精品解析：广东省广州市执信中学天河校区2024-2025学年 九年级上学期数学12月月考试卷

2024-2025学年度第一学期 初三级数学科12月阶段练习试卷 命题人：天河初三备课组 审题人：天河初三备课组 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或者签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将字迹的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．． 第—部分 选择题（共30分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 如图，为的切线，A为切点，交于点B，，，则的长（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 8 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2 8. 函数和在同一坐标系里的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 10. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 正六边形的边长为4cm，它的半径等于_____cm． 12. 如图，在中，，，，则的长为______． 13. 已知方程的两根是，则______． 14. 如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为_________． 15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，则该圆锥的母线长，扇形的圆心角______． 16. 如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 解方程：x2﹣5x+6＝0 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的图形面积（结果保留）． 19. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点的横坐标为3，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 20. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转得到，点在上． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 21. 如图，中，是边上的高，且． （1）求证：； （2）求的大小． 22. 杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． （1）若该网点每周销售这种商品所获利润为元，求销售单价是多少元？ （2）将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E． （1）请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； （3）过点D作于点F，延长交于点G，若，．求的半径． 24. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． （1）求抛物线和直线的函数表达式： （2）过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在四边形中，，，． （1）求的度数； （2）连接BD，探究三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若，点E在四边形内部运动，且满足，求点E运动路径的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 初三级数学科12月阶段练习试卷 命题人：天河初三备课组 审题人：天河初三备课组 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或者签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将字迹的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．． 第—部分 选择题（共30分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 如图，为的切线，A为切点，交于点B，，，则的长（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理．根据切线的性质得到，由勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：∵为的切线，A为切点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线y=2（x-2）（x+6）化成顶点式，即可得到对称轴． 【详解】解：抛物线y=2（x-2）（x+6）=2（x2+4x-12）=2（x+2）2-32， 因此抛物线对称轴为直线x=-2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，化为顶点式是解题的关键． 4. 如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数． 【详解】解：连接AD，如图， AB为的直径， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 5. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得： ． 故选：D 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：在反比例函数中，， 此函数图象在二、四象限， ， 点，在第二象限， ，， 函数图象在第二象限内为增函数，， ． ，点在第四象限， ， ，，的大小关系为． 故选：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 7. 如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理得到CH=BH，，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可． 【详解】如图BC与OA相交于H ∵OA⊥BC， ∴CH=BH，， ∴∠AOB=2∠CDA=60°， ∴BH=OB⋅sin∠AOB=， ∴BC=2BH=2， 故选D． 【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 8. 函数和在同一坐标系里的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：由A，D中的二次函数图象可得，因为，故A，D错误； 由B，C中的二次函数图象可得，所以的图象在二，四象限内，故C错误，B正确． 故选：B． 9. 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 【答案】B 【解析】 【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比． 【详解】解：如图，过O作，交AC于G， ∵O是BD的中点， ∴G是DC的中点． 又， 设，又， ， 故选B． 【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式． 10. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①； 抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②； 根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③； 根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④. 【详解】解：①由图象可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确； ②∵抛物线过，∴时，，故②正确； ③顶点坐标为：.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误； ④由图象可知：，，∴， ∵，∴， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 正六边形的边长为4cm，它的半径等于_____cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OA的长即可． 【详解】解：∵此多边形为正六边形， ∴∠AOB＝＝60°； ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝AB＝4cm， 故答案为：4 【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，关键是由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OA的长． 12. 如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质．证明，则，根据平行四边形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中， ∴ 故答案为： 13. 已知方程的两根是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：． 14. 如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，以及线段的加减运算．解题的关键在于利用切线长定理将三角形的周长转化为已知线段的和．利用切线长定理，将的周长转化为已知线段的和来求解． 【详解】解：分别和相切于点A、B，且， ， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ， ， 的周长为24， 故答案为：24． 15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，则该圆锥的母线长，扇形的圆心角______． 【答案】 【解析】 【分析】由可求扇形的弧长，再由，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， 解得：， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长、半径与对应的圆锥的底面圆的周长、母线之间的关系，弧长公式，掌握二者之间的关系和弧长公式是解题的关键． 16. 如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明A、C、B、P四点共圆，则，证明D、M、C、E四点共圆，即点M的运动轨迹是以为直径的半圆，取的中点Q，作于点F，是的中位线，，得到，，得到，当M为与的离B较近的交点时，取得最小值，此时，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上， ∴A、C、B、P四点共圆，， ∴， 分别取的中点D，E，连接，， ∴ ∵M为的中点， ∴，， ∴， ∴D、M、C、E四点共圆， 即点M的运动轨迹是以为直径的半圆， 取的中点Q，作于点F， ∴，， ∴， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 当M为与的离B较近的交点时，取得最小值， 此时， 故答案为： 【点睛】此题考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，找到点M的运动轨迹是以为直径的半圆是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 解方程：x2﹣5x+6＝0 【答案】x1＝2，x2＝3 【解析】 【分析】利用因式分解的方法解出方程即可. 【详解】利用因式分解法求解可得． 解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤. 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的图形面积（结果保留）． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】题目主要考查图形的旋转，弧长公式，熟练掌握图形旋转的作法是解题关键 （1）根据图形旋转的作法作图即可，然后写出点的坐标即可； （2）先根据勾股定理得出，再由扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 点的坐标为． 【小问2详解】 由（1）可知，可得线段扫过的图形为扇形． ， 线段扫过的图形面积． 19. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点的横坐标为3，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为：； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入得，则A点坐标为，代入反比例函数解析式即可求解； （2）先把代入直线表达式求出点C坐标，再将代入反比例函数表达式求出D点坐标,根据可求出答案． 【小问1详解】 解：将代入得， 点坐标为， 点A在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：将代入一次函数得， 即点C的坐标为， 将代入反比例函数得， 即D点坐标为 ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键． 20. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转得到，点在上． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等： （1）由旋转得，则，所以，即可得出平分； （2）由，，得，则，求得，所以． 【小问1详解】 证明：∵将绕着点A顺时针旋转得到， ∴， 又∵点在上， ∴， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 21. 如图，中，是边上的高，且． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得解． 【小问1详解】 证明：是边上的高， ， 又，即， ； 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定定理，相似三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． （1）若该网点每周销售这种商品所获利润为元，求销售单价是多少元？ （2）将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）销售单价是元； （2）该商品销售单价定为元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是元． 【解析】 【分析】（）根据利润（售价进价）销售量，列出方程求解即可； （）根据利润（售价进价）销售量，列出利润关于售价的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得：，整理得：， 解得：，， 又∵， ∴， 答：销售单价是元； 【小问2详解】 设网店每周销售该商品所获利润为元， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大，最大值为， 答：该商品销售单价定为元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是元． 23. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E． （1）请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； （3）过点D作于点F，延长交于点G，若，．求的半径． 【答案】（1） 如图1所示，即为所求； （2） 证明：如图2，连接， 平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）的半径为5 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可； （2）根据连接，由为直径、可得出点D在上且，根据平分可得出，由内错角相等，两直线平行可得出，再结合即可得出，进而即可证出是的切线； （2）设，根据勾股定理列方程可得r值． 【小问1详解】 解：圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为r， ， ， ， ， 在中，， ，， ， 解得：， 的半径为5． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 24. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． （1）求抛物线和直线的函数表达式： （2）过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为 （2）的最大值为 （3）存在，满足条件的点G的坐标为或或 【解析】 【分析】1）先把点A 和点B的坐标代入，求出a和b的值，即可得出抛物线的解析式为，进而得出，再设直线的解析式为，将点A和点C的坐标代入求出k和b的值，即可得出直线的解析式为； （2）作轴交于点H，垂足为点M，通过证明，得出，则，设点，则，得出，则当时，取得最大值为，即可求出的最大值； （3）设，，然后根据平行四边形的性质进行分类讨论即可：当为平行四边形的边时；当为平行四边形的对角线时． 【小问1详解】 解∶∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， 令，可得， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴交于点H，垂足为点M， ∵，， ∴，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 设点，则， ∴， ∵，． ∴当时，取得最大值为， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：存在． 理由∶抛物线的解析式为，对称轴为直线， 如图，设，． 当为平行四边形的边时，则有， 解得或， ∴ 或 ， 当为平行四边形的对角线时， ∴， ∴ ， 综上所述，满足条件的点G的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤；正确画出辅助线，构造相似三角形，掌握相似三角形对应边成比例，以及平行四边形对角线互相平分，平行四边形对边相等． 25. 如图，在四边形中，，，． （1）求的度数； （2）连接BD，探究三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若，点E在四边形内部运动，且满足，求点E运动路径的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形的内角和为即可解答； （2）连接．以为边向下作等边三角形，证明，可得，，结合（1）中结论可证得，利用勾股定理即可解决问题； （3）连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，可证得，动点E在四边形内部运动，满足，以为边向外作等边，则点E是在以O为圆心，为半径的圆周上运动，运动轨迹为弧，利用弧长公式即可解答． 【小问1详解】 解：在四边形中， ，，， ． 【小问2详解】 如图，结论：． 理由：连接．以为边向下作等边三角形． ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∴． 【小问3详解】 如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． 则是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 动点E在四边形内部运动，满足，以为边向外作等边， 则点E是在以O为圆心，为半径的圆周上运动，运动轨迹为弧， ∵， 点的运动路径． 【点睛】本题考查了四边形的内角和为、等边三角形的判定与性质、旋转的性质的应用、勾股定理、圆的性质、弧长公式，是一道综合题型，借助构造辅助圆解决问题有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $