精品解析：山东省大联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二年级教学质量检测联合调考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两直线平行，的系数的比值相等，且与的系数的比值与常数项的比值不相等，由此能求出. 【详解】根据直线与直线平行， 则， 故. 故选：A 2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案. 【详解】对于A，根据题意，故A错误. 对于B，设，则不存在，故B正确. 对于C，，故C错误； 对于D，由， 则，所以， 所以，故D错误； 故选：B. 3. 直线与圆交于A，B两点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂径定理，将弦长问题转化为在弦心距与半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【详解】圆M的半径，圆心，则圆心M到直线l的距离， 故． 故选：D． 4. 过点且与抛物线只有1个公共点的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】C 【解析】 【分析】分直线与抛物线相切和与对称轴平行求解. 【详解】解：因为点A在C上， 所以过点A且与C相切的直线只有1条，该切线满足题意． 过点A且斜率为0的直线与C也只有1个公共点， 所以满足题意的直线有2条． 故选：C 5. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 6. 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接法求解. 【详解】解：由题意可得， 化简得． 故选：B 7. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线，分别与y轴交于点H，G.若D为线段的中点，G为线段的中点，则点E到x轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴，根据平行关系列出线段的比例关系式即可求解. 【详解】 如图，过点作轴，垂足为， 由题意得，， 由轴得，，， 即，，两式相乘，化简得， 所以，则． 故选：D. 8. 如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求出点轨迹方程，然后再由向量的模的坐标表示求得模，再化为关于的函数，结合函数知识得最小值． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间内三点，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点，，，得到，，，再逐项判断. 【详解】因为空间内三点，，， 所以，，， 则，，，A正确． 因为，所以，B正确． ，C错误． 的面积为，D正确． 故选：ABD. 10. 已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若是的中点，则 B. 的最小值为4 C. 点到的两条渐近线的距离的乘积为12 D. 若的中点坐标为，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由轴即可判断；对于B，由双曲线的性质即可判断；对于C，由点到线的距离公式即可判断；对于D，由点差法可判断. 【详解】对于A，由双曲线，可得焦点在轴上，， 若是的中点，则直线轴，，A正确； 对于B，若点在轴上方，的最小值为， 若点在轴下方，的最小值为，B错误； 对于C，由题意得，， 所以双曲线的渐近线方程为或， 所以点到的两条渐近线的距离乘积为，C正确； 对于D，设，，则， 两式相减得． 因为的中点坐标为，所以，即， 所以直线的斜率为，此时直线的方程为， 由联立，检验可知，D正确． 故选：ACD. 11. 笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与C有3个公共点 B. 若点P在第二象限，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，联立方程求解的个数即可判断，对于B，由．结合可判断，对于C，通过点在第一、第二、第四象限逐个判断即可，对于D，结合C中得到的，再结合基本不等式得到求解即可. 【详解】因为叶形线经过点，所以． 联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，A错误． ． 因为点P在第二象限，所以，， 所以，B正确． 若点P在第四象限，则，可推出 ． 因为， 所以．当点P在第二、四象限时，， 所以．当点P是原点或在第一象限时，易得， 所以，C正确． 由，可得，解得，所以，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12. 与圆，都相切的直线有______条． 【答案】3 【解析】 【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 13. 已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______． 【答案】0.02## 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求离心率. 【详解】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c， 由题意，得，，解得，， 所以这个椭圆的离心率． 故答案为：0.02 14. 在正六棱柱中，，M，N分别为，的中点，平面CMN与直线交于点G，则______；点A到平面CMN的距离为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】连接AD，BF，设其交点为O．以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求得平面CMN的一个法向量为，设，则由求得a，再利用空间两点间的距离和点到平面的距离公式求解. 【详解】解：连接AD，BF，设其交点为O． 由正六棱柱的性质知，，且， 取的中点P，连接OP，则平面ABCDEF． 以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 因为，M，N分别为，的中点， 所以，，，，则，，． 设平面CMN的一个法向量为， 则令，则． 设，则． 由，解得，又，所以． 点A到平面CMN的距离． 故答案为：4， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． （1）求点C的坐标； （2）求的面积； （3）求斜边上的中线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）10 （3）． 【解析】 【分析】（1）设出C点坐标，利用垂直，转化为斜率之积为即可求出的值； （2）求出两直角边长，代入三角形面积公式即可； （3）写出AC中点E的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程． 【小问1详解】 设．因为，所以， 显然，则． 因为，， 所以，解得，则． 【小问2详解】 ，， 的面积为． 【小问3详解】 记AC的中点为E，则． 直线BE的斜率为， 直线BE的方程为，即， 所以斜边上的中线所在直线的方程为． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为. （1）求AE的长度； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据锥体体积求得，建立空间直角坐标系，设，利用及向量垂直的坐标运算求得，利用直角三角形性质即可求解； （2）求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，然后利用同角三角函数关系求解正弦值. 【小问1详解】 设，则，该四棱锥的体积为， 解得，即，． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，，， 设，则，． 若，则，解得，即E为PC的中点． 连接AC，在中，； 【小问2详解】 由（1）得，，． 设平面ABE的法向量为， 则即取，得． 设平面PBE的法向量为， 则即取，得． 设二面角的大小为， 则，所以， 所以二面角的正弦值为． 17. 已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，抛物线的焦点与F重合，是与的一个公共点． （1）求与的标准方程； （2）过点A的直线l与交于D，E两点，若E是的中点，求直线l的斜率． 【答案】（1）的标准方程为，的标准方程为． （2）． 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程求出，列出双曲线方程中方程求解； （2）设直线l的方程为，与抛物线联立，由韦达定理可得，结合E是的中点，求出的值. 【小问1详解】 因为，所以， 解得，所以的标准方程为． 因为抛物线的焦点与F重合，所以，． 又，解得， 所以的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知．设直线l的方程为，，． 因为E是的中点，所以①． 联立，得， 则，②，． 由①②解得，， 所以，解得，即， 经验证，此时满足，所以直线的斜率为． 18. 已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：设直线的方程为，，． 由得， ，， 所以，， 即点， 所以直线的方程为． 令，得． 又，所以直线的方程为． 令，得． 延长交于，延长交于． 由，得，则． 同理由，得，则． 因为，，显然， 所以． 【解析】 【分析】（1）通过点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，即可求解； （2）设直线的方程为，延长交于，延长交于． 通过向量数量积说明，，再通过 ，，及，即可求证； 【小问1详解】 因为是椭圆C的一个顶点，所以． 当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，． 故椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 略 19. 空间直角坐标系中，任意直线l由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为．特殊地，平面xOy的一般式方程为，其法向量为．若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为 （1）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为S，求S的体积； （2）已知点，直线．若平面，，求的一般式方程； （3）已知三棱柱的顶点，平面ABC的方程为，直线的方程为，平面的方程为．求直线与直线BC所成角的余弦值． 【答案】（1）20 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由条件知，S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，根据体积公式求解. （2）求出平面的法向量，根据新定义即可求解平面的点法式方程. （3）先求出，再结合已知条件求得平面的方程为，根据新定义求出直线BC的一个方向向量为，利用向量法求解两直线的夹角的余弦值. 【小问1详解】 由条件知，S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体， 则体积． 【小问2详解】 直线过点，方向向量为，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 所以平面的点法式方程为， 一般式方程为． 【小问3详解】 联立解得即． 又，所以． 由平面的方程知，其法向量为．因为平面， 所以，即，解得， 所以平面的方程为． 直线BC上的点满足化简得， 所以直线BC的一个方向向量为， 取直线BC的一个方向向量为． 则，即直线与直线BC所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级教学质量检测联合调考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 直线与圆交于A，B两点，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 过点且与抛物线只有1个公共点的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 5. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ） A. B. 6 C. D. 6. 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线，分别与y轴交于点H，G.若D为线段的中点，G为线段的中点，则点E到x轴的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间内三点，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 10. 已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若是的中点，则 B. 的最小值为4 C. 点到的两条渐近线的距离的乘积为12 D. 若的中点坐标为，则直线的斜率为 11. 笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与C有3个公共点 B. 若点P在第二象限，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12. 与圆，都相切的直线有______条． 13. 已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______． 14. 在正六棱柱中，，M，N分别为，的中点，平面CMN与直线交于点G，则______；点A到平面CMN的距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． （1）求点C的坐标； （2）求的面积； （3）求斜边上的中线所在直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为. （1）求AE的长度； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，抛物线的焦点与F重合，是与的一个公共点． （1）求与的标准方程； （2）过点A的直线l与交于D，E两点，若E是的中点，求直线l的斜率． 18. 已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：． 19. 空间直角坐标系中，任意直线l由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为．特殊地，平面xOy的一般式方程为，其法向量为．若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为 （1）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为S，求S的体积； （2）已知点，直线．若平面，，求的一般式方程； （3）已知三棱柱的顶点，平面ABC的方程为，直线的方程为，平面的方程为．求直线与直线BC所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $