抛物线的位置关系 23 实战能练 26 明晰学考要求 这部分在教材选择性必修一中，直线方程占比3%，直线方程与点到直线距离公式是考查的方向。 圆锥曲线是必考的章节，占比17%。其中求标准方程、离心率等，直线与圆锥曲线的位置关系综合、定点定值等是必考题型。注意韦达定理的运用。 基础知识梳理 1、直线的方程 直线的倾斜角与斜率 （1）设直线与轴相交于点,将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角.且; （2）当时,角的正切值叫做直线的斜率,记作,当时,斜率不存在; (3)直线过点,则直线的斜率. 直线方程的形式(注意方程形式的局限性) (1)点斜式:[直线过点,斜率为; (2)斜截式:(直线在轴上截距为,斜率为); (3)两点式:(直线过两点); (4)一般式:不全为0; (5)点法向式:直线的一个法向量为 1、1、1、 2、两直线的位置关系 两条直线位置关系的判断 方法一：利用系数比 方法二:利用法向量 方法三:利用斜率、截距 两条直线垂直的判断不同时为零)不同时为零 (1); (2)当的斜率都存在,分别设为,则. 两条直线的夹角 设直线和不全为零,不全为 零),与的夹角为,则. 点到直线的距离 点到直线不全为零)的距离为. 两平行线之间的距离 设直线和(不全为零),则它们之间的距离为. 3、圆的方程 1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. 2.圆的标准方程 (1)若圆心为,半径为,则该圆的标准方程为:; (2)方程表示圆心为,半径为的圆. (3)单位圆的方程:. 3.圆的一般方程 (1)任意一个圆的方程都可化为:.这个方程就叫做圆的一般方程; (2)对方程: (1)若,则方程表示以为圆心,为半径的圆; (2)若,则方程只表示一个点; (3)若,则方程不表示任何图形. 说明:类似地,可研究方程表示圆的充要条件.提示:,请写出此时的圆心坐标和半径. 4.点与圆的位置关系 (1)点在圆内; (2)点在圆上; (3)点在圆外. 1.直线与圆相切 (1)直线与圆相切:直线与圆有且只有一个公共点; (2)几何法:圆心到直线的距离等于半径,即; (3)代数法:,方程组有一组不同的解. 2.直线与圆相交及弦长 (1)直线与圆相交:直线与圆有两个公共点; (2)几何法:圆心到直线的距离小于半径,即; (3)代数法:,方程组有两组不同的解. 3.圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为,圆心距为,半径分别为. (1)两圆相离:无公共点;,方程组无解; (2)两圆外切:有一个公共点;,方程组有一组不同的解; (3)两圆相交:有两个公共点;,方程组有两组不同的解; (4)两圆内切:有一公共点;,方程组有一组不同的解; (5)两圆内含:无公共点;,方程组无解.特别地,时,为两个同心圆. 4、椭圆 1.椭圆的概念 (1)定义:平面上到两定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. （2）集合的记号表示:集合. (1)若,则集合为椭圆; (2)若,则集合为线段; (3)若,则集合为空集. 2.椭圆的标准方程 (1)焦点在轴,; (2)焦点在轴,. 3.椭圆的性质 1.直线与椭圆位置关系的判断 （1）代数法:把椭圆方程与直线方程联立消去,整理得到关于的方程0.记该一元二次方程根的判别式为,若,则直线与椭圆相交;若,则直线与椭圆相切;若,则直线与椭圆相离; (2)几何法:在同一直角坐标系中画出椭圆和直线,利用图像和性质可判断直线与椭圆的位置关系. 2.直线与椭圆的相交问题 （1）弦长公式:设直线与椭圆有两个公共点,则弦长公式为或 说明：如右图,或.此方法是典型的化归思计算. (2)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点). 3.焦点三角形 椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形,,的面积为,则在椭圆中 (1)当为短轴端点时,最大; (2),当时,即点为短轴端点时,取最大值,最大值为; (3)焦点三角形的周长为. 4.焦点弦(过焦点的弦) 焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长. 5、双曲线 1，双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线. (1)在平面上; (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值; (3)这一定值一定要小于两定点的距离. 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 4.渐近线与离心率 的一条浙近线的斜率为.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小. 1.直线和双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组,消元转化为关于或的一元二次方程,其判别式为.如消去,可得: 若,即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; 若,即, (1)直线和双曲线相交,有两个交点; (2)直线和双曲线相切,有一个公共点; (3)直线和双曲线相离,无公共点. 2.几个重要结论 （1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为,也叫通径; （2）与双曲线有共同渐近线的方程可表示为; (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为; (4)若是双曲线右支上一点,分别为双曲线的左、右焦点,则,. 3.重要思想方法 (1)待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线共渐近线的可设为; 若渐近线方程为,则可设为; 若过两个已知点,则设为. (2)应用双曲线的定义需注意的问题: 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用. （3）求双曲线方程时,一是标准形式判断;二是注意的关系易错易混. (4)双曲线的标准方程中对的要求只是,易误认为与椭圆标准方程中的要求相同. 若,则双曲线的离心率; 若,则双曲线的离心率； 若,则双曲线的离心率. (5)等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系等轴双曲线的方程为,即. 6、抛物线 1.抛物线的定义:平面上到一个定点和到一条定直线(不在上)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.过点作准线的垂线,设垂足为,则线段的中点称为此抛物线的顶点. 2.抛物线的标准方程及其性质. 1.直线和抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组,消元转化为关于或的一元二次方程,其判别式为.如消去,可得: 若,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点; 若, (1)直线和抛物线相交,有两个交点; (2)直线和抛物线相切,有一个公共点; (3)直线和抛物线相离,无公共点. 2.直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点,则,同理可得. 3.常用思想方法 (1)抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,注意转化思想的运用(用抛物线的定义可化斜为直); (2)利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题,该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化. (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解; (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 4.常见与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点.设,则: (1)焦点弦长或(为的倾斜角); (2); (3),其中叫做焦半径,; (4)焦点弦长最小值为.根据可见,当为时,即垂直于轴时,弦的长最短,最短值为. 考点精讲讲练 考点一：直线的倾斜角与斜率 【典型例题】 例1.已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【即时演练】 1．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 2.已知直线的倾斜角为，则的值是 ． 3．（2007·上海·高考真题）直线的倾斜角 ． 4.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二：直线的方程 【典型例题】 例1．过点且垂直于向量的直线的方程是 . 例2．（2023·上海浦东新·模拟预测）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 【即时演练】 1．直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，且被两条平行直线和截得的线段长为，则直线的方程为 ． 考点三：两直线的位置关系 【典型例题】 例1.已知直线与直线相交于点，则 (1)求过点且平行于直线的直线 (2)求过点且垂直于直线的直线 例2．已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ． 【即时演练】 1．（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 2．已知直线，若 ，则 . 3．“”是“直线与直线垂直”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 4．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 5．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 考点四：点到直线距离 【典型例题】 例1．（2023·上海静安·一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ． 【即时演练】 1．（2023·上海徐汇·一模）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 考点五：直线与圆的位置关系 【典型例题】 例1.已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 【即时演练】 1．写出一个与直线都相切的圆的标准方程 ． 2．已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 3．（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． (1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； (2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） (3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 4．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 考点六：圆与圆的位置关系 【典型例题】 例1．已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（   ） A．为一条直线 B．为椭圆 C．为与圆O相交的圆 D．为与圆O相切的圆 【即时演练】 1.已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点． (1)求的离心率； (2)设点，求的面积． 2．已知，点P是以线段为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则的取值范围为 . 考点七：椭圆的标准方程与性质 【典型例题】 例1．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【即时演练】 1．（2024·上海徐汇·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 2（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 考点八：直线与椭圆的位置关系 【典型例题】 例1.已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 【即时演练】 1．（2024·上海崇明·一模）已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点． (1)若直线平行于轴，求线段AB的长； (2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程； (3)已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 2．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知和是椭圆Γ： 上两点，O是坐标原点. (1)求椭圆Γ的离心率； (2)若过点P的直线交Γ于另一点B，且的面积为9，求直线的方程： (3)过中点的动直线与椭圆Γ有两个交点M，N，试判断在轴上是否存在点使得 .若存在，求出点纵坐标的取值范围； 若不存在，说明理由. 考点九：双曲线的标准方程与性质 【典型例题】 例1.已知双曲线：，为的右顶点，若点到的一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是上异于的任意两点，且的垂心为，试问：点是否在定曲线上？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由． 【即时演练】 1.已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点）， (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积. 考点十：直线与双曲线的位置关系 【典型例题】 例1．（2024·上海徐汇·一模）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【即时演练】 1.如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中e为双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程; (2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点. (i) 若，求直线的斜率； (ii) 求证：是定值. 考点十一：抛物线的标准方程与性质 【典型例题】 例1.已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 . 【即时演练】 1．（2024·上海浦东新·三模）已知点A、B位于抛物线上，，点M为线段的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线的斜率为 . 2．（2024·上海·三模）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 . 考点十二：直线与抛物线的位置关系 【典型例题】 例1.已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 【即时演练】 1．（2024·上海杨浦·一模）如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足 ，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. 2.已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点. （i）求证：点在定直线上； （ii）若的面积为6，求点的坐标. 实战能力训练 1．（2023·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海浦东新·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2024年春考2）直线的倾斜角 . 4.（2023年春考4）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 5．（2024年春考8）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 . 6．（2023·上海长宁·三模）已知直线和，若，则 . 7．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 . 8．（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 . 9．（2023·上海青浦·一模）已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为 ． 10．（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 11．（2023·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为 ． 12．（2024·上海虹口·一模）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 13．（2024·上海宝山·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 14．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为 . 15．（2024·上海·三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动，记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，且，过上的点向作切线，则切线长的最大值为 16．（2024年春考20）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 17．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 18．（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 19．（2024·上海·三模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 平面解析几何 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 11 考点一：直线的倾斜角与斜率 11 考点二：直线的方程 12 考点三：两直线的位置关系 14 考点四：点到直线距离 17 考点五：直线与圆的位置关系 19 考点六：圆与圆的位置关系 24 考点七：椭圆的标准方程与性质 26 考点八：直线与椭圆的位置关系 28 考点九：双曲线的标准方程与性质 33 考点十：直线与双曲线的位置关系 36 考点十一：抛物线的标准方程与性质 39 考点十二：直线与抛物线的位置关系 41 实战能练 46 明晰学考要求 这部分在教材选择性必修一中，直线方程占比3%，直线方程与点到直线距离公式是考查的方向。 圆锥曲线是必考的章节，占比17%。其中求标准方程、离心率等，直线与圆锥曲线的位置关系综合、定点定值等是必考题型。注意韦达定理的运用。 基础知识梳理 1、直线的方程 直线的倾斜角与斜率 （1）设直线与轴相交于点,将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角.且; （2）当时,角的正切值叫做直线的斜率,记作,当时,斜率不存在; (3)直线过点,则直线的斜率. 直线方程的形式(注意方程形式的局限性) (1)点斜式:[直线过点,斜率为; (2)斜截式:(直线在轴上截距为,斜率为); (3)两点式:(直线过两点); (4)一般式:不全为0; (5)点法向式:直线的一个法向量为 1、1、1、 2、两直线的位置关系 两条直线位置关系的判断 方法一：利用系数比 方法二:利用法向量 方法三:利用斜率、截距 两条直线垂直的判断不同时为零)不同时为零 (1); (2)当的斜率都存在,分别设为,则. 两条直线的夹角 设直线和不全为零,不全为 零),与的夹角为,则. 点到直线的距离 点到直线不全为零)的距离为. 两平行线之间的距离 设直线和(不全为零),则它们之间的距离为. 3、圆的方程 1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. 2.圆的标准方程 (1)若圆心为,半径为,则该圆的标准方程为:; (2)方程表示圆心为,半径为的圆. (3)单位圆的方程:. 3.圆的一般方程 (1)任意一个圆的方程都可化为:.这个方程就叫做圆的一般方程; (2)对方程: (1)若,则方程表示以为圆心,为半径的圆; (2)若,则方程只表示一个点; (3)若,则方程不表示任何图形. 说明:类似地,可研究方程表示圆的充要条件.提示:,请写出此时的圆心坐标和半径. 4.点与圆的位置关系 (1)点在圆内; (2)点在圆上; (3)点在圆外. 1.直线与圆相切 (1)直线与圆相切:直线与圆有且只有一个公共点; (2)几何法:圆心到直线的距离等于半径,即; (3)代数法:,方程组有一组不同的解. 2.直线与圆相交及弦长 (1)直线与圆相交:直线与圆有两个公共点; (2)几何法:圆心到直线的距离小于半径,即; (3)代数法:,方程组有两组不同的解. 3.圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为,圆心距为,半径分别为. (1)两圆相离:无公共点;,方程组无解; (2)两圆外切:有一个公共点;,方程组有一组不同的解; (3)两圆相交:有两个公共点;,方程组有两组不同的解; (4)两圆内切:有一公共点;,方程组有一组不同的解; (5)两圆内含:无公共点;,方程组无解.特别地,时,为两个同心圆. 4、椭圆 1.椭圆的概念 (1)定义:平面上到两定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. （2）集合的记号表示:集合. (1)若,则集合为椭圆; (2)若,则集合为线段; (3)若,则集合为空集. 2.椭圆的标准方程 (1)焦点在轴,; (2)焦点在轴,. 3.椭圆的性质 1.直线与椭圆位置关系的判断 （1）代数法:把椭圆方程与直线方程联立消去,整理得到关于的方程0.记该一元二次方程根的判别式为,若,则直线与椭圆相交;若,则直线与椭圆相切;若,则直线与椭圆相离; (2)几何法:在同一直角坐标系中画出椭圆和直线,利用图像和性质可判断直线与椭圆的位置关系. 2.直线与椭圆的相交问题 （1）弦长公式:设直线与椭圆有两个公共点,则弦长公式为或 说明：如右图,或.此方法是典型的化归思计算. (2)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点). 3.焦点三角形 椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形,,的面积为,则在椭圆中 (1)当为短轴端点时,最大; (2),当时,即点为短轴端点时,取最大值,最大值为; (3)焦点三角形的周长为. 4.焦点弦(过焦点的弦) 焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长. 5、双曲线 1，双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线. (1)在平面上; (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值; (3)这一定值一定要小于两定点的距离. 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 4.渐近线与离心率 的一条浙近线的斜率为.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小. 1.直线和双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组,消元转化为关于或的一元二次方程,其判别式为.如消去,可得: 若,即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; 若,即, (1)直线和双曲线相交,有两个交点; (2)直线和双曲线相切,有一个公共点; (3)直线和双曲线相离,无公共点. 2.几个重要结论 （1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为,也叫通径; （2）与双曲线有共同渐近线的方程可表示为; (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为; (4)若是双曲线右支上一点,分别为双曲线的左、右焦点,则,. 3.重要思想方法 (1)待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线共渐近线的可设为; 若渐近线方程为,则可设为; 若过两个已知点,则设为. (2)应用双曲线的定义需注意的问题: 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用. （3）求双曲线方程时,一是标准形式判断;二是注意的关系易错易混. (4)双曲线的标准方程中对的要求只是,易误认为与椭圆标准方程中的要求相同. 若,则双曲线的离心率; 若,则双曲线的离心率； 若,则双曲线的离心率. (5)等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系等轴双曲线的方程为,即. 6、抛物线 1.抛物线的定义:平面上到一个定点和到一条定直线(不在上)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.过点作准线的垂线,设垂足为,则线段的中点称为此抛物线的顶点. 2.抛物线的标准方程及其性质. 1.直线和抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组,消元转化为关于或的一元二次方程,其判别式为.如消去,可得: 若,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点; 若, (1)直线和抛物线相交,有两个交点; (2)直线和抛物线相切,有一个公共点; (3)直线和抛物线相离,无公共点. 2.直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点,则,同理可得. 3.常用思想方法 (1)抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,注意转化思想的运用(用抛物线的定义可化斜为直); (2)利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题,该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化. (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解; (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 4.常见与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点.设,则: (1)焦点弦长或(为的倾斜角); (2); (3),其中叫做焦半径,; (4)焦点弦长最小值为.根据可见,当为时,即垂直于轴时,弦的长最短,最短值为. 考点精讲讲练 考点一：直线的倾斜角与斜率 【典型例题】 例1.已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为. 【即时演练】 1．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【解析】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 2.已知直线的倾斜角为，则的值是 ． 【答案】 【解析】由直线方程，得直线斜率， 所以. 故答案为： 3．（2007·上海·高考真题）直线的倾斜角 ． 【答案】 【解析】直线，整理得， 由直线的方程可得直线的斜率为， 则，又由，故 所以倾斜角为. 故答案为：. 4.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由题意两直线均有斜率，所以， 当时，取，则， 但，即充分性不成立； 当时，取，则， 但，即必要性不成立； 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 考点二：直线的方程 【典型例题】 例1．过点且垂直于向量的直线的方程是 . 【答案】 【解析】因为直线过点，且垂直于向量， 所以该直线的斜率为， 则该直线方程为：，即. 故答案为：. 例2．（2023·上海浦东新·模拟预测）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 【答案】和 【解析】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意， 当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线方程为， 故答案为：和 【即时演练】 1．直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，所以直线的斜率, 所以直线的方向向量为， 当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确； 当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确. 故选：D. 2．已知直线经过点，且被两条平行直线和截得的线段长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 此时与的交点分别为和， 截得的线段的长为：，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为：， 解方程组，得点， 解方程组，得点. 由，得， 即，解得：， 则直线的方程为：或. 故答案是：或. 考点三：两直线的位置关系 【典型例题】 例1.已知直线与直线相交于点，则 (1)求过点且平行于直线的直线 (2)求过点且垂直于直线的直线 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由解得，即， 因为直线的斜率为， 所以过点且平行于直线的直线的斜率为， 所以直线为：，化简得. （2）因为直线的斜率为， 所以点且垂直于直线的直线的斜率为 所以直线为：，化简得. 例2．已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ． 【答案】13 【解析】对于直线，即， 令，则，则，可得直线过定点， 对于直线，即， 令，则，则，可得直线过定点， 因为，则，即， 所以. 故答案为：13.    【即时演练】 1．（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【解析】由题意得，解得. 故答案为：0 2．已知直线，若 ，则 . 【答案】 【解析】易知直线的斜率存在且为， 由 可知，且，所以. 故答案为： 3．“”是“直线与直线垂直”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】当时，两条直线方程分别为和，两条直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， ，两直线垂直， 综上，无论为何值，均满足两条直线垂直， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 4．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【解析】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 5．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 【答案】 【解析】直线即，斜率， 因为直线、互相垂直，所以直线的斜率， 直线的倾斜角为，则，结合，可知． 故答案为：． 考点四：点到直线距离 【典型例题】 例1．（2023·上海静安·一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ． 【答案】/ 【解析】由直线与直线平行， 可知，即， 故直线为， 直线变形得， 故这两条直线间的距离为， 故答案为：. 【即时演练】 1．（2023·上海徐汇·一模）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过 米． 【答案】 【解析】分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系如图， 则，令， 则直线的方程为， 则在直线的上方，且到直线的距离为1， 即， 则， 整理得， 设，则， 则可化为， 令 ，则，则 , 由，得， 又在上单调递增， 则， 则（当且仅当时等号成立） 则该设备能水平通过直角型过道的长不超过米 故答案为： 考点五：直线与圆的位置关系 【典型例题】 例1.已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)和 (2)点P 的坐标为，面积最小值为 【解析】（1） 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 （2）由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 【即时演练】 1．写出一个与直线都相切的圆的标准方程 ． 【答案】（或，答出一个即可） 【解析】根据圆与直线相切可知圆心在直线上，半径为2， 再由圆与直线相切可得圆心为或， 则圆的标准方程为或． 故答案为：或. 2．已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】当直线的斜率不存在时，设的方程为， 由，可得，或， 所以，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 因为，所以圆心到直线的距离， 由，得， 所以直线的方程为， 则直线的方程为或. 故答案为：或. 3．（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． (1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； (2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） (3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解析】（1）解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，圆的方程为， 由，得，， 过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为， 所以直线的斜率为，其方程为，将其代入， 得点的坐标为， 经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为， 则，即，解得， 所以，圆的方程为， 故用函数表示过桥道路为 . 解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 作圆与x轴相切于点，并和圆切于点， 设圆的半径为，则，即，解得， 所以圆的方程为， 将直线的方程代入得，点的坐标为， 所以用函数表示过桥道路为. （2）解法1：由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为 3.398， 由点的坐标为，点的坐标为，得， 所以圆弧的长为 32.175， 所以过桥道路的总长度为 ， 解法2：因为，， 则，即， 所以圆弧的长为， 又由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为， 所以过桥道路的总长度为 63.9． （3）解：设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面， 高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体， 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ 方案1：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 方案2：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 4．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 考点六：圆与圆的位置关系 【典型例题】 例1．已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（   ） A．为一条直线 B．为椭圆 C．为与圆O相交的圆 D．为与圆O相切的圆 【答案】D 【解析】设点坐标为，设，由，可得， 则， 所以，即， 把代入圆， 则点的轨迹的方程为：， 即是圆心为，半径为1的圆，则， 由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即为与圆O相切的圆. 故选：D. 【即时演练】 1.已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点． (1)求的离心率； (2)设点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题，， 且在上有， 解得． 故椭圆的标准方程为， 离心率． （2）因为直线经过，两点， 可得直线的方程为， 联立， 解得或， 所以直线与椭圆的另一交点为， 则， 又点到直线的距离． 故的面积． 2．已知，点P是以线段为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则，，，于是， 化简得：，即， 因此点M的轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，与的位置关系是相交， 所以 故答案为： 考点七：椭圆的标准方程与性质 【典型例题】 例1．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 【即时演练】 1．（2024·上海徐汇·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 【答案】/ 【解析】如图，设，则，因，故，    由余弦定理，， 即， 将代入，整理得：， 解得，则有，， 由正弦定理：，即， 解得， 因，故. 故答案为：. 2（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得， ，由椭圆的定义得，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：    考点八：直线与椭圆的位置关系 【典型例题】 例1.已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为为椭圆上一点，为圆上一点， 由的最大值为，得，所以． 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）在中令，得，所以， 显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为， 由，消去得， 所以，则， 设，，则，， 所以， 所以． 令，则， 则，当且仅当，即时取得等号， 所以面积的最大值为． 【即时演练】 1．（2024·上海崇明·一模）已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点． (1)若直线平行于轴，求线段AB的长； (2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程； (3)已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)或 (3)存在，或或 【解析】（1）由题意，、，所以直线的方程是， 代入中，得，所以 （2）设，则 所以， 又，所以所以点坐标是或， 所以直线的方程是或. （3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入中，得，此时， 设、、， 则，所以中点. 又的重心在轴上，所以， 即，故， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为点在椭圆上，所以，解得或 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时、恰为长轴顶点，点为短轴顶点，满足题意． 综上所述，存在直线l使得的重心在轴上， 其方程为：或或. 2．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知和是椭圆Γ： 上两点，O是坐标原点. (1)求椭圆Γ的离心率； (2)若过点P的直线交Γ于另一点B，且的面积为9，求直线的方程： (3)过中点的动直线与椭圆Γ有两个交点M，N，试判断在轴上是否存在点使得 .若存在，求出点纵坐标的取值范围； 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 或 (3)存在， 【解析】（1）由题意得，解得，椭圆方程为：. 所以. （2），则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. （3）椭圆方程为：. 若过中点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则， 此时需，两者结合可得. 故这个点纵坐标的取值范围为 考点九：双曲线的标准方程与性质 【典型例题】 例1.已知双曲线：，为的右顶点，若点到的一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是上异于的任意两点，且的垂心为，试问：点是否在定曲线上？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)垂心在定曲线上 【解析】（1）由题意，双曲线的渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，从而解得， 即的标准方程为； （2）情形一：，中没有一点为，且直线的斜率存在，    设直线：，，，则AM和AN的斜率分别为：， 易得边的高线的斜率为 ，方程为：，即， 边AN的高线的斜率为：，方程为：， 联立，，消去， 可得 ， 联立，，， 所以，， 又，所以， 从而， 又H点也在MN边的高线上，MN边高线的方程为：，消去可得， 化简得，即点在定曲线上； 若MN斜率不存在，则M，N关于x轴对称，即，如图：    设 ，则是等腰三角形，所以在x轴上，即， ， ，联立：，解得：， ，在定曲线上； 情形二：，中有一点即，设，不妨，设，过N点作AM的垂线，则H点在该垂线上，如图：    则 ， 解得，所以点在曲线上； 综上，曲线C的方程为：，H点总在曲线上. 【即时演练】 1.已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点）， (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)8 【解析】（1）椭圆中，，，， 椭圆焦点为，∴双曲线的焦点坐标为. 双曲线的渐近线方程为， 的方程：. 由得，，. 由题意知，、分别为第一、二象限的交点， ∴，， ∴，， ∵，∴，∴. 化简整理得， 又∵代入上式，解之得，. ∴双曲线方程：. 离心率. （2）由（1）知，， ∴，. ∴. 考点十：直线与双曲线的位置关系 【典型例题】 例1．（2024·上海徐汇·一模）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，定值为 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. （2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. （3）由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 【即时演练】 1.如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中e为双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程; (2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点. (i) 若，求直线的斜率； (ii) 求证：是定值. 【答案】(1) (2)(i)；(ii) 【解析】（1）将点和代入双曲线方程得： ，结合，化简得：，解得， 双曲线的方程为． （2）(i) 设关于原点对称点记为， 则． 因为，所以， 又因为，所以，即， 故三点共线． 又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故， 所以． 由题意知，直线斜率一定存在， 设的直线方程为，代入双曲线方程整理得： ，故， 直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得． 由弦长公式得 ， 则，且由图可知，即， 代入解得． (ii) 因为，由相似三角形得， 所以 ． 因为． 所以，故为定值． 考点十一：抛物线的标准方程与性质 【典型例题】 例1.已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 . 【答案】/ 【解析】 因为抛物线的焦点为，则， 又因为，是抛物线上关于其对称轴对称的两点， 设，因为， 则， 所以， 解得（舍）或.即点的横坐标为， 故答案为： 【即时演练】 1．（2024·上海浦东新·三模）已知点A、B位于抛物线上，，点M为线段的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线的斜率为 . 【答案】/ 【解析】如图：分别从作准线的垂线，垂足为, 设，中点， ,则到轴的距离为， 当到轴的距离最小时，最小，等号为三点共线时取得，所以，解得. 故抛物线方程为，当三点共线时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立消去得：，所以， 所以，解得（负根舍去）. 故答案为： 2．（2024·上海·三模）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 . 【答案】4 【解析】作于点，与轴交于点，如图， 则， 又且是的中点，则有， 即，又，故， 又，，， 故，即，则. 故答案为：4 考点十二：直线与抛物线的位置关系 【典型例题】 例1.已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【解析】（1）由题意得，直线方程为：， 令，则，故， 于是，解得（负值舍去）， 故抛物线方程为. （2）设的方程为，，， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到，， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故，满足题意.    （3）由题意，， 则直线，直线 ， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即， 即， 即， 于是， 解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上    【即时演练】 1．（2024·上海杨浦·一模）如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足 ，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【解析】（1）因抛物线方程为，则焦点坐标为； （2）证明：设. 若，则直线AB，CD斜率不存在， 由对称性，可知M，N，H均在x轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：，方程：， BD方程：.设， 因 ，则. 则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC，BD交点为. 将代入直线AC方程， 则； 将代入直线BD方程， 则. 注意到 ，又，则P，Q两点重合， 即P，Q为线段与交点H，且点三点共线； （3）由（2），直线MN与x轴平行， 则 . 又，同理可得， 又由（2）， 则 ， 由，则， 即. 则 . 如图，过B作MN平行线，交CD为E，则四边形MBEN为平行四边形， 结合，则，. 因 ，则，结合， 则，又M为AB中点，则N为DE中点. 则， 则四边形的面积. 2.已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点. （i）求证：点在定直线上； （ii）若的面积为6，求点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或 【解析】（1）因为，由抛物线的定义得，又，所以， 因此，即，解得，从而抛物线的方程为. （2）    （i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直， 所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数， ， 同理，则， 化简得，则， 所以点在定直线上. （ii），则直线， 即 线段的长度：，点到直线的距离， 可得的面积为， 因为，且，化简得 ， 令，则，即. 解得或， 由知或，所以或 所求点的坐标为，或者. 实战能力训练 1．（2023·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是， 因此直线倾斜角的取值范围为， 故选：C 2．（2023·上海浦东新·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若为定值， 即点到直线两条直线距离之和为定值， 显然，这两条直线平行，如图，    所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且， 即，且，为定值， 所以“”是“为定值”的必要不充分条件. 故选：B 3.（2024年春考2）直线的倾斜角 . 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为， 易知直线的斜率为， 所以， 解得. 故答案为： 4.（2023年春考4）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 【答案】1 【解析】配方得，所以半径为1. 5．（2024年春考8）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 . 【答案】3 【解析】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 6．（2023·上海长宁·三模）已知直线和，若，则 . 【答案】 【解析】直线和，， 则，解得. 故答案为：. 7．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得且， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 8．（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 . 【答案】 【解析】双曲线的渐近线为， 依题意，解得. 故答案为： 9．（2023·上海青浦·一模）已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】为在上的投影向量，故，， 故. 故答案为：. 10．（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 【答案】/ 【解析】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点， 依题意，，所以. 故答案为： 11．（2023·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】依题意，点P在线段的中垂线上，点P也在线段的中垂线上， 连，而，，，，因此， 而，即，有，于是得， 直线过中点，而直线斜率为1，则直线的斜率为-1，方程为，直线的方程为， 于是得点，令直线交于点，，，， 所以. 故答案为： 12．（2024·上海虹口·一模）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 13．（2024·上海宝山·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 【答案】 【解析】如图， 取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以， 因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线， 可得.又， 所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：5 14．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为 . 【答案】 【解析】点集为以为圆心，为半径的圆上的点的集合， 又点在以为圆心，为半径的圆上， 所以平面点集所构成区域为图中阴影， 面积为. 故答案为：. 15．（2024·上海·三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动，记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，且，过上的点向作切线，则切线长的最大值为 【答案】 【解析】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 则其方程为， 设，因为，所以， 因为，所以， 设，则，得， 所以，则点的轨迹是椭圆，其方程为， 设上的点，则 ， 所以切线长为， 所以切线长的最大值为， 故答案为： 16．（2024年春考20）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【解析】（1）设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. （2）设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. （3）设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 17．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【解析】（1）由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. （3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 18．（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线经过定点. 【解析】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）   ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 19．（2024·上海·三模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，，或，，成等差数列 【解析】（1）由题意知，，故， 又离心率，故，于是. （2）设点，其中，且， 则， 由，得， ，，，，，，只需， 又，故， 所以的取值范围是. （3），，或，，成等差数列，证明如下： 若，则，设点，. ①若直线斜率为0，则点，不妨令点，， 则，，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列. ②直线斜率不为0，设直线，，，则点， 由得，， 故，， 因为，，， 所以 ， 所以，，或，，成等差数列. 综合上述，，，或，，成等差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$