精品解析：江苏省镇江市经开区2024—2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

2024−2025第一学期九年级第二次练习 数学试卷 本试卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 一元二次方程x2-3x=0的根是（　　） A. 0 B. 3 C. 0和3 D. 0和-3 2. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子次，下列事件中概率最大的是（ ） A. 点数为 B. 点数为 C. 点数小于 D. 点数为奇数 3. 某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知的半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 5. 已知二次函数，则下列说法错误的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标是 B. 当时，y随x增大而减小 C. 图像与轴的交点坐标是， D. 图像的顶点坐标是 6. 如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 小林参加学校举办的“五四最美少年”主题演讲比赛，他的演讲资料、语言表达、形象风度、综合印象得分分别为85分，70分，80分，80分．若学校将上面的四项依次按照40%，40%，10%，10%的占比计算总成绩（百分制），则小林的总成绩是（ ） A. 80分 B. 79分 C. 78分 D. 77分 8. 已知二次函数，当时，函数的最小值是（ ） A 1 B. C. D. 9. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知半径为，正三角形的边长为6，为边上的动点，过点P作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 6 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3 ，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是______． 12. 已知圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，则它的侧面积为______． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____． 14. 如图，分别切的两边，于点D，E，点F在上．若，则的度数为________°． 15. 如图，抛物线y＝x2+1与双曲线y＝的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 +x2+1＜0的解集是_______ 16. 抛物线（是常数且）经过点．下列四个结论： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则． 其中正确为______（填序号）． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）； 18. 为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织七、八年级学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分100分）．该校数学兴趣小组为了解学生竞赛分数情况，随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩，已知抽查得到的七年级的数据如下： 80，95，75，75，90，75，80，65，80，85， 75，65，70，65，85，70，95，80，75，80． 为了便于分析数据，统计员对七年级数据进行了整理，如表： 成绩等级 分数（单位：分） 学生数 D等 5 C等 a B等 b A等 2 两个年级成绩的平均数、中位数、优秀率如表：（分数80分以上、不含80分为优秀） 年级 平均数 中位数 优秀率 七年级 78 c 八年级 76 82.5 50% （1）a=______，b=______，c=______，m=______； （2）七年级秀秀和八年级清清的分数都为80分，判断秀秀、清清在各自年级的排名哪位更靠前？并说明理由； （3）如果我校七、八年级各有学生2000人，估计我校七、八年级此“垃圾分类知识竞赛”成绩优秀的总人数． 19. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数向上代表肉馅，点数向上代表香肠馅，点数，向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）连接AC、BC，求△ABC面积． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，点D在的延长线上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径是4，求的长． 22. 如图，在中，． （1）用无刻度的直尺和圆规在图1中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的周长． （如需画草图，请使用图2） 23. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆． （1）当t＝1时，⊙M的半径是　 　cm，⊙M与直线CD的位置关系是　 　； （2）点P从点A向点B运动过程中． ①圆心M的运动路径长是　 　cm； ②当⊙M与直线AD相切时，求t的值． （3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值． 24. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点顺时针旋转得到，抛物线经过A、D两点． （1）求点的坐标及该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使得与互补？若存在，请求出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025第一学期九年级第二次练习 数学试卷 本试卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 一元二次方程x2-3x=0的根是（　　） A. 0 B. 3 C. 0和3 D. 0和-3 【答案】C 【解析】 【分析】运用因式分解法求解即可得到结果． 【详解】解：x2-3x=0， ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键 2. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子次，下列事件中概率最大的是（ ） A. 点数为 B. 点数为 C. 点数小于 D. 点数为奇数 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率公式分别计算即可． 【详解】A、朝上一面的点数为的概率为 B、朝上一面的点数为的概率为 C、朝上一面的点数小于的概率为 D、朝上一面的点数为奇数的概率为 故选：D． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 3. 某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置或中间两个数的平均数叫做中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 根据中位数、众数的定义进行求解即可． 【详解】解：这名学生的成绩从小到大排列，中位数是第个，第个数据的平均数即， 这名学生成绩中出现的次数最多，共出现次，即众数为， 故选：C． 4. 已知的半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【详解】∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线的距离为9cm， 即圆心O到直线的距离大于圆的半径， ∴直线和⊙O相离， ∴直线与⊙O没有公共点． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则当直线和⊙O相交⇔d＜r；直线和⊙O相切⇔d=r；直线和⊙O相离⇔d＞r． 5. 已知二次函数，则下列说法错误的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标是 B. 当时，y随x增大而减小 C. 图像与轴的交点坐标是， D. 图像的顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．求出当时，的值即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式，由此即判断选项B正确、选项D错误；求出当时，的值即可判断选项C正确． 【详解】解：对于二次函数， 当时，，即图像与轴的交点坐标是，选项A正确，不符合题意； 抛物线的开口向上，化成顶点式为， 则当时，随的增大而减小，图像的顶点坐标是，选项B正确，不符合题意、选项D错误，符合题意； 当时，，解得或， 即图像与轴的交点坐标是，，选项C正确，不符合题意； 故选：D． 6. 如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形和圆，根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理即可得出答案，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ∴所对的弧是， ∵所对的弧是， ∴，即， 故选：． 7. 小林参加学校举办的“五四最美少年”主题演讲比赛，他的演讲资料、语言表达、形象风度、综合印象得分分别为85分，70分，80分，80分．若学校将上面的四项依次按照40%，40%，10%，10%的占比计算总成绩（百分制），则小林的总成绩是（ ） A. 80分 B. 79分 C. 78分 D. 77分 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算加权平均数的公式列式计算即可． 【详解】解：她的成绩是85×40%+70×40%+80×10%+80×10%=78（分）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式． 8. 已知二次函数，当时，函数的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得二次函数的对称轴为直线，进而可根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，二次函数有最小值，即：． 故选：B． 9. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，掌握二次函数图象的性质，理解小球从飞出到落地的含义是解题的关键． 根据题意，小球从飞出到落地，则高度，代入计算，结合题意即可求解． 【详解】解：小球从飞出到落地， ∴高度， ∴，即， ∴（不符合题意，舍去），， ∴小球从飞出到落地的所用时间为， 故选：A ． 10. 如图，已知的半径为，正三角形的边长为6，为边上的动点，过点P作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，过点作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：连接、，过点作于， ∵是的切线， ∴， ∴， 当时，最小，取最小值， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3 ，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义求解可得． 【详解】∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3 ，s丁2＝7.3，且平均数相等， ∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2， ∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲， 故答案是：甲． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 12. 已知圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，则它的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．先根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得出圆锥底面半径，从而得到底面周长，最后利用扇形面积公式即可得出圆锥侧面积． 【详解】解：根据题意可知，圆锥底面半径为，则底面周长为 所以它的侧面积为 故答案为：． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且，即， 解得：且． 故答案为：且． 14. 如图，分别切的两边，于点D，E，点F在上．若，则的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对切线的性质，四边形内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．连接，，证明，可得，再结合圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵分别切的两边，于点D，E，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 15 如图，抛物线y＝x2+1与双曲线y＝的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 +x2+1＜0的解集是_______ 【答案】-1<x<0 【解析】 【分析】如图作抛物线y＝x2＋m关于x轴对称抛物线y＝−x2−m，设抛物线y＝−x2−m与y＝的交点为A′，由对称性可知，A与A′关于原点对称，推出A′点的横坐标为−1，由图象可知＜−x2−m时，x的取值范围为−1＜x＜0，由此即可解决问题． 【详解】解：如图作抛物线y＝x2＋m关于x轴对称的抛物线y＝−x2−m，设抛物线y＝−x2−m与y＝的交点为A′， 由对称性可知，A与A′关于原点对称（两个抛物线、一个反比例函数的图象关于原点成中心对称）， ∴A′点的横坐标为−1， 由图象可知＜−x2−m时，x的取值范围为−1＜x＜0， ∴＋x2＋m＜0的解集为−1＜x＜0. 故答案为：−1＜x＜0 【点睛】本题考查二次函数与不等式、轴对称变换、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 16. 抛物线（是常数且）经过点．下列四个结论： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则． 其中正确的为______（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把点代入抛物线解析式可得，即得，，即可判断①②；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得抛物线上的点到对称轴的距离越近函数值越大，根据可知无论取何值，始终有，即可判断③，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把代入抛物线得， ， ∴， ∴抛物线， 当时，， ∴点在抛物线上，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近函数值越大， ∵点在抛物线上， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵无论取何值，始终有， 即无论取何值，始终有，故③错误； ∴正确的结论为①②， 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法，解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：， 或， ，． 18. 为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织七、八年级学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分100分）．该校数学兴趣小组为了解学生竞赛分数情况，随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩，已知抽查得到的七年级的数据如下： 80，95，75，75，90，75，80，65，80，85， 75，65，70，65，85，70，95，80，75，80． 为了便于分析数据，统计员对七年级数据进行了整理，如表： 成绩等级 分数（单位：分） 学生数 D等 5 C等 a B等 b A等 2 两个年级成绩的平均数、中位数、优秀率如表：（分数80分以上、不含80分为优秀） 年级 平均数 中位数 优秀率 七年级 78 c 八年级 76 82.5 50% （1）a=______，b=______，c=______，m=______； （2）七年级秀秀和八年级清清的分数都为80分，判断秀秀、清清在各自年级的排名哪位更靠前？并说明理由； （3）如果我校七、八年级各有学生2000人，估计我校七、八年级此“垃圾分类知识竞赛”成绩优秀的总人数． 【答案】（1）10，3，77.5，25 （2）七年级秀秀的排名更靠前．理由见解析 （3）估计该校此次线上测试成绩优秀的人数是1500人 【解析】 【分析】（1）根据数据的搜集与整理可直接得到a、b的值，根据中位数的定义求出七年级的中位数，即可确定c的值；求出七年级的优秀率可确定M的值； （2）根据七、八年级的中位数以及各自的成绩比较得出答案； （3）分别求出七、八年级学生中成绩为优秀的学生人数即可． 【小问1详解】 解：（1）由数据的统计可得，a＝10，b＝3， 将七年级20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝77.5（分），因此中位数是77.5分，即c＝77.5； 七年级这20名学生成绩的优秀率为：＝25%，即m＝25， 故答案为：10，3，77.5，25； 【小问2详解】 解∶ 七年级秀秀的排名更靠前．理由如下： 因为七年级的中位数是77.5，八年级的中位数是82.5， 所以七年级秀秀和八年级清清的分数都为80分，但秀秀的排名更靠前； 【小问3详解】 解∶2000×25%＋2000×50%＝500＋1000＝1500（人）， 故估计该校此次线上测试成绩优秀的人数是1500人． 【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数以及样本估计总体，掌握中位数的定义以及计算方法是解决问题的关键． 19. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数向上代表肉馅，点数向上代表香肠馅，点数，向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 【答案】（1） （2）模拟不正确，理由见解析． 【解析】 【分析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 【详解】（1）图中肉馅的用表示，香肠馅的用表示，两只红枣馅的用表示：画树状图． 所以； （2）模拟不正确，此题属于不放回实验，而模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）连接AC、BC，求△ABC的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由条件直接设出抛物线的顶点式，把C点的坐标代入解析式就可以求出值，从而求出解析式； （2）连接AC、BC，利用解析式求出A、B的坐标，从而求出AB的值，由三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 把C（0，4）代入中得： ， ， 抛物线的解析式为：； （2）如图所示： 连接AC、BC， 抛物线的解析式为， 当时，则， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查二次函数综合题，设计了抛物线的顶点式以及三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法和x轴交点的求法是解题的关键． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，点D在的延长线上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径是4，求的长． 【答案】（1）相切．理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等边对等角，勾股定理， （1）由是直径得到，证得，即，，即可证得与相切． （2）先证明，得到，求出．证得，利用勾股定理求出． 【小问1详解】 解：相切．理由如下： ∵是直径， ∴． ∴． ∵， ∴，即，． 又∵是半径， ∴与相切． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． ． 22. 如图，在中，． （1）用无刻度的直尺和圆规在图1中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的周长． （如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点D，过点D作，交于点O，以O为圆心，为半径作，即可； （2）设交于点E，交于点，连接，利用重叠部分的周长等于，进行计算即可． 【小问1详解】 解：作的角平分线交于点D，过点D作，交于点O，以O为圆心，为半径作，如图所示； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的半径，且， ∴为的切线， ∴即为所求； 【小问2详解】 解∶∵，是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，设交于点E，交于点，连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为， ∴与重部分的周长为． 【点睛】本题考查复杂作图，圆与三角形的综合应用，主要考查了切线的判定和性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，求弧长．解题的关键是掌握切线的判定方法和性质． 23. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆． （1）当t＝1时，⊙M的半径是　 　cm，⊙M与直线CD的位置关系是　 　； （2）在点P从点A向点B运动过程中． ①圆心M的运动路径长是　 　cm； ②当⊙M与直线AD相切时，求t的值． （3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t值． 【答案】（1），相离；（2）①5；②t＝；（3）t＝ 【解析】 【分析】（1）首先作出辅助线，利用矩形的性质得到PQ为的直径，再通过勾股定理即可求出的半径；然后利用中位线定理求出圆心到直线的距离，即可判断与与直线的关系. （2）首先得到圆心M的运动路径为,再根据勾股定理和矩形的性质即可求出的长，利用直线与圆相切的性质将和用含有t的式子表示出来，再通过即可求解出t的值； （3）先作出辅助线，利用直角三角形的全等的判定定理HL证明，再根据勾股定理得到，即可求解出t的值． 【详解】解：（1）如图1，过M作于，交于， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴的直径是PQ，， 当t＝1时，AP＝3，AQ＝4， ∵AB＝6，BC＝8， ∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4， ∴PQ＝＝5， ∴的半径为， ∵，M是PQ的中点， ∴PN＝BN， ∴MN是的中位线， ∴， ∴， ∴⊙M与直线CD的位置关系是相离； 故答案为：，相离； （2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等， ∴圆心M在对角线BD上， 由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合， 当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点， 故M运动路径为， 由勾股定理得：， 则圆心M的运动路径长是5cm； 故答案为：5； ②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则，， 则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t， ∴PQ＝10﹣5t， ∴， 中，， ∵， ∴， 解得：； （3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵PD＝PD， ∴（HL）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 解得：（舍），． 【点睛】本题主要考查三角形、矩形、圆的性质的综合应用，需要对于图形的几何关系熟练的掌握和应用，属于较难的综合类题型. 24. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点顺时针旋转得到，抛物线经过A、D两点． （1）求点的坐标及该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使得与互补？若存在，请求出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）D的坐标， （2）存在， ，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数、几何角度问题的综合 （1）根据一次函数解析式求出点A、B坐标，再由旋转的性质得到D点的坐标，然后利用利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）因为与互补，与互补，故与相等，通过直角三角形，使，则射线与抛物线的交点即为所求点P． 【小问1详解】 ∵一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标，点B坐标， ∴， ∵根据旋转的性质可知：， ∴的坐标． 将A、D代入，得 解得： ∴ 【小问2详解】 以为直角边作直角三角形，使，则，，， ∵， ∴ 当点M在x轴上方时，点M坐标为，如解图1： ∴直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得： ， 解得，（不合题意舍去） ∴点P在第一象限时，坐标为 当点M在x轴下方时，点M坐标为，如解图2： ∴直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得： ， 解得，（不合题意舍去） ∴点P在第四象限时，坐标为 综上所述，在抛物线上存在点，，使得与互补． 【点睛】主要涉及了一次函数与坐标轴交点，求函数解析式和函数图象交点，以及坐标与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．解（2）关键是通过角度转换得出与相等，通过直线与抛物线的交点求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$